Решение дробно-рациональных уравнений

Федеральное агентство по образованию РФ

 Государственное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования

 «Воронежский  государственный педагогический  университет»

 

 

 

Кафедра информатики и методики преподавания математики

 

 КУРСОВАЯ РАБОТА НА  ТЕМУ:

Решение дробно-рациональных уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                             Выполнил:

                                                студентка  физико-математического

                                                             факультета,3 курса, 

                                                             группы математика-информатика

                                 Забалуева Елена Сергеевна

                                               

                                      Руководитель: доцент кафедры

                              информатики и методики

                                преподавания математики,

                                         Титоренко Светлана Алексеевна

                  

 

 

 

Воронеж, 2012г.

Содержание

Введение 3

Основные понятия темы 3

Теоремы о равносильных уравнениях 4

Теорема 1. 4

Теорема 2. 6

Теорема 3. 6

Теорема 4. 7

Теорема 5. 8

Методы решения дробно-рациональных уравнений 9

1. Решение дробно-рациональных уравнений с помощью алгоритма 9

2.Условие равенства дроби нулю при решении дробно-рациональных уравнения 12

3.Сведение дробно-рациональных уравнений к совокупности уравнений 12

4.Метод замены (введения новой переменной ) 14

Анализ школьных учебников  алгебры по теме дробно – рациональные уравнения 16

Заключение 28

Литература 29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

      Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения, и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач, в предметах естественнонаучного цикла. В курсе алгебры основной школы большое внимание уделяется рациональным уравнениям, и только небольшая часть этой темы отводится на изучение дробно-рациональных уравнений. Методы решений таких уравнений в общеобразовательных классах представлены недостаточно полно.  Основная цель данной курсовой работы  состоит в систематизации и углублении  знаний по методам решения дробно-рациональных уравнений. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

  • Проанализировать учебно-методическую литературу по теме исследования;
  • Выявить методы решения дробно-рациональных уравнений;
  • Подобрать комплексы упражнений на каждый из методов;
  • Выявить достоинства и недостатки изложения теоретического и практического материала в школьных учебниках алгебры.

 Предметом данной курсовой работы являются рациональные уравнения, объектом исследования являются дробно-рациональные уравнения.

Основные понятия темы

 

Под уравнением будем понимать равенство двух выражений с одной или несколькими переменными.

Решением уравнения называется  значение  переменной,  обращающее его в истинное числовое равенство.

Число а называется  корнем(1) уравнения ,если при подстановке его вместо в уравнение получаем верное числовое равенство .

Разложить многочлен  на множители - это, значит, представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.

 

Областью определения уравнения[1] называется множество всех таких значений переменной х при которых определены оба выражения равенства (область определения – пересечение областей определения двух  выражений).

Уравнение  вида    =0   (v), где H(x) и Q(x)-многочлены, называются  дробно-рациональными. [1]

Два уравнения называются равносильными (эквивалентными на множестве D), если они имеют одни и те же решения, которые принадлежат множеству D.

Если каждый корень уравнения f(x)=0 принадлежит множеству D, является корнем  другого уравнения g(x)=0, то второе уравнение является следствием первого уравнения на множестве D.

Системой уравнений [3] с неизвестными называется множество, содержащее уравнений:

 

где правые и левые части всех уравнений  являются функциями, которые рассматриваются  совместно в общей части их областей определения.

Решением системы называется система чисел удовлетворяющая каждому ее уравнению.

Несколько уравнений  называются совокупностью, если ставится задача об отыскании всех таких значений переменной, каждое из которых является решением хотя бы  одного из данных уравнений.

Решением совокупности является  объединением множества корней уравнений составляющих совокупность.

Теоремы о равносильных уравнениях

Процесс решения уравнения состоит в  последовательной замене данного уравнения  другим, более простым уравнением. Возникает вопрос о законности такой  замены. Всегда ли получается уравнение  с тем же множеством решений?

Ответ на этот вопрос дает теория равносильности уравнений.

Теорема 1.

Если  в уравнении c областью определения D, выполнить тождественное преобразование  выражений не изменяющей области определения данного уравнения, то  полученное уравнение будет   равносильно данному на множестве D.

  равносильное  данному на множестве D.[3]

 

 

При решении  уравнений необходимо следить за изменением множества допустимых значений неизвестного. В случае расширения его следует проверять, не является ли найденное решение посторонним  для данного уравнения. В случае сужения необходимо убедиться, не являются ли выпавшие значения неизвестных решениями данного уравнения. Задача нахождения потерянных решений не всегда легко выполнима, поэтому желательно избегать тождественных преобразований, ведущих к сужению множества допустимых значений неизвестных уравнения.

 

Пример 1: Равносильны ли уравнения в поле действительных чисел?[2]

                      и .

 Область допустимых значений первого уравнения:

.

Область допустимых значений второго уравнения - множество  всех действительных чисел:.

Произошло расширение области допустимых значений первого  уравнения, поэтому возможно появление посторонних корней.

Первое уравнение  не имеет корней, так как . Второе уравнение имеет корень: .

При расширении области допустимых значений появился посторонний корень . Уравнения не будут равносильными.

Ответ: неравносильны.

 

Пример 2: Равносильны ли уравнения в поле действительных чисел?

  (1)   и  

Область допустимых значений первого уравнения:

.

Область допустимых значений второго уравнения - множество  всех действительных

чисел:.

Область допустимых значений уравнения (1) расширилась, значит возможно

появление посторонних  корней. Проверим это.

Первое уравнение  имеет корень: x = 3.

Второе уравнение  имеет корень: x = 3.

Посторонние корни не появились - уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

Пример 3: Равносильны ли уравнения в поле действительных чисел?[4]

  (1)    и

Область допустимых значений первого уравнения:

.; .

Область допустимых значений второго уравнения - множество  всех действительных чисел:.

Область допустимых значений уравнения (1) расширилась - возможно появление посторонних корней. Первое уравнение имеет один корень:

 . Второе уравнение имеет два корня: .

Появился  посторонний корень.

Ответ: не равносильны.

Теорема 2.

Если к  обеим частям  уравнения с областью определения D  прибавить (вычесть) одно и тоже  выражение имеющее смысл при , то полученное уравнение [3]

 равносильно  данному на множестве D.

Следствие: уравнение  и   - равносильны на множестве D.

Пример 1: (2)Дано уравнениекоторое имеет только один корень 

а) прибавим к обеим частям уравнения  функцию  ,

теряющую смысл при

Получим уравнение , не равносильное  данному, так как .

б) Прибавим к обеим частям уравнения  функцию  ,

теряющую смысл при x = 2. Получим уравнение

равносильное данному, так как оно тоже имеет только один корень x = 5.

 

 Пример 2: Равносильны ли уравнения в поле действительных чисел?

Дано уравнение x (x −1) = 0;

Областью допустимых значений неизвестного является множество всех действительных чисел .

Уравнение имеет два корня: = 0 и =1.

Прибавим к обеим частям данного  уравнения функцию ω (x) = lg x, область определения которой .

Получим уравнение , не равносильное данному, так как x = 0 не является его корнем.

Теорема 3.

Если  обе  части  уравнения  с областью определения D  умножить (разделить) одно и тоже  выражение (имеющее смысл при ; то полученное уравнение [3]

 равносильно  данному на множестве D.

 Следствие:

Если обе  части уравнения умножить (разделить)  на одно и тоже  число , то получится уравнение равносильное  данному.

Пример 1: [4] Дано уравнение , множеством допустимых значений x является множество всех действительных чисел . Уравнение имеет два корня: =1 и = −2.

а) Умножим  обе части данного уравнения  на ,

теряющую смысл приПолучим

 Получим  уравнение  , не равносильное данному,

так как оно  имеет только один корень  x = −2. Умножение обеих частей данного уравнения на привело к потере корня

б) Умножим  обе части данного уравнения  на ,  теряющую смысл при , равносильное данному, так как оно

имеет два  корня: =1 и = −2.

в) Умножим  обе части данного уравнения  на ω(x) = x − 3, обращающуюся в нуль при x = 3. Получим уравнение не равносильное данному, так как оно имеет три    корня:

 =1 =3.

Умножение обеих  частей данного уравнения на (x −3) привело к появлению

постороннего корня  =3.

Теорема 4.

Если обе части уравнения с  областью определения D,

Где возвести в одну и туже натуральную степень , то получится уравнение равносильное данному на множестве D.(3)

Замечание 1:

Если выполнится не из D  всех  из D, а для всех  из М, где М подмножество  D, то уравнения  и равносильны на множестве М.

Замечание 2:

При возведении  обеих частей уравнения   с областью определения D в  нечетную натуральную степень   всегда получается  уравнение  равносильное данному  на множестве D.

 Теорема 5.

 Уравнение c областью определения D равносильно на множестве совокупности уравнений:  на множестве D. [3]

Равносильны ли уравнения на множестве действительных чисел?

 

Пример 1: (2) 

Решение:

Функция положительна при всех x из области определения функции, если к тому же функция определена при значениях корней уравнения (1), тогда уравнения (1) и (2) равносильны. Если функция не определена при значении хотя бы одного из корней уравнения (1), тогда уравнения (1) и (2) не равносильны.

 

Пример 2:  

Решение:

Если k - нечетное число, тогда уравнения равносильны, если k - четное число, то, не равносильны, так как второе уравнение примет вид:

, т. е. распадается  на два уравнения. Только в том случае, если уравнение , по каким-то причинам не будет иметь корней, мы можем получить равносильные уравнения.

Ответ: при k нечетном - равносильны, при k четном - не равносильны.

 

Пример 3: [4] И      

 

Если тогда уравнения будут иметь одинаковые

области допустимых значений и будут равносильны.

Ответ: еслитогда уравнения равносильны.

 

Пример 4: Будут ли равносильны уравнения на множестве действительных чисел (1)

и  (2)

Решение:

 

Оно имеет  два корня:

Область допустимых значений второго уравнения находим  из решения системы неравенств:  

Область допустимых значений изменилась, поэтому возможна как потеря корней, так и появление посторонних корней.

Найдем решения  уравнения (2). Оно имеет только один корень:

Уравнения не равносильны.

Ответ: неравносильны.

 

Пример 5:[3] Равносильны ли уравнения на множестве действительных чисел?

 

Решение:

Областью  допустимых значений первого уравнения  является множество:

Оно имеет один корень .

Обе части  первого уравнения умножаются на функцию

 которая определена при всех значениях x из множества действительных чисел  и не обращается в нуль при x = 2 , которое является корнем  уравнения (1), поэтому уравнение (2) имеет один корень x = 2 . Уравнения (1) и (2) равносильны.

 

Пример 6:

Решение:

Областью  допустимых значений первого уравнения  является множество всех

действительных  чисел   . Оно имеет два корня: . К его обеим частям прибавляется функция , которая имеет область определения и теряет смысл при , который является корнем первого уравнения, а поэтому второе уравнение имеет только один корень x = 3, а значит уравнения не равносильны.

Ответ: не равносильны.

Методы решения дробно-рациональных уравнений

1. Решение дробно-рациональных  уравнений с помощью алгоритма

  1. Разложить  на множители  знаменатель дробей входящих в уравнение.
  2. Найти область определения данного уравнения.
  3. Упростить простейший общий знаменатель дробей.
  4. Привести данное уравнение к целому виду, умножив обе части на простейший общий знаменатель.
  5. Решить целое уравнение.
  6. Проверить принадлежность корней  целого уравнения  области определения данного уравнения.
  7. Записать ответ.[1]

№1.Решить уравнение [3] 

 

  1. =2(,

=

;

  1. D=;
  2. *2;
  3. ;
  4. 2;

,

,    =1;

  1. -11  ,   1;
  2. Ответ:.

 

№2.Решить уравнение

 

 Разложим на простые множители знаменатели дроби

 

Область определения уравнения:

Умножим обе части уравнения на общий  знаменатель:

;

 

Данное  уравнение имеет два корня  , .

Оба корня  удовлетворяют области определения  уравнения.

Ответ: корня  , .

 

№3.[4] Решите уравнение

 

 

 

 

Перепишем исходное уравнение:

 

 

Область определения  уравнения:

Общий знаменатель: 

Приведем  уравнение к целому виду:

 

Раскроем  скобки приведем к общему знаменателю:

 

Данное уравнение  имеет два корня:

, 3

Ответ:   

2.Условие равенства дроби нулю при решении дробно-рациональных уравнения

Дробно-рациональное  уравнение равно нулю тогда и  только тогда, когда числитель  равен  нулю, а знаменатель, при этом  не обращается  в ноль, то есть

.[1]

 

.

 уравнение к общему знаменателю 

, перейдем к равносильной системе,

 

Ответ:    .

3.Сведение дробно-рациональных  уравнений к совокупности уравнений

[1]

№1.[3]Решить уравнение

 

Перепишем исходное уравнение в виде

 

 

Группируя первый член с последним, а второй с третьим, перепишем уравнение в виде:

;

 

 Последнее  уравнение этой системы можно  переписать в виде

  перейдем к равносильной системе

 

Решением  этого уравнения есть ,

Ответ:

 

№2. [3]Решить уравнение

.

 

Разложим  трехчлен в знаменателе каждой дроби  на множители:

 

 

Приведем  дроби к общему знаменателю.

 

 

 

 

Решив уравнения, найдем

 

Решением  системы является

Ответ:

4.Метод замены (введения новой переменной )

Введения  новой переменной или метод введения нового неизвестного представлен схемой:

 f(g(x))=p(g(x));

g(x)=u1;   g(x)=u2;  g(x)=un , где u1,u2,un - корни уравнения f(u)=p(u) .

Введение  новой переменной позволяет разбить  задачу на подзадачи, то есть вместо одной  сложной решать несколько простых  уравнений.[1]

№1 .(1)Решить уравнение

  .

Обозначив через y, данное уравнение переписываем  в виде

  . Поскольку y=0 не есть решение данного уравнения, то это уравнение равносильно уравнению . Решения этого  уравнения  есть и . Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

 

 

 

 

Следовательно, решениями уравнения будут числа  ,

 .

Ответ:   , .

 

№2.Решить уравнение

 

Обозначим через y, тогда  уравнение примет вид данное уравнение равносильно системе

 

 

Следовательно, исходное уравнение равносильно  совокупности уравнений

 

 

Ответ:

Анализ школьных учебников  алгебры  по теме

дробно – рациональные уравнения

 

Элементы  государственного стандарта основного общего образования по математике (ГОС).[11]

Обязательный минимумом содержания основных  образовательных программ:

Алгебра

Уравнения и  неравенства. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на множители.

Требования к уровню подготовки выпускников

В результате изучения математики ученик должен

Знать /уметь 

  • существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;

Уметь

  • составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;
  • выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;
  • решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы.

 

Проведем анализ школьных учебников  по теме « Решение дробно-рациональных уравнений». Анализ проводится по 4 основным учебникам, наиболее часто встречаемым в школьной практике:

  • Алгебра, 8 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2006;
  • Алгебра, 8 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов) 2010;
  • Алгебра, 8 класс (Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.) 2010;
  • Алгебра, 8 класс (А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев) 2008.

Содержание материала  и порядок изложения:

Алгебра, 8 класс, Ю. Н. Макарычев[5]

Алгебра, 8 класс, А. Г. Мордкович[7]

Алгебра, 8 класс, Ш. А. Алимов[6]

Алгебра, 8 класс, С. М. Никольский[8]

  • Рациональные дроби
  • Квадратное корни
  • Квадратные уравнения
  • Неравенства
  • Степень с целым показателем
  • Алгебраические дроби
  • ФункцияСвойства квадратного корня
  • Квадратная функция. Функция
  • Квадратные уравнения
  • Элементы теории делимости
  • Алгебраические уравнения
  • Неравенства
  • Неравенства
  • Приближенные вычисления
  • Квадратные корни
  • Квадратные уравнения
  • Квадратичная функция
  • Квадратные неравенства
  • Простейшие функции. Квадратные корни
  • Квадратные и рациональные уравнения
  • Линейная и квадратичная функции
  • Системы рациональных уравнений

 

 


 

Содержание  рассмотренных выше учебников соответствует  содержанию образования и даже по некоторым вопросам превосходит  её.

Понятие дробно рациональных уравнений  в анализируемых учебниках [5,6,7,8]

  • в учебнике Ю. Н. Макарычева понятие дробно-рациональных уравнений выглядит так:

     Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются рациональными уравнениями. Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называются дробными.

  • в учебнике С. М. Никольского

    Уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х, называют рациональным уравнением с неизвестным х.       Добно - рациональные уравнения названы уравнениями, одна часть которого алгебраическая дробь, а другая - нуль. Такое уравнение имеет вид уравнения где и

  • в учебнике А. Г. Мордковича

Алгебраическое  выражение, составленное из чисел и  переменных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления возведения в  целую степень, называют рациональными. Если рациональное выражение, то уравнение называют рациональным уравнением.

  • в учебнике Ш. А. Алимова нет понятия дробно - рационального уравнения, вид дробно-рациональных уравнений назван уравнения сводящиеся к квадратным.

 

Методы решения дробно рациональных уравнений в анализируемых учебниках  [5,6,7,8]

 

 

  • в учебнике Ю. Н. Макарычева

Решение данного вида уравнений производится по строгому алгоритму:

  1.    найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2)    умножить обе части  уравнения на общий знаменатель;

3)    решить получившееся  целое уравнение;

4)    исключить из его  корней те, которые обращают в  нуль общий знаменатель.

 

  • в учебнике С. М. Никольского

 Уравнение заранее приведено  к неоднородному виду, затем все  уравнение приводится  к общему  знаменателю, затем решается уравнение  - числитель приравнивается к  нулю, полученные корни  подставляют в знаменатель дробно-рационального уравнения,  корни не должны обращать знаменатель в нуль,  следовательно, корнями уравнения будут являться те корни, которые не обращают знаменатель уравнения в нуль.

 

  • В учебнике А. Г. Мордковича
  • Уравнение приводится к неоднородному виду, затем все уравнение приводится  к общему знаменателю, затем решается уравнение - числитель приравнивается к нулю, полученные корни  подставляем в знаменатель дробно-рационального уравнения,  корни не должны обращать знаменатель в нуль,  следовательно, корнями уравнения будут являться те корни, которые не обращают знаменатель дробно-рационального уравнения в нуль;
  • Метод замены. Вводится замена, решается более простое уравнение, полученные корни подставляют в выражение, замена которого была произведена ранее, полученные корни записывают в ответ.
  • в учебнике Ш. А. Алимова

Изначально  находится общий знаменатель уравнения, умножаются обе части уравнения на общий знаменатель, преобразуется  уравнение, решается полученное уравнение, проверяется, не обращают ли полученные корни знаменатель уравнения в нуль, в ответ записываются корни, не обращающие в нуль знаменатель.

 

На мой взгляд, наиболее понятным для школьников, обучающихся в 8 классе, будет материал, представленный в учебнике Ю. Н. Макарычева. Опираясь  на этот учебник, я хотела бы показать, как можно ввести материал о дробно-национальных уравнениях в школе. Для этого был составлен конспект урока.

Конспект урока [5,6,7,8,9,10]

Тема: решение  дробно-рациональных уравнений

Цели:

  • отработка навыков решения дробно-рациональных уравнений;
  • развитие вычислительных навыков учащихся;
  • повторение способов решения линейных, квадратных уравнений;
  • частичная проверка навыков решения дробно-рациональных уравнений.

Задачи:

  • заинтересовать учеников предметом;
  • показать  важность умения решать разные уравнения

Метод:

  • фронтальной беседы;
  • наглядно-иллюстративный.

Оборудование:

  • учебник 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворина;
  • рабочая тетрадь.

Структура:

  1. Постановка цели;
  2. Подготовка к изучению нового материала;
  3. Ознакомление с новым материалом;
  4. Первичное осмысление и применение изученного;
  5. Постановка домашнего задания;
  6. Подведение итогов;
  7. Резервные задания.

 

Ход  урока:

1.Постановка  цели урока.

Отмечается, что начинается изучение нового параграфа, который называется дробные рациональные  уравнения. Учитель уточняет, что  изучение новой темы будет опираться  на изученную ранее тему - решение  квадратных уравнений. Учитель, говорит, что сегодня повторим решение  квадратных уравнений, изучим некоторые  теоретические основы решения дробно – рациональных уравнений и будем  на практике пытаться закрепить теоретические  знания.  

 

2. Подготовка  к изучению нового материала.

  Учитель предварительно выписывает на доске 3 квадратных уравнения и вызывает  из класса 3 слабых ученика (т.к. данная тема изучалась ранее  и «слабые»  ученики  должны уже усвоить тему – решение квадратных

 уравнений ). Все остальные учащиеся решают 3 уравнения у себя  в тетради.

1);

Решение:

 

Корни:

 

Ответ:  .

2)

Решение:

 

 

Ответ: .

 

3)

Решение:

;

Ответ: решений  нет.

 

3.Ознакомление  с новым материалом.

Учащиеся  открывают учебник  на странице 126, учитель начинает объяснять:

 В  уравнениях 

 

 

 

Левая и  правая  части являются рациональными  выражениями.