Регресивний та кореляційний аналіз

Міністерство освіти і науки України

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

Спеціальності: 6.050100, 7.050104, 7050.201,

7.050.102, 7.050.107

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до використання регресивного та кореляційного аналізу

під час написання курсової роботи з курсу “Фінанси”

для студентів всіх форм навчання

Харків  2008

Міністерство  освіти  і  науки  України

Харківський  державний  технічний  університет

будівництва  та  архітектури

Спеціальності: 6.050.100,7.050.104,

7.050.201, 7.050.102,

7.050.107

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до використання регресивного та кореляційного аналізу

під час написання курсової роботи з курсу “Фінанси”

для студентів всіх форм навчання

Затверджено

   на засіданні кафедри

фінансів та кредиту

    Протокол № 5 від 13.11.2007 р.

Харків ХДТУБА 2008

Методичні вказівки до використання регресивного та кореляційного аналізу під час написання курсової роботи з курсу “Фінанси” для студентів спеціальностей: 6.050.100, 7.050.104 – “Фінанси”; 6.050.100, 7.050.107 – “Економіка підприємства”, 7.050.102 – “Економічна кібернетика” для студентів всіх форм навчання/ Укладач: Ю.М. Кривуц. – Харків: ХДТУБА, 2008. – 24 с.

Рецензент В.М. Тулін

Кафедра фінансів та кредиту

Вступ

Будь-яке явище природи і суспільства не може бути усвідомленим і зрозумілим без обґрунтування його зв`язків з іншими явищами. Щоб пізнати сутність явищ, необхідно розкрити їх взаємовідносини, кількісно визначити вплив тих або інших об`єктивних і суб`єктивних факторів.

Усе це стосується й фінансових явищ, які є об`єктами курсових робіт студенів другого курсу спеціальностей 6.050.100; 7.050.104; 7.050.201; 7.050.102; 7.050.107, що вивчають таку дисципліну, як «Фінанси».

Для пізнання механізму явища використовуються різні наукові методи, зокрема регресивний та кореляційний аналіз. Методичні вказівки мають за мету – допомогти студенту опанувати цими методами, прищепити навички вирівнювання та прогнозування економічних явищ.

1. Рівняння регресії і визначення його параметрів

Якщо дві змінні зв`язані таким чином, що зміні однієї відповідає систематична зміна іншої змінної, то для висновку рівняння, за допомогою якого оцінюється величина однієї змінної, а величина іншої відома, можна  застосувати регресивний аналіз. На відміну від нього, кореляційний аналіз застосовується для знаходження тісноти зв`язку між цими двома змінними.

Термін звичайна регресія вказує на те, що величина однієї змінної оцінюється тільки тоді, коли відома величина іншої змінної. На відміну від звичайної регресії, багатофакторна регресія використовується для оцінки змінної на основі знання двох чи більше інших змінних. Всі обчислювальні процедури використовуються для опису лінійних, а не криволінійних зв`язків.

Нехай маємо результати відбірних випробувань з попереднього найму на роботу та оцінці праці після шести місяців роботи для кожної групи операторів банків (див. табл.1.1).

Основна мета регресійного аналізу міститься в оцінці величини однієї змінної, якщо величина принаймні ще однієї змінної відома. Для даних табл.1.1 величини яких змінних  було б найбільш бажаним для оцінки, тобто передбаченням яких величин нам слід цікавитися? Оцінка праці операторів.

Таблиця 1.1. – Результати відбірних випробувань та оцінка праці операторів банків

Продовження табл. 1.1

Незалежною змінною в регресійному аналізі називається величина, яка використовується  в якості основи для оцінки величини іншої змінної. Незалежною змінною є результат відбірного випробування.

З іншого боку , залежною змінною є та величина, яка оцінюється. Залежна змінна є оцінкою праці.

Звичайний регресійний аналіз включає оцінку змінної на основі знання величини іншої змінної, тоді як багатофакторний регресійний аналіз припускає оцінку змінної на основі знання величин двох або більше змінних. Отже, регресійний аналіз для даних табл.1.1 є звичайним регресійним аналізом.

Для звичайного регресійного аналізу величини незалежної та залежної змінних можна уявити на двокоординованому графіку. Зазвичай, на горизонтальній осі, або осі Х , відкладається незалежна, а на вертикальній осі, або осі У, залежна змінна.

На незаповнений графік, зображений нижче, нанесемо дані, використовуючи змінні табл. 1.1.

Таким чином,  горизонтальна вісь, або вісь Х, завжди позначає величини незалежної змінної, а вертикальна вісь, або вісь У, зажди позначає величини залежної змінної.

На графіку нанесіть точку, яка вказувала б  результат окремого випробування, який дорівнює 85, та праці, яка дорівнює 16.

Рисунок 1.1 – Методика переносу на графік

Таким чином, кожна точка на графіку зображує пару величин: одну – для незалежної змінної та одну – для залежної змінної.

На рис.1.2 зображені графічно всі пари величин, розміщених в табл.1.1. Графік, який містить усі зв`язані величини незалежної та залежної змінних, називається діаграмою розсіяння.

Рисунок 1.2 – Розміщення точок на графіку згідно з табл.1.1

Побудова діаграми розсіювання зазвичай є першим етапом регресійного аналізу, тому що діаграма наочно показує характер зв`язку між незалежною та залежною змінними.

Побудова діаграми розсіювання дає наочну уяву  про форму та зв`язки між даними двох змінних. Зв`язок може бути лінійним, тобто  у вигляді прямої лінії, або нелінійним. Наприклад, діаграма розсіювання зображає зв`язок, який, по суті, є лінійним.

Для оцінки величини змінної Y на основі змінної Х необхідно визначити положення лінії, яка щонайкраще зображує зв`язок між X та Y, показану положенням точок на діаграмі розсіювання. Цю лінію потім можна використати  для оцінки величини змінної Y для будь-якої заданої величини змінної Х.

Лінія, що проходить через точки діаграми розсіювання, називається лінією регресії. Одним зі способів побудови лінії регресії, що базується на візуальному розгляді діаграми, є спосіб побудови «від руки». Користуючись ним, побудуйте найбільш підходящу пряму через точки на рис.1.3.

Рисунок 1.3 – Лінія регресії на діаграмі розсіювання

Залежно від статистичного критерію, що застосовується, за даними діаграми розсіювання можна вважати найбільш підходящими декілька різних прямих. При знаходженні рівняння прямої лінії частіше застосовують критерій найменших квадратів. Згідно з цим критерієм, найбільш підходящою є лінія, для якої сума усіх квадратів різностей між величинами, які оцінюються та дійсними величинами залежної змінної, мінімальна. Критерій найменших квадратів також служить основою для знаходження величини середньої арифметичної для ряду вимірів. Таким чином, існує безпосередній зв`язок між середньою арифметичною та лінією регресії, яка задовольняє критерій найменших квадратів. Лінія регресії, що пов`язує дві змінні, може розумітися як «середня» лінія в тому значенні, що вона зображує взаємозв`язок між X та Y для усіх можливих величин цих змінних.

Загальний вид рівняння лінії регресії, яким ми будемо оперувати, = а + bX, де - величина залежної змінної, яка оцінюється або обчислюється, а Х – відома величина незалежної змінної.

Дві константи (a і b) в регресійному рівнянні = а + bX  також мають особливе значення: a вказує на величину Y при Х = 0. Отже, для регресійного рівняння = 5 + 2Х лінія регресії перетинає вісь Y в точці, де Y = 5, при Х = 0;

b вказує нахил лінії регресії для = a + bX. Регресійне рівняння = 5 + 2X  позначає, що при збільшенні Х на одиницю Y збільшується на дві одиниці.

На наведеному графіку (див. рис.1.4) проведіть лінію регресії, зображену рівнянням = 5 + 2X.

Рисунок 1.4 – Лінія регресії, визначена залежністю = a + bX

Таким чином, для = a + bX, Y – величина Y, що оцінюється, а вказує величину Y при Х = 0; b – швидкість зміни Y в залежності від Х, а Х – відома величина незалежної змінної.

Якщо точки діаграми розсіювання трохи розкидані і не всі точно лежать на одній прямій, неможливо уникнути помилки, чи розбіжності, в оцінці величин Y, яка ґрунтується на лінійному рівнянні регресії.

Наприклад, лінія регресії, що представлена на графіку 1.5, описується рівнянням = 2 + X. Однак більша частина точок на діаграмі розсіювання не лежить точно на цій прямій, що вказує на відмінність  дійсних значень Y для цих точок від оцінюваних величин.

Рисунок 1.5 – Відхилення частини значень Х від лінії регресії

Один з критеріїв, які ми могли б застосувати для знаходження положення найбільш підходящої лінії на діаграмі розсіювання, ґрунтується на виборі лінії, для якої сума абсолютних величин розбіжності (помилок) між величинами, які оцінюються, та дійсними величинами залежної змінної, мінімальна. Цей критерій виражається у вигляді = min.

Однак частіше при знаходженні положення лінії регресії застосовують критерій найменших квадратів. Цей критерій виражається у вигляді 2 = min.

Таким чином, точний критерій, який зазвичай служить підґрунтям для знаходження положення лінії регресії, є в той же час критерієм, що лежить в основі обчислення середньої арифметичної.

Отже, лінію регресії, підраховану за допомогою методу найменших квадратів, можна розуміти як деякий вид середньої лінії, що проходить через точки діаграми розсіювання. Положенням цієї лінії мінімізується сума квадратів розходження між величинами, які оцінюються, та дійсними величинами змінної Y.

За допомогою рівняння прямої = a + bX можна задовольнити вимогу методу найменших квадратів, користуючись такими формулами для знаходження b та a в цьому рівнянні:

b =;

a =- b.

Для знаходження b значення n відноситься до кількості пар вимірів незалежної та залежної змінної. Наприклад, для спрощення даних табл.1.2 приймемо n =5.

Таблиця 1.2 – Дані для розрахунку

У якості кроку до знаходження величини b у рівнянні лінії регресії для даних табл.1.2 виконуються наступні обчислення (див. табл.1.3).

Таблиця 1.3 - Розрахунок значень XY та X2

Тепер підставимо відповідні величини в наступні рівняння та знайдемо b:

b = − .

Розв`яжемо рівняння для a: 

a= - b= 8 – 1,5(2) = 5.

Таким чином, згідно з формулою лінії регресії = a + bX, найбільш підходяща пряма для даних табл. 1.3 при застосуванні критерію найменших квадратів зображується рівнянням = 5 + 1,5Х.

На графіку 1.6 наносимо точки розсіювання.

Рисунок 1.6 – Точки розсіювання на осі прямокутних координат

Проведемо лінію регресії, зображену рівнянням = 5 + 1,5Х (рис. 1.7).

Рисунок 1.7 – Лінія регресії на діаграмі розсіювання

Тоді як положення точок розсіювання по відношенню до осі У вказує дійсні величини залежної змінної , лінія регресії вказує величини залежної змінної, які оцінюються на основі регресивного рівняння. Для кожної з п`яти величин Х, наведених в табл.1.2, обчислюємо величину, яка оцінюється, залежної змінної У за допомогою рівняння = 5 + 1,5Х (табл.1.4).

Таблиця 1.4 - Розрахунок значення

Факт неспівпадання всіх точок розсіювання з положенням лінії регресії вказує на існування деякої розбіжності між дійсними величинами та величинами, що оцінюються, залежної змінної. В таблиці 1.4 ця розбіжність вказується різницею величин колонки y та колонки .

За даними таблиці 1.4 можна обчислити суму квадратів помилок рівняння .

Не може будь-яка інша лінія регресії дати меншу суму квадратів розбіжностей величинами, які оцінюються, та дійсними величинами залежної змінної Y .

Таким чином, для даних табл.1.2 рівняння = 5 + 1,5Х та лінія регресії, яка його зображує, задовольняє критерій найменших квадратів.

Зазвичай набираємо більше пар дискретних вимірювань незалежної та залежної змінних, ніж п`ять, зображених у табл.1.2, але вид розв`язку для пошуку рівняння регресії ідентичний щойно завершеному. В якості ще одного спрощеного прикладу завершимо наступну таблицю 1.5, як перший крок до знаходження рівняння регресії для наступних величин.

Таблиця 1.5 – Дані умовної задачі