Решение диффиренциальных уровнений в системе MathCad
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
«АМУРСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВПО «АмГПГУ»)
Факультет информационных технологий математики и физики
Буланов Андрей Юрьевич
Реализация графиков в среде Mathcad
Специальность: 050201 «Математика»
Курсовая работа
По информатики
Комсомольск-на-Амуре, 2011
Работа выполнена на кафедре
информатики федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального
Научный руководитель: Петров Ю.А.
Защита курсовой работы состоится: « 20 » декабря 2011 г. в 11ч. 00 мин., в аудитории «146»
Оценка ___________________ __________________________
(подпись руководителя)
1.Введение
“Теоретическая механика” – фундаментальная естественнонаучная дисциплина, лежащая в основе современной техники. На материале теоретической механики базируются такие общетехнические дисциплины, как «Прикладная механика», «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин», «Детали машин», «Строительная механика», «Гидравлика», «Теория упругости и пластичности», «Гидродинамика и аэродинамика», «Теория колебаний», «Теория управления движением», «Мехатроника», «Робототехника».[1] Сюда следует отнести и большое число специальных инженерных дисциплин, предметом которых служат: динамика и управление машинами и транспортными системами, методы расчёта, сооружения и эксплуатации высотных зданий, мостов, тоннелей, плотин, гидромелиоративных сооружений, трубопроводного транспорта.
Изучение теоретической
механики весьма способствует формированию
системы фундаментальных
Целью теоретической механики
является изучение тех общих законов,
которым подчиняются движение и
равновесие материальных тел и возникающие
при этом взаимодействия между телами.
На данной основе становится возможным
построение и исследование механико-математических
моделей, адекватно описывающих
разнообразные механические явления.
При изучении теоретической механики
вырабатываются навыки практического
использования методов, предназначенных
для математического
Глава I.
В историческом процессе развития средств и технологий передачи знаний от поколения к поколению можно выделить три революционных события: возникновение письменности, изобретение книгопечатания и глобальное внедрение компьютерных информационных технологий. Мы являемся очевидцами и участниками последнего события.
Любые преобразования, как правило, сопровождаются кризисами различной глубины и различной степени болезненности выхода из них. Если говорить о компьютерных информационных технологиях, то в этой области сегодня наблюдается кризис, который условно называют «кошмаром унаследованного программного обеспечения».
Представим себе некую
фирму, корпорацию или университет,
которые за 30 – 40 лет интенсивного
использования компьютеров
Историю использования компьютеров
для научно-технических
- работа с машинными кодами;
- программирование на языках высокого уровня;
- использование математических пакетов
Cамым ярким представителем которых является Mathcad — "герой" этой серии книг.
Четких границ между перечисленными этапами (информационными технологиями) не существует. Работая в среде Mathcad можно при необходимости вставить в расчет электронную таблицу или собственные функции, написанные на языке C, в код которых вкраплены фрагменты ассемблера. Здесь скорее следует говорить не об изолированных этапах развития компьютерных средств решения инженерных и научно-технических задач, а о расширении и переплетении спектра инструментальных средств, о некой тенденции, которая, в частности, привела к резкому сокращению времени создания и реализации на компьютере расчетных методик и математических моделей, к исключению программиста как дополнительного и часто, пардон, "бестолкового" звена между исследователем и компьютером, к повышению открытости самих расчетов, к возможности видеть не только результат, но и все формулы в традиционном их написании, а также все промежуточные данные, подкрепленные графиками и диаграммами.
Языки программирования не терпят «дилетантства» со стороны исследователя. Из-за трудности в освоении языков программирования многие специалисты в конкретных областях знания (физика, химия, биология, машиностроение и т.д.), а также студенты и школьники не могли эффективно использовать компьютер. Программирование требует от человека максимальной отдачи, что часто влечет за собой частичную потерю квалификации в основной специальности, «подсаживание на иглу» программирования. Математические пакеты, а в первую очередь Mathcad создавались как средство, альтернативное традиционным языкам программирования. Многолетний опыт использования пакета Mathcad, показывает, что он не вызывает у человека такого «болезненного привыкания». Можно не работать с Mathcad полгода, год, но основные навыки общения с этой программой не утрачиваются и, если потребуется, то возникшая задача тут же будет быстро и качественно решена без привлечения сторонних программистов.[8]
Одна из главных причина популярности Mathcad состоит в том, что он имеет очень низкий «порог вхождения». А с появлением русской версии, описываемой в этой книге, этот «порог» станет еще ниже. Школьник, студент, аспирант, инженер или научный работник при необходимости может поставить на свой компьютер пакет Mathcad и уже через несколько часов успешно решать с его помощью довольно сложные задачи. При условии, конечно, если этот человек знаком с азами компьютерной грамотности – умеет, например, вводить тексты в компьютер, хранить их на диске и т.д. Другие же математические программы требуют специальных знаний, которые приобретаются далеко не за «несколько часов». Mathcad также требует от пользователя «специальных знаний». Но эти знания плавно приобретаются пользователем по мере углубления в «недра» пакета и изучения методов решения возникающих специальных задач: решение уравнений и систем уравнений (алгебраических – см. главу 3, дифференциальных – глава 6 и др.), построение графиков (§ 1.7), разбор статических задач (глава 5) и многое другое. При необходимости пакет Mathcad можно дополнить специальными приложениями, расширяющими его возможности и позволяющими решать специальные задачи. Пример –программа WaterSteamPro, подключающая к Mathcad функции по теплофизическим свойствам теплоносителей и рабочих тел энергетики. Функциями из этого пакета иллюстрируются некоторые задачи книги.
Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.[9]
Среди возможностей Mathcad можно выделить:
- Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами
- Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)
- Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте
- Выполнение вычислений в символьном режиме
- Выполнение операций с векторами и матрицами
- Символьное решение систем уравнений
- Аппроксимация кривых
- Выполнение подпрограмм
- Поиск корней многочленов и функций
- Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей
- Поиск собственных чисел и векторов
- Вычисления с единицами измерения
- Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров
С помощью Mathcad инженеры могут документировать все вычисления в процессе их проведения.
Назначение
Mathcad относится к системам компьютерной алгебры, то есть средств автоматизации математических расчетов. В этом классе программного обеспечения существует много аналогов различной направленности и принципа построения. Наиболее часто Mathcad сравнивают с такими программными комплексами, как Maple, Mathematica, MATLAB, а также с их аналогами MuPAD, Scilab, Maxima и др. Впрочем, объективное сравнение осложняется в связи с разным назначением программ и идеологией их использования.
Система Maple, например, предназначена главным образом для выполнения аналитических (символьных) вычислений и имеет для этого один из самых мощных в своем классе арсенал специализированных процедур и функций (более 3000). Такая комплектация для большинства пользователей, которые сталкиваются с необходимостью выполнения математических расчетов среднего уровня сложности, является избыточным. Возможности Maple ориентированы на пользователей — профессиональных математиков; решения задач в среде Maple требует не только умения оперировать какой-либо функции, но и знания методов решения, в нее заложенных: во многих встроенных функциях Maple фигурирует аргумент, задающий метод решения.
Тоже самое можно сказать и о Mathematica. Это одна из самых мощных систем, имеет чрезвычайно большую функциональную наполненность (есть даже синтезирование звука). Mathematica обладает высокой скоростью вычислений, но требует изучения довольно необычного языка программирования.
Разработчики Mathcad сделали ставку на расширение системы в соответствии с потребностями пользователя. Для этого назначены дополнительные библиотеки и пакеты расширения, которые можно приобрести отдельно и которые имеют дополнительные функции, встраиваемые в систему при установке, а также электронные книги с описанием методов решения специфических задач, с примерами действующих алгоритмов и документов, которые можно использовать непосредственно в собственных расчетах. Кроме того, в случае необходимости и при условии наличия навыков программирования в C, есть возможность создания собственных функций и их прикрепления к ядру системы через механизм DLL.
Mathcad, в отличие от Maple, изначально создавался для численного решения математических задач, он ориентирован на решение задач именно прикладной, а не теоретической математики, когда нужно получить результат без углубления в математическую суть задачи. Впрочем, для тех, кому нужны символьные вычисления и предназначено интегрированное ядро Maple (с версии 14 — MuPAD). Особенно это полезно, когда речь идет о создании документов образовательного назначения, когда необходимо продемонстрировать построение математической модели, исходя из физической картины процесса или явления. Символьное ядро Mathcad, в отличие от оригинального Maple (MuPAD) искусственно ограничено (доступно около 300 функций), но этого в большинстве случаев вполне достаточно для решения задач инженерного характера.
Более того, опытные пользователи Mathcad обнаружили, что в версиях до 13 включительно есть возможность не слишком сложным способом задействовать почти весь функциональный арсенал ядра Maple (так называемые «недокументированные возможности»), что приближает вычислительную мощность Mathcad к Maple
Интерфейс
Основное отличие Mathcad от аналогичных программ — это графический, а не текстовый режим ввода выражений. Для набора команд, функций, формул можно использовать как клавиатуру, так и кнопки на многочисленных специальных панелях инструментов. В любом случае — формулы будут иметь привычный, аналогичный книжному, вид. То есть особой подготовки для набора формул не нужно. Вычисления с введенными формулами осуществляются по желанию пользователя или мгновенно, одновременно с набором, либо по команде. Обычные формулы вычисляются слева направо и сверху вниз (подобно чтению текста). Любые переменные, формулы, параметры можно изменять, наблюдая воочию соответствующие изменения результата. Это дает возможность организации действительности интерактивных вычислительных документов.
В других программах (Maple, MuPAD, Mathematica) вычисления осуществляются в режиме программного интерпретатора, который трансформирует в формулы введенные в виде текста команды. Maple своим интерфейсом ориентирован на тех пользователей, кто уже имеет навыки программирования в среде традиционных языков с введением сложных формул в текстовом режиме. Для пользования Mathcad можно вообще не быть знакомым с программированием в том или ином виде.
Mathcad задумывался как средство программирования без программирования, но, если возникает такая потребность — Mathcad имеет довольно простые для усвоения инструменты программирования, позволяющие, впрочем, строить весьма сложные алгоритмы, к чему прибегают, когда встроенных средств решения задачи не хватает, а также когда необходимо выполнять серийные расчеты.
Отдельно следует отметить возможность использования в расчетах Mathcad величин с размерностями, причем можно выбрать систему единиц: СИ, СГС, МКС, английскую или построить собственную. Результаты вычислений, разумеется, также получают соответствующую размерность. Польза от такой возможности трудно переоценить, поскольку значительно упрощается отслеживание ошибок в расчетах, особенно в физических и инженерных.
Графика
В среде Mathcad фактически нет графиков функций в математическом понимании термина, а есть визуализация данных, находящихся в векторах и матрицах (то есть осуществляется построение как линий так и поверхностей по точкам с интерполяцией), хотя пользователь может об этом и не знать, поскольку у него есть возможность использования непосредственно функций одной или двух переменных для построения графиков или поверхностей соответственно. Так или иначе, механизм визуализации Mathcad значительно уступает таковому у Maple, где достаточно иметь только вид функции, чтобы построить график или поверхность любого уровня сложности. По сравнению с Maple, графика Mathcad имеет еще такие недостатки, как: невозможность построения поверхностей, заданных параметрически, с непрямоугольной областью определения двух параметров; создание и форматирование графиков только через меню, что ограничивает возможности программного управления параметрами графики.
Однако следует помнить об основной области применения Mathcad — для задач инженерного характера и создание учебных интерактивных документов, возможностей визуализации вполне достаточно. Опытные пользователи Mathcad демонстрируют возможность визуализации сложнейших математических конструкций, но объективно это уже выходит за рамки назначения пакета.[10]
Расширение функциональности
Возможно дополнение Mathcad новыми возможностями с помощью специализированных пакетов расширений и библиотек, которые пополняют систему дополнительными функциями и константами для решения специализированных задач:
Пакет для анализа данных (англ. Data Analysis Extension Pack) — обеспечивает Mathcad необходимыми инструментами для анализа данных.
Пакет для обработки сигналов (англ. Signal Processing Extension Pack) — содержит более 70 встроенных функций для аналоговой и цифровой обработки сигналов, анализа и представления результатов в графическом виде.
Пакет для обработки изображений (англ. Image Processing Extension Pack) — обеспечивает Mathcad необходимыми инструментами для обработки изображений, анализа и визуализации.
Пакет для работы с функциями волнового преобразования (англ. Wavelets Extension Pack) — содержит большой набор дополнительных вейвлет-функций, которые можно добавить в библиотеку встроенных функций базового модуля Mathcad Professional. Пакет предоставляет возможность применить новый подход к анализу сигналов и изображений, статистической оценки сигналов, анализа сжатия данных, а также специальных численных методов. Функциональность включает одно- и двухмерные вейвлеты, дискретные вейвлет-преобразования, мультианализ разрешения и многое другое. Пакет объединяет более 60 функций ключевых вейвлетов. Включены ортогональные и биортогональные семейства вейвлетов, среди прочего — вейвлет Хаара, вейвлет Добеши, симлет, койфлет и B-сплайны. Пакет также содержит обширную диалоговую документацию по основным принципам вейвлетов, приложения, примеры и таблицы ссылок.
Библиотека строительства (англ. Civil Engineering Library) — включает справочник англ. Roark's Formulas for Stress and Strain (Формулы Роарка для расчета напряжений и деформаций), настраиваемые шаблоны для строительного проектирования и примеры тепловых расчётов.
Электротехническая библиотека (англ. Electrical Engineering Library ) — содержит стандартные вычислительные процедуры, формулы и справочные таблицы, используемые в электротехнике. Текстовые пояснения и примеры облегчают работу с библиотекой — каждый заголовок имеет гиперссылку на оглавление и указатель, и его можно найти в системе поиска.
Библиотека машиностроения (англ. Mechanical Engineering Library) — включает справочник англ. Roark's Formulas for Stress and Strain (Формулы Роарка для расчета напряжений и деформаций), содержащий более пяти тысяч формул, вычислительные процедуры из справочника McGraw-Hill и метод конечных элементов. Текстовые пояснения, поисковая система и примеры облегчают работу.
Для автоматизации математических,
инженерно-технических и
К таким комплексам относятся пакеты программ Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive и др. Mathcad занимает в этом ряду особое положение.
Mathcad является интегрированной системой решения математических, инженерно-технических и научных задач. Он содержит текстовый и формульный редактор, вычислитель, средства научной и деловой графики, а также огромную базу справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в виде встроенного в Mathcad справочника, комплекта электронных книг и обычных «бумажных» книг, в том числе и на русском языке.
Текстовый редактор служит для ввода и редактирования текстов. Тексты являются комментариями, и входящие в них математические выражения не выполняются. Текст может состоять из слов, математических символов, выражений и формул.
Формульный процессор обеспечивает естественный «многоэтажный» набор формул в привычной математической нотации (деление, умножение, квадратный корень, интеграл, сумма и т.д.). Последняя версия Mathcad полностью поддерживает буквы кириллицы в комментариях, формулах и на графиках.
Вычислитель обеспечивает вычисление
по сложным математическим формулам,
имеет большой набор встроенных
математических функций, позволяет
вычислять ряды, суммы, произведения,
интегралы, производные, работать с
комплексными числами, решать линейные
и нелинейные уравнения, а также
дифференциальные уравнения и системы,
проводить минимизацию и
В Mathcad встроены средства символьной математики, позволяющие решать задачи через компьютерные аналитические преобразования.
Графический процессор служит для создания графиков и диаграмм. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями средств деловой и научной графики. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение вида и размера графиков, наложение на них текстовых надписей и перемещение их в любое место документа.
Mathcad является универсальной системой, т.е. может использоваться в любой области науки и техники – везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе Mathcad на языке, очень близком к стандартному языку математических расчётов, упрощает постановку и решение задач.Mathcad интегрирован со всеми другими компьютерными системами счёта.Mathcad позволяет легко решать такие задачи как:ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчётов или создания документов, презентаций, Web-страниц или электронных и обычных «бумажных» книг);проведение математических расчётов (как аналитических, так и при помощи численных методов);подготовка графиков (как двумерных, так и трёхмерных) с результатами расчётов;ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;
подготовка отчетов работы в виде печатных документов;
подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;
получение различной справочной информации.
Переменные и константы
Эта глава описывает допустимые имена переменных и функций Mathcad, предопределенные переменные подобные , а также представления чисел.
Mathcad оперирует комплексными числами так же легко, как и вещественными. Переменные Mathcad могут принимать комплексные значения, и большинство встроеннных функций определено для комплексных аргументов. В настоящей главе описывается использование комплексных чисел в Mathcad.[11]
Векторы и матрицы
Эта глава описывает массивы в Mathcad. В то время как обычные переменные (скаляры) хранят одиночное значение, массивы хранят много значений. Как обычно принято в линейной алгебре, массивы, имеющие только один столбец, будут часто называться векторами, все прочие — матрицами.
Дискретные аргументы
Дискретный аргумент — переменная, которая принимает ряд значений при каждом её использовании. Дискретные аргументы значительно расширяют возможности Mathcad, позволяя выполнять многократные вычисления или циклы с повторяющимися вычислениями.
Эта глава описывает дискретные аргументы и показывает, как использовать их, чтобы выполнять итерационные вычисления, отображать таблицы чисел и облегчать ввод многих числовых значений в таблицу.
Операторы
В Mathcad используются обычные операторы, подобные + и /, а также операторы, определенные для матриц, например, операторы транспонирования и нахождения детерминанта, и специальные операторы типа вычисления интегралов и производных.
Эта глава содержит список операторов Mathcad и описывает, как вводить и использовать специальные операторы.
Встроенные функции
В этой главе перечислены и описаны многие из встроенных функций Mathcad. Статистические функции Mathcad описаны в Главе “Статистические функции”. Функции, используемые для работы с векторами и матрицами, описаны в Главе “Векторы и матрицы”.
Статистические функции
В данной главе приводится перечень, и дается описание встроенных функций пакета Mathcad. Эти функции выполняют широкий спектр вычислительных заданий, включая статистический анализ, интерполяцию и регрессионный анализ.
Программирование
Mathcad PLUS позволяет писать программы. Программа в Mathcad есть выражение, в свою очередь, состоящее из других выражений. Программы Mathcad содержат конструкции, во многом подобные программным конструкциям языков программирования: условные передачи управления, операторы циклов, области видимости переменных, использование подпрограмм и рекурсии.
Написание программ в Mathcad позволяет решить такие задачи, которые невозможно или очень трудно решить другим способом.
Решение уравнений
Настоящая глава описывает, как при помощи Mathcad решать уравнения и системы уравнений. Можно решать как одно уравнение с одним неизвестным, так и системы уравнений с несколькими неизвестными. Максимальное число уравнений и неизвестных в системе равно пятидесяти.
Решение дифференциальных уравнений
Эта глава описывает, как при помощи Mathcad решать вещественнозначные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных. Mathcad содержит широкий набор функций для решения дифференциальных уравнений. Некоторые из этих функций используют специфические свойства конкретного дифференциального уравнения, чтобы обеспечить достаточное быстродействие и точность при поиске решения. Другие полезны, когда требуется не просто получить решение дифференциального уравнения, но и построить график искомого решения.
Файлы данных
Mathcad читает и записывает файлы данных — файлы ASCII, содержащие числовые данные. Читая файлы данных, можно брать данные из различных источников и анализировать их в Mathcad. Записывая файлы данных, можно экспортировать результаты Mathcad в текстовые процессоры, электронные таблицы и другие прикладные программы.
Mathcad включает два набора функций для чтения и записи данных. READ, WRITE и APPEND читают или записывают одно числовое значение за раз. READPRN, WRITEPRN и APPENDPRN считывают целую матрицу из файла
Графики
Графики в Mathcad являются и универсальными, и легкими в использовании. Чтобы создать график, щёлкните в месте, где нужно вставить график, выберите Декартов график из меню Графика и заполните пустые поля. Можно всячески форматировать графики, изменяя вид осей и начертания кривых и испольуя различные метки.
Полярные графики
В ряде случаев при построении графиков удобнее пользоваться полярными, а не декартовыми координатами. Mathcad позволяет строить полярные графики.
Графики поверхностей
В рабочие документы Mathcad можно включать наряду с двумерными и трехмерные графики. В отличие от двумерных графиков, которые используют дискретные аргументы и функции, трехмерные графики требуют матрицы значений. Эта глава показывает, как можно матрицу представить в виде поверхности в трехмерном пространстве.
В данной главе рассматривается создание, использование и форматирование поверхностей в трехмерном пространстве. В последующих главах описывается, как работать с другими типами графиков.
Карты линий уровня
Описанные в настоящей
главе графики позволяют