Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Решение уравнеий

Содержание

Введение......................................................................................................................3

Глава 1

Определение понятия уравнение……………………………………….5
Неравенства .......................................................................................7
Равносильность и логическое следование...................................................8
Понятие системы уравнений и неравенств……………………………...9
Классификация преобразований уравнений, неравенств и их систем….12
Изучение основных типов уравнений, неравенств, систем……………..13
Методика изучения основных классов уравнений, неравенств и их систем............................................................................................................16

Линейные уравнения с одним неизвестным…………………………..17
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными…………19
Квадратные уравнения...........................................................................21
Изучение неравенств…………………………………………………...22
Иррациональные и трансцендентные уравнения и неравенства…...23

Глава 2

2.1 Решение целых рациональных уравнений........................................................26

2.1.1 Линейные уравнения……………………………………………………26

2.1.2.Квадратные уравнения…………………………………………………26

2.1.3. Уравнения высших степеней…………………………………………..27

2.2. Решение дробно-рациональных уравнений………………………………….30

2.3. Решение иррациональных уравнений………………………………………..31

2.4.Решение целых рациональных неравенств…………………………………..34

2.5. Решение дробных неравенств……………………………………………….36

2.6 Решение иррациональных неравенств……………………………………….37

2.7. Показательные уравнения и неравенства………………………………….39

2.8.Логарифмические уравнения и неравенства………………………………...41

2.9. Тригонометрические уравнения и неравенства……………………………43

2.10. Уравнения с параметром…………………………………………………...45

Заключение………..……………………………………………………………….46

Список использованной литературы……………………………………………..47

Введение

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (ХХ -VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI —Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака) , а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т.д.). На рубеже ХVI—ХVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.

Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоаспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучения в современной методике математике организовано в содержательно-методическую линию— линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.

Линия уравнений и неравенств тесно связано с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей – приложение методов, разрабатываемых в линии уравнения и неравенств, к исследованию функций.

Учебная дисциплина «Методика преподавания математики» относится к числу педагогических дисциплин и изучается студентами, уже получившими определенную философскую, педагогическую, психологическую, общедидактическую и математическую подготовку. Эти знания студентов систематически используются в курсе методики преподавания математики и находят свой выход в практике обучения школьников.

Моя курсовая работа состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются подходы к изучению линии уравнений и неравенств. Во второй главе приведены основные примеры решений уравнений, неравенств и их систем. Также рассмотрены два примера решений уравнений с параметром.

Значительное место в курсовой работе занимают вопросы, связанные с формированием творческого подхода к обучению математике, умением оценивать различные системы изложения материала с точки зрения педагогики, психологии, дидактики.

Уравнения и неравенства изучаются на протяжении всего курса школьной математики. Главная задача учителя научить алгоритму их решения. Если это достигнуто, то у учащихся не возникнет проблем.

Глава 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ УРАВНЕНИЯ

Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предположить его определение, одновременно и строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом алгебры.

В различных определениях понятия уравнения - в некоторых явно, в некоторых в более скрытой форме – оно трактуется как символическая запись задачи о разыскании таких систем значений аргументов x₁ , x₂, . . . , x_n функции f(x₁ , x₂, . . . , x_n) и φ(x₁ , x₂, . . . , x_n), при которых значение функции f и φ равны. При такой трактовке понятия уравнения отчетливо заметна независимость уравнения и тождества и неправомерность рассмотрения тождества как частного случая уравнения.

Определение отдельных видов уравнений (неравенств) – линейных, квадратных, вообще n-ой степени, рациональных, иррациональных, простейших тригонометрических, показательных, логарифмических – вводятся в связи с изучением соответствующих функций.

Кстати, остановимся на вопросе о классификации уравнений и неравенств. Уравнения (неравенства) классифицируются по виду функций, представляющих левую и правую части уравнения(неравенства).

Уравнение f(x)= φ(x)(неравенства f (x)≥φ(x), f(x)≤φ(x), f(x)<φ(x), f(x)>φ(x)) называется:

алгебраическим, если f(x)и φ(x) – алгебраические функции;

трансцендентным, если хотя бы одна из функций f(x)и φ(x) трансцендентная;

рациональным алгебраическим (или просто рациональным), если алгебраические функции f(x)и φ(x) рациональные;
иррациональным алгебраическим (или просто иррациональным), если хотя бы одна из алгебраических функций f(x)и φ(x) иррациональная;
целым рациональным, если функции f(x)и φ(x) целые рациональные;
дробным рациональным, если хотя бы одна из рациональных функций f(x)и φ(x) дробная рациональная.

Уравнение P(x)=0, где P(x) – многочлен стандартного вида, называется линейным (первой степени), квадратным (второй степени), кубичным (третьей степени), четвертой степени и вообще n-ой степени, если многочлен P(x) имеет соответственно первую, вторую, третью, четвертую и вообще n-ю степень.

Дадим другие определения понятия уравнения.

Логико-математическое определение уравнения можно привести такой форме: пусть на множестве М зафиксирован набор математических операций, x – переменная на М, тогда уравнением на множестве М относительно x называется предикат вида а(х)=b(x), где а(х) и b(x) – термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ х. Аналогично определяется уравнение от двух переменных и т.д.[4]

Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины школьной математики «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому наиболее близко к приведенному формальному определению следующее определение: «предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением».[5]

Возможность использования в школьном обучении подхода к понятию уравнения, включающего явно упоминание о предложении с переменной, зависит от присутствия этого термина и терминов «истина», «ложь» в обязательном курсе школьной математики. Если их нет, то привести подобное определение невозможно. В этом случае смысловой компонент понятия уравнения переходит в определение другого понятия, тесно связанного с понятием уравнения, - корня уравнения. Получается система из двух терминов: термин «уравнение» несет в себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает смысловой компонент. Такое определение приведено в [6] : «равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения».

Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие уравнения вводится посредством выделения его из алгебраического метода решения задач. В этом случае независимо от того, каков текст определения существенным оказывается подход к понятию уравнения, при котором оно представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом задачи конкретную интерпретацию. Например, в [1] понятие уравнения вводится на материале текстовой задачи: «конверт с новогодней открыткой стоит 17 копеек. Конверт дешевле открытки на 5 копеек. Найти стоимость открытки». Переход к определению уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи x+(x – 5)=17, выражающей содержание данной задачи в алгебраической форме. С помощью этого же сюжета вводится понятие и корня уравнения. Вот эти определения: «равенство, содержащее неизвестное число, выраженное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство».

В школьном курсе математики большую роль играет компонент, при котором уравнение трактуется как равенство двух функций. Его роль проявляется в изучении графического метода решения уравнений.

Еще один подход к определению понятия уравнения получается при сопоставлении области определения уравнения и множества его корней. Обычно множество корней уравнения – собственное подмножество его области определения. С другой стороны, при решении уравнения приходится использовать преобразования, которые опираются на тождества, т.е. на равенства истинные на всей области определения. Выделенное здесь противопоставление тождества и уравнения может быть положено в основу определения уравнения: «Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное численное равенство при допустимых наборах букв, называется уравнением». [11]

Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина: «решить уравнение». Различные варианты его определения отличаются друг от друга, по существу, только наличием или отсутствием в них термина «множество».

Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст определения, надо включать и все другие его компоненты по мере развертывания материала данной линии.

В определении понятия уравнения используется один из двух терминов: «переменная» или «неизвестное».различие между ними состоит в том ,что переменная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по текстовым задачам).

НЕРАВЕНСТВА

Если элементы a и b некоторого множества не находятся в отношении равенства (a и b – имена различных предметов), то говорят, что они находятся в отношении неравенства. Это отношение выражается записью: a ≠ b. В некоторых множествах один из двух неравных элементов может находиться в особом отношении с другим – в отношении «предшествования». В зависимости от природы элементов множества в понятие «предшествования» может вкладываться различный конкретный смысл. На множестве действительных чисел отношение «предшествования» обычно называют отношением «меньше». Оставляя в стороне вопрос о развитии понятия «меньше» в связи с развитием понятия числа от натурального до действительного, введем следующее определение: если разность a – b действительных чисел a и b отрицательна, то говорят, что число a «меньше» числа b, и пишут: a<b (читается: «a меньше b»). Если a<b, то говорят, что b «больше» a, что выражается записью: b>a. На множестве действительных чисел рассматриваются также отношения « не больше» и «не меньше»: если a – b – число отрицательное или равно 0(т.е. не положительное), то говорят, что a не больше b, и пишут: a≤b (или, что b не меньше a, и пишут: b≥a). Все соотношения a<b, a≤b, a>b, a≥b имеют общее название неравенств. Неравенства a<b и c> d, a≤b и c≥d называются неравенствами противоположного смысла, а неравенства a<b и c<d, a>b и c>d – неравенствами одинакового смысла.

Будем пользоваться названием «неравенства с переменными», которое подчеркивает название понятия, обозначаемого этим термином. Там, где это приводит к недоразумению, говорят короче: «неравенство».

РАВНОСИЛЬНОСТЬ И ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ

Наиболее важным логическим средством , используемым в процессе изучения уравнений и неравенств, является понятие равносильности.

Уравнения называются равносильными, если выполняются условия: области определения уравнений одинаковы и множества их корней равны. Имеется два пути установления равносильности уравнений. Первый: используя известные множества корней уравнений, убедится в их совпадении; например, уравнения х+1 = х+2 и х²+1 = х²+2 равносильны, потому что не имеют корней. Второй: используя особенности записи уравнений, осуществить последовательный переход от одной записи к другой посредством преобразований, не нарушающих равносильности.

Очевидно, что для большинства заданий второй путь более характерен, т.к. в теории уравнений используется для того, чтобы указать конкретные правила для решения уравнений. Однако в преподавания ограничиваться им нецелесообразно, поскольку он относится только к практическому применению равносильности и требует первого для своего обоснования. Вместе с тем усвоение понятия равносильности требует значительной культуры мышления и не может быть усвоено на начальных этапах изучения школьного курса алгебры без специальных значительных усилий.

В отношении формирования понятия равносильности и его применения к решению уравнений учебные пособия по алгебре можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных преобразований основано на явном введении и изучении понятия равносильности; ко второй – те, в которых применение равносильных преобразований предшествует выделению самого понятия. Методика работы над понятием равносильности имеет при указанных подходах значительные отличия.

В связи с рассматриваемым вопросом в изучении материала линии уравнений и неравенств можно выделить три основных этапа. Первый этап охватывает начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь происходит ознакомление с различными способами решения отдельных наиболее простых классов уравнений. Используемые при этом преобразования получают индуктивное обоснование при рассмотрении конкретных примеров. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения все чаще заменяются такими, где равносильность фактически используется, но сам термин не употребляется. Длительность этого этапа может быть различной; она зависит от методических установок, принятых в данном учебном пособии.

На втором этапе происходит выделение понятия равносильности и сопоставление его теоретического содержания с правилами преобразований, которые выводятся на его основе. Длительность этого этапа незначительна, поскольку га нем происходит только выделение этого понятия и его использование на нескольких теоретических примерах.

На третьем этапе на основе общего понятия равносильности происходит развертывание и общей теории, и теорий отдельных классов уравнений. Такой стиль характерен для курса алгебры и начал анализа, изучаемого в старших классах средней школы. Он применяется и в некоторых пособиях по алгебре для неполной средней школы.

Помимо равносильных, к изучению материала линии уравнений и неравенств применяются и другие, вообще говоря, неравносильные преобразования. Большая часть из них в школьном курсе не выявляется, хотя они более или менее существенно используются, в частности, при изучении уравнений. Единственным исключением служит понятие логического следования, которое в ряде учебных пособий является предметом изучения. Методика работы с понятием логического следования (а также с представлением о нем в случае, если понятие не вводится) имеет много общих черт с методикой изучения равносильности и равносильных преобразований.

Логическое следование начинает применяться значительно позже равносильности и осваивается в качестве некоторого дополнения к нему. При решении уравнений при прочих равных условиях предпочтение отдается равносильному преобразованию; логическое следование применяется лишь тогда, когда соответствующего равносильного преобразования найти не удается. Это, однако, не означает, что использование логического следования – вынужденная мера. Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется как прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может быть достигнуто сравнительно дорогой ценой.

Среди неравносильных преобразований есть преобразования, не являющиеся логическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного случая (пример: переход от уравнения a ∙b = 0 к рассмотрению уравнения a = 0). Такие переходы можно рассматривать как практические приемы, позволяющие сосредоточить внимание на отдельных шагах процесса решения уравнения.

ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

По сравнению с уравнениями и неравенствами с одной переменной их системы часто оказываются более удобным аппаратом как в самой математике, так и в ее приложениях. Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений (неравенств) с одной переменной требует большего труда (а иногда и искусства), чем решение с помощью системы уравнений (неравенств) с несколькими переменными.

Системы уравнений (неравенств) решаются на протяжении всего курса математики, начиная с 7 класса. Они находят применение при изучении новых математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Таким образом, решение систем уравнений (неравенств) является важным средством закрепления, углубления и развития теоретических знаний. Графическое решение систем уравнений (неравенств) раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.

Традиционная методика предполагала начинать ознакомление учащихся с понятием системы уравнений с решения, например, вот с такой задачи: « Сумма двух чисел равна 13, а и разность 2. Найти эти числа». Ясно, что поставленная задача найти пару чисел x и y таких, чтобы их сумма равнялась 13: , а разность равнялась бы 2: x – y=2. Очевидно, искомая пара чисел, если она существует, есть общее решение этих двух уравнений. После отыскания такой пары чисел (по соображению) отмечается, что задача решена с помощью двух уравнений с двумя переменными, причем по смыслу условий и требования задачи нужно было найти общее решение этих уравнений. Этот путь нагляден, прост и убедителен, но нередко приводит учащихся к превратным представлениям о роли уравнений с двумя и более переменными. Когда учащимся предлагается решить уравнение f(x, y)=0, они нередко ощущают определенную неловкость, считая, что поскольку переменных две, то и уравнений должно быть ровно два.

Такой неловкости не будет, если рассматривать изучаемый курс алгебры с более общих позиций, что конечно, и большего напряжения мысли учащихся, и большего мастерства учителя. Идея общего подхода заключается в следующем. Сначала рассматриваются конкретные примеры уравнений с двумя переменными. На этих примерах учащиеся убеждаются, что множества решений таких уравнений могут оказаться пустыми, конечными или бесконечными. Естественно возникает задача о методах отыскания таких множеств, столь же естественно вводится в рассмотрение графиков уравнений f(x, y)=0 (иногда такие графики могут оказаться графиками соответствий, не являющихся функциями). Затем общая задача сужается до рассмотрения (вновь на конкретных примерах!) линейных уравнений. Только после этого вводится понятие системы уравнений с двумя переменными и ставится вопрос о ее графическом решении, т.е. о ее пересечении соответствующих множеств (линий). Лишь на этой базе строится теория и практика решения систем линейных уравнений.

Столь общий подход к довольно узкому случаю очень любопытен с дидактической точки зрения. По существу здесь имеется синтез конкретно-индуктивного и абстрактно-дедуктивного методов обучения. С одной стороны, строится характерная для дедукции схема перехода от общего к частному. В то же время схема эта насыщена совершенно конкретными примерами, иллюстрациями, выводы делаются на основе частных, иногда однократных наблюдений, что характерно для индукции. Такой синтез двух методов, вообще говоря, очень полезен и, как правило, ведет к успешному усвоению учащимися нового материала.

При любом – традиционном или современном – подходе к введению систем уравнений дальнейшая работа несложна и сводится к изучению способов сложения и подстановки, решению текстовых задач составлением систем уравнений и анализу геометрического смысла систем уравнений.

Сделаем несколько частных замечаний о решении систем уравнений и неравенств.

При объяснении преобразований системы уравнений полезно ввести соглашения об операциях сложения и вычитания уравнений: «Если имеем два уравнения A=B и C=D, то уравнение A+C=B+D обычно называют суммой, а уравнение A – C=B – D – разностью данных уравнений». При допущении такой условности можно говорить об умножении уравнения на число: Aa=Bb. Такие соглашения сделают менее громоздкими объяснения выполняемых преобразований систем уравнений.

При решении систем уравнений нельзя ослаблять требований к оформлению записи, в противном случае учащиеся начинают вести записи небрежно и неправильно. Например, после преобразования системы уравнений , в систему , учащиеся теряют саму систему и производят вычисления: 3x=11, , .

В средней школе нет возможности детально развернуть теорию равносильности систем уравнений, поэтому и здесь, как и при изучении уравнений, вопрос о возможной потере решений или о возможном приобретении посторонних решений вследствие преобразований систем следует решать посредством наблюдения за изменением ОДЗ систем значений переменных в процессе преобразования системы. Поэтому с переходом к решению систем нелинейных уравнений(неравенств с двумя переменными) следует ввести определение: множества систем (пар) значений переменных уравнения (неравенства), при которых части уравнений(неравенства) не теряют смысла, называется областью допустимых систем (пар) значений переменных (ОДЗ).

ОДЗ для системы определяется как пересечение ОДЗ для всех уравнений (неравенств) системы.

Затем надо показать примеры изменения ОДЗ в процессе решения системы.

В решении систем неравенств следует отчетливо видеть два неравнозначных по содержанию и уровню трудности этапа. Первый - решение систем неравенств с одной переменной – в принципе очень прост. Неравенство с одной переменной, вообще горя, задает на прямой числовой промежуток.

Совершенно иное дело – системы неравенств с двумя переменными. Решением одного неравенства с двумя переменными называется, как известно, пара значений переменных, обращающая его в верное неравенство. Иначе говоря, множество решений неравенства с двумя переменными есть подмножество R², т.е. геометрически – двумерная область. Этот факт для учащихся достаточно нов, у них фактически нет основательной базы для его усвоения. Но уже через два-три урока вводится понятие системы неравенств с двумя переменными, т.е. отыскивается пересечение двух или нескольких довольно сложно организованных множеств. Очевидно, учитель должен на первых порах ограничиться очень скромным уровнем требований и простейшими примерами.