Схема и метод Куммера
Содержание
Введение ……………………………………………………
- Схема Куммера……………………………………………………………
….3 - Вывод признаков сравнения из схемы Куммера……………………..4
- О некоторых арифметических свойствах коэффициентов функции Куммера……………………………………………………………
…………..6 - Метод Куммера……………………………………………………………
...15 - Признак Куммера………………………………………………………….
..16
5.1 Фомулировка в предельной форме……………………………………...16
- Идеальное число…………………………………………………………….
17
6.1
Пример………………………………………………………………
6.2
История……………………………………………………………
- Заключение……………………………………………………
……………..19 - Библиографический список……………………………………………….20
Приложение……………………………………………………
Введение
Современное
развитие фундаментальных и прикладных
наук, решение многих практических
задач характеризуется все
Курсовая работа является важным этапом изучения курса математического анализа.
При решении многих практических задач, естественно, появляются специальные функции. Выполнение курсовой работы предполагает знакомство с основными классическими и современными специальными функциями, возникшими в самом математическом анализе, дифференциальных уравнениях, математической физике, теории вероятностей и других математических дисциплинах.
- Схема Куммера
Теорема1.Пусть будет произвольная последовательность положительных чисел, такая, что ряд расходится.
Если существует предел:
, (1)
то: 1) при ряд (А) сходится, 2) при – расходится.
Доказательство. Из равенства (1), на основании определения предела числовой последовательности, следует, что для любого сколь угодно малого существует , такой что для выполняется неравенство:
(16)
1) Пусть , тогда . Обозначили , тогда, начиная с номера , из неравенства (16) следует, что выполняется следующее неравенство:
Умножая обе части этого неравенства на , получается:
, (17)
значит, .
Отсюда следует, что последовательность монотонно убывает и, следовательно, стремится к конечному пределу (так как ограничена снизу нулем).
Итак, ряд сходится, ибо его частичная сумма: , имеет конечный предел. Но тогда из неравенства (17), по признаку сравнения I, следует, что сходится ряд , а с ним и данный ряд (А).
2) При , аналогично пункту (1), при выполняется неравенство:
Так как ряд является расходящимся, то, по теореме 4, расходится и испытуемый ряд (А).
Замечание1.Условие расходимости ряда используется только для вывода признака расходимости, признак сходимости в этом условии не нуждается.
Замечание2. Схема Куммера является общей схемой для получения конкретных признаков.
1.1 Вывод признаков сравнения из схемы Куммера
- Положили, что . Условие расходимости ряда соблюдено. Получается
Перешли к пределам
1) При ряд сходится.
2) При ряд
расходится.
Таким образом, был выведен признак Даламбера.
2) Положили, далее, . Ряд расходится как гармонический. Отсюда следует:
Перешли к пределам:
1) При ряд сходится.
2) При ряд расходится.
Здесь получился признак Раабе.
- О некоторых арифметических свойствах
коэффициентов функции Куммера
В 1929 году К. Зигель опубликовал метод, позволяющий устанавливатьалгебраическую независимость значений некоторых целых функций, названныхим -функциями. Он доказал, что целые гипергеометрические функции с рациональными параметрами являются -функциями.А. Б. Шидловский, продолжая исследования К. Зигеля, установил необходимое и достаточное условие алгебраической независимости значений – функцийв алгебраических точках.В некоторых случаях удаётся исследовать арифметические свойства значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. Эти функции не являются -функциями, но к ним частично применимы методы, разработанные для -функций. В связи с этим определение -функций имеет смыслнесколько обобщить.
В. Г. Спринджук доказал, что функция
при иррациональном алгебраическом параметре , таком что Q(λ)- поле Галуа, не является - Е функцией.
Определение 1. Функция принадлежит классу ,если
- коэффициенты принадлежат алгебраическому числовому полю K,
- при любом эти коэффициенты и сопряжённые им числа растут как
- существует последовательность отличных от нуля чисел из кольца таких, что и норма есть .
Функция f(z) в точности принадлежит классу , если она принадлежит этому классу и не принадлежит никакому другому такому классу с меньшим значением τ.Класс совпадает с классом E-функций Зигеля.
В (1) установлено, какому классу в точности принадлежит функция
при условии, что Q(a1, a2)—квадратичное поле.
Пусть ω — квадратичная иррациональность, K = Q(ω), k = degK = 2,
При v1 = v2 = 0 функция (1) является E-функцией, поэтому будем считать,
что |v1| + |v2| >
0. Выбором числа ω можно
Теорема 1. Функция Куммера (1) в точности принадлежит классу в следующих случаях:
1) при v1 > v2 (v1 > 0);
2) при u1v2 − u2v1 Z;
3) при v1 = v2 > 0 и u1 − u2
4) при v1v2 = 0, |v1| + |v2| > 0 .
При v2 >v1 > 0 , u1v2 − u2v1 ∈Z функция f(z) в точности принадлежит классу
При v1 = v2 > 0 , u1 − u2 ∈ Z+, а также при v1 = v2 = 0 функция f(z)
является E -функцией.
Общий случай deg Q(a1, a2) = 2 сводится путём выбора ω к какому-либо из описанных случаев.
Доказательство. Пункты 1) и 2) определения 1 для функции (1) очевидны. Чтобы доказать пункт 3), достаточно для нормы идеалов ,
ряда (1), получить оценки
при значениях τ, взятых из утверждений теоремы 1.Пусть p—простой идеал поля K, делящий простое число p, и
p | (a1 + k1), p | (a2 + k2), k1, k2 ∈N, 1≤ k1, k2 ≤ n (5)
(простой идеал p делит a, если он входит в положительной степени в разложение главного идеала (a) в произведение простых идеалов), т. е.
p | (u1 + v1ω + k1) = α1, p | (u2 + v2ω + k2) = α2.
Рассмотрим определитель:
Так как p | ∆ и ∆ ∈ Q, то p | p, p | ∆, и если ∆ ≠ 0, то p ≤ |c∆| <γn, γ > 1,
где постоянная γ не зависит от n.
Определение 2. Простой идеал p назовём малым, если p | p, p<γn, и
большим, если p | p, p ≥γn.
Из сказанного выше следует, что при ∆≠0 соответствующий простой идеал малый.
Можно оценить вклад, которыйвносят малые и большие простые идеалы в числители и знаменатели коэффициентов ряда (1). В случае, когда K = Q(ω)—квадратичное поле, из указанных лемм легко выводится следующее утверждение.
Лемма 1.Пусть
Тогда
где в идеал входят только малые простые идеалы, а в идеал — только
большие простые идеалы, причём
Идеал делится на идеал
Следствие 1.
При deg Q(a1, a2) = 2 функция (1) принадлежит классу .
Следствие 2.
1. Если для любого достаточно большого натурального числа n и любогобольшого простого идеала p , делящего (a2 + 1). . . (a2 + n) , существует такой индекс ν, чтоp делит знаменатель, но не делит числитель дроби cν в (4), то функция f(z) в точности принадлежит классу
2 . Если при всех достаточно большихn дробь не может быть сокращена ни на один большой простой идеал, то функция f(z) в точности принадлежит классу
Продолжим доказательство теоремы. Пусть далее ∆ = 0. Тогда
и в силу (3)
При v1v2 < 0 и достаточно большом x это невозможно, поэтому согласно утверждению 2 следствия 2 в этом случае функция f(z) в точности принадлежит классу Из (8) следует, что
v1x ≡
b1 (mod c), v2x ≡ b2 (mod c).
Поскольку в (3) (v1, v2) = 1, существуют целые числа w1 и w2, такие, что
v1w1 + v2w2 =
1
а тогда из (9) следует, что
x ≡ b1w1 + b2w2
(mod c),
значит, система (9) имеет не более одного решения.
Подставляя в (9) значение (11), получаем:
v1(b1w1 + b2w2) ≡ b1 (mod c), v2(b1w1 + b2w2) ≡ b2 (mod c),
откуда по (10)
b1(1 − v2w2) + b2v1w2 ≡ b1 (mod c), b1v2w1 + b2(1 − v1w1) ≡ b2 (mod c),
т. е.
w2(b1v2 − b2v1) ≡ 0 (mod c), w1(b1v2 − b2v1) ≡ 0 (mod c),
и снова по (10) получаем b1v2 − b2v1 ≡ 0 (mod c), а в силу (3)
u1v2 − u2v1 ∈ Z.
Следовательно, если u1v2 − u2v1 Z, то согласно утверждению 2 следствия 2 функция f(z) в точности принадлежит классу
Пусть выполнено условие (12) и x0 —наименьшее решение системы (8) при 1 ≤ k1, k2 ≤ n. Тогда в (9) x = x0 + tc, t ∈ Z+, и в (8) bi + kic = vi(x0 + tc),
i = 1, 2, а в силу (2), (3)
Поэтому дробь (a1+k1)/(a2+k2) можно сократить на x0/c+ω+t, в результате чего дробь в (4) сократится на величину
где
По лемме 1
где идеал An состоит из малых, а идеал Bn —из больших простых идеалов и
Далее рассмотрим несколько случаев.
СЛУЧАЙ 1. Пусть v2 > v1 > 0. Тогда из (8) следует, что k2 > k1 при достаточно большом x.
В главных идеалах имеем
Сначала вынесем из числителя и знаменателя все малые простые идеалы ипроизведём соответствующее сокращение. По лемме 1 дробь сократится, по крайней мере, на идеал из (6). Затем каждую пару идеалов (a1+k1) и (a2+k2) из (5) сократим на соответствующий простой идеал p, если этот идеал большой.
Поскольку k2 > k1, в знаменателе не останется множителей, не сокращённых на такие большие простые идеалы. Мы получим равенство
где целые идеалы состоят только из больших простых идеалов, = 1, s, t = 1, n, —дробные идеалы, состоящие из малых простых идеалов, а в целые идеалы vν входят те большие простые идеалы, для которых k1 ≤ ν <k2.
Общим знаменателем дробных идеалов ν = 1, n, является идеал
m21 . . .m2n, умноженный на идеал равный общему знаменателю идеалов ν = 1, n. Поскольку в дроби произошло сокращение по крайней мере на идеал то по лемме 1
Из равенств (14), (15), (16), (17) и (18) следует, что
Функция Куммера f(z) в точности принадлежит этому классу, так как из сказанного выше следует, что идеал может быть сокращён только на те большие простые идеалы, которые входят в произведение (13), т. е. на Bn.
СЛУЧАЙ 2. Пусть v1 > v2 > 0. Тогда в (5) и в (8) k1 > k2, и поэтому выполняются условия утверждения 1 следствия 2, а именно если большой простой идеал p удовлетворяет условию (5), то этот идеал делит числитель, но не делит знаменатель дроби (4) при ν = k2. По следствию 2 функция f(z) в точностипринадлежит классу
СЛУЧАЙ 3. Пусть v1 = v2 > 0. Тог да при ∆ = 0 в равенстве (7) u1 + k1= u2+k2 и u1−u2 ∈ Z (при ∆ ≠0 соответствующий идеал p малый). При u2 > u1выполняется неравенство k1 > k2 и, как и в предыдущем случае, дробь не сокращается на большой простой идеал p, удовлетворяющий условию (5),
и по следствию 2 функция f(z) в точности принадлежит классу
Легко проверить, что при u1 − u2 ∈ Z+ функция f(z) является E-функцией.
СЛУЧАЙ 4. Пусть, наконец, v1v2 = 0, |v1| + |v2| > 0. Тогда в дробях не происходит сокращения больших простых идеалов и согласно утверждению 2следствия 2 функция f(z) в точности принадлежит классу
Таким образом, мы разобрали все случаи теоремы 1, чем завершили её доказательство.
- Метод Куммера
Метод Куммера — в теории числовых рядов способ, позволяющий заменить заданный ряд другим, сходящимся быстрее.
Предположим, что имеется сходящийся числовой ряд ak и требуется найти его сумму с заданной точностью. Для увеличения скорости сходимости этого ряда применяется метод Куммера, который состоит в следующем. Подбирается ряд bk с известной суммой такой, чтобы разность
В этом случае величину можно представить в виде суммы , где ряд ck сходится быстрее, чем исходный ряд, а сумма ряда bk — известна. Это означает, что для получения суммы ряда с заданной точностью во втором случае нужно взять меньшее количество членов ряда ck.
Например, для повышения скорости сходимости ряда можно воспользоваться рядом , сумма которого известна, и записать .
Преобразование Куммера можно применять не ко всем членам исходного ряда, а только к членам ряда, начиная с некоторого места. В этом случае несколько членов исходного ряда остаются без изменения.
- Признак Куммера
Признак
Куммера — общий признак
Пусть дан ряд и произвольная числовая последовательность , такая что ряд расходится. Тогда ряд сходится, если для некоторого n > N выполняется неравенство:
, где δ > 0.
Если же для n > N, то ряд расходится.
4.1 Формулировка в предельной форме
Если существует предел:
, то при K > 0 ряд сходится, а при K < 0 — расходится.
- Идеальное число
Идеальные числа были введены Куммером и послужили отправной точкой для определения идеалов колец, введённых позже Дедекиндом. В настоящее время этот термин не используется и заменён понятием идеала.
Идеал в кольце является главным, если он состоит из элементов, кратных некоторому элементу, иначе он неглавный. Таким образом каждому числу кольца можно сопоставить главный идеал, при этом можно предположить существование идеальных чисел, которым бы соответствовал произвольный идеал.
5.1 Пример
Пусть y — корень уравнения y² + y + 6 = 0, тогда кольцо целых чисел поля — это , то есть все выражения вида a + by, где a и b — элементы кольца целых чисел. Пример неглавного идеала в таком кольце — 2a + yb, где a и b — целые числа; куб этого идеала — главный, группа класса — циклическая порядка 3. Соответствующее поле класса получается присоединением всех элементов w вида w³ − w − 1 = 0 к , что даёт . Идеальное число неглавного идеала 2a + yb — это ι = ( − 8 − 16y − 18w + 12w2 + 10yw + yw2) / 23. Так как оно удовлетворяет уравнению ι6 − 2ι5 + 13ι4 − 15ι3 + 16ι2 + 28ι + 8 = 0, то оно алгебраическое целое число.
Все элементы кольца целых чисел поля классов, при умножении на ι, дающие имеют вид aα + bβ, где
α = ( − 7 + 9y − 33w − 24w2 + 3yw − 2yw2) / 23
и
β = ( − 27 − 8y − 9w + 6w2 − 18yw − 11yw2) / 23.
Коэффициенты α и β также алгебраические целые числа, удовлетворяющие
и
Умножая aα + bβ на идеальное число ι, получаем 2a + by, что является неглавным идеалом.
5.2 История
Куммер впервые написал о возможности неединственного разложения на множители в циклотомических (круговых) полях в 1844 году в малоизвестном журнале; статья была повторена в 1847 году в журнале Лиувилля. В дальнейших работах в 1846 году и 1847 году он опубликовал свою основную теорему о единственности разложения на (действительные и идеальные) простые множители.
Считается, что Куммер пришел к идее «идеальных комплексных чисел» при изучении Великой теоремы Ферма; рассказывают даже, что Куммер, как и Ламэ, считал, что доказал Великую теорему Ферма, пока Дирихле не сказал ему, что его доводы опираются на единственность факторизации; но эта история была впервые рассказана Куртом Хенселем в 1910 и, скорее всего, появилась из ошибки в одном из источников Хенселя. Гарольд Эдвардс сказал, что вера в то, что Куммер всерьез интересовался Последней теоремой Ферма, «несомненно ошибочна».
Обобщение идей Куммера было осуществлено Кронекером и Дедекиндом в течение следующих сорока лет. Прямое обобщение столкнулось с серьезными трудностями, что привело Дедекинда к созданию теории модулей и идеалов. Кронекер справился с трудностями, развив теорию форм (обобщение квадратичных форм) и теорию дивизоров. Работы Дедекинда легли в основу теория колец и абстрактной алгебры, а работы Кронекера создали главный инструмент алгебраической геометрии.
- Заключение
В данной курсовой работе были рассмотрены положительные ряды. Были рассмотрены и решены примеры, которые помогли закрепить материал и научится применять его на практике.
- Библиографический список
- Галочкин А. И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергео-метрических функций // Сиб. мат. журн.—1976.—Т. 17, № 6.—С. 1220—1235.
- Галочкин А. И. О критерии принадлежности гипергеометрических функций Зигеляклассу E-функций // Мат. заметки.—1981.—Т. 29, № 1.—С. 3—14.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, п. 415.
- Фельдман, Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант, № 7, 1983.
Приложение
Программа, вычисляющая функцию Куммера с заданной точностью и выводящая на экран её график при заданных значениях параметров a и c.
program row;
uses crt;
const
a=17;
c=666;
var
driver, mode, err: integer;
e, s, ds, smin, smax: real;
x, t, my: integer;
begin
smin :=1;
smax :=1;
writeln (‘Enter e :’);
readln (e);
for x :=-100 to 100 do
begin
s :=1;
t :=1;
ds :=1;
repeat
ds :=ds*(a+t-1)*x/(c+t-1)/t;
s :=s+ds;
inc (t);
until ds<e;
if s>smax then smax :=s;
if s<smax then smax :=s;
end;
driver :=detect;
initgraph (driver, mode, ‘e :\bp\bgi’);
err :=graphresult;
if err <> grok then
begin
writeln (‘Error of graphic initialization : ‘);
writeln (grapherrormsg (err));
writeln (‘Press any key . . . ‘);
readkey;
halt;
end;
my :=round (400/(smax-smin));
line (320, 0, 320, 480);
line (0, round (my*smax), 640, round (my*smax));
for x :=-100 to 100 do
begin
s :=1;
t :=1;
ds :=1;
repeat
ds :=ds*(a+t-1)*x/(c+t-1)/t;
s :=s+ds;
inc (t);
until ds<e;
putpixel (320+3*x, round (420-my*s), 15);
end;
readkey;
and.