Ирина Эланс
Решение сферических треугольников
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНтСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА информатики и вычеслительной математики
Курсовая работа
На тему «Решение сферических треугольников»
Специальность 050201.65
Выполнил студент
Группы 021
Фазлинуров Э.А.
г. Набережные Челны – 2012г.
Содержание
Введение…………………………………………………………
Глава 1
1.1 Сферическая геометрия.....................
1.2 Основные формулы и соотношения
сферической геометрии.....................
1.3 Теоремы о сферических треугольниках
Глава 2
2.1 Решение сферических
треугольников.................
2.2 Задачи........................
Заключение....................
Введение
Еще древние греки считали окружность
(круг) и сферу (шар) идеальными формами.
Подтверждение этому можно наблюдать
в природе: многие плоды и ягоды имеют
форму шара или близкую к ней, например
арбуз, апельсин, смородина. Шаровидная
форма используется в технике, например,
в подшипниках. Во многих играх снаряд
имеет форму шара: мяч в футболе, волейболе,
тенесе, гольфе, шар в бильярде и др. Хорошо
всем знакомый ёлочный шарик — на самом
деле сфера, так как сделан из очень тонкого стекла
и внутри пустой.
Форму шара имеет наша планета и большинство космических тел. А так как планеты, Солнце, Луна и звёзды движутся по воображаемой «небесной сфере», то естественно, для изучения их движения потребовалось знание геометрии сферы.
При решении задач практического характера
и, в первую очередь, задач астрономии
возникла сферическая геомет
Сведения о сфере были необходимы и при решении сугубо земных задач — вычислении географических координат, для составления географических карт, для нахождения курса корабля.
В настоящее время, существуют различные
науки в основе которых лежит сферическая геометрия
Например, математическая картография изучает способы отображения поверхности Земли на плоскости. Поскольку поверхность Земли (приблизительно сферическая ) имеет конечную кривизну, её нельзя отобразить на плоскость с сохранением всех пространственных отношений одновременно: углов между направлениями, расстояний и площадей поверхностей. Можно сохранить только некоторые из этих соотношений. Важное понятие в математической картографии — картографическая проекция, то есть функция, задающая отображение географических координат точек на поверхности Земли на декартовы координаты на плоскости. Область картографии — составление и оформление карт.
Другой значительный раздел математической картографии — картометрия, которая позволяет по данным карты измерять расстояния, углы и площади на реальной поверхности Земли.
Глава 1:
1.1 Сферическая геометрия
Сферическая геометрия
– математическая дисциплина, изучающая
геометрические образы, находящиеся на
сфере, подобно тому как планиметрия изучает
геометрические образы, находящиеся на
плоскости.
Всякая плоскость, пересекающая
сферу, дает в сечении некоторую окружность;
если секущая плоскость проходит через
центр О сферы, то в сечении получается
т. н. большой круг. Через каждые две точки А и В на сфере
(рис., 1), кроме случая
диаметрально противоположных точек,
можно провести единственный большой
круг. Большие круги сферы являются ее геодезическими
линиями и поэтому в сферической геометрии
играют роль, аналогичную роли прямых
в планиметрии.
Однако в то время как любой отрезок прямой
является кратчайшим между его концами,
дуга большого круга на сфере будет кратчайшей
лишь в случае, когда она короче дополнительной
дуги. Во многих других отношениях сферическая
геометрия также отлична от планиметрии;
так, напр., в сферической геометрии не
существует параллельных геодезических:
два больших круга всегда пересекаются,
и притом в двух точках.
Длину отрезка АВ на сфере, то
есть дугу АтВ (рис., 1)большого
круга, измеряют соответствующим пропорциональным
ей центральным углом АОВ. Угол ABC (рис., 2), образованный
на сфере дугами двух больших кругов, измеряют
углом А 'ВС' между касательными
к соответствующим дугам в точке пересечения
Вили двугранным углом, образованным плоскостями ОВА и ОВС.
При пересечении двух больших кругов на
сфере образуются четыре сферических
двуугольника (рис., 3). Сферический
двуугольник определяется заданием своего
угла. Площадь сферически. двуугольника
определяется по формуле S = 2R2A, где R - радиус сферы, А - угол двуугольника,
выраженный в радианах.
Три больших круга, не пересекающихся
в одной паре диаметрально противоположных
точек, образуют на сфере восемь сферических
треугольников (рис., 4);зная элементы (углы
и стороны) одного из них, легко определить
элементы всех остальных. Поэтому обычно
рассматривают соотношения между элементами
лишь одного треугольника, притом того,
все стороны которого меньше половины
большого круга (такие треугольники наз.
эйлеровыми треугольниками). Стороны а, b, с сферического
треугольника измеряются плоскими углами
трехгранного угла ОАВС (рис., 5), углы
А, В, С. треугольника
- двугранными углами того же трехгранного
угла. Свойства сферический треугольников
во многом отличаются от свойств треугольников
на плоскости (прямолинейных треугольников).
Так, к известным трем случаям равенства
прямолинейных треугольников для треугольников
на сфере добавляется еще четвертый: два
треугольника равны, если равны их соответствующие
углы (на сфере не существует подобных
треугольников).
Равными треугольниками считаются те,
которые могут быть совмещены после передвижения
по сфере. Равные сферически треугольники
имеют равные элементы и одинаковую ориентацию.
Треугольники, имеющие равные элементы
и различную ориентацию, наз. симметричными;
таковы, напр., треугольники АС'С и ВСС' на рис.,6.
Во всяком сферическом треугольнике (эйлеровом)
каждая сторона меньше суммы и больше
разности двух других; сумма всех сторон
всегда меньше
Сумма углов сферического треугольника
всегда меньше
и больше
Разность
где s- сумма углов
сферического треугольника, наз. сферическим
избытком. Площадь сферического треугольника
определяется по формуле
где R - радиус сферы.
Положение каждой точки на сфере вполне
определяется заданием двух чисел: эти
числа (координаты) можно определить, напр.,
следующим образом. Фиксируются (рис.,
7) некоторый большой круг QQ' (экватор), одна
из двух точек пересечения диаметра РР' сферы, перпендикулярного
к плоскости экватора, с поверхностью
сферы, напр. . (полюс), и один
из больших полукругов РАР'; выходящих
из полюса (нулевой меридиан). Большие
полукруги сферы, выходящие из Р, наз. меридианами,
малые ее круги, параллельные экватору,-
параллелями. В качестве одной из координат
точки М на сфере принимается угол
- полярное расстояние, в качестве второй
- угол
между нулевым меридианом и меридианом,
проходящим через точку М,- долгота, отсчитываемая
против часовой стрелки.
Длина L дуги М 1 М 2 (рис., 8)линии
вычисляется по формуле
1.2 Основные формулы и соотношения
сферической геометрии
Рассмотрим сферический треугольник на небесной сфере, причем точка является полюсом, а точка лежит в плоскости Рис.1
Декартовы координаты единичных векторов при :
|
|
||
|
|
||
|
|
По определению скалярного
произведения имеем rB*rC=cosa . Это же
произведение в декартовых координатах
имеет вид:
rB*rC=sinc sinb cosA+cosc cosb
Перепишем эти формулы в следующем виде:
cosa=cosbcosc+sinbsinc cosA |
(1) |
Мы доказали теорему:"Косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов этих сторон на косинус угла между ними". Обычно соотношение (1) называют формулой косинусов. С помощью циклической перестановки можно написать формулы косинусов для двух других сторон:
|
|
|
|
|
Теперь вычислим векторное произведение rC x rB . Согласно|a x b|=|a|x|b|sinɣ получим: |rC x rB|=sina
Допустим, что вектор rC x rB направлен в точку (рис.1), то есть
rC x rB =rDsina |
(2) |
rD - единичный вектор. Используя запишем левую часть (2) в виде:
(3)
Правую часть (2) согласно можно записать в виде:
(4) |
В треугольнике сторона , и плоскость перпендикулярна плоскости ( ). Поэтому . По формуле косинусов имеем
или
Приравнивая -компоненты в формулах (3) и (4) получим:
или
По аналогии из треугольника получим:
что приводит к выражению:
В результате мы можем записать, что
(5) |
Эти соотношения известны
как формулы синусов.
Сформулируем полученный результат как
теорему: "В сферическом треугольнике
отношение синуса стороны к синусу противолежащего
угла есть величина постоянная".
Для вывода
следующей группы соотношений между сторонами
и углами сферического треугольника запишем
формулу синусов для треугольника
:
или: . Сравнивая -компоненты в уравнениях (3) и (4), получим:
|
(6) |
Сформулируем следующую теорему: "Произведение синуса стороны сферического треугольника на косинус прилежащего угла равно произведению косинуса противолежащей углу стороны на синус третьей стороны минус произведение синуса на косинус этих же сторон, умноженное на косинус угла между ними".
Используя циклическую перестановку сторон и углов, можно получить следующие уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
Формулы (6) и (7) известны как формулы пяти элементов или формулы подобия.
На основе формул синусов, косинусов и формул подобия можно получить ряд других уравнений, связывающих углы и стороны сферического треугольника. С выводом этих уравнений можно ознакомиться в соответствующих учебниках. Так как в астрономии наиболее часто используются формулы синусов, косинусов и подобия, на выводе других уравнений мы не будем останавливаться.
Следующие свойства сферического
треугольника аналогичны свойствам плоского
треугольника:
а) В каждом сферическом треугольнике
против большего угла лежит большая сторона;
б) Сумма любых двух сторон больше третьей
стороны.
Найдем площадь сферического треугольника. Для этого рассмотрим треугольник
Рис2.
Обозначим его площадь через . Плоскость делит сферу на две полусферы, в одной из которых и расположен треугольник . Площадь полусферы равна , если радиус сферы равен . На рис.2 площадь ближней к нам полусферы складывается из площадей следующих фигур: сегмента сферы , сегмента минус треугольник , сегмента минус треугольник . Если углы треугольника измеряются в радианах, то площадь каждого из указанных сегментов равна , , , соответственно. Треугольник равновелик заданному треугольнику . Поэтому можно написать уравнение:
Отсюда площадь сферического треугольника равна
где углы выражены в радианах.
Определим теперь площадь всей небесной сферы. Для этого удобно площадь сферы выразить в квадратных градусах. Для этого сначала выразим радиус сферы в градусах: . Тогда площадь всей сферы равна
квадратных градусов
1.3Теоремы о сферических треугольниках
Теорема Лекселля (Lexell). Если даны площадь
сферического треугольника и две его вершины,
то геометрическое место третьих вершин
состоит из двух малых окружностей, проходящих
через точки, диаметрально противоположные
двум данным вершинам.
Доказательство: Пусть А и В – данные вершины, С – третья вершина, А′ и В′ - точки диаметрально противоположные точкам А и В.(рис.3)
Рис. 3
Сумма ÐА+ÐВ+ÐС углов треугольника АВС известна; но углы СА′В′ и СВ′А′ треугольника А′В′С соответственно равны ÐСАВ′ и ÐСВА′, т.е. углам, пополнительным углам А и В. Таким образом, сумма ÐА+ÐВ+ÐС может быть записана в виде ÐС+2p-ÐСА′В′-ÐСВ′А′. Следовательно, известна величина ÐСА′В′+ÐСВ′А′-ÐС′ и геометрическое место точек С состоит из двух малых окружностей, проходящих через точки А′ и В′.
Теорема1. Геометрическое место третьих вершин сферических треугольников, у каждого из которых две вершины совпадают соответственно с двумя данными точками и разность между углом при третьей вершине и суммой углов при данных вершинах имеет заданную величину, состоит из двух дуг, принадлежащих различным окружностям.
Доказательство: Пусть В и С – две данные вершины, А – третья вершина; предположим, что дана величина ÐВ + ÐС - ÐА. Пусть далее О (рис.4) один из полюсов окружности, описанной около треугольника: покажем, что точка О неподвижна.
Так как треугольник ОВС равнобедренный, то дуги больших окружностей ОВ и ОС образуют со стороной ВС углы, равные по абсолютной величине, но имеющие противоположные знаки. Пусть a - первый из этих углов; следовательно,
a = ÐСВО = - ÐВСО;
Пусть точно также
b = ÐАСО = - ÐСАО,
g = ÐВАО = - ÐАВО.
Если расположение треугольника таково, что угол ВАС положителен, то будем иметь с точностью до целых окружностей:
ÐА = b + g,
ÐВ = g + a,
ÐС = a + b,
и, следовательно,
или иначе:
это равенство даёт величину a и, следовательно, позволяет определить положение точки О. Давая a два значения, отличающихся одно от другого на полуокружность, будем иметь для этой точки два диаметрально противоположных положения, которые будут определять два полюса одной и той же окружности.
Рис. 4
Наоборот, если сделать относительно расположения треугольника предположение, противоположное тому, которое было сделано ранее, то получим другую окружность; то же самое будет и в том случае, если изменить знак разности ÐВ+ÐС-ÐА.
Теорема 2. Во всяком сферическом треугольнике:
1) каждый угол, увеличенный на два прямых, больше суммы двух других углов;
2) сумма трёх углов больше двух прямых и меньше шести прямых.
Сферический треугольник, совпадающий со своим полярным треугольником, называется автополярным треугольником. Так как все вершины автополярного треугольника полярно сопряжены, все стороны этого сферического треугольника равны четверти большой окружности, откуда вытекает, что все три угла этого сферического треугольника прямые
Рис.5
Теорема 3. В равнобедренном сферическом треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны.
Действительно, при совмещении треугольника АВС (АВ=АС) с симметричным ему треугольником А'С'В' угол, совпадающий с углом В', есть угол С'; таким образом, оба эти угла равны, и тоже самое имеет место и для углов С и В'.
Обратно, всякий сферический треугольник, два угла которого равны, равнобедренный.
Действительно, если АВС сферический треугольник, в котором ÐВ=ÐС и треугольник А'В'С' – треугольник, ему симметричный, то треугольники АВС и А'С'В', имеющие одинаковое расположение равны по первому признаку равенства, и, следовательно, АВ=А'С'=АС.
Теорема 4. Во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности.
В самом деле, пусть АВС – произвольный сферический треугольник. Допустим, что из двух сторон АВ, АС сторона АС большая. Отложим на стороне АС дугу АВ', равную дуге АВ (рис6). Проведем какую-нибудь плоскость, проходящую через точки В. В' и пересекающую лучи ОА и ОС (а не их продолжение) в точках А1 и С1. Треугольники ОА1В и ОА1В' равны, (так как они имеют общую сторону ОА1. равные стороны ОВ и ОВ' и равные углы при вершине О). Следовательно. А1В=А1В'. Так как точки А1. В' и С1 лежат на одной прямой, (являющейся пинией пересечения плоскостей ОАС и А1ВС1 ). Причем точка В' лежит между А1 и С1, то
В'С1 = А1С1 - А1В'=А1С1 - А1В < ВС1.
Рассмотрим теперь треугольники ОВС1 и ОВ'С1. В этих треугольниках ОС1 – общая сторона и ОВ=ОВ', а третьи стороны связаны неравенством В'С1<ВС1. Следовательно, углы, лежащие в этих треугольниках против неравных сторон, связаны неравенством ÐВ'ОС1< ÐВОС1. Поэтому дуга ÈВ'С, стягиваемая углом В'ОС, также меньше дуги ÈВС1, стягиваемой углом ВОС1. Иначе говоря,
ÈАС - ÈАВ = ÈАС - ÈАВ' = ÈВ'С< ÈВС,
т.е. каждая сторона сферического треугольника больше разности двух других его сторон. Отсюда, в свою очередь, вытекает, что
ÈАС < ÈАВ + ÈВС,
т.е. каждая сторона сферического треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Следствие 1. Во всяком сферическом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство: Пусть в сферическом треугольнике АВС имеет место неравенство ÐС=ÐB, тогда через вершину проходит внутри треугольника такая дуга CD, что ÐАВС=ÐВСD. Треугольник ВСD – равнобедренный и BD=CD, тогда верно неравенство
AC<AD+DC=AD+DB=AB
И обратно, пусть теперь AB>AC, тогда предположим, что ÐС=ÐВ. Отсюда следует, что АВ=АС или ÐС<ÐВ, но тогда АВ<АС. Получили противоречие с условием.
Следствие 2. Дуга большой окружности, меньшая полуокружности, короче всякой линии, состоящей из дуг нескольких больших окружностей, соединяющей те же точки сферы.
Рис.6
В отличие от плоскости, где невозможны треугольники с двумя прямыми углами, на сфере возможны такие треугольники: это треугольники, у которых одна из вершин является полюсом противоположной стороны; стороны этих треугольников, лежащие против прямых углов, равны . Имеются на сфере и треугольники с тремя прямыми углами - это автополярные треугольники, у них все три стороны равны . В том случае, когда сферический треугольник обладает только одним прямым углом, сторона, лежащая против этого угла, также как в случае плоских прямоугольных треугольников, называется гипотенузой, а остальные две стороны – катетами.
Теорема 5. Для того чтобы большая окружность пересекалась с какой-либо окружностью на сфере под прямым углом, необходимо и достаточно, чтобы первая из этих окружностей проходила через полюсы второй.
Доказательство: Пусть I - общая точка двух окружностей, прямые IT и It — касательные к большой и малой окружностям в этой точке, Р и Р'— полюсы малой окружности, О - центр шара (рис. 7).
Условие, указанное и теореме, достаточно. Действительно, если большая окружность проходит через точки Р и P', то её плоскость содержит две прямые, не параллельные между собой и перпендикулярные к прямой It, а именно диаметр РР' и радиус ОI. Следовательно, эта плоскость, а значит, и касательная IT перпендикулярны к It.
То же условие и необходимо. Действительно, если две окружности пересекаются под прямым углом, то плоскость большой окружности содержит прямые IT и OI, перпендикулярные к It. Следовательно, она перпендикулярна к этой прямой, а потому и к плоскости малой окружности, и содержит в силу этого диаметр РР', перпендикулярный к этой последней плоскости и проходящий через точку О.
Следствие. Через точку, лежащую на шаре, можно провести большую окружность, перпендикулярную к данной окружности этой сферы; эта большая окружность будет единственной, если данная точка не является полюсом данной окружности.
Большая окружность, отвечающая поставленному условию, определяется данной точкой А и полюсами Р и Р' данной окружности.
Заметим, что существуют две дуги большой окружности, выходящие из точки А и перпендикулярные к данной окружности; а именно те дуги, которые имеют своими концами точки пересечения I и I′ данной окружности с большой окружностью, существование которой только что было доказано.
Примечание. Здесь рассматриваются исключительно дуги, выходящие из точки А и имеющие своими концами первые точки пересечения этих дуг с данной окружностью. Если не ввести этого ограничения, то число перпендикулярных дуг было бы более двух: например, поставленному условию отвечала бы дуга АР′I′ (рис. 7).
Теорема 6. Если через какую-либо точку сферы провести две дуги большой окружности, перпендикулярные к данной окружности, и различные дуги больших окружностей, наклонные к той же окружности, то одна из перпендикулярных дуг короче, а другая длиннее, чем все наклонные дуги. Наклонная дуга будет тем длиннее, чем далее отстоит её конец от конца меньшей перпендикулярной дуги.
Доказательство: Пусть А - данная точка; Р—тот из полюсов данной окружности, который расположен по ту же сторону от этой окружности, как и точка А; АI и АI′ - обе перпендикулярные дуги большой окружности, причём АI′ - та из этих дуг, на которой лежит точка Р; АК, АК', АК"- различные наклонные дуги (рис. 8).
Рис. 8.
1о. Дуга АК больше дуги AI, но меньше АI′. Действительно, если провести дугу РК большой окружности, то из сферического треугольника АРК имеем:
АК >РК — РА, АК < РК + РА,
в то время как
РК—РА = PI — PA = АI,
РК+ РА = PI′ + РА = АI′.
2°. Предположим, что точки К и К' данной большой окружности таковы, что дуги IК и IК' равны. При этом хорды, стягивающие эти дуги, также равны, и точка I одинаково удалена от двух точек К и К'. Так как точка Р обладает тем же свойством, то геометрическое место точек сферы, одинаково удалённых от точек К и К', есть большая окружность РI. Последняя проходит через точку А, а потому хорды АК и АК' равны, и, следовательно, равны соответствующие им дуги больших окружностей.
3о. Пусть теперь какая-либо точка К′′ на данной окружности обладает тем свойством, что IK′′ > IК. Можно предположить, основываясь на (2о), что обе точки К и К′′ лежат по одну сторону от точки I. Проводим дуги больших окружностей РК и РК′′. Так как точка К лежит внутри угла К′′РI, то ÐKPI<ÐК′′РI. Треугольники АРК и АРК′′ имеют, таким образом, по неравному углу (при вершине А), заключенному между соответственно
равными сторонами, откуда следует, что АК < АК′′. Теорема доказана.
Глава 2
2.1 Решение сферических треугольников
Выведенные нами тригонометрические соотношения позволяют «решить сферический треугольник» по любым трем из его элементов (сторон и углов). Если нам даны три стороны сферического треугольника, то по формуле, выражающей теорему косинусов, находим
и аналогично находим соs В и соs С.
Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол между ними, например стороны b, с и угол А, то сторону а найдем из теоремы косинусов. Зная все три стороны сферического треугольника, найдем его остальные углы, как указано выше.
Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол, лежащий против одной из них, например стороны а, b и угол A, то по теореме синусов находим
.
Заметим, что эта формула даёт для В два значения, дополняющих друг друга доp; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно равными сторонами и равными углами, лежащими против одной из этих сторон, не обязательно равны, а возможен случай, когда углы этих треугольников, лежащих против другой стороны, дополняют друг друга до л, как мы это видели, рассматривая четвёртый признак равенства сферических треугольников.
Для определения стороны с и угла С проведём через вершину С дугу большой окружности АВ. Если эти большие окружности пересекаются в точке D, то рассмотрим прямоугольные сферические треугольники АСD и ВСD (рис. 1). В этих треугольниках известны гипотенузы b и а и углы при вершинах А и В. Второй катет каждого из этих треугольников определяется по первым формулам тангенсов, а угол при вершине С определится по формуле котангенсов.
Рис.1
Сторона с и угол C сферического треугольника АВС являются суммами найденных сторон или углов прямоугольных треугольников, если точка D лежит на стороне АВ, и разностям и этих сторон или углов, если точка D лежит на продолжении стороны АВ. Именно, если оба угла A,В в исходном треугольнике АВС являются острыми или оба тупыми, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку C, пересекает окружность АВ в двух точках, одна из которых лежит на дуге АВ; эту точку и следует принять за D в рассматриваемом случае. Таким образом, углы при вершинах А и В в прямоугольных треугольниках АСD и ВСD совпадают с углами А и В исходного треугольника АВС, а сторона с и угол С треугольника АВС являются суммами найденных нами сторон или углов прямоугольных треугольников АСD и ВСD. Если же в треугольнике АВС один из углов A, В острый, а второй—тупой, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку С, пересекает окружность АВ в двух точках, ни одна из которых не лежит на дуге АВ. В этом случае за D можно принять
Любую из этих точек, например ту, которая лежит на продолжении стороны АВ за точку В (рис. 2).
Рис. 2
Таким образом, угол при вершине А в ∆АСD равен углу А треугольника АВС, а угол при вершине В в ∆ВСD равен p — В. При этом сторона с и угол С треугольника АВС являются разностями сторон АD, ВD или углов при вершине С треугольников АСD и ВСD. Наконец, если один из углов A, В (например, А) прямой, то треугольник АВС прямоугольный, и для нахождения стороны с и угла С можно в атом случае воспользоваться формулами , .
Если нам даны три угла сферического треугольника, то по формуле двойственной теоремы косинусов находим
и аналогично по формулам (24) и (25) находим и .
Если нам даны два угла сферического треугольника и сторона между ними, например сторона а и углы B и C, то угол А найдем но формуле (23) двойственной теоремы косинусов. Зная все три угла сферического треугольника, найдем его остальные стороны, как указано выше.
Если, наконец, нам даны два угла сферического треугольника и сторона, лежащая против одною из них, например углы А и В и сторона а, то по теореме синусов находим
.
Заметим, что эта формула дает для b два значения, дополняющих друг друга до pr; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно равными углами и равными сторонами, лежащими против одного из этих углов, не обязательно равны, а возможен случай, когда стороны этих треугольников, лежащие против другого угла, дополняют друг друга до pr, как мы это видели, рассматривая V признак равенства сферических треугольников. Сторону с и угол С по углам А, В и сторонам а, b мы найдем, как указано выше.