Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Ряды и бесконечные произведения

Глава 1.Числовые, функциональные, степенные ряды.

1.1. Основные понятия.

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

а₁, а₂, а₃, …, а_n, … (1)

Составленный из этих чисел символ

а₁+ а₂+ а₃+ …+ а_n+ … (2) называется бесконечным рядом (или просто рядом), а сами числа (1) – членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:

, (2а) указатель n пробегает здесь все значения от 1 до . Впрочем, нумерацию членов ряда иногда бывает удобнее начинать не с единицы, а с нуля или же какого-либо натурального числа, большего единицы

Станем последовательно складывать члены ряда, составляя суммы:

=, А₂=а₁+а₂, А₃=а₁+а₂+а₃, …, А_п=а₁ +а₂+а₃+…+а_п. (3) Их называют частичными суммами или отрезками ряда.

Конечный или бесконечный предел А частичной суммы А_п ряда (2) при п:

А=_n,

называют суммой ряда и пишут А=а₁ +а₂+а₃+…+а_п+…= , придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т.е. если сумма равна , либо же суммы вовсе нет) – расходящимся.

Таким образом, вопрос о сходимости ряда (2) по определению равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности (3). ([1] с. 11-12)

Предположим, что дана последовательность, элементами которой являются функции

, …, , … , (4)

от одной и той же переменной , определенные в некоторой области ее

изменения =. Пусть для каждого х из Х эта последовательность имеет конечный предел; так как он вполне определяется значением х, то также представляет собой функцию от х в Х:

, (5) которую будем называть предельной функцией для последовательности (4) или для функции . ( с. 64)

Сумму бесконечного ряда функций можно рассматривать как предел последовательности функций (4). ( с. 446)

Среди рядов функций наиболее важное значение имеют степенные ряды. Под степенным рядом разумеют ряд вида

Р(х)=с₀+с₁х+с₂х²+…= («степенной ряд относительно х») или ряд более общего вида (степенной ряд относительно х-х₀):

, где х₀ – постоянное число. Если в последнем ряде ввести в качестве новой независимой переменной х-х₀=t, то ряд перейдет в степенной ряд

относительно переменной t; поэтому можно, не нарушая общности, ограничиться рассмотрением степенных рядов более частного вида

( с.459)

Попытаемся прежде всего выяснить строение “области сходимости” степенного ряда, т.е. множества Х= тех значений переменных, для которых ряд

(6)

сходится.

Путь к этому открывает следующая лемма: Если ряд (6) сходится для значения , отличного от нуля, то он абсолютно сходится для любого значения х, удовлетворяющего неравенству .

Из сходимости ряда

вытекает, что его общий член стремится к нулю, а следовательно ограничен:

, .

Возьмём теперь любое , для которого , и составим ряд

(7)

Так как , следовательно , и члены ряда (7) оказываются меньшими соответствующих членов сходящейся геометрической прогрессии (со знаменателем ):

, то по теореме сравнения ряд (7) сходится. В таком случае ряд (6) сходится абсолютно, что и требовалось доказать.

При сходится, очевидно, всякий ряд (6). Но есть степенные ряды, которые помимо этого не сходятся ни при одном значении . Примером такого “всюду расходящегося” ряда может служить ряд . Подобные ряды для нас не представляют интереса.

Предположим же, что для ряда (6) среди значений переменной, при

которых он сходится, есть и отличные от нуля. Рассмотрим множество ;

оно либо ограничено сверху, либо нет.

В последнем случае, какое бы значение ни взять, необходимо найдется такое , что , а тогда по лемме при взятом значении ряд абсолютно сходится. Ряд оказывается “всюду сходящимся”.

Пусть теперь множество сверху ограничено, и будет его точная верхняя граница (так что ). Если , то это значение заведомо разнится от всех , и ряд расходится. Возьмем теперь любое , для которого . По определению точной границы необходимо найдется такое , что ; а это по лемме снова влечет за собой абсолютную сходимость ряда (6).

Таким образом, доказана общая теорема:

Для каждого степенного ряда (6), если только он не является всюду расходящимся, существует такое положительное число (оно может быть и ), что:

- ряд абсолютно сходится для ;

- ряд расходится для (если ).

Это число называется радиусом сходимости ряда.

Тем самым разрешен вопрос об “области сходимости” ряда: она представляет собою сплошной промежуток от до ; лишь о концах его нельзя сделать общего утверждения. Промежуток называется промежутком сходимости ряда.

Для всюду расходящегося ряда принимают : его “промежуток сходимости” сводится к точке .

Примеры: 1) Для ряда , , промежуток сходимости .

2) Ряд имеет , промежуток сходимости : оба конца включаются, но сходимость там неабсолютная.

3) Для ряда , , промежуток сходимости : левый конец не включается, а на правом – ряд сходится неабсолютно. ( с. 82-83)

1.2. Почленное дифференцирование степенного ряда.

Степенной ряд (6) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно, так что для суммы ряда существует производная и выражается так:

(8)

Продолжая дифференцирование, последовательно получим

И таким образом дальше. ( с. 665)

Чтобы доказать правильность этого утверждения, достаточно только показать, что степенной ряд, полученный дифференцированием, сходится равномерно, коль скоро ограничен интервалом, который целиком лежит внутри промежутка сходимости. Выберем какое-либо положительное число , так что ряд сходится (число может лежать как угодно близко к ). Тогда все числа будут меньше некоторого числа , не зависящего от , так что .

Пусть теперь - любое число, удовлетворяющее условию . Если мы ограничим интервалом , то члены ряда, полученного дифференцированием по абсолютной величине меньше членов ряда

и, следовательно, меньше членов ряда . Но в этом ряде отношение -го члена к -у равно . Оно стремится с возрастанием к пределу . Так как , то по признаку сходимости этот ряд с положительными и не зависящими от членами сходится. Следовательно, степенной ряд, полученный дифференцированием, сходится равномерно и представляет поэтому производную от функции ; тем

самым наше утверждение доказано.

Таким образом, мы приходим к следующей общей теореме: всякая функция, выражаемая с помощью степенного ряда, имеет внутри промежутка сходимости производные любого порядка, и эти производные можно получить почленным дифференцированием данного ряда.

В качестве явного выражения -й производной получаем

( с. 462-463)

Мы рассмотрели дифференцирование степенных рядов. Теперь можно показать ряд Тейлора.

1.3. Степенной ряд как ряд Тейлора.

Последняя теорема открывает возможность последовательного многократного дифференцирования степенного ряда. Таким образом, обозначая через функцию, представляемую степенным рядом (6) в его промежутке сходимости, будем иметь повсюду внутри этого промежутка

Если положить во всех этих равенствах , то придем к выражениям

коэффициентов степенного ряда

, , , , …, , …

( с. 90)

Таким образом, действительно проверено, что коэффициенты разложения (6) определяются единственным образом формулами

Если дана функция , имеющая в некотором промежутке производные любого порядка, то можно вычислить коэффициенты для любого .

Степенной ряд с коэффициентами , вычисленными по некоторой функции , называется рядом Тейлора этой функции .

Таким образом, для всякой бесконечно дифференцируемой в функции можно составить ее ряд Тейлора:

(9)

( с.248)

Если положить , то

- ряд Маклорена.

Перейдем к выяснению условий, при которых можно утверждать, что ряд Тейлора для функции действительно сходится на интервале, и что его сумма совпадает с функцией .

Теорема 1: Всякий сходящийся степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы.

Ряд (9) сходится, как всякий степенной ряд, по степеням в точке , но остается открытым вопрос: сходится ли ряд где-нибудь, кроме точки ? Возникает также и второй вопрос, если ряд (9) сходится, например, в каком-либо промежутке, то какая функция является суммой этого ряда? Та функция , с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда (9), или какая-либо другая функция?

Так как поведение ряда (сходимость или расходимость) зависит от коэффициентов ряда, а коэффициенты ряда Тейлора определяются функцией , то, очевидно, вопрос о сходимости ряда Тейлора надо изучать с помощью свойств самой функции .

В дифференциальном исчислении выводится формула Тейлора

, (10) где , а заключено между и . (Взят частный случай формулы Тейлора при .)

Коэффициенты многочлена в формуле Тейлора строятся по тому же правилу, что и коэффициенты ряда Тейлора , но в формуле Тейлора конечное число членов (это конечная сумма, а не ряд) и последний член (дополнительный член формулы Тейлора) резко отличается от всех предыдущих членов: в нем два переменных множителя и

( зависит от ), а не один, как в остальных слагаемых. В ряде Тейлора все слагаемые однотипны, но их бесконечное множество. Формула Тейлора получена для любой функции, имеющей производную. Тем более она верна при любом для бесконечно дифференцируемых функций. С помощью формулы Тейлора и можно ответить на поставленные выше два вопроса.

Теорема 2: Для того, чтобы ряд Тейлора, составленный для функции , сходился в и имел своей суммой , необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член формулы Тейлора для стремился к нулю в при .

Доказательство: Сопоставление выражений для ряда Тейлора (9) и формулы Тейлора (10) показывает, что многочлен, стоящий перед дополнительным членом в формуле Тейлора, является частичной суммой ряда Тейлора. Поэтому формулу Тейлора можно записать следующим образом:

, (11) где есть -я частичная сумма ряда Тейлора.

Необходимость: Пусть известно, что в ряд (9) сходится и сумма его равна . Тогда по определению сходимости ряда в имеем:

для всех из , и так как по (11)

, (12) то при для всех из .

Достаточность: Пусть известно, что при в . Тогда из (12) следует, что при , то есть что при в . Это и означает, что ряд (9) сходится и его сумма равна в .

Теорема 3: Если функция бесконечно дифференцируема в и все производные в ограничены одним числом

, , (13) то ряд Тейлора функции сходится в к .

Доказательство: Оценим в , используя (13):

В правой части неравенства стоит общий член сходящегося ряда при любом . По необходимому признаку сходимости ряда (если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при ) этот общий член стремится к нулю при и, следовательно, при и при любом из . Таким образом, выполнено условие теоремы 2 и утверждение данной теоремы тем самым доказано. ( с. 248-249)

1.4. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.

Разложение заданной функции в ряд Тейлора в окрестности точки распадается на два этапа:

Сначала мы вычисляем значения функции и ее производных в точке и составляем ряд Тейлора для функции . При этом предполагается, что функция бесконечное число раз дифференцируема.
Находим интервал, в котором составленный ряд Тейлора сходится к функции , т.е. устанавливаем, для каких значений остаточный член ряда будет стремиться к нулю при . ( с. 673)

Перейдем теперь к разложению в ряды элементарных функций:

1) Показательная функция .

Разложим в ряд Маклорена функцию .

Все производные от функции тоже равны и в точке обращаются в единицу. По формуле Тейлора

Рассмотрим интервал , где - любое фиксированное число. Для всех значений из этого интервала . Следовательно, все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом и по теореме . По предположению - любое число, следовательно, функция разлагается в ряд Маклорена при всех значениях , то есть на всей оси . Итак,

При любом сумма этого ряда равна .

В частности, при находим ряд для числа :

2) Тригонометрические функции и .

Разложим в ряд Маклорена функцию . Для этого находим последовательно значения ее производных в точке : , , , , , и так далее. Мы видим, что значения производных повторяются и образуют периодическую последовательность .

Любая производная функции (т.е. или ) по абсолютной величине не превосходит единицы. Следовательно, ряд Маклорена для функции сходится к ней на всей числовой оси. Итак,

Совершенно аналогично получим разложение (оно также справедливо на всей оси ):

Любопытно заметить, что нечетная функция раскладывается в ряд только по нечетным степеням , а четная функция - только по четным.

( с. 674-675)

3) Обратная тригонометрическая функция .

Разложим в ряд Тейлора функцию . Производную этой функции при , , можно рассматривать как сумму убывающей геометрической прогрессии со знаменателем :

(14)

Интегрируя (14) в пределах от 0 до , где , получим:

Итак, при имеем:

( с. 260-261)

Глава 2. Применение рядов для вычисления иррациональных чисел

и факториалов.

2.1. Ряды и приближенные вычисления.

На примере конкретных разложений мы разъясним, как бесконечные ряды могут быть использованы для целей приближенных вычислений.

Предпошлем ряд общих замечаний.

Если число разложено в ряд: , где - удобные (рациональные) числа, и мы положим приближенно , то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится остатком .

При достаточно большом эта погрешность станет сколь угодно малой, так что воспроизведет с любой наперед заданной точностью.

Мы заинтересованы в возможности просто производить оценку остатка ; это позволило бы нам и вовремя остановиться при вычислении последовательных частичных сумм, когда уже будет получено приближение требуемой точности.

Если рассматриваемый ряд оказывается знакопеременным и притом с монотонно убывающими по абсолютной величине членами, то остаток имеет знак своего первого члена и по абсолютной величине меньше его. Эта оценка в смысле простоты не оставляет желать лучшего.

Несколько сложнее обстоит дело в случае положительного ряда. Тогда обыкновенно стараются найти положительный же ряд с большими членами, который бы легко суммировался: , , и в качестве оценки для остатка берут величину остатка этого нового ряда: .

Например, для ряда можно получить

а для ряда можно получить

Обыкновенно ищется десятичное приближение числа , в то время как члены ряда могут и не быть выражены десятичными дробями. При обращении их в десятичную дробь округление служит источником новой погрешности, которую также следует учесть.

Наконец, отметим, что далеко не всякий ряд, имеющий суммой интересующее нас число , пригоден для фактического вычисления этого числа (даже если его члены просты и оценка остатка производится легко). Вопрос – в быстроте сходимости, т.е. в быстроте приближения частичной суммы к числу .

Возьмем для примера ряды и , дающие соответственно разложение чисел и . Они сходятся очень медленно, и для того, чтобы с их помощью найти приближенные значения этих чисел с высокой точностью, нужно было бы сложить огромное количество членов. Ниже мы без особого труда найдем десятичные приближения упомянутых чисел с большой точностью, использовав более подходящие ряды.

2.2. Вычисление числа .

Воспользуемся рядом для арктангенса:

Если взять , то , и мы получим ряд

, уже пригодный для вычисления.

Существуют, однако, ряды, гораздо более удобные для вычисления числа . Положим , тогда

, , .

Ввиду близости этого числа к единице ясно, что угол близок к ; положив , будем иметь

, так что .

Отсюда получается такая формула:

Вычислим по ней число с семью знаками после запятой. Для этого достаточно тех членов формулы, которые фактически выписаны. Так как оба ряда – типа Лейбница, то поправки в уменьшаемом и вычитаемом на отбрасывание невыписанных членов соответственно будут

и .

Сохраненные члены обратим в десятичные дроби, округляя их (по правилу дополнения) на восьмом знаке. Вычисления сведены в таблицу (+ или – в скобках указывает знак поправки):

+ +

Учитывая все поправки, имеем

так что .

Итак, окончательно, , причем все выписанные знаки верны.

( с.58-61)

2.3. Формула Валлиса.

Рекуррентная формула для приводит элементарным путем к замечательному выражению числа в виде бесконечного произведения. Полагаем и в формуле