Середны величини

Зміст

Вступ…………………………………………………………………………….3 
1.Теоретична частина…………………………………………………………….4 
1.1 Суть і значення середніх величин………………………………………...4 
1.1.1 Основні правила застосування середніх в статистиці…………………..7 
1.2. Основні види середніх величин…………………………………………….9 
1.2.1.  Середня арифметична…………………………………………………..10 
1.2.2. Середня гармонійна……………………………………………………..12 
1.2.3. Середня геометрична……………………………………………………13 
1.2.4.Середня квадратична…………………………………………………….13 
1.2.5. Середня хронологічна………………………………………………….14 
1.2.6. Структурні середні величини…………………………………………..14 
2.Практична частина……………………………............................................17

Висновки…………………………………………………………………………21

Список  літератури……………………………………………………………..22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вступ. 
 У даній роботі розглянемо таке поняття, як середні величини. Великого поширення в статистиці мають середні величини. У середніх величинах відображаються найважливіші показники товарообігу, товарних запасів, цін. Середніми величинами характеризуються якісні показники комерційної діяльності: витрати обігу, прибуток, рентабельність і ін Правильне розуміння сутності середньої визначає її особливу значущість в умовах ринкової економіки, коли середня через одиничне і випадкове дозволяє виявити загальне і необхідне, виявити тенденцію закономірностей економічного розвитку.  
  У теоретичній частині розглянемо види середніх величин, а саме: середня арифметична, середня гармонійна, середня геометрична, середня квадратична, середня хронологічна та структурні середні. Матеріал викладено з поясненнями та прикладами.  

     Актуальність теми полягає в тому, що область застосування та використання середніх величин у статистиці досить широка. Мета - ознайомлення із застосуванням середніх величин у статистиці. У зв'язку із заданою метою були поставлені наступні завдання:

• охарактеризувати середні величини
• розкрити види середніх величин

1.Теоретична  частина

1.1 Суть і значення середніх величин.

     Серед узагальнювальних показників, які застосовують для характеристики суспільних явищ і виявлення закономірностей їхнього розвитку, велике значення мають середні величини. Це можна пояснити тим, що статистика вивчає сукупності за варіаційними ознаками, зміна яких проявляється в зміненні кількісних значень окремих одиниць цих сукупностей. На індивідуальні значення кожної одиниці спостереження діють кілька чинників, а також індивідуальні особливості. Наприклад, розподіл робітників двох підприємств можна охарактеризувати за їх кваліфікацією, яка виражається розрядом. Для цього слід розрахувати показник середнього тарифного розряду окремо по кожному підприємству. Одержані середні величини можна порівняти і дати однозначну відповідь, на якому з підприємств рівень кваліфікації робітників вищий.

     Досліджуваному  рівню кваліфікації робітників надають узагальню вальну характеристику, що виконує роль середньої величини. В середній величині зібрано типові ознаки, характерні для всієї сукупності. Середня величина є одним з найпоширеніших способів узагальнення.

     Середньою величиною в статистиці називають узагальнений показник, який характеризує типовий рівень варіаційної ознаки в рахунку на одиницю однорідної сукупності.

       Вивчаючи суспільні явища з  метою виявлення характерних  закономірних рис у конкретних  умовах місця і часу, статистика  широко використовує середні величини. Складно без визначення середніх надати порівняльну характеристику продуктивності праці, рівня урожайності тощо.  
 Про важливість середніх величин для статистичної практики і науки зазначаються в роботах багатьох вчених. Так, відомий англійський економіст В.Петті (1623-1687) пропонував поширювати застосовування середніх величин на вивчення економічних проблем. Зокрема, наприклад, використовувати як міру вартості затрат на середнє дане харчування одного дорослого працівника. Він уважав сталість середньої величини як відображення закономірностей досліджувальних явищ, незалежно від того, що окремі данні не збігаються із середньою величиною.

     Значний внесок в розробку теорії середніх величин належить бельгійському  вченому А.Кетлі (1796-1874). За його теорією, на кожне явище діють як постійні (загальні),так індивідуальні чинники при чому перші наближують ці явища в їх проявах одне до одного, підтверджують загальні для всіх них закономірності. Наслідком вчення А.Кетлі про загальні та індивідуальні причини було виділення середніх величин як основного методу статистичного аналізу, особливо, зважуючи на те, що статистичні середні величини є не просто методом математичного вимірювання, а й категорією об’єктивної реальності. Типово, реально існуючу середню А. Кетлі ототожнював з істиною величиною, відхилення від якої можуть бути тільки випадковими. 
 Середні величини мають велике значення в любих економіко статистичних дослідженнях. Вони використовуються для узагальнюючої характеристики рівня розвитку суспільних явищ і процесів. Тільки за допомогою середньої можна охарактеризувати сукупність за кількісною варіаційною ознакою. Наприклад, заробітну плату, яку отримують робітники двох підприємств можна порівняти за допомогою такого узагальнюючого показника як середня заробітна плата.

     Середні величини використовують для порівняння показників двох і більше об’єктів (порівняння урожайності окремих  культур по господарствах області, порівняння цін на деякі товари на ринках певного регіону і тд. ). 
 До середніх звертаються при вивченні взаємозв’язків між явищами та їх ознаками. Залежність випуску продукції від вартості основних виробничих фондів по групах підприємств можна виявити лише на основі зміни їх середніх.  
 Середні величини застосовують для проведення факторного аналізу явищ з метою виявлення невикористаних резервів. Так, наприклад, для виявлення резервів росту об’єму відпрацьованого часу використовують трьох факторну модель, яка складається з добутку трьох середніх: середьоспискової чисельності робітників, середнього фактичного числа днів роботи одним робітником і середньої тривалості робочого  дня.

     Велике  значення мають середні величини планування і прогнозування завдань  для народного господарства в  цілому і окремих його галузей, де в багатьох випадках вдаються до системи середніх величин.

     Математичні прийоми, які використовуються в  різних галузях економіки безпосередньо  зв’язані з обчисленням середніх величин. Варіація ознак в рядах  розподілу визначається за допомогою  відхилень від середньої. Всі формули агрегатних і середніх індексів характеризують зміну середнього рівня економічних показників для сукупності елементів, різнорідних за своєю натуральною формою. Алгебраїчне і графічне зображення загальної тенденції в рядках динаміки здійснюється за допомогою знаходження середньої лінії розвитку цього ряду.

     Багатогранність суспільних явищ обумовлює виняткову  важливість застосування середніх величин  в економіко-статистичних дослідженнях. Вони є активним засобом управління, планування і прогнозування народного господарства держави.

     Головними умовами застосування середніх величин  є:

1. наявність якісної однорідності сукупності;
2. масовий характер даних сукупності, де діє закон великих чисел.

     Залежно від характеру ознаки, що усереднюється, і наявності вихідної статистичної інформації в статистиці використовують декілька видів середніх, серед яких є найбільш поширені: середня арифметична, середня гармонічна, середня квадратична, середня геометрична. Поряд з переліченими видами середніх величин у статистичній практиці застосовують також середню хронологічну та структурні середні: моду і медіану. Використання того чи іншого виду середніх залежить від двох обставин:

1. від характеру індивідуальних значень ознаки (прямі, обернені, квадратичні, відносні);
2. від характеру алгебраїчного зв’язку між індивідуальними значеннями ознаки та її загального обсягу (сума, добуток, степінь, квадратичний корінь).

     Кожна із зазначених видів середніх може виступати у двох формах: простої  та зваженої. Проста середня застосовується при обчисленні середньої за первинними (не згрупованими) даними, зважена – за згрупованими даними.

     При виконанні середніх величин використовуються такі позначення:

      - середнє значення досліджувальної  ознаки;

     х_і або х – кожне індивідуальне значення усереднюваної ознаки (варіанта) в варіаційному ряді;

     f_і або f – частота повторень (вага) індивідуальної ознаки в варіаційному ряді; 
 z = xf – обсяг значень ознаки;

     n – кількість одиниць досліджуваної  ознаки.

  При обчисленні середніх величин знаменник кожного з наведених співвідношень виступає як вага і називається частотою (f). 

1.1.1Основні правила застосування середніх в статистиці

      Наукове використання середніх в статистиці базується на певних умовах. Головна  умова наукового використання середньої полягає в тому, що середні характеристики повинні враховуватись на основі масового узагальнення фактів. Тільки тоді вони відображають суть явища, на значення якого не впливають випадкові одиничні фактори.

     Іншою важливою умовою застосування середніх в статистиці є якісна однорідність всіх одиниць сукупності. Вона заклечається в тому, що не можна обчислювати середню з неоднорідної сукупності, окремі елементи якої підпорядковані різним законом розвитку по відношенню до осереднюваної ознаки.  
 Середня величина тільки тоді відобразить типовий розмір ознаки та її загальні риси, якщо всі елементи якісно однорідні. Якісна однорідність досліджуваного явища, його однотипність встановлюється на основі всестороннього теоретичного аналізу суті цього явища. Статистики виділяють якісно однорідні. Якісна однорідність досліджуваного явища, його однотипність встановлюється на основі всестороннього теоретичного аналізу суті цього явища. Статистики виділяють якісно однорідні сукупності з допомогою групувань. Таким чином, застосування методу середніх в статистиці тісно і нерозривно зв’язане з методою групувань.

     Зв'язок методу середніх і методу групувань  полягає також в тому, що загальні середні, обчислені для якісно однорідних одиниць, в багатьох випадках повинні  доповнюватися груповими середніми, так як загальні середні можуть не розкрити повністю закономірності досліджуваних процесів.

     Загальні  середні потрібно доповнювати груповими  середніми в тих випадках, коли варіаційна ознака суттєво відрізняється  по окремих групах і в порівнюваних групах існує різне співвідношення груп. В таких випадках розмір загальної середньої визначається через розміри групових середніх і структуру досліджуваної сукупності.

     Особливого  значення набуває доповнення загальної  середньої груповими середніми при вивченні взаємозв’язку і взаємозалежності одних показників і ознак від інших. При використанні середніх потрібно також пам’ятати, що середні величини не можуть і не повинні підміняти індивідуальні показники, а доповнюватись вивченням кращих і гірших одиниць сукупності.

     Із  всього вищенаведеного випливає, що середні  в статистиці потрібно застосовувати  на основі і в органічній єдності  з методом групувань, який, в свою чергу, дозволяє відмежувати якісно однорідні сукупності для доповнення загальної середньої груповими середніми, а також рядами розподілу, в яких розкриваються передові досягнення або недоліки. Іншими словами, наукове застосування середніх в статистиці повинно виходити з діалектичного поєднання категорій загального і індивідуального, масового і одиничного.

     1.2. Основні види середніх величин.

          Середні величини діляться на два великих класа:

      1) степеневі середні. До них відносяться  такі найбільш відомі і часто  вживані види, такі  як:

• середня арифметична;
• середня геометрична;
• середня квадратична;
• середня гармонійна;
• середня хронологічна.

      2) структурні середні. До них  відносяться мода і медіана.

     Середні величини відрізняються в залежності від урахування ознак, що впливають на усереднювань величину: Якщо середня величина розраховується для ознаки, без урахування впливу на нього будь-яких інших ознак, то така середня величина називається середньої незваженої або простої середньої.  
Якщо є відомості про вплив на осредняемий ознака деякого ознаки або декількох ознак, які необхідно врахувати при розрахунку для коректного розрахунку середньої величини, то розраховується середня зважена.  
За формою розрахунку виділяють кілька видів середніх величин, які утворені з єдиної степеневою середньої величини. Степенева середня величина має форму:

       
 ,  
де - середнє значення досліджуваного явища;  
k - показник ступеня середньої;  
x - поточне значення (варіант) осредняемого ознаки;  
i-i-тий елемент сукупності;  
n - число спостережень (число одиниць сукупності).  

     Вибір форми середньої обумовлений вихідним співвідношенням, суть якого наводилася вище. Існує порядок розрахунку середньої величини:

     1. Визначення вихідного співвідношення для досліджуваного показника.

     2. Визначення відсутніх даних для розрахунку вихідного співвідношення.

     3. Розрахунок середньої величини.

     Розглянемо деякі види середніх, які найбільш часто використовуються в статистиці.  

1.2.1.  Середня арифметична

      Одним з найпоширеніших видів середньої  є середня арифметична. Вона застосовується у тих випадках, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності являє собою суму індивідуальних значень її окремих елементів. Середня арифметична розраховується за такою формулою: 

де n – кількість одиниць сукупності,

   x – варіруюча ознака.

         Для того щоб розрахувати середню арифметичну, потрібно скласти всі окремі варіанти (індивідуальні значення ознаки) і суму поділити на їхню кількість.

   Наприклад, відомо, що тарифний розряд робітників бригади, яка складається з восьми чоловік, становить : 3,4,3,5,4,5,4,4. Треба знайти середній рівень кваліфікації робітників бригади. Для цього складемо тарифний розряд кожного робітника і добуту суму поділимо на кількість робітників:

                                      =

      Середня арифметична буває двох видів – проста і зважена. 
 Проста середня арифметична застосовується у випадках, коли є окремі значення ознаки, тобто дані не згруповані. Якщо дані представлені у вигляді рядів розподілу або угруповань, то середня обчислюється інакше. 
Проста середня арифметична розраховується за такою формулою:  
              = ,  де n – кількість одиниць сукупності, x – варіруюча ознака.

Середня арифметична зважена обчислюється за формулою: 

   де  n – кількість одиниць сукупності, x – варіруюча ознака.

   Таким чином, середня арифметична зважена дорівнює сумі зважених варіантів ознаки, поділена на суму ваг. Вона застосовується в тих випадках, коли кожна варіанта ознаки зустрічається декілька (нерівну) кількість разів.  

   Приклад.   Знайти середній рівень кваліфікації робітників бригади.

Властивості середньої арифметичної :

1.Якщо  варіанти збільшити (зменшити) у  одне і те саме число разів,  то середня арифметична збільшиться  (зменшиться) у стільки ж разів. 

2.Якщо  варіанти збільшити (зменшити) на  одне і те саме число, то  середня арифметична збільшиться (зменшиться) на те саме число.

3.Якщо  окремі значення варіант збільшити  (зменшити) на величину А або  в k разів, то середня зміниться  відповідно. Наприклад, якщо грошові  внески громадян до ощадбанку  скоригувати на рівень інфляції, що становить 1,2, то середній розмір внеску збільшиться відповідно в 1,2 рази.

4. Середня суми (різниці) двох або декількох величин дорівнює сумі (різниці) їх середніх:

5. Загальний множник індивідуальних значень ознаки може бути винесений за знак середньою:

2.2.2. Середня гармонійна

      Середня гармонічна тісно пов’язана із середньою  арифметичною і обчислюється як відношення суми ознак до суми добутків цих ознак на обернені значення варіант.

     Середня гармонійна застосовується в тих випадках, коли нам не відомі самі варіанти, а відомі або їхні обернені числа або добуток одиниць сукупності на значення ознаки.

     Середню гармонійну використовують, наприклад, для визначення середніх затрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь за двома (трьома тощо) підприємствами, робітниками, які зайняти виготовленням одного й того ж виду продукції, однієї й тієї ж деталі.

Приклад. Маємо дані про витрати часу в годинах на виготовлення однієї деталі кожним з трьох робітників: ½, 1/3, 1/7. Треба обчислити середні витрати часу на виготовлення однієї деталі.

      Середня гармонійна буває зважена і проста.

     У випадку розрахунку середньої гармонійної зваженої її обчислюють тоді, коли відомі дані про загальний обсяг ознаки (z = xf), а також індивідуальні значення ознаки (х), невідома частота (f). Формули мають такий вигляд:

      . 
 

1.2.3. Середня геометрична

     Середню геометричну застосовують у тих випадках, коли обсяг сукупності формується не сумою, а добутком індивідуальних значень ознак. Цей вид середньої використовується здебільшого для обчислення середніх коефіцієнтів (темпів) зростання в рядах динаміки. Так, у випадку однакових часових інтервалів між рівнями динамічного ряду середня геометрична проста має такий вигляд:

     де  K - темпи зростання, n – кількість інтервалів.

Приклад. Кількість зареєстрованих злочинів за чотири роки зросла у 1,57 рази, у тому числі за перший рік – у 1,08; за другий – у 1,1; за третій – у 1,18; за четвертий – у 1,12 рази. Середньорічний темп зростання кількості зареєстрованих злочинів становить:

       = = =1,12 рази, тобто число зареєстрованих злочинів зростало щорічно у середньому на 12 %. 

1.2.4.Середня квадратична

     Середня квадратична використовується для  визначення показників варіації (коливання) ознаки – дисперсії та середнього квадратичного відхилення. Обчислюється на основі квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини. Формула:

• проста ;
• зважена

Середня квадратична найчастіше використовується при розрахунку показників варіації. 
 

1.2.5. Середня хронологічна

     Середня хронологічна величина дає більш точний розрахунок середньої величини і використовується для розрахунків у разі, якщо аналіз ведеться за період більший, ніж один. Широко застосовується в рядах динаміки, у соціально-економічній статистиці для визначення середньої чисельності населення й середнього розміру залишків, а також для інших показників, які обчислюються на певні моменти часу. Розраховується за формулою: 

де  х - варіанти значень, n-кількість показників.

Приклад. У комерційному банку сума кредиторської заборгованості на початок кожного кварталу становила, млн. гр. од.: 1.01. – 20; 1.04. – 26; 1.07. – 32; 1.10. – 29; 31.12. – 22. Середньоквартальна сума кредиторської заборгованості складає: 

1.2.6. Структурні середні величини

     Для визначення структури сукупності використовують особливі середні показники, до яких відносяться медіана і мода, або так звані структурні середні. Якщо середня арифметична розраховується на основі використання всіх варіантів значень ознаки, то медіана і мода характеризують величину того варіанту, який займає певний середнє положення в ранжируваному варіаційної ряду.

     Мода(Мо) – це величина, яка найчастіше трапляється в даній сукупності. Моду широко використовують у комерційній діяльності, в соціологічних дослідженнях, коли вивчають ринковий попит, встановлюють рейтинг популярності осіб чи товарів. У дискретному ряді моду легко відшукати візуально, бо це варіанта, якій відповідає найбільша частота. 

     Наприклад, під час реєстрації жіночого взуття,проданого протягом одного дня в одній із секцій магазину, було встановлено, що найбільш ходовим у день реєстрації виявився розмір 23,5, тобто Мо=23,5 

    В інтервальному ряді легко відшукається лише модальний інтервал, а сама мода визначається приблизно за формулою: 
 

   де  Х_мо - початкове значення інтервалу, що містить моду; h_M0- величина модального інтервалу; f₂- частота модального интервала; f₁- частота интервала, предшествующего модальному; f₃- частота интервала, следующего за модальным.

   Приклад. За даними таблиці найбільшим попитом користуються акції з терміном обертання в інтервалі 4 – 6 місяців. Це модальний інтервал, ширина якого і_Мо=2, а нижня межа х_Мо=4, частота f_Mo=29, передмодальна частота

f_Mo-1=13, а післямодальна частота f_Mo+1=22. Модальний термін обертання облігацій становить: