Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Розв’язування задач сфероїдної геодезії. 2

Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства та природокористування

Кафедра землеустрою, геодезії та геоінформатики

Курсова робота

на тему:

"Розв’язування задач сфероїдної

геодезії"

Дисципліна: вища геодезія

Варіант № 105

Виконав:

студент ІІІ курсу

ФЗГ, ГІС – 2

Левчук А.В.

Викладач:

Кошицький П.Г.

Рівне-2008 р.

Зміст

Обчислення довжини дуги меридіану

Завдання. Обчислити довжину дуги між точками меридіану з широтами В₁= та В₂= ; N – номер варіанту.

А₁ – точка на меридіанному еліпсі з широтою В₁. А₂ – точка на меридіанному еліпсі з широтою В₂.

Якщо різниця широт точок А₁ та А₂ виражається величиною В₂-В₁= dB, то при dB елементарна дуга меридіанного перерізу ds=MdB, а довжина дуги s виражається інтегралом

(1)

(2)

M — радіус кривизни мередіанного перерізу;

(3)

W – перша функція геодезичної широти; а – велика піввісь та е – перший ексцентриситет референц-еліпсоїду. Оскільки еліптичний інтеграл (1) не виражається елементарними функціями, то підінтегральну функцію розкладають в ряд. Число членів ряду встановлюється в залежності від точності визначення довжини s і протяжності дуги A₁A₂. Тому для практичних потреб користуються різними формулами розрахунку довжини дуги меридіану:

1) загальна формула для дуги меридіану довільної довжини

А,В,С,D – сталі коефіцієнти прийнятого референц-еліпсоїду; - число кутових одиниць ( градусів, хвилин чи секунд ) в одному радіані; - середня широта дуги A₁A₂.

2) формула для довжини дуги меридіану довільної довжини від екватора до точки A₁ з широтою В₁

(5)

3) формула для довжини дуги меридіану при обчисленнях в тріангуляції на віддалі порядку сотень кілометрів

(6)

Радіус кривизни меридіанного перерізу M_m обчислюється за середньою широтою В_m.

4) формула для довжини дуги меридіану при обчисленнях в тріангуляції на віддалі кілометрів

(7)

При обчисленні довжини дуги меридіану для вибору робочої формули можна попередньо встановити приблизне значення довжини, враховуючи, що приросту широти dB=1 вздовж меридіанного перерізу відповідає довжина дуги перерізу км.

Сталі величини

а	6378245 м				0,00669342					57,29577951
А	1,00505177	В		0,00506238		С	0,00001062		D		0,00000002

Вихідні дані

B₁			46,76336
B₂			51,26367

Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (4):

Позначення дій	Результати
В2-В1	1,1111
Вm	49,01351851
a(1-e2)	6335552,727
A(B2-B1)/ρ	0,078941995
Bsin(B2-B1)cos2Bm	-0,00005547
C/2sin2(B2-B1)cos4Bm	-0,00000080
D/3sin3(B2-B1)cos6Bm	0,00000000
s (m)	500487,5299

Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (6):

Позначення дій	Результати
Wm=Ö1-e2sin2Bm	0,998091155
Mm	6371972,438
Mm(B2-B1)/ρ	500487,8693
	-0,00000072
s (m)	500487,5086

Обчислення довжини дуги паралелі

Обчислити довжину дуги між точками паралелі з широтою та

довготами номер варіанту.

А₁ і А₂ – точки на паралелі з широтою В. L₁ та L₂ – довготи точок А₁ і А₂. Паралель на земному еліпсоїді утворює коло. Радіус r паралелі з широтою В виражається формулою:

(1)

(2)

N – радіус кривизни перерізу першого вертикалу. Переріз першого вертикалу – це крива на поверхні еліпсоїду, утворена перетином поверхні еліпсоїду нормальною площиною, яка перпендикулярна до площини меридіанного перерізу у даній точці.

- перша функція геодезичної широти; а – велика піввісь та е – перший ексцентриситет референц-еліпсоїду.

Дуга паралелі між точками А₁ та А₂ є дугою кола з центральним кутом, який дорівнює різниці довгот кінцевих точок дуги Довжина s дуги паралелі з широтою В, яка відповідає різниці довгот виражається формулою . Остаточно

(3)

За умови точності широти і довгот точок формула (3) забезпечує середню квадратичну помилку довжини дуги паралелі м.

Вихідні дані

46,76336

L₁

23,75698

L₂

29,25756

Сталі величини

6378245 м

е²

0,00669342

ρ˚

57,29577951

Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (3):

Позначення дій	Результати
	5,500586417
	0,99822213
	6389604,89
S (м)	420203,0762

3. Обчислення довжин сторін та площі знімальної трапеції

Завдання. Задано геодезичні координати точки А на поверхні земного еліпсоїду: широта довгота N – номер варіанту. Визначити приналежність точки А знімальній трапеції масштабу 1: 50000, номенклатуру та геодезичні координати рамки відповідного листа і розрахувати довжини сторін та площу цієї трапеції.

Сторони знімальної трапеції чи листа карти заданого масштабу є лініями меридіанів та паралелей на поверхні земного еліпсоїду. Тому обчислення натуральних розмірів та площі знімальної трапеції – це визначення частини поверхні еліпсоїду в межах ліній меридіанів та паралелей, які окреслюють лист карти заданого масштабу.

Розміри знімальної трапеції на поверхні еліпсоїду описуються наступними параметрами:

південна а₁ та півнвчна а₂ сторони, які на поверхні еліпсоїду є дугами паралелей з широтами відповідно В₁ та В₂. Дуги а₁ та а₂ окреслюються меридіанами з довготами L₁ та L₂. Для північних широт завжди а₁> а₂;
західна та східна сторони с, які на поверхні еліпсоїду є дугами меридіанів, окреслених паралелями з широтами В₁ та В₂, тому завжди рівні між собою;
діагональ d трапеції

(1)

З інтегрування виразів для південної та північної сторін трапеції маємо формули розрахунку довжин дуг а₁ та а₂ на широтах відповідно В₁ та В₂:

(2)

(3)

Для карти масштабів 1:100000 і крупніше натуральні розміри знімальної трапеції дають підстави наближено вважати її розташованою на поверхні сфери. В таких випадках при розрахунку довжини сторони с достатньо користуватись формулою вигляду

(4)

де радіус кривизни меридіанного перерізу розраховується за значенням першої функції геодезичної широти при середній широті дуги

Для вираження площі трапеції Р після інтегрування остаточно маємо робочу формулу вигляду

(5)

де b – мала піввісь і - сталі коефіцієнти прийнятого референц-еліпсоїду.

Геодезичні координати вершин та сторін знімальної трапеції можна визначити за номенклатурою листа карти заданого масштабу.

Різниця широт північної та південної сторін кожної трапеції мастабу 1:1000000 складає , а різниця довгот східної та західної сторін трапеції - .

Одна трапеція масштабу 1:1000000 поділяється на 144 трапеції масштабу 1:100000 і кожній з них присвоюється номенклатура відповідно до порядкового ноиера від 1 до 144.

Для сторін трапеції масштабу 1:100000 різниця широт складає різниця довгот .

P-43

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
13											24
25											36
37											48
49											60
61											72
73											84
85											96
97											108
109											120
121											132
133					138						144

1:1 000 000

Одна трапеція масштабу 1:100000 поділяться на 4 трапеції масштабу 1:50000 і кожній з них присвоюється номенклатура за літерами А, Б, В, Г. Для сторін трапеції масштабу 1: 50000 різниця широт різниця довгот Ділення окремої трапеції масштабу 1: 50000 на трапеції крупніших масштабів проводиться у відповідності з діючими правилами розграфки листів карт заданих масштабів.

P-43-138

1:100000

P-43-138-A

60°20′

1:50000

За геодезичними координатами точки, розташованої на поверхні земного еліпсоїду, можна визначити її приналежність листу карти чи знімальній трапеції будь-якого потрібного масштабу за геодезичними еоординатами вершин та сторін цієї трапеції.

Вихідні дані

В_А

L_A

Сталі величини

6378245 м

0,00669342

57,29577951

1,00336361

0,00112403

0,00000170

6356863,019 км

Номенклатура листа карти масштабу 1: 50000 N-36-135-Б

Геодезичні координати сторін трапеції

В₁		60,16666667
В₂		60,33333333
L₁		74,5
L₂		74,75

Обчислення довжин сторін трапеції за формулами (1), (2), (3), (4).

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	0,997478371		0,997469962
	6394369,224		6394423,133
а₁	13880,004	а₂	13809,658
а₁ ( см карти)	27,76	а₂ (см карти)	27,62
	60,25
	0,997474163
	6383803,988
с ( м )	18569,733	d ( м )	23162,752
с( см карти )	37,14	d (см карти )	46,33

Обчислення площі трапеції за формулою ( 5 )

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	352641,2223		0,00072414
	-0,00000490		0,00000001
Р ( км² )	257,0950	Р ( га )	25709,50

4. Наближене розв’язування трикутників за теоремою Лежандра

Завдання. Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо довжина вихідної сторони метрів, середня широта N – номер варіанту. Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.

Після визначення кінцевих значень виміряних кутів або напрямків у тріангуляції на поверхні еліпсоїду розпочинають розв’язування трикутників, яке зводиться до послідовного обчислення довжин їх сторін за одним виміряним базисом і кутами трикутників. При довжинах сторін до 90 км розбіжностями між поверхнею еліпсоїду і сферою можна нехтувати, а трикутники вважати сферичними. Отже, їх можна розв’язувати за правилами сферичної тригонометрії.

Сферичний трикутник Плоский трикутник

Теорема Лежандра: Малий сферичний трикутник АВС можна розв’язувати як плоский, якщо кожний з його кутів А, В, С зменшити на третину сферичного надлишку:

Кути А, В, С називають плоскими приведеними кутами. Величину називають сферичним надлишком трикутника. Оскільки , то Тому слід розглядати як різницю сум кутів сферичного і плоского трикутників.

Якщо розв’язування сферичного трикутника розпочинати за виміряними кутами, то попередньо потрібно позбутися його кутової нев’язки і визначити виправлені сферичні кути. Кожен з виправлених кутів розраховують як суму виміряного кута і поправки , де нев’язка . Далі за обчисленими плоскими приведеними кутами та довжиною вихідної сторони трикутник розв’язують на основі теореми синусів плоскої тригонометрії:

Вихідні дані

Результати вимірів кутів

№ трикутника	Позначення кутів	Виміряні сферичні кути
1	А₁
	В₁
	С₁
2	А₂
	В₂
	С₂

Довжина вихідної сторони

7500

Середня широта

49,76697531

Сталі величини

6356863,019 м

0,00669342

57,29577951

Робочі формули

Радіус сфери 6381561,79947 м

Трикутник №1

Трикутник №2

Відомість наближеного розв'язування трикутників
№тр.	Вершини	Виміряні сферичні кути			-w/3	Виправлені сферичні кути			-ε/3	Виправлені плоскі кути			Синуси кутів	Довжини сторін
№тр.	Вершини	grad	min	sek	-w/3	grad	min	sek	-ε/3	grad	min	sek	Синуси кутів	Довжини сторін
1	С	49	59	51,2	-0,91592	49	59	50,28408	-0,0474166	49	59	50,23667	0,766014017	7500
	В	51	33	2,51	-0,91592	51	33	1,594083	-0,0474166	51	33	1,546667	0,783155768	7667,834
	А	78	27	9,18	-0,91592	78	27	8,264083	-0,0474166	78	27	8,216667	0,979758325	9592,758
	∑1	180	0	2,89	-2,7478	180	0	0,14225	-0,14225	180	0	0
	ε1			0,142
	w1			2,748
2	D	59	25	19,1	-0,58412	59	25	18,51588	-0,06588	59	25	18,45	0,860935572	9592,758
	B	51	46	48,52	-0,58412	51	46	47,93588	-0,06588	51	46	47,87	0,78564059	8753,803
	C	68	47	54,33	-0,58412	68	47	53,74588	-0,06588	68	47	53,68	0,932312721	10388,060
	∑2	180	0	1,95	-1,7523	180	0	0,1977	-0,1977	180	0	0
	ε2			0,198
	w2			1,752

Відомість наближеного роз’язування трикутникі

5. Наближене розв’язування трикатників способом аддитаментів

Сторони сферичного трикутника АВС можна виразити в частинах радіусу R кривизни поверхні сфери через виміряні кути А, В, С, і вихідну сторону а за теоремою синусів співвідношеннями такого вигляду:

для сторони b

для сторони c

Якщо синуси сторін розкласти в тригонометричний ряд, то після спрощення виразів з точністю малих величин до четвертого порядку отримаємо:

для сторони b

для сторони c

Величини називають аддитаментами. Аддитаменти – це поправки до сторін сферичного трикутника, з врахуванням яких його можна розв’язувати за сферичними кутами на основі теореми синусів плоскої тригонометрії. Отже,

для сторони b

для сторони c

Числові значення аддитаментів невідомих сторін можна розраховувати за приблизними значеннями їх довжини

Вихідні дані

Результати вимірів кутів

№ трикутника	Позначення кутів	Виміряні сферичні кути
1	А₁
	В₁
	С₁
2	А₂
	В₂
	С₂

Довжина вихідної сторони

7500

Середня широта

49,76697531

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
13											24
25											36
37											48
49											60
61											72
73											84
85											96
97											108
109											120
121											132
133					138						144

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
13											24
25											36
37											48
49											60
61											72
73											84
85											96
97											108
109											120
121											132
133					138						144

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
13											24
25											36
37											48
49											60
61											72
73											84
85											96
97											108
109											120
121											132
133					138						144