Решение задач по математической экономике

Задание на курсовую работу.

Задание 1. Общая задача линейного программирования.

Задание 2. Транспортная задача (закрытая модель).

Введение

1. Общая задача линейного программирования.

Проверка решение задачи в Excel:

2. Транспортная задача (закрытая модель).

Проверка решение задачи в Excel:

Заключение.

Список литературы.

Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Курсовая работа

По дисциплине: ”Математическая экономика”

на тему: «Решение задач по математической экономике»

Вариант - 6

Оглавление

Задание на курсовую работу. 3

Задание 1. Общая задача линейного программирования. 3

Задание 2. Транспортная задача (закрытая модель). 4

Введение 5

1. Общая задача линейного программирования. 6

1.1. Поиск оптимального плана выпуска продукции. 6

А. Графический метод. 6

Б. Симплекс-метод. 8

Проверка решение задачи в Excel: 12

1.2. Определение количество не использованного сырья 13

1.3. Формулировка экономически двойственной задачи. 13

1.4. Экономическая интерпретация результатов решения задачи 13

2. Транспортная задача (закрытая модель). 16

2.1. Нахождение оптимального плана методом северо-западного угла. 16

2.2. Нахождение оптимального плана методом наименьшей стоимости. 18

Проверка решение задачи в Excel: 24

Заключение. 25

Список литературы. 26

Предприятие выпускает два виду продукции А и В, для производства которых используется сырьё трёх видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого типа а1, а2, а3 соответственно, а для единицы изделия В – b1, b2, b3. Производство обеспечено сырьем каждого типа в количестве p1, p2, p3 соответственно. Прибыль от реализации единицы изделия А составляет m (у.д.е)., а единицы изделия В – n (у.д.е).

Найти оптимальный план выпуска продукции с целью максимизации прибыли

Графическим методом;
Симплекс-методом.

Определить количество не использованного сырья при оптимальном плане производства.
Сформулировать экономически двойственную задачу, записать математическую модель и используя двойственный симплекс-метод найти её решение.
Выполнить экономическую интерпретацию результатов решения задачи.

пояснить экономический смыл двойственной оценки ресурсов.
Указать вид наиболее дефицитного сырья
Определить прирост целевой функции прямой задачи и изменение оптимального плана и производства при увеличении объема сырья каждого вида на 1 ед.
Будет ли рентабельным для предприятия производство новой продукции С, для производства 1 ед. которой требуется 3, 7, 5 ед. сырья каждого из трех вдов соответственно, если доход от реализации 1 ед. продукции С составит 47 (у.д.е).

Таблица 1– Общая задача линейного программирования вариант 2.

a1	a2	a3	b1	b2	b3	p1	p2	p3	m	n
2	3	4	8	4	3	384	240	264	8	7

На трёх базах А1, А2, А3 находиться груз в количестве а1, а2, а3. Этот груз необходимо развести по пяти потребителям В1, В2, В3, В4, В5, потребность которых в данном грузе составляют b1, b2, b3, b4, b5 соответственно. Стоимость перевозок пропорциональна расстоянию и количеству перевозимого груза. Известны стоимости единицы товара от i-ой базы до j-го потребителя ci.

Найти начальный план перевозок закрытой ТЗ северо-западного угла и наименьшей стоимости. План, полученной методом наименьшей стоимости, улучшить до оптимального. Определить минимальные затраты перевозки груза (таблица 2).

Таблица 2- Тариф перевозок.

Исторически математическая экономика началась с моделей простого и расширенного воспроизводства. В них отражались потоки денег и потоки товаров и продуктов. Это, например, модель Ф. Кенэ. Позднее эти модели подробно и более глубоко изучались в экономической кибернетике - здесь можно указать на работы О. Ланге. Рассмотрены схемы денежных и материальных потоков, обеспечивающих простое и расширенное воспроизводство, их идентификацию, модели математической статистики. Далее возникли концепции производственных функций, предельных и маргинальных значений, предельных полезностей и субъективных полезностей. Дальнейшее развитие - в рамках линейного и выпуклого программирования, выпуклого анализа.

Далее: развитие тонких техник моделирования: имитационное моделирование, экспертные системы, нейронные сети.

Понятие субъективной полезности ввел в 18-ом веке Ф.Галиани. Затем это понятие и понятие предельной полезности развивали с середины 19-ого века: в рамках австрийской школы - К.Менгер, В.Бем-Баверк, Ф.Визер.

И австрийская, и математическая школы связаны с маржиналистской концепцией. Точный вид маргинальные оценки получили в теории двойственности в математическом программировании.

Цель заданной работы - освоить математическую постановку транспортной задачи линейного программирования и общую задачу линейного программирования

Поиск оптимального плана выпуска продукции.

Графический метод.

Нахождение оптимального плана выпуска продукции с целью максимизации прибыли использую исходные данные (рисунок 1).

Рисунок 1 – Исходные данные (а).

Составляем систему ограничений.

Где – количество продукции А и В.

– условие не отрицательности.

– целевая функция.

Приведем систему к каноническому виду:

Выразим из каждого уравнения и целевой функции перемену х₁:

	(1)
	(2)
	(3)
	(F)

Построим все функции в программе MSExcel и получим график (рисунок 2).

Рисунок 2 – Графическое представление решения задачи.

Координаты точекА (48;24), В (24;42), принадлежащие области определения, являются допустимым решением задачи.

Визуально строим вектор, перпендикулярный целевой функции. При максимизации целевой функции следует двигаться в направлении вектора. Двигая линию целевой функции до выхода из ОДЗ, получаем пересечение в точкеА (48;24). Следовательно, данная точка является искомым решением задачи.

Зная координаты точки В мы можем найти максимальную прибыль, подставив её значения в целевую функции.

– максимальная прибыль.

Ответ: Максимальная прибыль достигается в точке А. Подставив её координаты в целевую функцию была получена прибыль в размере 552 у.е.

Симплекс-метод.

Нахождение оптимального плана выпуска продукции с целью максимизации прибыли использую исходные данные (рисунок 3).

Рисунок 3 – Исходные данные (б).

Как и для предыдущего метода понадобиться составить систему ограничений, условие не отрицательностии целевую функцию

Где – количество продукции А и В.

– условие не отрицательности.

– целевая функция.

Приведем систему неравенств к каноническому виду путем добавления дополнительных не отрицательных переменных.

Выразим базисные переменные для построения опорного плана

Составляем новую симплекс таблицу (рисунок 4).

Рисунок 4 – Симплекс таблица.

Этап I.

Нахождение опорного решения.

Просматриваем столбец свободных переменных, если среди элементов bi нет отрицательных, то можем вывести опорное решение:

Этап II.

Исследуем опорное решение на оптимальность. Опорное решение Х не является оптимальным, т.к. в строке F есть отрицательные элементы, которым соответствуют столбцы с положительными элементами.

Переход к новому опорному плану:

Находим разрешающий столбец, выбираем max по модулю

Находим разрешающую строку

Разрешающим элементов является «4» в 3-строке, 1- столбце.

С таблицей производим один шаг модифицированного Жорданового преобразования:

- Новый разрешающий элемент вычисляем

- Меняем местами переменные х₅ и –х_1;

- Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент;

- Все элементы разрешающего столбца делим на разрешающий элемент и меняем знак на противоположный;

- Для вычисления оставшихся элементов пользуемся правилом прямоугольника.

Для этого выбираем из таблицы четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент

(1)

Где – вычисляемый элемент,

- разрешающий элемент,

А и В - элементы, образующие прямоугольник с элементами ;

Рассчитываем все элементы не симплекс таблицы в соответствии с вышеуказанными правилами (рисунок 5).

Рисунок 5 – Жорданого преобразование.

Результат первого преобразования элементов (рисунок 6).

Рисунок 6 – Результат пересчета.

– опорное решение.

В строке F содержится отрицательный элемент, следовательно, опорный план не оптимальный. Необходимо выбрать новый разрешающий элемент и произвести Жорданого преобразование (рисунок 7).

Разрешающим элементов является «3».

Рисунок 7 – Второе Жорданого преобразование.

Результат второго преобразования элементов (рисунок 8).

Рисунок 8– Результат пересчета второго преобразования.

В строке Fнет отрицательных элементов, следовательно, опорный план является оптимальным.

Х = (48;24;96;0;0) – оптимальный опорный план;

F= 48*8+7*24=552 – целевая функция равна максимальной прибыли.

Ответ:max прибыль равна 552 (у.д.е) достигается при выпуске 484 ед. продукции вида А и 24 ед. продукции вида В.

Для поиска решения определяем целевую ячейку, которая по условию стремиться к максимуму, изменяемые ячейки – количество выпускаемой продукции и добавляем ограничения (рисунок 9).

Рисунок 9 – Параметры поиска решения.

Найденное решение демонстрирует правильность подсчета максимальной прибыли симплекс методом (рисунок 10).

Рисунок 10- Решение задачи в Excel.

Определение количество не использованного сырья

Неиспользованным останется сырье 1-его вида в количестве 96ед. при оптимальном плане производства. Это можно увидеть как из опорного решения та и из проверки решения в Excel.

Х = (48;24;96;0;0) – оптимальный опорный план.

Ответ: Не использовано сырье 1-вида в количестве 96 ед.

Формулировка экономически двойственной задачи.

Составляем системуограничений.

Где – цена сырья I, II, III.

у₁, у₂, у₃≥0 – условие не отрицательности.

– целевая функция.

Y = (0;0;0;0;0,57;1,57) – опорное решение.

=552– целевая функция

Ответ:min цена за единицу II вида сырья равна 0,57 (у.д.е), III-ого вида – 1,57(у.д.е), а цена на I вид равна 0.

Экономическая интерпретация результатов решения задачи

а)Пояснить экономический смыл двойственной оценки ресурсов.

Пояснение экономического смыла двойственной оценки ресурсов представлены более наглядно в виде таблице (рисунок11).

Рисунок 11 – Экономический смысл.

По плану сырье видов II и III израсходовано полностью и цена на них ненулевая. Сырье I вида израсходовано не полностью и цена на него равна нулю.

По плану выпускаем оба вида продукции и им соответствуют нулевые превышения затрат.

Ответ: безразлично производить ли продукцию по оптимальному плану Х = (48;24;96;0;0)и получить прибыль 594 или продать все ресурсы по оптимальным ценам Y = (0;0;0;0;0,57;1,57)и получить прибыль552

F=W=552– равенство прибыли при производстве сырья и продажи ресурсов

б)Указать вид наиболее дефицитного сырья

Ответ:Наиболее дефицитным сырьем является сырье вида II и III, т.к. при достижении максимальной прибыли данных видов сырья останется в количестве равного 0.

в) Определить прирост целевой функции прямой задачи и изменение оптимального плана и производства при увеличении объема сырья каждого вида на 1 ед.

Увеличим объем каждого ресурса на 1 ед. (рисунок 12).

Рисунок 12 – Увеличение объема на 1 ед.

Новый опорный план будет иметь вид:Х = (40;16;120;0;0), из него следует что при изменения объема на 1 единицу мы сможем произвести продукцию А – 40ед. и продукцию В- 16 ед., что значительно меньше предыдущих показателей. При этом будет израсходовано меньшее количество ресурсов и суммарно останется 120 ед. против прежних 96 ед.

Ответ:Прироста целевой функции не произойдет из-за больших потребностей в ресурсах, и целевая функция примет вид: F= 40*8+16*7=432, из этого видно что существенно снизиться прибыль.

г)Рентабельность производство новой продукции С.

Добавим новый продукт «С» с заданными параметрами расхода сырья и цены (рисунок 13).

Рисунок 13 – Добавлен новый продукт в таблицу.

Затраты на производство продукцию С составят:

3*0+7*0,57+5*1,57=11.84

11.8447 рентабельно

Ответ:Цена товара С очень велика что делает его рентабельным в данной экономической ситуации. Следовательно его выгодно производить.

Нахождение оптимального плана методом северо-западного угла.

Исходные данные даны в виде таблице (рисунок 14).

Рисунок 14 – Исходные данные транспортной задачи.

Заполнение таблицы начинается с левого верхнего угла.

a₁₁ = min (100;200)=100

Вычеркиваем из рассмотрения столбец 1-ого потребителя, т.к. потребность удовлетворена. Переходим к столбцу 2

Запасы базы I остаются в количестве 200-100=100

а₁₂=min (140;100)=100

a₂₂=min (40;100)=40

a₂₃=min (40;60)=40

a₂₄=min (130;20)=20

a₃₄=min (110;200)=110

a₃₅=min (90;90)=0

Найден начальный план перевозок, т.к. израсходованы все запасы поставщиков и удовлетворены все потребности потребителей (рисунок 15).

Рисунок 15 – План перевозок.

Рассчитываем стоимость перевозок по составленному плану:

F=8*100+15*100+4*40+6*40+6*20+9*110+10*90=4050

Нахождение оптимального плана методом наименьшей стоимости.

Для решения транспортной задачи методом наименьшей стоимости потребуется (рисунок 16).

Рисунок 16 – Исходные данные.

x_ij- количество единиц груза, которое необходимо перевезти от i-ой базы к j-ому потребителю.

Система ограничений по запасам:

Система ограничений по потребителям:

_{–
условие не отрицательности.}

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее значение из столбца «Запасы» или строки «Потребности».

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, либо столбец, смотря, откуда было выбрано значение.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены. В результате получен первый опорный план (рисунок 17).

Рисунок 17 – Опорный план.

Закрытая транспортная задача должна содержать m + n – 1 заполненных ячеек. В нашем случае 3+5-1=7 - верно

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 11*40 + 4*130 + 12*30 + 4*100 + 5*100 + 7*40 + 10*60 =3100

Строим систему потенциалов для занятых клеток. Для этого потенциал строки с наибольшим количеством занятых ячеек приравнивается к нулю, остальные потенциалы находятся из равенства: u_i+v_j=c_ij.Получаем таблицу (рисунок 18).

Рисунок 18 – Таблица с потенциалами.

Проверяем построенный план на оптимальность. Для этого для пустых ячеек проверяем неравенство u_i+v_j≤ c_ij. План не является оптимальным (рисунок 19).

Рисунок 19 – Не оптимальный план.

В пустых ячейках, в которых не выполняется условие u_i+v_j=c_ij, находим наибольшее из разностей (u_i+v_j)-c_ijи в этой клетке ставим «+». Данная клетка будет являться началом цикла, затем из нее строим цикл, захватывающий заполненные ячейки. В остальных вершинах многоугольника чередуются знаки «-», «+».

∆ max = 2, из клетки (2;5) начинается цикл. Цикл может идти только под углом в и должен вернуться в соседнюю ячейку начала пути (рисунок 20).

Рисунок 20 – Цикл для клетки (2;3).

x_min = 60 – min значение в ячейках со знаком «-»

х₂₅=х₂₅+ x_min=60

х₂₂=х₂₂- x_min=100-60=40

х₃₂=40+60=100

х₃₅=60-60=0

Произведя вычисления составляем изменённую таблицу опорного решения и проверяем ее на оптимальность (рисунок 21).

Рисунок 21 – Изменённый опорный план.

Значение целевой функции нового опорного плана:

F(x) = 11*40 + 4*130 + 12*30 + 4*40 + 5*60 + 5*100 + 7*100 =2980

Строим систему потенциалов для занятых клеток. План не является оптимальным (рисунок 18).

Рисунок 18 – Опорный план с потенциалами.

Началом цикла будет являться клетка (1;1). Строим цикл и производим пересчет аналогично с предыдущим. (рисунок 19).

Рисунок 19 – Цикл для клетки (1;1).

x_min = 30 – min значение в ячейках со знаком «-»

х₁₁=х₁₁+ x_min=30

х₃₁=х₃₁- x_min=100-30=70

х₃₂=100+30=130

х₂₂=40-10=10

х₂₅=60-30=90

х₁₅=30-30=0

Произведя вычисления составляем изменённую таблицу опорного решения и проверяем ее на оптимальность (рисунок 17).

Рисунок 20 – Опорный план.

Значение целевой функции нового опорного плана:

F = 30*8+11*40+130*4+70*4+90*5+70*5+130*7=2950

Строим систему потенциалов для занятых клеток. И проверяем опорный план на оптимальность

Опорный план является оптимальным, так как все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i ≤ c_ij

Ответ: наименьшая стоимость перевозки равна 2950 ед., достигается при перевозке х₁₁=30, х₁₃=40, х₁₄=130, х₂₂=70, х₂₅=90, х₃₁=70, х₃₂=130.

Для поиска решения определяем целевую ячейку, которая по условию стремиться к минимуму, изменяемые ячейки (рисунок 22).

Рисунок 22 – Параметры поиска решения транспортной задачи.

Найденное решение демонстрирует правильность подсчета минимальный цены поставки (рисунок 23).

Рисунок 23 – Решение транспортной задачи в Excel.

Использование математических моделей позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям. Они научно обоснованы, и лицо, принимающее решение, может руководствоваться ими при выборе окончательного решения. Следует понимать, что не существует решений, оптимальных «вообще». Любое решение, полученное при расчете математической модели, оптимально по одному или нескольким критериям, предложенным постановщиком задачи и исследователем.

В настоящее время математические модели применяются для анализа, прогнозирования и выбора оптимальных решений в различных областях экономики. Это планирование и оперативное управление производством, управление трудовыми ресурсами, управление запасами, распределение ресурсов, планировка и размещение объектов, руководство проектом, распределение инвестиций и т.п.

При выполнении данной курсовой работы я получила представление об исследовании экономических проблем с помощью математических методов, на практике научилась строить линейные оптимизационные модели и решать линейные оптимизационные задачи, а также ознакомилась с принципом решения задач в табличном процессоре MSExcel.

Матрица тарифов aij

Абрамов Л.М., Капустин В.Ф. Математическое программирование. Л., Изд-Ленингр. ун-та, 1976. - 184 с.
Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб.пособие - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Высш. шк. ,1993 - 336 с.
Ашманов С.А.Линейное программирование. - М.: Наука, 1981.
Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник. -4-е изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 416 с.
Баканов М.И., ШереметА.Д.Экономический анализ: ситуации, тесты, примеры, задачи, выбор оптимальных решений, финансовое прогнозирование: Учеб.пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999. -656 с.
Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1989. -176 с.
Т.Н. Павлова, О.А. Ракова. Решение задач линейного программирования средствами Excel. Учебное пособие. - Димитровград, 2002г.
В.И. Ермаков. Сборник задач по высшей математике для экономистов.-М.: Издательство Инфра, 2001г, 574с.