Синтез линейных систем регулирования
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российской Федерации |
Санкт-Петербургский (технический университет) |
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
По дисциплине: _______Теория автоматического
управления___________________
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Тема: __Синтез линейных систем регулирования__
Автор: студент гр. АПМ-09-2 _________________ /Воликов А.В../
(подпись) (Ф.И.О.)
8 вариант
ОЦЕНКА: _____________
Дата: ________________
ПРОВЕРИЛ:
Руководитель проекта: доцент _______________ / Суслова О.В./
(должность)
Санкт-Петербург
2012
Оглавление
1. Задание
Произвести линеаризацию уравнения объекта управления согласно заданному варианту. Оценить точность линеаризации, построив график ошибки в зависимости от входного сигнала.
На основе полученного линеаризованного уравнения записать выражения для АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ВЧХ и МЧХ при x>1 и 0<x<1 и построить АФЧХ, АЧХ и ФЧХ для двух указанных.
Определить устойчивость системы управления по критериям Гурвица и Найквиста для двух вариантов объекта управления и построить переходные характеристики.
Произвести параметрический синтез ПИ-регулятора для своего варианта объекта управления. Построить переходной процесс при полученных оптимальных настройках.
2. Линеаризация математической модели
В качестве предмета изучения будем использовать некоторый объект, описываемый дифференциальным уравнением 2-го порядка.:
Исходные данные. В качестве исходных данных служат коэффициенты уравнения (1) , , , ; границы изменения входной переменной и , номинальный режим выбран как 0,5 диапазона измерения.
Вариант № |
Точность в % | |||||||
2 |
20 |
4Y |
7Y |
6X2 |
9 |
4 |
0,5 |
5 |
Решение.
Подставим в уравнение (1) значение заданных коэффициентов и запишем полученное выражение:
Это нелинейное уравнение, так как в нем имеется произведение выходной переменной на ее производную (динамическая нелинейность), вторая степень выходной переменной и третья степень входной переменной .
Для того, чтобы можно было пользоваться стандартными методами теории автоматического управления, применительно к данному объекту, необходимо привести уравнение (2) к виду:
где , , , - некоторые постоянные коэффициенты.
Уравнение (3) – линейное дифференциальное уравнение. Поэтому процесс приведения к такому виду какого-то нелинейного уравнения называют линеаризацией.
Для линеаризации уравнения (2) введем понятие номинального режима: установившегося режима функционирования объекта (производные равны 0), в котором входная и выходная переменная связываются уравнением статики, и каждая имеет какое-то определенное постоянное значение. Относительно этих значений рассматриваются величины входных и выходных переменных во время работы объекта управления. Сами значения при номинальном режиме могут определяться из различных соображений: исходя из требований технологического регламента или просто как 0,5 диапазона измерения входной (выходной) величины и т.п.
Найдем уравнения статического режима для объекта (2).
Приравняем нулю все производные в уравнении (2) и получим уравнение статики объекта:
Уравнение (4) описывает множество возможных установившихся состояний объекта, в том числе и состояние номинального режима. Найдем значения переменных в номинальном режиме.
Диапазон измерения - от 4 до 9, а номинальное значение соответствует 0,5 (т.к. z=0,5), то есть
Из уравнения (4) найдем значение :
Тогда во всех состояниях значения входной и выходной переменных можно записать в виде уравнений (5):
Линеаризация производится для режимов, имеющих относительно малое отклонение от номинального режима.
Перенесем правую часть уравнения (2) налево и получим
Обозначим левую часть уравнения (6) через функцию :
Разложим ее в ряд Тейлора с учетом всех переменных и производных (производные рассматриваются как самостоятельные переменные) и отбросим все слагаемые второго и более высших порядков, в следствие чего получим:
где - значение при номинальном режиме, , , , - значения производных по переменным при подставленных номинальных значениях, , , , - отклонения переменных от номинального значения .
Найдем частные производные, необходимые для разложения:
Таким образом, подставив найденные значения частных производных в уравнение (8) получим:
Где члены высоких порядков отброшены, а линеаризованное уравнение имеет вид:
Уравнение (9) является линейным, но описывает объект не в абсолютных физических переменных, а в отклонениях от номинала (приращениях).
Разделим обе части уравнения (9) на коэффициент при . Тогда он примет вид:
где =0,093, =0,285, =1 – коэффициенты; =3,54 –коэффициент усиления объекта. и - производные.
Уравнение (10) является линейным дифференциальным уравнением объекта управления в канонической форме записи. Приведение к такой форме (коэффициент при равен 1) – очень важный момент для правильного определения параметров объекта (например, коэффициента усиления).
Линеаризация существенно
Уточним интервал измерения , в котором данная точность реализуема. Проверка проводится для статического режима.
При линеаризации кривая, соответствующая уравнению (4) заменяется кривой, получаемой из уравнения (10) приравниванием к 0 производных.
Сопоставим характеристики (4) и (11).
Поскольку из уравнения (5) следует , что
То можем записать на основании уравнения (11):
Ошибку линеаризации можно посчитать по уравнению (13):
где , - значения выходной переменной для линеаризованного уравнения (12) и нелинеаризованного уравнения (4).
Подставляя в (5), (12) и (13) различные значения , можно найти значения для линеаризованного ( ) и нелинеаризованного уравнения ( ). Результаты приведены в таблице.
4,0 |
4,5 |
5,0 |
5,5 |
6,0 |
6,5 |
7,0 |
7,5 |
8,0 |
8,5 |
9,0 | |
6,492 |
8,262 |
10,032 |
11,802 |
13,572 |
15,342 |
17,112 |
18,882 |
20,652 |
22,422 |
24,192 | |
7,407 |
8,838 |
10,351 |
11,942 |
13,607 |
15,343 |
17,146 |
19,016 |
20,949 |
22,943 |
24,997 | |
5,961 |
3,753 |
2,079 |
0,911 |
0,226 |
0,003 |
0,224 |
0,873 |
1,935 |
3,398 |
5,248 |
Как видно из таблицы, на краях заданного диапазона точность линеаризации недостаточна. Найдем параметры диапазона, в котором ошибка не превышает заданных 5%. Из уравнения (13) получим:
Откуда , или
Решая это уравнение, получаем новые значения границ интервала. Они будут: и . Построим график .
Построим графики и , то есть линеаризованной и нелинеаризованной статических характеристик.
Таким образом, исходное уравнение (1) линеаризуется уравнением вида (10):
а требуемая точность достигается в интервале изменения входной переменной от 4,2 до 8,9.
3. Исследование динамических характеристик объекта управления по математической модели
В результате линеаризации нелинейной модели объекта управления получено некоторое линейное дифференциальное уравнение 2 порядка. Линеаризованное уравнение имеет вид:
Напомним, что и - производные по времени, а (14) это уравнение в отклонениях от номинального (знак D опущен для простоты записи).
Для уравнения 2 порядка каноническая форма записи имеет вид:
где – постоянная времени объекта, с; – коэффициент усиления объекта по каналу – ; - так называемый коэффициент демпфирования, смысл которого будет рассмотрен позже.
Следует отметить важность приведения к канонической форме для получения правильных значений параметров объекта. Характерная черта канонической формы дифференциального уравнения объекта - это то, что при выходной переменной ( ) коэффициент равен 1.
Сравнивая выражения (14) и (15), получим:
Применим к уравнению (14) преобразование Лапласа.
Напомним, что для некоторой функции f(t) преобразование Лапласа определяется, как:
где р – комплексная переменная.
Для величин, входящих в уравнение (14), преобразование Лапласа имеет вид:
С учетом этого, уравнение (16) имеет следующий вид:
Уравнение (16) называется изображением по Лапласу для уравнения (15). Полином, стоящий в левой части уравнения (16), носит название характеристического полинома.
Уравнение =0 называется характеристическим уравнением.
Для анализа объекта управления обычно используют два вида типовых возмущений:
Х = 1[t] – единичный скачек
Х = d[t] – мгновенный импульс
Решение Y(t) при X = 1[t] называется переходной характеристикой объекта управления h(t). Решение Y(t) при X = d[t] называется импульсной характеристикой (функцией веса) объекта w(t).
Следует отметить, что весовая функция w(t) является производной от функции переходного процесса h(t).
Решение дифференциального уравнения ищется в виде суммы экспонент. Вид решения зависит от входного сигнала.
Для звена второго порядка эти решения имеют вид:
Здесь ; – корни характеристического уравнения, которые определяются, как ; , – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Следует обратить внимание на величину x. В случае, когда x>1, дискриминант положителен и корни р1; р2 получаются вещественными. Переходной процесс называется монотонным.
В случае, когда 0<x<1, дискриминант отрицательный и корни р1; р2 получаются комплексными, вида где . В этом случае, выражение (17) можно представить в виде:
а выражение (18) в виде:
Здесь a - степень затухания амплитуды (учитывает вещественную часть корней характеристического уравнения); w - круговая частота колебаний выходной переменной (учитывает мнимую часть корней характеристического уравнения); А – начальная амплитуда колебаний, f - фазовый сдвиг.
Переходной процесс, получающийся при решении такого вида, называется колебательным.
Значение постоянных можно найти по выражениям:
В данном случае =0,304, =0,468, =3,54 следовательно:
Тогда по (19) и (20)
Для получения монотонного процесса прибавим к x единицу. Тогда при x>1 (x=1,468):
,следовательно р1=-1,309 , р2=-8,349, а по (17) и (18) получаем:
Где коэффициенты , – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий:
Тогда
По приведенным выражениям строим графические характеристики:
Переходные характеристики объекта при x>1 и 0<x<1
Импульсные характеристики объекта при x>1 и 0<x<1
Уравнение (16) можем переписать следующим образом:
Выражение вида при нулевых начальных условиях, называют передаточной функцией объекта управления.
В случае, когда к дифференциальному уравнению объекта управления применяют преобразование Фурье:
Выражение (23) называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) объекта управления, поскольку выражение, являющееся коэффициентом перед экспонентой, характеризует зависимость амплитуды колебаний, а показатель экспоненты – фазового сдвига от частоты.
АФЧХ можно разбить на две составляющие:
1) Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) – А(w)
2) Фазо-частотную характеристику (ФЧХ) - j(w)
1) АФЧХ объекта второго порядка имеет вид: , поэтому:
АЧХ:
А) при 0<x<1:
Б) при x>1:
2) ФЧХ объекта второго порядка имеет вид:
ФЧХ:
А) при 0<x<1:
Б) при x>1:
Следует отметить, что АФЧХ является комплексным числом, поэтому может быть представлена в виде:
Здесь Р(w) называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ), а Q(w) – мнимой частотной характеристикой (МЧХ), при этом:
Для рассматриваемого объекта АФЧХ имеет вид:
то есть:
А) при 0<x<1: ;
Б) при x>1: ;
АФЧХ объекта строится в виде годографа на комплексной плоскости, при этом по оси абсцисс откладывают ВЧХ , а по оси ординат – МЧХ. Один для апериодического звена (x=1,468>1), а другой для колебательного звена (0< x=0,468 <1).
4. Исследование устойчивости замкнутой системы управления
Под устойчивостью АСУ понимают
способность системы
Схема системы регулирования по отклонению
Переходной процесс в системе может быть 3 видов:
1) Система не может восстановить
состояние равновесия и
2) Система возвращается к
3) В системе устанавливаются периодическое движение. Такой процесс называется незатухающим колебательным, а система находится на границе устойчивости. Любое воздействие на такую систему может привести ее как к сходящемуся, так и к расходящемуся переходному процессу.
Основными законами автоматического регулирования являются:
1) Пропорциональный (П – закон). При таком законе управления управляющий сигнал m прямо пропорционален сигналу рассогласования межну выходной координатой и ее заданным значение., то есть:
2) Пропорционально-интегральный (ПИ
– закон). Управляющий сигнал
складывается из
3) Пропорционально-интегрально-
Выбирая Кр ; Ти ; Тд , можно усиливать или ослаблять соответствующие части регулятора, добиваясь наилучшего качества регулирования. Оценка устойчивости системы производится при помощи критериев устойчивости 2 видов: алгебраических и частотных.
Алгебраические критерии позволяют
судить об устойчивости системы по
коэффициентам характеристическ
Напомним, что рассматриваемый объект управления представляет собой колебательное звено 2 порядка, передаточная функция которого имеет вид:
Выберем в качестве закона регулирования ПИ – закон, то есть передаточная функция регулятора будет иметь вид:
Передаточная функция замкнутой системы управления определяется по выражению:
Подставляя значения Wo(p), Wp(p) и производя необходимые упрощения, получим:
Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:
Обозначим :
Критерий устойчивости Гурвица заключается в вычислении определителей так называемой матрицы Гурвица. Система управления считается устойчивой, если все определители матрицы Гурвица больше нуля. Для системы 3 порядка необходимо вычислить следующие определители:
Вычисление определителей
Так как, ; , где D - допустимая статическая ошибка регулирования, которую примем равной 5 %.
то
Подставим найденные значения в характеристическое уравнение
и найдем:
А) при 0<x<1:
Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива
Б) при x>1:
Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива
Среди частотных критериев
Можем записать: , или:
Передаточную функцию
В заключение построим переходной процесс в системе, как реакцию на типовое возмущение – единичный скачек. Определим корни характеристического уравнения замкнутой системы управления (6) и представим решение дифференциального уравнения замкнутой системы в виде:
где:
Подставляя корни
Построим графики переходного процесса и годографа Найквиста с помощью программного математического пакета Matlab 2009b.
Переходный процесс при 0<x<1
>> p=[0.056 0.173 12.184 18.97]
p =
0.0560 0.1730 12.1840 18.9700
>> roots(p)
ans =
-0.7575 +14.6497i
-0.7575 -14.6497i
-1.5742
>> w=tf([0.61*3.54 0],[0.056 0.173 12.184 18.97])
Transfer function:
2.159 s
------------------------------
0.056 s^3 + 0.173 s^2 + 12.18 s + 18.97
>> step(w)
Годограф Найквиста при 0<x<1
>> wr=tf([5.36*3.54*0.61 5.36*3.54],[0.056 0.173 0.61 0])
Transfer function:
11.57 s + 18.97
------------------------------
0.056 s^3 + 0.173 s^2 + 0.61 s
>> nyquist(wr)
Система находится на границе устойчивости.
Переходный процесс при x>1
>> p=[0.056 0.544 12.184 18.97]
p =
0.0560 0.5440 12.1840 18.9700
>> roots(p)
ans =
-4.0277 +13.7108i
-4.0277 -13.7108i
-1.6588
>> w=tf([0.61*3.54 0],[0.056 0.544 12.184 18.97])
Transfer function:
2.159 s
------------------------------
0.056 s^3 + 0.544 s^2 + 12.18 s + 18.97
>> step(w)
Годограф Найквиста при x>1
>> wr=tf([5.36*3.54*0.61 5.36*3.54],[0.056 0.544 0.61 0])
Transfer function:
11.57 s + 18.97
------------------------------
0.056 s^3 + 0.544 s^2 + 0.61 s
>> nyquist(wr)
Система находится на границе устойчивости
5. Синтез линейных систем регулирования
Рассмотрим методику расчета параметров регулятора для получения наилучшего качества переходного процесса в системе по минимуму средней квадратической интегральной оценки.
Смысл синтеза АСР по минимуму средней квадратической интегральной оценки заключается в подборе настроек регулятора, минимизирующих интеграл
где t0 – момент времени включения регулятора, ε(t) – суммарная ошибка регулирования входной величины, включающая в себя ошибки, связанные с изменением заданной величины и колебаниями возмущения.
Рис. 12. Схема системы регулирования
Для ошибки регулирования можем записать выражение:
Поскольку на входе системы имеем единичный скачек, Х(р)=1/р. Передаточная функция разомкнутой системы:
Тогда равенство (37 ) примет вид:
где , , , , , ,
Тогда
А) при 0<x<1:
, , , , , ,
Б) при x>1:
, , , , , ,
Последнее выражение получено в области Лапласовых изображений и переход к оригиналу следует произвести через замену р на jw, при этом интеграл (36) примет вид:
Подобные интегралы табулированы и решение для полинома 3 степени в знаменателе имеет вид:
Подставив в (40) числовые значения получим
А) при 0<x<1:
Взяв производную по , приравняем ее к нулю и решим получившееся уравнение.
Получатся 2 корня:
,
Критерий не может быть отрицательным, поэтому выбираем .
Следовательно, , - эти настройки и принимаются в качестве оптимальных.
Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:
Обозначим :
Вычислим определители критерия устойчивости Гурвица:
Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива.
В заключение построим переходной процесс в системе, как реакцию на типовое возмущение – единичный скачек.
Переходный процесс при 0<x<1
>> p=[0.056 0.173 0.891 0.46]
p =
0.0560 0.1730 0.8910 0.4600
>> roots(p)
ans =
-1.2610 + 3.5903i
-1.2610 - 3.5903i
-0.5673
>> w=tf([0.61*3.54 0],[0.056 0.173 0.891 0.46])
Transfer function:
2.159 s
------------------------------
0.056 s^3 + 0.173 s^2 + 0.891 s + 0.46
>> step(w)
Годограф Найквиста при 0<x<1
>> wr=tf([0.13*3.54*0.61 0.13*3.54],[0.056 0.173 0.61 0])
Transfer function:
0.2807 s + 0.4602
------------------------------
0.056 s^3 + 0.173 s^2 + 0.61 s
>> nyquist(wr)
Б) при x>1:
Взяв производную по , приравняем ее к нулю и решим получившееся уравнение.
Получатся 2 корня:
,
Критерий не может быть отрицательным, поэтому выбираем .
Следовательно, , - эти настройки и принимаются в качестве оптимальных.
Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:
Обозначим :
Вычислим определители критерия устойчивости Гурвица:
Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива.
В заключение построим переходной процесс в системе, как реакцию на типовое возмущение – единичный скачек.
Переходный процесс при x>1
>> p=[0.056 0.552 1.638 1.685]
p =
0.0560 0.5520 1.6380 1.6850
>> roots(p)
ans =
-5.5839
-2.1366 + 0.9074i
-2.1366 - 0.9074i
>> w=tf([0.61*3.54 0],[0.056 0.552 1.638 1.685])
Transfer function:
2.159 s
------------------------------
0.056 s^3 + 0.552 s^2 + 1.638 s + 1.685
>> step(w)
Годограф Найквиста при x>1
>> wr=tf([0.476*3.54*0.61 0.476*3.54],[0.056 0.552 0.61 0])
Transfer function:
1.028 s + 1.685
------------------------------
0.056 s^3 + 0.552 s^2 + 0.61 s
>> nyquist(wr)
Заключение
В результате работы был произведен параметрический синтез ПИ-регулятора на основе линеаризованного уравнения объекта управления, а также был построен переходной процесс при полученных оптимальных настройках.
В результате оценки устойчивости системы были произведены расчеты критериев устойчивости 2 видов: алгебраических и частотных, которые подтвердили устойчивость системы.