Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Ряды Фурье и их приложения. 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ «ВГТУ»)

Факультет автоматики и электромеханики

Кафедра «Автоматизированные и вычислительные системы»

Специальность «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математический анализ»

Тема работы «Ряды Фурье и их приложения»

Пояснительная записка

Разработал ___________________________

Подпись, дата Инициалы, фамилия

Руководитель ___________________________

Подпись, дата Инициалы, фамилия

Нормоконтроль провел ___________________________

Подпись, дата Инициалы, фамилия

Защищена _______________ Оценка _______________

Дата

Воронеж 2012

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Автоматизированные и вычислительные системы»

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу

по дисциплине «Математический анализ»

Тема «Ряды Фурье и их приложения »

Студент группы ВМ-111 Кол Максим Дмитриевич

Задание курсовой работы:

Изучить применение рядов Фурье

Срок защиты курсовой работы_______________________________________

Руководитель _______________________________________

Подпись, дата

Задание принял студент _____________________________________

Подпись, дата

ЗАМЕЧАНИЯ РУКОВОДИТЕЛЯ

Содержание

Введение……………………………………………………………………. 5
Ряды Фурье………………………………………………………..

Понятие ряда Фурье……………………………………
Определение коэффициентов ряда ……

Приложения РФ в математической физике………………………………

Задача о свободном колебании струны……………………………….
Колебания защемленной струны……………………………………..

Приложения РФ в сопротивлении материалов……………………………

4.1.Используемые методы и материалы теории рядов……..

4.2 Используемые методы и материалы теории изгиба балки…….

4.3.Решение задач изгиба балки с использование рядов Фурье……

Заключение…………………………………………………………………..
Список литературы…………………………………………………………

1. Введение.

Ряды Фурье имеют широкое практическое применение, в частности они применяются при кодировании различного рода информации, моделировании 3D графики, в современных алгоритмах шифрования (например RSA), в цифровых запоминающих осциллографах, при решении задач в сферической геометрии и т. д. В курсовой работе рассмотрены различные варианты практического использования рядов Фурье в сопротивлении материалов и математической физике.

Целью этой работы является рассмотрение возможности разложения функции в ряд Фурье и актуальность применения этого разложения в инженерно-технических расчетах, оценка в первую очередь его практической значимости.

1. Понятие ряда Фурье.

_{Ряды Фурье играют
большую роль в
математической физике,
теории упругости,
электротехнике и
особенно их частный
случай – тригонометрические
ряды Фурье.}

Тригонометрическим рядом называют ряд вида

или, символической записи:

( 1 )

где ω, a₀, a₁, …, a_n, …, b₀, b₁, …,b_n, …- постоянные числа (ω>0) .

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = ƒ(χ), ввиде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х₀, в силу периодичности функций (n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если S_n(x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем

а потому и , т. е. S(x₀+T)=S(x₀). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.

_{2. Определение
коэффициентов ряда
по формулам Фурье.}

Пусть периодическая функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:

ƒ(x)=. (2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд

(3)

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

Таким образом, , откуда

. (4)

_{2.2.1. Интегралы
от периодических функций.}

_{Пусть ƒ(x) – периодическая
функция, с периодом
Т, интегрируемая на
любом сегменте вида [х0,
х0+Т]. Тогда величина
интеграла}_{остаётся при любом
х0 одной и той же: для
любых х0, х0'}

_{2.2.2. Интегралы
от некоторых тригонометрических} _{функций.}

_{Укажем значения
некоторых интегралов:}

_{(k = 1,2,…),
(13)}

_{(k =1,2,..; m =1,2,…),
(14)}

₍₁₅₎

_{(k =1,2,…; m =1,2,…; k ≠
m),}

_{(k =1,2,…)
(16)}

_{Теперь можем
вычислить коэффициенты
Фурье ak и bk ряда (2).
Для разыскания коэффициента
an при каком-либо определенном
значении n≠0 умножим
обе части равенства (2)
на cosnx и произведя математические
операции в пределах
от –π до π, получим:}

₍₁₇₎

₍₁₈₎

_{Коэффициенты, определенные
по формулам (4), (17), (18)
называются}_{коэффициентами
Фурье}_{функции
ƒ(x), а составленный
тригонометрический
ряд (18) с такими коэффициентами
называется}_{рядом
Фурье}_{функции
ƒ(x).}

_{В некоторых случаях,
для более узких
классов функций,
формулы (17), (18) были
известны ещё Эйлеру.
Таким образом, эти
формулы ещё называют
формулами Эйлера-Фурье.}

_{Обратим внимание,
что постоянная} _{в (2) пишется в таком
виде, чтобы придать
единообразие формулам (17)
и (18).}

_{Вышеприведенные
соображения показывают,
что поиски тригонометрического
разложения данной функции
целесообразно начать
с изучения её ряда
Фурье, откладывая на
потом строгое
изучение вопроса
о том, для каких
функций ряд сходится,
и притом именно к
данной функции. Пока
же этого не сделано,
функции ƒ(x) сопоставляют
её формальный ряд
Фурье, что обычно
записывают в виде:}

_{ƒ(x) ~
,
(19)}

_{про который известно,
что его коэффициенты
вычислены по функции
ƒ(x) по формулам Эйлера
– Фурье (4), (17) и (18),
но ничего не утверждается
о его сходимости
и тем более
– о его сходимости
к данной функции.}

_{Из определения
ряда Фурье не следует,
что функция должна
в него разлагаться.
Из сказанного выше
следует только, что
некоторая функция
допускает разложение
в равномерно сходящийся
ряд вида (19), то этот
ряд будет её рядом
Фурье.}

3. ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ К РЕШЕНИЮ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Ряды Фурье находят многочисленные применения. Рассмотрим их использование при решении некоторых задач математической физики.

Задача о свободном колебании струны

Струной называется гибкая нить, не оказывающая сопротивления изгибу. Пусть концы струны закреплены на оси OX . Струна растягивается силами F и –F, приложенными к её концам и направленными вдоль оси ОХ. Если струну вывести из состояния равновесия и затем предоставить самой себе, то под влиянием растягивающих сил точки струны придут в движение, стремясь вернуться в исходное положение. Придя в исходное положение, каждая точка струны будет обладать уже некоторой скоростью и по инерции пойдет дальше положения равновесия. Струна будет совершать некоторое колебательное движение.

Будем считать, что выведенная из состояния равновесия струна имеет форму линии , лежащей в плоскости ХОY. Причем каждая точка струны совершает только поперечные колебания, перпендикулярные оси ОХ. Струна считается однородной, её плотность в нерастянутом состоянии обозначим . Так как точка будет двигаться перпендикулярно оси ОХ, то во время движения её абсцисса меняться не будет. Ордината будет зависеть от времени и от абсциссы этой точки. Эту функцию обозначим Данная функция должна удовлетворять однородным граничным условиям

, , (8.1)

выражающим то, что концы струны , в любой момент находятся на оси ОХ, и начальным условиям

(8.2)

Первое из условий (8.2) означает, что в начальный момент времени струна имела форму а второе условие (8.2), – что точки струны имеют начальную скорость.

Дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний однородной струны с закрепленными концами имеет вид

. (8.3)

Решение этого уравнения дающее отклонение точек струны с абсциссой в момент времени , выражается рядом Фурье

, (8.3)

где , . (8.4)

Если ввести обозначения , , то данное решение можно представить в виде

. (8.5)

Каждый член этого ряда представляет собой так называемую стоячую волну, при которой точки струны совершают гармоническое колебательное движение с одинаковой фазой , амплитудой и частотой . При таком колебании струна будет издавать звук, высота которого зависит от частоты колебаний . Частоты называются собственными частотами колебаний струны. Для поперечных колебаний и, следовательно, . Частота основного (самого низкого) тона выражается формулой , где – сила натяжения, действующая на струну, – линейная плотность струны. Остальные тона, соответствующие частотам, кратным называются гармониками. Первой гармоникой считаем основной тон, второй гармоникой – тон с частотой и т. д.

Решение складывается из отдельных гармоник; их амплитуда, а поэтому и влияние на интенсивность звука, издаваемого струной, обыкновенно быстро убывает при увеличении номера гармоники, и всё их действие сводится к созданию тембра звука.

Пример. Однородная струна, закрепленная на концах имеет в начальный момент времени форму кривой, заданной уравнением Решить уравнение колебания струны , предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

Решение. Задача сводится к решению уравнения при граничных условиях и начальных условиях , . Так как начальные скорости отсутствуют, то коэффициент . Вычислим коэффициент .

Решением уравнения колебания струны является функция

. ■

Колебание защемленной струны

Пусть дана струна, закрепленная на концах. Оттянем её вверх, защепив в точке с, затем отпустим, предоставив ей совершать свободные колебания (рис. 6).

В этом случае начальные условия будут

_(8.6)

Применяя формулы (17), получим

(8.7)

Следовательно, отклонение защемленной струны выразится рядом

(8.8)

Из формулы видно, что если , т. е. в решении (8.8) будут отсутствовать те гармоники, которые имеют узел в точке

Сопротивление материалов

Как известно, при проектировании различных конструкций осуществляется расчет их элементов на прочность, жесткость и устойчивость. Классические методы сопротивления материалов позволяют осуществить эти расчеты в конкретных прикладных задачах. Однако, с точки зрения как теоретических исследований, так и разработки новых методов расчетов, целесообразно в решении задач сопротивления материалов более широко использовать возможности математического аппарата.

Такую возможность, в частности, дает применение рядов Фурье

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ МЕТОДЫ И МАТЕРИАЛЫ ТЕОРИИ РЯДОВ

Как известно, ряд Фурье функции , удовлетворяющей условиям Дирихле на промежутке, представляет собой разложение этой функции в тригонометрический ряд по ортогональной системе

сходящийся к функции в точках ее непрерывности.

В общем случае ряд Фурье функции , заданной на промежутке , содержит как синусы, так и косинусы.

В частных случаях ряд Фурье может содержать только синусы или только свободный член и косинусы.

Так, если функция на промежутке является нечетной, то ее разложение в ряд Фурье содержит только синусы:

где

Использование рядов Фурье для решения задач статики упругих тел проводится в следующем порядке ([1]).

Сначала, из физических соображений следует получить соотношение, которое связывает функцию состояния деформированного тела (описывающую его геометрическое состояние) с приложенными к этому телу нагрузками. Это соотношение далее будем называть уравнением состояния. В уравнение состояния, в общем случае, входят как функция состояния, так и ее производные, и некоторые интегральные характеристики.

Далее, с учетом геометрических очертаний тела и кинематических ограничений на его перемещения, выбирается ортогональная система функций, по которой функция состояния разлагается в ряд Фурье. Отметим, что на данном этапе решения задачи значения коэффициентов ряда Фурье являются неизвестными величинами, поскольку для их непосредственного вычисления (например, по формуле (2)) нужно знать функцию состояния, которая сама является искомой. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов разложения функции состояния в ряд Фурье.

С этой целью разложение функции состояния ряд Фурье (с неизвестными пока коэффициентами) подставляют в уравнение состояния. В результате получаем тождественное равенство двух рядов Фурье, от которого можно перейти к равенству соответствующих коэффициентов. Из этих равенств и вычисляются неизвестные коэффициенты ряда Фурье функции состояния. В результате получаем искомую функцию состояния деформированного тела в виде суммы ряда Фурье (в точках непрерывности этой функции).

Отметим здесь следующее. При подстановке функции состояния — в виде ряда Фурье с неизвестными коэффициентами — в уравнение состояния нужно несколько раз почленно дифференцировать ряд Фурье с еще не определенными коэффициентами. Но, как известно из общей теории рядов, чтобы дифференцирование некоторого сходящегося функционального ряда было допустимо, требуется равномерная сходимость ряда, составленного из производных членов исходного ряда.

Проверить выполнение этого условия заранее, т.е. до подстановки функции состояния в виде ряда Фурье (с еще не определенными коэффициентами) в уравнение состояния, достаточно трудно.

Поэтому при решении практических задач изначально предполагается, что записанный ряд Фурье (с еще неизвестными коэффициентами) функции состояния можно дифференцировать нужное число раз, а уже затем, после нахождения коэффициентов Фурье, проверяется, является ли полученный ряд почленно дифференцируемым. Если полученный ряд Фурье является почленно дифференцируемым, то все ранее выполненные с ним действия дифференцирования являются корректными, и этот ряд Фурье является искомым рядом, т.е. представляет искомую функцию состояния. В противном случае полученный результат будет математически необоснован (хотя и может быть верным), и тогда потребуются более глубокие исследования.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ МЕТОДЫ И МАТЕРИАЛЫ ТЕОРИИ ИЗГИБА БАЛКИ

Здесь и далее балкой будем называть достаточно жесткое и тонкое прямолинейное тело, т.е. полагаем: поперечные размеры балки и перемещения ее точек под действием приложенных усилий достаточно малы по сравнению с ее длиной, и отклонением формы балки от прямолинейного отрезка можно пренебречь.

Пусть балка длины находится под действием некоторой нагрузки . Введем систему координат так, что балка расположена между точками и ; обозначим вертикальное перемещение точки балки с абсциссой (функция прогиба балки), и будем считать положительным на оси направление вниз (рис.1). Рассмотрим случай плоского изгиба балки (т.е. все усилия, приложенные к балке, действуют в плоскости ).

Рис. 1

Обозначим изгибающий момент в сечении балки, вызванный нагрузкой (и реакциями опор, порожденными этой нагрузкой).

Рассмотрим деформации балки под действием приложенной изгибающей нагрузки.

Будем считать, как это обычно принимается в теории изгиба призматических балок, что каждое поперечное сечение балки после приложения к ней изгибающей нагрузки остается плоским и поворачивается около оси изгибающего момента на некоторый угол угол поворота поперечного сечения.

Функция прогиба балки связана с действующим в балке изгибающим моментом , порожденным нагрузкой , дифференциальным уравнением

где модуль Юнга материала балки, момент инерции ее поперечного сечения относительно горизонтальной прямой, лежащей в плоскости сечения и проходящей через его центр тяжести. При этом уравнение (3) не зависит от структуры приложенной к балке нагрузки .

Кроме того, для жесткой балки можно считать производную функции прогиба по длине балки равной углу поворота поперечного сечения балки:

Уравнения (3) и (4) будем считать основными уравнениями состояния, определяющими геометрическое состояние балки под действием приложенных нагрузок.

Далее рассмотрим решение этих уравнений на базе рядов Фурье, в соответствии с изложенным выше подходом, для конкретных случаев закрепления и нагружения балки.

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ИЗГИБА БАЛКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ

Рассмотрим балку длины , находящуюся под действием некоторой нагрузки и закрепленную таким образом, что на ее концах вертикальные смещения и изгибающие моменты равны нулю (далее такую балку будем называть свободно опертой по концам):

Выберем функцию прогиба в качестве функции состояния балки и представим ее рядом Фурье. Можно показать что изгибающий момент и соответствующая функция прогиба в данной балке являются нечетными функциями . Поэтому будем рассматривать разложение функции на промежутке в ряд Фурье по синусам (см. формулы (1) – (2)), т.е. в виде

Пусть на балку действует нагрузка , которая в каждой точке балки порождает изгибающий момент. Так же, как и функцию , разложим момент на промежутке в ряд Фурье по синусам:

Подставив полученный ряд вместе с рядом (6) соответственно в левую и правую части дифференциального уравнения (3), получим тождественное равенство двух рядов Фурье, из которого, приравнивая коэффициенты, стоящие при в левой и правой частях, получаем:

С учетом формул (8) ряд Фурье (6) функции прогиба принимает вид

При этом содержащиеся в формулах (7) – (8) коэффициенты разложения в ряд Фурье изгибающего момента определяются по формуле (2)

В частности, изложенный метод позволяет получить следующие результаты :

в случае сосредоточенной нагрузки (в точке балки приложена вертикальная сила , направленная вниз):

;

в случае сосредоточенного момента (в точке балки приложен сосредоточенный момент величины ):

;

Нетрудно убедиться, что ряды (10) – (13) являются равномерно сходящимися, так как для них выполняется признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Следовательно, в соответствии с изложенными выше условиями правомерности использования рядов Фурье, ряды (10) – (13) действительно представляют собой искомые функции прогиба и угла поворота поперечного сечения.

4. Заключение.

Можно сделать вывод, что ряды Фурье широко применяются на практике. Они часто встречаются при рассмотрении ряда задач сопротивления материалов, в частности при рассмотрении задач изгиба балки. Ряды Фурье применяются в современных технологиях обработки цифровых изображений, технология jpeg основана на их применении. Также аппроксимация изображений происходит с уменьшением потери качества, если ее проводить с использованием рядов Фурье.

Так как ряды Фурье используются в 3D графике, они нашли широкое применение в создании компьютерных игр.

Разложение в ряд Фурье применяется при кодировании звуковых сигналов. Колебания звуковых волн раскладываются в ряд, затем с помощью различных операций с членами этого ряда можно добавлять высокие и низкие частоты, добавлять различные эффекты, и снова суммируя ряд получать совершенно новый звук.

Отдельно стоят применения, связанные с тем, что некоторые операции быстрее сделать через РФ, чем непосредственно. Например, умножение длинных чисел гораздо быстрее, если проводить ее над разложением. Напрямую надо сделать миллион умножений, а через РФ - в сто раз быстрее. Это широко используется в современных алгоритмах шифрования (например - RSA)

Так как ряды Фурье используются в 3D графике, они нашли широкое применение в создании компьютерных игр.

Ряды Фурье применяются в сферической геометрии и сопротивлении материалов, схемотехнике и математической физике, широко используются в современных цифровых технологиях. Их применение на практике невероятно обширно.

Список литературы:

http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/WM/METOD/RYAD_FURIE/MAIN.HTM

http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/SeriesOfTaylorMaklorenFourier/FourierSeries/