Содержание 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Курсовая  работа представляет собой самостоятельную  работу, которая выполняется для  развития навыков инженерной деятельности. Курсовая работа базируется, в основном, на знаниях, полученных при изучении следующих курсов: «Математический анализ», «Методы оптимизации», «Исследование операций», «Алгоритмические языки и программирование» и т.д. Поскольку курсовая работа является разработкой, в известном смысле, законченной задачи, она должна научить студентов гораздо большему, чем закрепление знаний по одному разделу дисциплины, должна научить самостоятельному решению комплексных задач. При этом студент должен научиться мобилизовывать и увязывать знания, полученные в различных учебных курсах, научиться искать, а самое главное, находить нужные источники информации и извлекать из них только то, что требуется. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Линейная модель

      Стандартом  предусмотрено, что октановое число  автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы не более 0,3%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь четырёх компонентов. Данные о ресурсах смешиваемых компонентов, их себестоимости и их октановом числе, а также о содержании серы приведены в таблице 1:

Таблица 1

Данные  о компонентах бензина

      Требуется определить, сколько тонн каждого  компонента следует использовать для  получения 1000 тонн автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Построение математической  модели

     Процесс построения математической модели можно начать с ответов на следующие три вопроса:

1. Для определения каких величин должна быть построена модель?
2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?
3. В чём состоит цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

     Конструктивный  путь формулировки ответов на поставленные вопросы в том, чтобы словесно выразить суть проблемы.

3.1. Словесная формулировка  проблемы

     Заводу  требуется определить, в каком объёме нужно использовать компоненты (в тоннах), для получения 1000 тонн бензина, минимизирующие себестоимость (в ден.ед.) от производства бензина, с учётом октанового числа, содержания серы и ресурсов четырёх компонентов (ограничения).

3.2. Математическая формулировка

3.2.1. Переменные

     Так как нужно определить объёмы использования каждого компонента, для производства бензина, то переменными в модели являются:

      - объём использования компонента  №1 (в тоннах),

      - объём использования компонента №2 (в тоннах),

      - объём использования компонента №3 (в тоннах),

      - объём использования компонента №4 (в тоннах).

3.2.2. Целевая функция

     Так как себестоимость одной тонны  компонента №1 равна 40 ден.ед., то для  производства 1000 тонн бензина её себестоимость  составит ден.ед. Аналогично себестоимость компонента №2 составит , компонента №3 и компонента №4 . При допущении независимости объёмов использования каждого из компонентов, общая себестоимость равна сумме четырёх слагаемых – себестоимость использования компонента №1, себестоимость использования компонента №2, себестоимость использования компонента №3 и себестоимость использования компонента №4.

     Обозначив общую себестоимость (в ден.ед.) через Z, можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить допустимые значения , , и , минимизирующие величину общей себестоимости   

3.2.3. Ограничения

     При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на октановое число, содержание серы и ресурсы компонентов. Ограничение на октановое число можно записать следующим образом:

      *1000 (т.к. нужно изготовить 1000 тонн  бензина)

     Это приводит к следующему ограничению:

     Ограничение на содержание серы имеет вид:

     Это приводит к следующему ограничению:

     Ограничения на ресурсы имеют следующие ограничения:

     Это приводит к следующему ограничению:

     Это приводит к следующим четырём  ограничениям:

     Неявное ограничение заключается в том, что объёмы производства продукции  не могут принимать отрицательных значений. Чтобы предотвратить получение таких недопустимых решений, потребуем выполнение условий неотрицательности переменных, т.е. введём ограничения:

     Итак, математическую модель можно записать следующим образом.

     Определить объёмы использования компонентов №1, №2, №3 и №4 (в тоннах), т.е. переменные , , и , при которых (целевая функция) и которые удовлетворяют условиям:

3.3. Выбор и обоснование  метода решений  поставленной задачи

      Так как все входящие в модель функции (ограничение и целевая функция) я являются линейными, то данная задача относится к классу задач линейного  программирования (ЛП), поэтому для её решения необходимо применить один из методов решения задач ЛП. Универсальный метод решения таких задач – симплекс-метод.

3.4. Решение задачи

     Если  рассматриваемая задача решается с  помощью симплекс-метода, то необходимо ограничения записать в виде равенств, вводя в каждое ограничение соответствующую остаточную переменную.

     Введение  дополнительных (остаточных) переменных позволяет разрешить систему  относительно базисных переменных. Так  как базисные переменные принимают  положительные значения, что определено введёнными выше ограничениями, то исходное опорное решение найдено. В противном случае необходимо зафиксировать неразрешимость задачи. 

      Процесс нахождения оптимального решения приведён в табл. 2 (см. ниже).

      Выполнив  шесть итераций для получения  оптимального решения, получили результирующую симплекс таблицу, из которой следует, что оптимальное решение имеет  вид:

       =574,044 тонны,  =137,967 тонны, =287,988 тонны, при этом Z=57158,769 ден.ед, т.е. для получения 1000 тон автомобильного бензина, соблюдая минимально возможной себестоимости, завод, при заданных ограничениях, должен использовать 574,044 тонны компонента №1, 137,967 тонны компонента №3 и 287,988 тонны компонента №4. При соблюдении данных рекомендаций завод будет иметь себестоимость, изготовляя 1000 тонн бензина, в размере 57158,769 ден.ед.

Таблица 2

4. Решение задачи  с применением  надстройки MS Excel

     Экранная  форма с введёнными значениями для данной задачи представлена на рис. 1. 

Рис. 1. Экранная форма с введёнными значениями 

     Для решения поставленной задачи необходимо ввести зависимость из математической модели в окно надстройки «Поиск решения». Результат этой работы представлен на рис. 2. 

Рис. 2. Окно надстройки «Поиск решения» 

    На  следующем этапе необходимо задать параметры поиска решений, соответствующие  данной математической модели (рис. 3). 

Рис. 3. Параметры  поиска решений 

     Решение задачи с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения» показало, что задача решена, все условия и ограничения оптимальности выполнены. Результат работы «Поиска решения» представлены на рис. 4. 

Рис. 4. Результаты работы «Поиска решения» 

     Данные  результаты совпадают с результатом решения задачи первым способом. Таким образом, в результате сравнения решений можно сделать вывод, что математическая модель составлена верно, и полученные результаты обеспечивают оптимальное значение целевой функции.

     Если  надстройка «Поиск решения» нашла решение, MS Excel предоставляет возможность на основе полученного решения создать отчёт следующих типов: отчёт по результатам, отчёт по устойчивости и отчёт по пределам.

     Для создания отчётов в диалоговом окне «Результаты поиска решения» в списке Тип отчёта нужно выбрать один или несколько типов отчётов и щелкнуть по кнопке OK. Соответствующие отчёты будут созданы на новых листах в текущей рабочей книге, каждый тип отчёта на отдельном рабочем листе.

4.1. Отчёты о решении задачи

1. В отчёте по результатам выводятся исходные и полученные в результате поиска решения значения изменяемых ячеек и целевой функции, а также сведения об ограничениях задачи. Отчёт по результатам состоит из трёх таблиц (рис. 5):

1. таблица 1 содержит информацию о целевой функции;
2. таблица 2 содержит информацию о значениях переменных, полученных в результате решения задачи;
3. таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.

Рис. 5. Отчёт  по результатам

2. Отчёт по устойчивости даёт основную информацию для анализа чувствительности линейных. Этот анализ показывает, насколько чувствительно найденное оптимальное решение к небольшим изменениям параметров модели. Этот тип отчёта будет недоступен, если в модели используются ограничения целочисленности. Отчёт по устойчивости состоит из двух таблиц (рис. 6):

1. таблица 1 содержит информацию, относящуюся к переменным;
2. таблица 2 содержит информацию, относящуюся к ограничениям.

Рис. 6. Отчёт  по устойчивости 

3. Отчёт по пределам (рис. 7) представляет собой ограниченный вариант отчёта по устойчивости. Здесь показаны наименьшее и наибольшее значения, которые может принимать каждая изменяемая переменная целевой функции. Этот тип отчёта будет не доступен, если в модели используется ограничение целочисленности.

Рис. 7. Отчёт  по пределам

4.2. Анализ модели на чувствительность

     Используя полученные отчёты, проведём анализ полученного  решения на чувствительность. Он должен дать ответы на следующие вопросы:

• В каких пределах могут изменяться параметры модели так, чтобы сохранялось полученное решение?
• Какие ограничения лимитируют целевую функцию (связанные), а какие не влияют на решение?
• Если изменить правую часть связанных ограничений, то насколько может измениться значение целевой функции?
• Если значение какой-либо переменной равно нулю, при каких условиях она может принять положительное значение?

     Данные  отчёты позволяют получить информацию относительно:

• оптимального решения;
• статуса ресурсов;
• максимального изменения запаса ресурсов;
• ценности каждого ресурса;
• вариациям коэффициентов целевой функции.

4.2.1. Оптимальное решение

     Используя данные, содержащиеся в отчёте по результатам в таблицах 1 и 2 (см. рис. 5), основные результаты можно представить следующим образом (табл. 3):

Таблица 3

4.2.2. Статус ресурсов

     Все ресурсы могут быть разделены на дефицитные и недефицитные в зависимости от того, полное или частичное их использование предусматривает оптимальное решение задачи.

     В модели рассматриваемой задачи фигурируют семь ограничений. Первое ограничение  представляет собой ограничение на октановое число автомобильного бензина А-76. Второе ограничение определяет собой ограничение на содержание серы в бензине. Остальные пять ограничений относятся к ресурсам  (объём использования компонентов).

     Статус  ресурсов для данной задачи можно установить из отчёта по результатам из таблицы 3. Применительно к рассматриваемой задаче можно привести следующую сводку результатов (табл. 4).

Таблица 4

     Из таблицы видно, что ресурсы 4, 5, 6 и 7, связанные с получением бензина, являются недефицитными. Поэтому любое увеличение их запасов сверх установленного максимального значения приведёт лишь к тому, что они станут ещё более недефицитными. Оптимальное решение задачи при этом остаётся неизменным.

4.2.3. Максимальное изменение  запаса ресурса

     В отчёте по устойчивости в таблице 2 (см. рис. 6), в графе «Допустимое  уменьшение» показано, насколько  можно уменьшить или увеличить  ресурс, сохранив при этом оптимальное решение. Анализ отчёта по результатам показывает причины, не позволяющие заводу получать меньшее, чем в оптимальном решении (Z=57142,857), количество автомобильного бензина и иметь более низкую себестоимость. В рассматриваемой задаче такими ограничениями являются дефицитные ресурсы «Октановое число бензина», «Содержание серы в бензине» и «Сумма ресурсов компонентов». Поскольку на ресурсы «Октановое число бензина» и «Сумма ресурсов компонентов» наложено ограничение типа , то возникает вопрос, насколько может возрасти количество этого ресурса, чтобы обеспечить уменьшение себестоимости бензина при его получении. Ответ на этот вопрос показан в графе «Допустимое увеличение». Количество ресурса по октановому числу имеет смысл увеличить не более чем на 1666,667 процентов, а количество ресурса по сумме ресурсов – на 1,316. Это приведёт к новым оптимальным решениям ( разница составляет 142,857; разница составляет 94), уменьшающим себестоимость по сравнению с полученным решением. Дальнейшее увеличение количества ресурса по содержанию серы сверх указанных пределов не будет улучшать решение, т.к. уже другие ресурсы станут связывающими.

4.2.4. Ценность ресурсов

     Ресурсы, увеличение запаса которых позволяет улучшить решение (уменьшить себестоимость) – это содержание серы, октановое число и сумма ресурсов компонентов, т.к. они дефицитные. Возникает вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств на увеличение их запасов с тем, чтобы получить от них максимальную отдачу? Для ответа на этот вопрос рассмотрим ценность ресурсов.

     Ответ на этот вопрос даёт графа «Теневая цена». Для содержания серы она равна -228,571 ден.ед., для октанового числа равна 0,714 ден.ед. и для суммы ресурсов компонентов равна 71,429. То есть приобретение каждого дополнительного процента содержания серы уменьшает себестоимость на 228,571 ден.ед., октанового числа увеличивает себестоимость на 0,714 ден.ед., суммы ресурсов компонентов увеличивает себестоимость на71,429 ден.ед. Отсюда вывод: выгодно увеличивать количество содержания серы в бензине. 

4.2.5. Максимальное изменение коэффициента стоимости

     Наряду  с определением допустимых изменений  запасов ресурсов представляет

интерес установление интервала допустимых изменений коэффициентов прибыли  или стоимости.

     Допустимое  увеличение объёма компонента №1 равно 4,999 тонн, а допустимое уменьшение - 4,545 тонн. Это значит, что если объём компонента №1 возрастёт более чем на 4,999 тонн, например станет равным 576,429 тонн, то оптимальное решение изменится (Z=57342,857): будет не целесообразно использовать компонент №1 в количестве 576,429 тонн. Если объём будет уменьшен на 4,545 тонн, станет равным 569 тонн, то оптимальное решение изменится (Z=57045,714): станет целесообразным использовать компонент №1 в количестве 569 тонн.

     Допустимое  увеличение компонента №3 равно 2,499 тонн, а допустимое уменьшение - 3,333 тонн. Это значит, что если объём компонента №3 возрастёт боле чем на 2,499 тонн, например станет равным 145,857 тонн, то оптимальное решение изменится (Z=57322,857): не целесообразно использовать компонент №3 в количестве 145,857 тонн. Если объём будет уменьшен на  3,333 тонн, станет равным 139,524 тонн, то оптимальное решение изменится (Z=56942,877): станет целесообразным использовать компонент №3 в количестве 139,524 тонн.

     Допустимое  увеличение компонента №4  равно 9,999 тонн, а допустимое уменьшение - 6,579 тонн. Это значит, что если объём компонента №4 возрастёт боле чем на 9,999 тонн, например станет равным 295,714 тонн, то оптимальное решение изменится (Z=58042,857): не целесообразно использовать компонент №4 в количестве 295,714 тонн. Если объём компонента №4 будет уменьшено на 6,579 тонн, станет равным 279,135 тонн, то оптимальное решение изменится (Z= 56550,756): станет целесообразным использовать компонент №4 в количестве 279,135 тонн.