Решение инженерных задач с помощью Excel и Mathcad

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра «Информатика и программное обеспечение»

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по курсу

«Информатика»

Тема: «Решение инженерных задач  с помощью Excel и Mathcad»

Вариант 5

 

 

 

Выполнил ст.гр. 12-ИВТ-2:

Веркин А. Ю.

                                                                      Проверил: 

_____доц. Копелиович Д.И.

 

 

 

 

БРЯНСК 2012

Содержание

 

Введение 4

1 Задание №1 5

1.1 Условие задания 5

Уравнение . Интервал [-5;10]. 5

1.2 Выполнение задания 6

Рис. 1. Табуляция функции и построение графика в Excel. 6

 6

Рис. 2. Фрагмент листа Excel с найденными корнями уравнения. 6

3. С помощью программы Mathcad построим график функции на интервале [-5;10] (рис. 5). По графику определяем приближенные значения корней уравнения: -4.7, 0.6 и 6.2. 8

2 Задание № 2. 10

2.1 Условие задания 10

2.2 Выполнение задания 10

1. Вычислим значение матрицы D. С помощью Excel произведем расчет матрицы D (рис. 9) 10

Рис. 9. Вычисление матрицы D в Excel. 10

Рис. 10. Решение системы линейных уравнений с помощью Excel. 11

3 Задание № 3. 12

3.1 Условие задания 12

3.2 Выполнение задания 12

4 Задание № 4. 18

4.1 Условие задания 18

18

4.2 Выполнение задания 18

Рис. 21. Табулирование функции 2-х переменных в Excel. 19

Рис. 22. График функции двух переменных 19

Список литературы 26

 

 

 

Введение

 

Данная курсовая работа посвящена  изучению и анализу эффективности программных продуктов MathCAD и Excel.

Excel – программа для работы с электронными таблицами. Она предоставляет возможности экономико-статистических расчетов, графические инструменты и язык макропрограммирования VBA. На сегодняшний день Excel является одним из наиболее популярных приложений в мире.

Прямое назначение Excel - составление таблиц, графиков, отчетов, диаграмм и различных схем. Программа позволяет составлять наглядные отчеты, анализировать определенные изменения, прослеживать тенденции в развитии чего-либо и многое другое. Excel содержит встроенные формулы, которые позволяют использовать EXCEL как профессиональный калькулятор.

MathCAD – математический редактор, позволяющий проводить разнообразные научные и инженерные расчёты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроеных функций и численных методов, возможности символьный вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графиков самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением.

Основное преимущество MathCAD и Excel по сравнению с другими расчетными пакетами состоит в том, что они не требуют особой компьютерной и математической подготовки для решения задач средней сложности.

Цель курсовой работы: закрепление и развитие навыков  по программным продуктам Excel и Mathcad, которые понадобятся в процессе дальнейшего обучения в Вузе и в профессиональной деятельности инженера.

Курсовая  работа состоит из 4 обязательных и  одного дополнительного заданий. Задания  выполняются в программах Excel и Mathcad.

 

1 Задание №1

 

Дано нелинейное уравнение  вида f(x)=0.

1. Решить заданное нелинейное уравнение с помощью программы Excel. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

• провести табулирование функции f(x) на заданном интервале. Шаг табуляции h=0.2.

• Построить график функции f(x).
• По графику определить приближенные значения корней уравнения f(x)=0.
• С помощью процедуры «Подбор параметра» определить точные значения корней уравнения f(x)=0.

2. С помощью надстройки «Поиск решения» Excel найти экстремумы функции f(x).

3. Решить заданное нелинейное уравнение с помощью программы Mathcad. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

• Построить график функции f(x).

• По графику определить начальные приближения корней уравнения f(x).
• Для каждого приближения определить точные значения корней уравнения.

4. С помощью символьных вычислений в Mathcad найти производную функции f(x). Найти экстремумы функции f(x) путем решения уравнения f'(x)=0 аналогично пункту 3.

5. Провести сравнение полученных результатов и сделать выводы об эффективности Excel и Mathcad при решении задач нахождения корней нелинейного уравнения и поиска экстремумов функции.

1.1 Условие задания

 

Уравнение . Интервал [-5;10].

1.2 Выполнение задания

 

1. Выполним табулирование  функции в Excel на интервале [-5;10] с шагом 0,2. На основе полученной таблицы табуляции строим график функции f(x) (рис. 1).

Рис. 1. Табуляция функции и  построение графика в Excel.

На полученном графике определяем приближенные значения корней уравнения. Данные корни будут  находиться в точках пересечения  графика функции с осью абсцисс, а также их приближенные значения можно определить по таблице табуляции  в строках, где значения в столбце y меняют свой знак. Получаем следующие приближенные значения корней уравнения: 1.2, 2.2 и 8.

С помощью  процедуры подбор параметра определяем точное значение корня для каждого  приближенного значения. Получаем следующие  значения корней уравнения: x₁=-4,73680553612851, x₂= 0,532959188246572 и x₃= 6,26694891921861 (рис.2).

Рис. 2. Фрагмент листа Excel с найденными корнями уравнения.

2. Найдем в Excel экстремумы функции f(x). Найдем точку минимума в районе x=2. Для нахождения этого экстремума воспользуемся надстройкой «Поиск решения» и настроим её согласно рис.3.

Рис. 3. Настройка  формы «Поиск решения».

Сформируем  отчет о результатах поиска (рис. 4), из которого видно, что искомое  значение экстремума функции x_min=2,01974826243316.

Рис. 4. Отчет о результатах поиска экстремума функции с помощью  надстройки «Поиск решения»

3. С помощью программы Mathcad построим график функции на интервале [-5;10] (рис. 5). По графику определяем приближенные значения корней уравнения: -4.7, 0.6 и 6.2.

Рис. 7. График функции f(x), построенный в Mathcad.

С помощью  функции root находим точные значения корней уравнения: x₁=-4.737, x₂=0.6 и x₃=6.2.

4. Используя символьные вычисления  Mathcad, найдем производную

 

Построим  график производной функции f(x). По графику определяем  приближенное значение корня f'(x)=0: x=2;. С помощью функции root находим точное значение корня уравнения f'(x)=0 (рис. 6), а значит и значение экстремумов функции f(x): x=2.02.

Рис. 8. Нахождение корней уравнения и экстремума функции с помощью Mathcad.

При сравнении полученных результатов видно, что значения, полученные в Mathcad точнее, чем результаты в Excel. Таким образом, можно сделать вывод что при что при решении задач нахождения корней нелинейного уравнения и поиска экстремумов функции Mathcad эффективнее Excel

 

 

2 Задание № 2.

 

Даны матрицы  A, B и С. Вычислить матрицу D по формуле согласно варианту. Используя коэффициенты полученной матрицы D решить систему уравнений согласно варианту. Задание выполнить в Excel и Mathcad.

2.1 Условие задания

 

A= , B= и С= .

Формула: .

Система уравнений:

2.2 Выполнение задания

 

1. Вычислим значение матрицы D. С помощью Excel произведем расчет матрицы D (рис. 9)

Рис. 9. Вычисление матрицы D в Excel.

Запишем систему  уравнений, используя коэффициенты из полученной матрицы:

Решим полученную систему уравнений в Excel с помощью обратной матрицы. (рис. 10).

Рис. 10. Решение системы линейных уравнений с помощью Excel.

2. Проведем  расчет матрицы D средствами Mathcad. Заполним матрицу коэффициентов системы уравнений и найдем ее решение (рис. 11)

 

Рис. 11. Вычисление матрицы D и нахождение решения системы уравнений в Mathcad.

 

3 Задание № 3.

 

Даны координаты точек (x_i,y_i) для которых необходимо выполнить следующее:

• С помощью программы Mathcad провести кусочно-линейную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1.3, 2.6, 4.4, 5.9, 7.1, 8.75. Построить график.
• С помощью программы Mathcad провести полиномиальную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1.3, 2.6, 4.4, 5.9, 7.1, 8.75. Построить график. Записать уравнение полинома (коэффициенты полинома указать с точностью 10 знаков после запятой)
• Провести 2 вида аппроксимации. Построить оба графика на одной координатной плоскости. В обоих случаях определить сумму квадратов отклонений для узловых точек. Данное задание выполнить как в Excel, так и в Mathcad.

3.1 Условие задания

 

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	1.95	2.1	2.52	2.62	3	3.17	3.74	4.04	4.42	5.02

Виды аппроксимации: полином 2-й степени и экспоненциальный

3.2 Выполнение задания

 

Решим все поставленные задачи с использованием Mathcad.

Проведем  кусочно-линейную интерполяцию для  заданных точек (x_i,y_i) и определяем значение функции для указанных значений аргумента (рис. 12):

x	1.3	2.6	4.4	5.9	7.1	8.75
y	2.226	2.58	3.068	3,683	4.078	4.87

 

Рис. 12. Кусочно-линейная интерполяция в Mathcad.

Проведем  полиномиальную интерполяцию. Учитывая, что задано 10 точек, то полином должен быть 9-й степени. В результате получили полином, представленный на рис. 13. Построим его график, на котором отметим исходные точки (рис. 13). По графику можно убедиться, что полином проходит через все заданные точки. С помощью полученного полинома определим для заданных точек значение функции (рис. 13):

x	1.3	2.6	4.4	5.9	7.1	8.75
y	2.465	2.491	3.06	3.671	4.025	5.873

 

Рис. 13. Полиномиальная интерполяция в  Mathcad.

Проведем  с помощью Mathcad аппроксимацию для заданных точек с помощью полинома 2-й степени и экспоненциальной функции (рис. 14). Определим сумму квадратов отклонений для узловых точек (рис. 14):

• Для экспоненциальной функции эта величина равна 0.05.
• Для полинома 2-й степени эта величина равна 0.054.

Можно сделать  вывод, что с помощью полиномиальной функции мы получаем более точное приближение.

Рис. 14. Аппроксимация точек в Mathcad.

Построим  на одной координатной плоскости  графики аппроксимирующих функций (рис. 15).

Рис. 15. Графики аппроксимирующих функций.

3. Проведем аппроксимацию точек с помощью Excel. Для этого сначала заполним исходную таблицу точек и отметим эти точки на координатной плоскости (рис. 16).

 

Рис. 16. Исходные точки для аппроксимации на координатной плоскости.

Вызовем контекстное  меню для одной из точек на графики  и выберем пункт «Добавить  линию тренда…». Для начала проведем линейную аппроксимацию. Для этого в открывшемся диалоговом окне «Линия тренда» выберем «Линейная». Аналогично добавил линию тренда на основе экспоненциальной функции. В настройках линий тренда выставим галочку «показывать уравнение на диаграмме». Результат представлен на рис. 17.

Получили следующие аппроксимирующие функции.

• Для полинома 2-й степени: y =.
• Для экспоненциальной функции: y =

 

Рис. 17. Получение графиков функций аппроксимации.

Определим сумму квадратов отклонений для  полученных функций в узловых точках (рис. 18).  Получим:

• Для полинома 2-й степени: y = 1,14892212 .
• Для экспоненциальной функции: y = 1,180093143

 

Рис. 18. Расчет в Excel суммы квадратов отклонений для аппроксимирующих функций.

 

4 Задание № 4.

 

Найти экстремум  функции двух переменных в Excel и Mathcad. Построить график двухмерной поверхности в Excel и Mathcad. Сравнить результаты и сделать выводы.

4.1 Условие задания

 

4.2 Выполнение задания

 

Построим  график функции в Mathcad (рис. 19).

По графику  определяем, что функция z имеет только один экстремум – точку минимума.

Рис. 19. Построение поверхности  в Mathcad.

Воспользуемся блоком решения Mathcad и функцией Minimize. За начальное приближение точки минимума возьмем x=1 и y=1. В качестве ограничений укажем интервалы для xÎ[-8;8] и yÎ[-10;10].

Получили  решение x=1; y=1 (рис. 20).

Рис. 20. Минимизация функции  в Mathcad.

Теперь  выполним это же задания в Excel. Для этого сначала проведем табуляцию функции на интервале x Î [-8;8] и yÎ[-10;10] (рис. 21).

Рис. 21. Табулирование функции 2-х переменных в Excel.

На основе полученной таблицы строим поверхность (рис. 22).

Рис. 22. График функции двух переменных

С помощью надстройки «Поиск решения» найдем точку минимума. Для этого  настроим соответствующее диалоговое окно следующим образом (рис. 23). В результате выполнения получим искомую точку минимума (3,162;10)

Рис. 23. Настройка формы «Поиск решения» для нахождения минимума функции двух переменных.

При сравнении полученных результатов видно, результаты вычислений как в Mathcad, так и в Excel одинаковы, следовательно, они одинаково эффективны при работе с двумерными поверхностями и при поиске экстремумов функции двух переменных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Задание №5

Запрограммировать в Mathcad алгоритм численного интегрирования методом прямоугольников.

5.1.Условие задания

Возьмем произвольный интеграл:

5.2.Выполнение задания

Существует несколько  формул для решения задач методом  прямоугольников прямоугольников:

1. Формула левых прямоугольников.
2. Формула правых прямоугольников.
3. Формула средних прямоугольников.

 

1. Формула левых прямоугольников.

В общем виде формула левых  прямоугольников на отрезке [x₀;x_n] выглядит следующем образом(рис.25.):

Рис.25. Общая формула левых  прямоугольников

В данном случае x₀=a, x_n=b, т.к. любой интеграл в общем виде выглядит :

Шаг интегрирования h мы вычисляем по следующей формуле(рис.26.):

 

Рис.26. Вычисление шага интегрирования.

y₀,y₁,…,y_n-1 – это значения соответствующие функции f(x) в точках x₀,x₁,…,x_n-1  (x_i=x_i-1+h)

Тогда программный код, реализующий формулу левых прямоугольников может иметь вид, представленный на рисунке 27:

Рис.27. Программный код  формулы левых прямоугольников

В итоге мы получаем значение заданного интеграла(рис.28.):

Рис.28. Ответ заданного  интеграла

Таким образом, функции f(x) можно присваивать различные нелинейные уравнения и находить корни по формуле левых прямоугольников (например, рис. 29):

Рис. 29. Решение  уравнения  методом Левых прямоугольников

 

2. Формула правых прямоугольников.

В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке [x₀;x_n] выглядит следующем образом(рис.30.):

Рис.30. Общая формула правых прямоугольников

Как и в формуле левых  прямоугольников задается точно  такой же шаг.

Тогда программный код, реализующий формулу правых прямоугольников может иметь вид, представленный на рисунке 31:

Рис.31. Программный код  формулы правых прямоугольников

В итоге мы получаем значение заданного интеграла(рис.32.):

Рис.32. Ответ заданного  интеграла

Таким образом, функции f(x) можно присваивать различные нелинейные уравнения и находить корни по формуле правых прямоугольников (например, рис. 33):

Рис. 33. Решение  уравнения  методом Правых прямоугольников

 

 

3. Формула средних прямоугольников.

Аналогичным образом осуществляется расчет интеграла по формуле средних  прямоугольников. Только в этом случае формула принимает вид(рис.34.):

Рис.34. Общая формула средних  прямоугольников.

В данной формуле требуется h умножать на сумму значений функции f(x), но уже не просто подставляя соответствующие значения x₀,x₁,…,x_n-1  в функцию f(x), а прибавляя к каждому из этих значений h/2 (x₀+h/2, x₁+h/2,…,x_n-1+h/2), а затем только подставлять их в заданную функцию.

Рис. 35. Решение уравнения  с помощью формулы средних  прямоугольников.

 

Заключение

 

В результате выполнения курсовой работы были изучены  программные продукты MathCAD и Excel, выявлены их достоинства и недостатки.

Было выявлено, что программа Excel имеет более удобный интерфейс и проще в освоении. Она позволяет легко составлять различные таблицы, графики и диаграммы. Программа позволяет составлять наглядные отчеты, анализировать определенные изменения

Однако  MathCAD позволяет выполнять более сложные математические вычисления. Программа содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

Основное  отличие Mathcad - текстовый режим ввода выражений. При любом наборе формулы будут иметь привычный, аналогичный книжному, вид. Вычисления с введенными формулами осуществляются по желанию пользователя или мгновенно, одновременно с набором, либо по команде.

 

 

Список литературы

 

1. Блаттнер П. Использование Microsoft Office Excel 2003. Специальное издание. : Пер. с англ. —М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. —64 с.: ил. ISBN 5-8459-0711-Х (рус.).
2. В.А. Охорзин. Прикладная математика в системе MATHCAD Учебное пособие. 3-е изд. СПб.: Лань, 2009, 352с. ISBN: 978-5-8114-0814-6
3. Веденеева Е.А. Функции и формулы Excel 2007. Библиотека пользователя. -СПб.: Питер, 2008. -384 с.: ил. (Серия «Библиотека пользователя»). ISBN 978-5-388-00071-2.
4. Е. Р. Алексеев, О. В. Чеснокова. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. М: НТ Пресс, 2006, 496с. ISBN: 5-477-00208-5.
5. Е.Макаров. Инженерные расчеты в MathCAD. Учебный курс. С-Пб.:Питер, 2003.
6. Уокенбах Дж. Подробное руководство по созданию формул в Excel 2002.: Пер. с англ. —М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. —624 с.: ил. ISBN 5-8459-0314-9 (рус.)