Робот с тремя степенями свободы
§2. Об исполнительном механизме манипуляционных роботов.
Структурная формула манипулятора.
Основные базовые структуры.
Механизмом называют всякую систему тел, предназначенную для преобразования движения одних тел в требуемое движение других.
В некотором смысле манипулятор удовлетворяет этому определению. Действительно, движение, которое совершается двигателями манипулятора, преобразуется в движение его звеньев по требуемому закону. Вместе с тем, манипулятор представляет собой сложный машинный агрегат, включающий двигатели, передаточные механизмы, систему управления, а также собственно манипуляционный механизм, предназначенный для непосредственного воздействия на рабочую среду. Этот манипуляционный механизм называется исполнительным механизмом манипуляционного робота и в дальнейшем будет для краткости именоваться манипулятором.
При построении математической модели манипулятора мы не будем касаться вопросов устройства и работы двигателей и передаточных механизмов.
Условимся называть тела, образующие исполнительный механизм, его звеньями и примем предположение о том, что эти тела являются абсолютно твердыми. Каждое звено манипулятора может состоять из совокупности многих деталей; признаком принадлежности их к одному звену является их относительная неподвижность в процессе движения.
Звенья манипулятора образуют кинематические пары, то есть такие соединения двух соприкасающихся звеньев, которые допускают их относительное перемещение.
Число степеней свободы звеньев кинематической пары в относительном движении определяется как , где - число условий связи, наложенных на относительное движение звеньев, . Число определяет класс кинематической пары , так шаровой шарнир является парой третьего класса, цилиндрическая пара вращения и призматическая пара поступательного движения являются парами пятого класса. Независимо от конструктивного выполнения кинематическую пару пятого класса назовем вращательной парой, если она допускает относительное вращение звеньев, и поступательной парой, если она допускает их относительное поступательное перемещение. Схематическое изображение вращательных (рис.1а) и поступательных (рис.1б) пар пятого класса с одним неподвижным звеном показано на рис.1.
Система звеньев, образующих кинематические пары, называется кинематической цепью. Если при этом имеются звенья, входящие только в одну кинематическую пару, то кинематическая цепь называется разомкнутой. Если же каждое звено входит хотя бы в две кинематические пары, то цепь называется замкнутой. Исполнительный механизм робота представляет собой разомкнутую кинематическую цепь. Механизмом, вообще говоря, является лишь такая кинематическая цепь, в которой при заданном движении одного или нескольких звеньев все остальные звенья совершают однозначно определенные движения. Именно это условие позволяет совершать с помощью механизма целенаправленные движения.
Число независимых движений, в которых могут участвовать звенья манипулятора, определяет число его степеней подвижности. Для пространственной кинематической цепи число степеней подвижности относительно неподвижного звена определяется формулой
где - число подвижных звеньев, - число кинематических пар -го класса. Для кинематической цепи, включающей только пары пятого класса , а в случае, когда число подвижных звеньев равно числу кинематических пар пятого класса .
Замечание: не следует путать число степеней подвижности механизма с числом степеней свободы его последнего звена и связанного с ним рабочего органа. Число степеней свободы рабочего органа не может быть больше 6, тогда как число степеней подвижности манипулятора можно сделать любым. Очевидно только, что при число степеней свободы рабочего органа будет также меньше 6, но условие не обязательно обеспечивает 6 степеней свободы рабочего органа.
Для того, чтобы иметь возможность свободно перемещать и произвольно ориентировать объект манипулирования в рабочей зоне механизм должен обеспечивать 6 степеней свободы рабочему органу. Если это достигается числом степеней подвижности, большим 6, то такой механизм называется механизмом с двигательной избыточностью. Такого рода механизмы обеспечивают необходимую маневренность руке робота (при наличии, например, препятствий в рабочей зоне, при необходимости проникновения руки в труднодоступные места и пр.) (рис.2).
Надо отметить, что множественность
степеней подвижности является одним
из главных свойств живых
Кинематические пары третьего или четвертого классов независимо от их конструктивного исполнения можно заменить соответственно тремя или двумя парами пятого класса. Условие замены состоит в том, чтобы сохранилось число степеней подвижности и относительное положение всех звеньев. Такая замена позволяет представить кинематические схемы различных по своей конструкции исполнительных механизмов в виде схем, содержащих только кинематические пары пятого класса. Это облегчает процедуру построения математических моделей и последующего расчета манипуляторов на ЭВМ.
Условимся в дальнейшем рассматривать только манипуляторы, состоящие из кинематических пар пятого класса, обеспечивающих возможность вращения вокруг некоторой оси или поступательного перемещения вдоль оси. Эту ось называют осью кинематической пары.
При описании манипулятора будем обозначать его звенья порядковыми номерами от 0 до (0 – номер неподвижного звена – стойки). Кинематической паре, образованной -м и -м звеньями присваиваем номер ( ).
Последовательность и тип
Задача достижения характеристической точкой рабочего органа (полюсом) определенной точки рабочей зоны называется задачей позиционирования, тогда как задача достижения определенного положения рабочего органа в заданной точке рабочей зоны называется задачей ориентации. При решении какой-то технологической задачи эти две проблемы могут быть разделены и решаться последовательно. Для решения задачи позиционирования исполнительный механизм робота должен обеспечить схвату 3 степени свободы. Этого можно достичь тремя степенями подвижности; соответствующие механизмы называются базовыми структурами. Для решения задачи ориентации к базовой кинематической цепи необходимо добавить по крайней мере еще три звена.
На рис.3-6 приведены примеры основных базовых структур (основные структурные кинематические схемы).
§3. Обобщенные и операционные координаты манипулятора.
Формулировка прямой и обратной задач кинематики манипулятора.
В процессе выполнения технологических задач рука робота меняет свою конфигурацию. Описать конфигурацию манипулятора – значит указать положение каждого последующего звена по отношению к предыдущему. Это можно сделать путем введения обобщенных координат манипулятора – независимых параметров, однозначно характеризующих его конфигурацию. Так, если -я пара – вращательная, то положение -го звена по отношению к -му однозначно определится углом поворота -го звена относительно -го и можно положить . Если же -я пара – поступательная, то , где - смещение -го звена по отношению к -му, . Для манипуляторов с кинематическими парами пятого класса число обобщенных координат равно числу звеньев и вектор однозначно определяет конфигурацию манипулятора, а различным наборам обобщенных координат соответствует пространство конфигураций . Границы этого -мерного пространства определяются конструктивными ограничениями на : .
Операционными координатами манипулятора называются параметры, однозначно характеризующие положение его рабочего органа в базовой (связанной со стойкой ) системе координат. Под положением рабочего органа как твердого тела понимают положение его характеристической точки (полюса) и ориентацию относительно этой точки. Положение полюса можно задать декартовыми, цилиндрическими или любыми другими координатами в базовой системе. Ориентация может быть задана, например, направляющими косинусами осей координат, жестко связанных с рабочим органом, по отношению к осям базовой системы. В этом случае вектор операционных координат состоит из 12 компонент: трех координат полюса и 9 направляющих косинусов, однако независимых компонент 6, так как направляющие косинусы связаны шестью условиями ортонормальности.
Ориентацию рабочего органа можно задать и углами Эйлера (рис.7): углом собственного вращения , углом прецессии и углом нутации . В этом случае компоненты вектора операционных координат будут независимы.
Каждой конфигурации манипулятора соответствует вполне определенное положение его рабочего органа, то есть
, (3.1)
где - однозначная и дифференцируемая почти всюду вектор-функция.
Задача определения положения и ориентации рабочего органа по заданной конфигурации называется прямой задачей кинематики манипулятора. Эта задача будет решена, если найдется явный вид зависимости (3.1).
Каждому положению рабочего органа может соответствовать одна или несколько конфигураций манипулятора. Задача определения этих конфигураций по заданному положению рабочего органа называется обратной задачей кинематики манипулятора. Математически задача состоит в обращении зависимости (3.1), то есть в нахождении функции
. (3.2)
§4. Матрицы поворота и их свойства. Формула Родриго.
Как известно, всякое конечное перемещение твердого тела с одной неподвижной точкой можно совершить одним поворотом этого тела вокруг оси конечного вращения, проходящей через неподвижную точку. Пусть твердое тело повернулось на угол вокруг оси , , проходящей через точку - начало неподвижной системы координат, причем поворот осуществился против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора . Пусть - радиус-вектор некоторой точки тела до поворота, а - радиус-вектор той же точки после поворота.
Рис.8
В результате поворота жестко связанная с телом система координат, до поворота совпадавшая с неподвижной системой , переходит в положение (рис.8). Обозначим , , . Пусть - основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось конечного вращения , - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Очевидно, что и прямая перпендикулярна плоскости . Если - единичный вектор , то
, а
. (4.1)
Очевидно, что
, (4.2)
а , где
, (4.3)
так что . (4.4)
Подставляя (4.1), (4.4) с учетом (4.3) в (4.2) получим
или после преобразования
. (4.5)
Формула (4.5) дает связь между радиус-векторами точки до и после поворота на угол вокруг оси и называется формулой Родриго.
Запишем эту формулу в матричном виде. Пусть
, , где - координаты точки в неподвижной системе , с которой до поворота совпадала система . Тогда , где - единичная матрица.
=
Теперь формулу Родриго можно записать в виде
. (4.6)
Здесь - матрица поворота на угол вокруг оси с направляющим вектором . Явный вид этой матрицы выражается формулой
(4.7)
Матрица является матрицей поворота системы в систему . Ее столбцы представляют собой направляющие косинусы орт системы в системе . В частности повороты вокруг координатных осей задаются матрицами
. (4.8)
Выведем теперь формулы, выражающие направляющие косинусы оси конечного вращения и угол поворота через элементы матрицы поворота . Найдем след матрицы .
откуда определим угол поворота
. (4.9)
Очевидно, что , , , так что
, , . (4.10)
Отметим, что формула (4.6) может иметь два истолкования.
1). Она дает связь между радиус-
2). Она связывает радиус-векторы фиксированной точки тела в разных системах координат: - радиус-вектор точки в системе , неизменно связанной с телом, - радиус-вектор той же точки, но в неподвижной системе , относительно которой система повернута на угол вокруг оси .
Основные свойства матриц поворота.
1). Матрица, обратная матрице
поворота,- тоже матрица поворота
вокруг той же оси, на тот
же угол, но в противоположном
направлении; она получается
2). .
3). Произведение матриц поворота есть матрица поворота.
4). Столбцы матрицы поворота – проекции ортов повернутой системы координат, жестко связанной с вращающимся телом, на оси неподвижной системы.
5). Строки матрицы поворота – проекции ортов неподвижной системы координат на оси повернутой системы, жестко связанной с вращающимся телом.
6). , (4.11)
где - вспомогательная матрица, зависящая только от положения оси вращения
. (4.12)
В частности
Формула (4.11) позволяет формализовать вычисление производных от матриц поворота.
§5. Проективное пространство
Линейные преобразования в
В трехмерном евклидовом пространстве любое линейное преобразование, сохраняющее расстояния между точками (движение), представляет собой композицию параллельного переноса и поворота, то есть
, (5.1)
где - радиус-вектор некоторой точки в системе , - радиус-вектор той же точки в системе , - матрица поворота системы относительно системы до совмещения направлений соответствующих осей этих систем.
Представление линейного преобразования в виде суммы (5.1) неудобно для формализации вычислений.
Известно, что пространство можно рассматривать как подпространство проективного пространства . Элементы этого пространства – трехмерные векторы удобно представлять четверками действительных чисел , таких что:
1. ,
2. для любого .
Эти числа называют однородными координатами вектора .
Однородные координаты вектора связаны с его аффинными координатами отношениями . Если , то и .
Отсюда и вытекает, что есть подпространство такое, что . В принятых обозначениях нулевой вектор записывается как . Векторы вида из представляют собой бесконечно удаленные точки пространства, соответствующие направлению в .
Основные операции над векторами в однородных координатах выполняются следующим образом.
1. ;
2.
3.
4.
5. .
Плоскость в также задается четверкой действительных чисел ; первые три из них представляют собой декартовы координаты единичного вектора внешней нормали к плоскости, равно взятому со знаком «минус» расстоянию от начала координат до плоскости.
Точки проективного пространства определяют направления осей системы координат.
Линейные преобразования в задаются произвольными матрицами . При этом линейным преобразованиям , рассматриваемого как подпространство , соответствуют матрицы вида
Среди всех линейных преобразований нас интересуют вращения и сдвиги. Очевидно, что преобразования вращения в задаются матрицами вида , где - ортогональная матрица поворота , элементы которой являются направляющими косинусами осей повернутой системы координат относительно неподвижной системы . Преобразования сдвига задаются в матрицами вида
Очевидно, что движения в , представимые в виде композиции вращения и сдвига, определяются произведением матриц
. (5.2)
Обратное преобразование задается матрицей
. (5.3)
Итак, если система переходит в систему движением, определяемым матрицей , а система переходит в систему движением, определяемым матрицей , и некоторый вектор имеет в этих системах координаты и соответственно, то преобразование осуществляется по формулам
и , (5.4)
формулы же преобразования координат совпадают с соответствующими формулами в
(5.5)
Однородная запись линейного преобразования (5.4) в в отличие от записи (5.1) в позволяет компактно и унифицировано записывать многие геометрические, кинематические и динамические соотношения для сложных пространственных механизмов, каковыми являются манипуляторы.
Отметим еще раз, что матрица полностью описывает положение системы по отношению к системе . Ее первые три столбца являются направляющими косинусами ортов системы в системе , четвертый столбец представляет координаты вектора в системе .
§6. Выбор и преобразование систем координат, связанных со звеньями манипулятора. Параметры Денави-Хартенберга.
Уравнения кинематики и динамики манипулятора по сложности и наглядности зависят от выбора его обобщенных координат и систем координат, жестко связанных со звеньями. В 3 мы уже условились о выборе обобщенных координат, характеризующих конфигурацию манипулятора. Приведем один из возможных и наиболее универсальных вариантов выбора ортогональных систем координат, жестко связанных со звеньями манипулятора.
Напомним, что осью вращательной пары , связывающей звенья и , является ось цилиндрического шарнира, жестко связанная со звеном , вокруг которой вращается звено . Для поступательной пары осью является любая прямая, параллельная вектору скорости поступательного движения звена относительно звена .
С каждым звеном манипулятора от 0 (стойка) до (схват) свяжем свою декартову систему координат следующим образом.
Базовую неподвижную систему, связанную со стойкой манипулятора выбираем так: начало системы точка - любая точка оси (0)-й кинематической пары; ось направляем по оси этой пары, ось направляем произвольно в плоскости, перпендикулярной оси , ось направляем по правилу правой тройки.
Ось системы, жестко связанной с -м звеном ( ) направляем по оси -й кинематической пары. Точка выбирается на общем перпендикуляре к осям , либо в точке их пересечения, если таковая имеется, либо в любой точке оси -й кинематической пары, если оси совпадают или параллельны. За направление оси можно брать направление вектора , если оси не параллельны. Если же эти оси параллельны, то направляем по вектору . Если оси совпадают, то любые направления для оси равнозначны. Ось направляем по правилу правой тройки.
Систему выбираем так: начало помещаем в характеристическую точку рабочего органа; направления осей стараемся согласовать с геометрией схвата, направляя ось в «продольном» направлении, - в «поперечном», - по правилу правой тройки (рис. 9). Орты этой системы координат определяют ориентацию рабочего органа.
На рис. 10 приведен пример выбора систем координат, жестко связанных со звеньями манипулятора, структурная формула которого .
Итак, каждая -я система координат, , связана с -м звеном манипулятора. Перемещение -й системы относительно -й характеризует движение -го звена относительно -го. Это движение при введенных ограничениях может быть либо поворотом на угол вокруг оси , либо сдвигом вдоль этой оси на величину .
При указанном выборе систем координат звеньев взаимное расположение и -й систем характеризуется следующими параметрами, называемыми параметрами Денави-Хартенберга (рис. 11):
1) углом между осью и лучом, проведенным из точки параллельно оси ;
2) алгебраической величиной отрезка ;
3) алгебраической величиной отрезка ;
4) углом между осями и .
Система координат переходит в систему с помощью четырех элементарных преобразований, выполняемых в следующем порядке:
1) поворот на угол вокруг оси до тех пор, пока ось не станет параллельна оси ;
2) перенос на величину вдоль оси до тех пор , пока оси и не окажутся на одной прямой;
3) перенос на величину вдоль оси до тех пор, пока точка не совпадет с точкой ;
4) поворот на угол вокруг оси до тех пор, пока система не совместится с системой .
Каждому из указанных преобразований соответствует своя матрица преобразования в :
, ,
так что
Преобразование системы в систему можно теперь представить как композицию указанных элементарных преобразований
(6.1)
с соответствующей матрицей
, (6.2)
которую в соответствии с (6.1) будем называть матрицей перехода от -й системы координат в -ю.
Обратная матрица , то есть матрица перехода из -й системы координат в -ю может быть вычислена по формулу (5.3)
(6.3)
так что
. (6.4)
Очевидно, эту матрицу тоже можно представить в виде произведения четырех матриц, соответствующих элементарным преобразованиям -й системы в -ю.
Если -я пара – вращательная, то параметры являются постоянными и переменной будет только величина , характеризующая поворот в кинематической паре. Как было ранее условлено эта величина и принимается за обобщенную координату .
Если -я пара – поступательная, то постоянными будут , а переменной – величина . Так что
Обобщая формулы (4.11), (4.12) для дифференцирования матриц поворота в , можно записать, что
, (6.5)
где , если -я пара вращательная и (6.6)
, если
-я пара поступательная.
Свойство (6.5) матриц очень полезно при математическом моделировании манипуляторов, так как позволяет заменить трудоемкую операцию дифференцирования операцией умножения матриц.
Еще раз подчеркнем, что матрица однозначно определяется обобщенной координатой ( или ) и геометрическими и конструктивными параметрами ( или ) манипулятора.
§7. Уравнение кинематики манипулятора.
Прямая задача кинематики.
Пусть
- радиус-вектор некоторой точки пространства
в
-й системе координат,
. Для инерциальной системы, связанной
с неподвижной стойкой манипулятора индекс
0 будем опускать:
- радиус-вектор той же точки пространства
в базовой системе координат. По формуле
(6.1)
, где
- матрица перехода из
-й системы в
-ю,
- радиус-вектор указанной точки в
системе
. Аналогично можно записать, что
и т.д., так что
, (7.1)
где
- (7.2)
матрица перехода из -й системы в базовую.
Если и , то и . В случае, когда :
Итак,
, (7.3)
где - матрица перехода из -й системы в -ю. Если , то
- (7.4)
матрица перехода от системы координат, связанной со схватом, в базовую систему.
Так как все матрицы , однозначно выражаются через и геометрические и конструктивные характеристики звеньев манипулятора, то равенство (7.1) позволяет установить зависимость между обобщенными координатами и декартовыми координатами произвольной точки манипулятора. Уравнение
(7.5)
дает связь между обобщенными координатами манипулятора и координатами любой точки схвата в инерциальной системе.
Согласно ранее сказанному элементы матрицы имеют известный геометрический смысл: ее четвертый столбец есть вектор , то есть определяет положение полюса схвата в базовой системе координат; первые три столбца являются направляющими косинусами ортов системы в базовой системе, то есть определяют ориентацию схвата, так что можно записать
. (7.6)