Синтез оптимального регулятора для электропривода, управляющего поступательной степенью подвижности трехзвенного манипулятора

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Дальневосточный государственный технический университет

(ДВПИ  им. В.В. Куйбышева) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа по дисциплине

«Роботы и их системы управления»

на тему

«Синтез оптимального регулятора для электропривода, управляющего поступательной степенью подвижности трехзвенного манипулятора» 
 
 
 

                                                       Выполнила: студентка 

                                                       группы 

                                                       Проверил:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Владивосток.

2010 г.

  1. Цель курсовой работы

    Рассчитать обобщенный момент. Выполнить моделирование трехзвенного манипулятора в соответствии с вариантом и параметрами из курсовой работы третьего курса по ТАУ.  Синтезировать самонастраивающееся корректирующее устройство, стабилизирующее параметры дифференциальных уравнений электропривода, и оптимальный регулятор при заданных координатах в соответствии с вариантом. Решить первую задачу кинематики для заданного манипулятора.

  1. Исходные данные
     
         		    =0.5 м                  м

        =0.2 м                 м 

        =35 кг

        =20 кг

        =2 кг 

        =0.015 кг×м2

        =0.021 кг×м2

        =0.025 кг×м2

        =0.0003 кг×м2 

        Мстр=0,003sign() Н×м

        кв=0,005 

        x1=н

        x2=

        x3=

        
    1. Вывод обобщенного момента  для степени подвижности 

    Рассчитать  обобщенный момент, действующий на электропривод в первом сочленении, решив обратную задачу динамики. Для этого используется уравнение Лагранжа 2го рода: 

       - уравнение Лагранжа  в общем виде

       - уравнение Лагранжа  для 

Где – обобщенный момент для первого звена, Т – кинетическая энергия, П- потенциальная энергия манипулятора, - поступательное перемещение первого звена, - скорость перемещения первого звена.

      3.1 Расчет  потенциальной энергии для трехзвенного  манипулятора 

   Где - потенциальная энергия всего манипулятора, - потениальная энергия 1го звена, - потенциальная энергия 2го звена, - потенциальная энергия груза.

;

;

;

    тогда потенциальная энергия всего манипулятора имеет вид:

.

     3.2 Расчет кинетической энергии  для трехзвенного манипулятора

,

    где -  кинетическая энергия вращательного звена, -  кинетическая энергия поступательного звена.

   т. к. манипулятор движется плоскопараллельно.

  ,

    где - кинетическая энергия поступательного движения 1го и 2го звена, - кинетическая энергия вращательного движения 2го звена, - кинетическая энергия вращательного движения груза.

      (т.к. груз был принят за материальную точку, а момент инерции материальной точки   то )

;

,

      где скорость движения центра масс 2го звена при плоскопараллельном движении. Чтобы ее рассчитать, необходимо найти скорость движения центра масс по оси х и по оси у. Для начала найдем координаты центра масс 2го звена: 
 

    Найдем  скорость движения, взяв производную от координат: 
 

    По  теореме Пифагора найдем скорость при  плоскопараллельном движении:

  ,  тогда

.

;

,

    где скорость движения груза при плоскопараллельном движении. Находится аналогично, как и в случае плоскопараллельного движения 2го звена: 
 

; 
 
 

    Тогда общая кинетическая энергия манипулятора имеет вид: 
 

    3.2 Расчет общего  момента для  
 

    Тогда обобщенный момент имеет вид:

    где  – инерционная составляющая

    -  внешнее моментное воздействие.

    1. Обобщенная схема электропривода с учетом взаимовлияния

Рис. 2 Обобщенная структурная схема следящего  электропривода

Рассматриваемый электропривод имеет следующие  параметры и обозначения:

- напряжение на якорной обмотке двигателя;

- вращающий момент электродвигателя,

- символ дифференцирования;

 - угол поворота выходного вала редуктора;

- желаемый угол поворота выходного вала редуктора;

=0,005 - индуктивное сопротивление якорной цепи электродвигателя;

=0,8 - активное сопротивление якорной цепи электродвигателя;

ip=200 - передаточное отношение редуктора;

 - коэффициент противо-ЭДС;

- моментный коэффициент электродвигателя;

- момент инерции ротора электродвигателя;

=25 - коэффициент усиления по напряжению усилителя мощности;

Мстр=0.003sign() Н×м - момент сухого трения;

кв=0.005 - коэффициент вязкого трения;

- – инерционная составляющая;

- внешнее моментное воздействие 

    С учетом всех данных смоделируем электропривод  в MATLAB:

    

    Рис.3 Обобщенная схема электропривода с учетом взаимовлияния 

    

    Рис.4 Схема блока Мvn (Моментное воздействие)

    На  рисунке 5 показаны графики входных сигналов. Цифрой 1 обозначен входной сигнал системы (, 2 – закон изменения фазовой координаты q2 , 3 - закон изменения фазовой координаты q3

    

Рис.5 График входных сигналов          Рис.6 График выходного сигнала  

    
  1. Синтез  самонастраивающегося КУ, стабилизирующего параметры ДУ электропривода

    Данное СКУ необходимо для стабилизации динамических свойств и качественных показателей электроприводов роботов в условиях существенного изменения приведенного момента инерции. Оно осуществляет точную стабилизацию динамических свойств привода в течение всего рабочего цикла.

    Исходя  из ДУ электрической цепи якоря и  уравнения момента: 
 
 

    Можно получить описание электропривода следующим образом: 
 

         

    Полагая, что в процессе движения модель- сonst (тогда ), и Кв  (изменяется достаточно медленно), то полученное описание электропривода можно переписать: 

               (5.1) 

    Поставим  задачу выбора такого закона изменения Uk, при котором дифференциальное уравнение (5.1) с перемеренными параметрами преобразуется в дифферениальное уравнение с постоянными параметрами, при этом уравнение имеет коэффициенты соответствующие номинальным значениям параметров нагруженного привода и имеет следующий вид: 

                                                       (5.2)

 нагруженного электропривода.

    Далее выразим из (5.2) : 

    и подставив в (5.1) получим закон управления, обеспечивающий стабилизацию динамических и качественных показателей электроприводов: 
 

    

    Рис.7 Схема самонастраивающегося электропривода 

    

    Рис.8 Содержимое блока SKY

    

    Рис.9 Графики сигналов самонастраивающегося электропривода 

    На  рисунке 9 показаны графики входных и выходных сигналов самонастраивающегося СКУ. Цифрой 1 обозначен желаемый угол поворота вала редуктора, 2- полученный угол поворота вала редуктора, 3 – динамическая ошибка.

  1. Синтез оптимального регулятора при заданных фазовых координатах:

      x1=н

      x2=

      x3=

     Пусть объект управления описывается системой стационарных линейных дифференциальных уравнений следующего вида:

    ,

    где Х – вектор фазовых координат, U – вектор управляющих воздействий, А – матрица динамических  свойств системы, В – матрица коэффициентов при управляющих воздействиях, W – некоторое внешнее воздействие на объект управления.

    Данную  систему можно переписать относительно вектора ошибок:

                   

,

         где

вектор желаемых значений соответствующих фазовых координат.

    Тогда производная ошибок будет иметь вид

    ,                                            (6.1)

    где   .                              

    Далее формируем критерий качества чтобы решить задачу минимизаии ошибки при минимальных управляющих воздействиях:

                                    (6.2)

где Ф - положительная полуопределенная матрица весовых коэффициентов, положительно определенная матрица, начальное и конечное время интегрирования соответственно, К - решение дифференциального уравнения Риккати (6.3).

                      (6.3)

    Решение этих двух уравнений осуществляется в обратном времени.  Если изменяются достаточно медленно, то

    Тогда с учетом (6.2) выражение (6.1) будет  иметь вид:

    

    где      и   

     - матрицы коэффициентов связей.

    Для синтеза параметров закона управления составим систему дифференциальных уравнений разомкнутой системы в нормальной форме Коши дл линейного электропривода: 

Рис.10 Структура линейного разомкнутого привода 
 

    Полученную  систему запишем в матричной  форме:

,  ,  ,  ,   ,  W=0, тогда 
 

Подставим полученные выражения в (6.1) и получим  систему уравнений: 

    Сформируем  c учетом (6.2) и полученной системы получим уравнение регулятора: 

    В результате решения уравнения Риккати, были получены следующие коэффициенты, необходимые для формирования структуры регулятора:

,   ,   ,    

    Рис. 11 Структура самонастраивающегося привода с регулятором

Рис.12 Окно блока regulyator 

    

    Рис.13 Графики сигналов самонастраивающегося

      электропривода с регулятором 

    На  рисунке 13 показаны графики входных и выходных сигналов самонастраивающегося электропривода с регулятором. Цифрой 1 обозначен желаемый угол поворота вала редуктора, 2- полученный угол поворота вала редуктора, 3 – динамическая ошибка.

    7. Решение прямой задачи кинематики

    Так как звенья манипулятора могут совершать  вращательные и поступательные движения относительно абсолютной системы координат, то для каждого звена определяется связанная система координат, таким  образом, прямая задача кинематики сводится к нахождению матрицы преобразования, устанавливающую связь между абсолютной и связной системы координат.

    Для описания движений между всеми соединениями звеньев используется матричный метод последовательного построения систем координат связанных с каждым звеном манипулятора.

    Связанная система координат размещается  в сочленениях и формируется  на основе трех правил:

  1. Ось направлена вдоль оси i-го сочленения
  2. Ось   перпендикулярна и направлена от нее вдоль общего перпендикуляра к осям   и
  3. Ось дополняет оси до правой системы координат. При этом система координат связана со звеном i и располагается в сочленении i+1.

    Формируются матрицы 4х4, описывающие положение  систем координат каждого звена  относительно системы координат  предыдущего звена.

    
                     
1                    
2 0                  
3   0 0 0
       
 		  
         
1        
2 0      
3   0 0 0

      
 

    Где - расстояние между пересечением оси с осью до начала (i-1) систему координат,

     - расстояние между  пересечением оси  с осью до начала i системой координат,

      угол на который необходимо повернуть осьвокруг оси  ,

      угол на который необходимо повернуть осьвокруг оси  .

    Матрицы поворота для трех звеньев: 
 
 
 
 

     - однородная матрица  преобразования, связывающая нулевую  и первую системы координат

     - однородная матрица преобразования, связывающая первую и вторую  системы координат

     - однородная матрица преобразования, связывающая вторую и третью  системы координат

     Решение прямой задачи кинематики заключается в вычислении матрицы  с помощью последовательного перемножения матриц: 
 
 

  
 

    - однородная матрица  сложных преобразований, матрица  Дановита-Хантенберга.

    Вывод: В данной курсовой работе было выполнено моделирование трехзвенного манипулятора в соответствии с вариантом и параметрами из курсовой работы третьего курса по ТАУ.  Синтезировано самонастраивающееся корректирующее устройство, стабилизирующее параметры ДУ электропривода, расположенное в первом сочленении, и оптимальный регулятор при заданных координатах в соответствии с вариантом. Также были решены обратная задача динамики и прямая задача кинематики.

    После включения в структуру оптимального регулятора в системе улучшились качественные показатели.