Синтез полосно-пропускающего фильтра

 

Министерство образования и  науки Украины 

Национальный аэрокосмический  университет 

Им. Н.Е. Жуковского «ХАИ»

 

 

 

 

 

Кафедра 504

 

 

 

 

Расчетно-пояснительная записка

к курсовой работе

 

По дисциплине: «Электрических цепей и сигналов» 
Тема: «Синтез полосно-пропускающего фильтра»

 

 

 

 

 

 

          Выполнил:

Студент 529 гр.

Турбин М. Ю..

 

          Проверил:

  Доцент каф.504

         к.т.н. Колесник Е.С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Харьков 2010 г.

Содержание

1. Введение………………………………………………………..…………….4
2. Общие положения…………………………………………………………...5

1. Этапы ……………………………………………………………………..5
2. Аппроксимации частотной характеристики……………………………6

1. Тип фильтра…………………………………………………….. ...6
2. Порядок, нули и полюсы ФНЧ - прототипа……………………...7
3. Нули и полюсы синтезируемого фильтра……………………......7
4. Передаточная функция и АЧХ……………………………………8

3. Математический синтез……...……………………………………………....8

4. Схема - технический синтез…………………………..………………........11
5. Принципиальная схема…………………………..………………………....13
6. Экспериментальные  расчеты полученных элементов звена…………….14
7. Полученные  графики АЧХ и ФЧХ………………………………………..17
8. Выводы…………………………………………………..………..………....18
9. Список литературы…………………………………………………………19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Утверждаю

Зав. Кафедры 504

Профессор _________ Зеленский А.А.

« ________» _____________ 2010 г.

 

 

 

Задание по курсовой работе

Дисциплина: «Электрических цепей и сигналов»

Тема работы: «Синтез полосно-пропускающего фильтра»

 

 

 

 

 

 

Техническое задание:

 

1. Обосновать принцип синтеза фильтра с учетом заданных параметров.
2. Заданные параметры: центральна частота – 5 кГц,

       порядок - n= 8,

       коэффициент передачи - К_о – 10,

         полоса пропускания - 0,2кГц.

3. Синтезировать фильтр по методу Баттерворта и представить его  принципиальную схему.
4. Проанализировать между параметрами фильтра и параметрами цепи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение

 

В данной курсовой работе рассчитан полосно-пропускающий фильтр 8-го порядка по методу Баттерворта. Этот фильтр имеет полосу пропускания равна - 200 Гц. Полосно-пропускающие фильтры используются в радиотехнических цепях для выделения сигнала из шумом, причём известно, что спектр самого сигнала ограничен частотами f_пн и f_пв, а весь остальной спектр (ниже частоты f_пн и выше частоты f_пв) занимает шум. Обладая коэффициентом усиления большим 1, (коэффициент усиления данного фильтра равен 10), данный фильтр также имеет способность усиливать сигнал, попадающий в полосу пропускания. Центральная частота синтезируемого фильтра равна 5 кГц и полоса пропускания равна 0,2 кГц.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.  Общие положения

 

Задача синтеза  фильтра состоит в разработке электрической схемы устройства, обладающего требуемыми частотными и временными характеристиками. Курсовая  работа предполагает проектирование фильтра  на основе требования к форме его  характеристики затухания. При синтезе  полосно-пропускающего фильтра вводится требование к верхним и нижним граничным частотам полосы пропускания, которые пропускает частоты, находящиеся в нужном диапазоне и вырезает все остальные частоты. 

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра  и характеристика затухания связаны друг с другом выражением:

.  (2.1)

 

 

Рис. 2.1. Идеальная и реальная АЧХ полосно-пропускного фильтра Баттерворта

 

Процедура проектирования частотно-избирательного фильтра включает в себя;

а) Этапы:

1. Этап проектирования, в ходе которого подбирается передаточная функция, удовлетворяющая заданным требованиям (АЧХ, выделенная из аппроксимирующей передаточной функции, не должна выходить за пределы заданного коридора допусков);
2. Этап реализации, суть которого – в выборе принципа реализации передаточной функции, разработке и расчете конкретной схемы фильтра, обладающего найденной передаточной функцией.

Выполнения первого этапа достаточно хорошо разработан, поставленная задача решается с использованием какого-либо из многочисленных справочников по расчету фильтров. Решение второй задачи в рамках второго этапа многовариантно. Это связано с тем, что известно довольно много принципов и схем, позволяющих реализовать найденную передаточную функцию.

  b) Аппроксимация частотной характеристики фильтра; Последовательность шагов:

1. Выбрать тип фильтра.
2. Пересчитать исходные данные в требования к фильтру – прототипу нижних частот (ФНЧ - прототипу).
3. Пересчитать нули и полюса ФНЧ - прототипа в нули и полюсы синтезируемого фильтра.
4. Записать передаточную функцию фильтра, найти и построить АЧХ или характеристику затухания.

 

1. Тип фильтра

Фильтр Баттерворта — один из типов электронных фильтров. Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования. Фильтр Баттерворта проектируется так, чтобы его амплитудно-частотная характеристика была максимально гладкой на частотах полосы пропускания. Фильтр обеспечивает наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания, что достигается ценой плавности характеристики в переходной области т.е. между полосами пропускания и задерживания. Для фильтра Баттерворта второго порядка АЧХ затухает, а для восьмого порядка – на – 48 дБ. АЧХ фильтра Баттерворта — монотонно убывающая функция частоты. Фильтр  единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления), имеют различные формы АЧХ при различных порядках. Его амплитудно-частотная характеристика задается следующей формулой :

U_вых/U_вх =1/[1+(ƒ/ƒ_c)²ⁿ]^{1/2  ,    (2.2)}

где n - определяет порядок фильтра (число полюсов в нашем случае он составляет 8 порядок).

Увеличение числа полюсов дает возможность сделать более плоским  участок характеристики в полосе пропускания и увеличить крутизну спада от полосы пропускания к полосе подавления, как это показано на (рис. 1. 2).

Рис. 2.2. Графики амплитудного - частотных характеристики ППФ Баттерворта четвертого порядка

2. Порядок, нули и полюсы ФНЧ - прототипа

Минимальный порядок ФНЧ - прототипа, необходим для того, чтобы его АЧХ укладывались в коридор допусков, определяется с помощью специальных графиков, которые можно найти в справочнике. Из нужной таблицы и подходящей строки необходимо выписать нормированные координаты нулей и полюсов. Нули лежат на мнимой оси плоскости комплексной частоты .

3. Нули и полюсы синтезируемого фильтра

Пересчет координат нулей и  полюсов ФНЧ - прототипа в соответствующие параметры синтезируемого фильтра осуществляется по формулам  3.1, и  также полученные коэффициенты полюсов приведены в (табл. 2.4). При этом следует обратить внимание на следующие моменты:

1. Каждый полюс или нуль при переходе от ФНЧ - прототипа к ППФ или ПЗФ порождает два полюса или два нуля, так что порядок синтезируемого фильтра по сравнению с прототипом увеличивается в два раза;
2. Данные формулы получены на основе правил замены комплексных переменных при переходе от ФНЧ - прототипа к другим видам фильтров;
3. Помимо нулей, вычисленных по приведенным формулам, появляются дополнительные нули , количество которых (кратность) равна разности между числом полюсов и нулей в ФНЧ - прототипе; сказанное справедливо для ФВЧ и ППФ и обусловлено пересчетом в начало координат - плоскости, - кратного нуля ФНЧ - прототипа, расположенного в бесконечности;
4. В результате пересчетов оказывается, что для ФНЧ и ПЗФ количество нулей равно количеству полюсов, а для ППФ число нулей на меньше число полюсов;
5. При вычислении полюсов ППФ и ПЗФ группируются значения и с разными индексами "+" и "–", в результате чего полюс, расположенный на - плоскости ближе к мнимой оси, имеет меньшую частоту.
6. При переходе к ПЗФ каждый из нулей ФНЧ - прототипа, находящихся в бесконечности, пересчитывается в пару нулей ;

 

 

 

 

 

 

 

4. Передаточная функция и АЧХ.

Располагая координатами нулей  и полюсов синтезируемого фильтра, можно записать передаточную функцию:  

,    (2.3)

где  _m - количество нулей;

       _n  - количество полюсов синтезируемого фильтра;

        - нормировочный коэффициент.

 Диаграмма нулей и полюсов  определяет передаточную функцию  с точностью до постоянного  множителя, но на форму АЧХ  это не оказывает влияния. АЧХ  удобно представлять в нормированном  виде. С этой целью коэффициент  выбирается таким, чтобы . - это коэффициент, взятый из последней колонки таблицы справочника, - параметр преобразования для ППФ и ПЗФ, - порядок ФНЧ - прототипа. Итак, для фильтра ППФ значение коэффициента .

 

3.  Математический синтез

Таблица 3.1

Технические требования фильтра

 

Тип фильтра	∆ω, [кГц]	,  [кГц]	П0.7, [кГц]	Порядок	К0
Баттерворта	0.2	5	0.1	8	10

 

Вначале используем передаточную функцию  ФНЧ Баттерворта 8-го порядка и определяем полюса передаточной функции. Передаточная функция такого фильтра определяется аппроксимирующей функцией Баттерворта и имеет следующий вид:

 . (3.1)

Проделав математические преобразования, находим значения всех 16 полюсов в комплексной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расположение  полюсов фильтра Баттерворта 8-го порядка показано  на (рис. 3.1).

 

 

 

               полюса

 

Рис. 3.1. Графическое расположение полюсов на комплексной системе координат

 

Определяем  значение полюсов синтезируемого фильтра  по следующей формуле:

 , (3.2)

где  n – порядок фильтров.

Полюсы фильтров ППФ связи устойчивой работы должны расположатся в левой части графика взяты  на  (рис. 3.1), а правую часть графика отбрасываем и вычисляем полюса.

 

Полюса ФНЧ Баттерворта 8-го порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для фильтра Баттерворта используем (формулу 3.3) коэффициента передачи, и подставляем полученные комплексно-сопряженные полюса, подставим в формулу для расчета коэффициента передачи звена II порядка:

 

 

где  р – нормированная текущая частота;

К₀ – абсолютный коэффициент передачи. 

 

 ,         ,

 

, .

 

Представим знаменатель в виде полинома 2-го порядка, раскрывая скобки:

 

  ,               ,

 

                  

 

 

Полученные коэффициенты составлены в (табл. 3.2) со значение B и C 

Таблица 3.2

Данные значения коэффициентов полиномов В  и С

N зв.	B	C
5,12	0,39018	1
6,11	1,11214	1
7,10	1,66294	1
8,9	1,96158	1

 

Полученные  данные значения коэффициентов полиномов В и  С будут использоваться в дальнейшем при расчёте значений параметров цепи фильтра, в схема – техническом расчете

 

 

4.  Схема – технический расчет

 

Для реализации данного фильтра используем схему на МОС на (рис. 4.1).

 

Рис. 4.1. Принципиальная схема полосно-пропускающего фильтра второго

порядка

 

Схема реализует функцию полосно-пропускающего звена 2-го порядка фильтра при инвертирующем коэффициенте усиления.

 

Эта схема тем актуальна, что из-за её стабильности и прекрасных возможностях по настройке она очень популярна. На ней можно реализовать значения добротности вплоть до 100, что как раз подходит для нашей добротности которая равна 25.

Для нахождения каждого параметра  элемента схемы, для С1, С2, R1, R2, R3, используем такие формулы:

 

 

 

 

 

где    f₀ –частота;

          ω0 –  центральная частота, она определяется  по формуле:

 , ω0=3.145*10⁴ рад);

- коэффициент усиления: (для первого звена К₀=10; для второго звена К₀=1; для третьего звена К₀=1 и для четвертого звена К₀=1);

β, γ, ρ – константы характеризующие фильтров.

 

 

 

Константы характеризующие фильтров, определяются по формулам:

 

Для 1-го звена:                           

                                       

 

Для  2-го, 3-го, 4-го звена :

 

 

где  D, E – значение, полученных в результате вычисление В и С -  коэффициентов звена. 

 

Для вычисления значений D и E используем формулу:

 

 

 

 

где Q – добротность;

∆ω –  полоса пропускания;

В, С - коэффициенты полинома для разных  звенев.  

 

Настройка полосно-пропускающего  звена второго порядка осуществляется наиболее просто, если имеется возможность  наблюдать общий вид его амплитудно-частотной  характеристики. Частоты f₁ и f₂ представляют собой точки по уровню 3 дБ.

 

 

 

 

 

 

 

 

5.  Схема ППФ Баттерворта 8-го порядка

 

На (рис.5.1) представлена принципиальная схема ППФ 8-го порядка, которая состоит из четырёх звеньев второго порядка с много петлевой обратной связью.

                             

                 C1         R3                                 C3                  R6

              R1          C2              VT1           R4                  C4

                                                                                                                  VT2

 U_вх            

                  R2                                                                                     

                                                                       R5                                             

                                                                                   

                                              

 

      C5                                                         C7                            

                           R9                                                           R12

       R7            C6

                                            VT3            R10           C8

                                                                                                                VT4

                                                     

    R8                                                                                                                  U_вых                                                    

                                                                     R11                     

                                                                                                  

 

Рис. 5.1 Схема ППФ с МОС

 

Поэтому для реализации фильтра 8-го порядка используем схему   4-х последовательно соединенных звеньев 2-го порядка и рассчитываем элементы: С1, С2, С3, С4, С5, С6, С7, С8, R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10, R11, R12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Экспериментальные  расчеты полученных элементов звена

 

Для 1-го звена:

 

    (Гц) ;

   (Гц);

  ;

   ;

  ;

    ;

(рад/с) ;

  ;

;

  ;

;

;

;

  ;

;

  ;

;

;

;

(Ф);

(Ом);

   (Ф);

  (Ом);

(Ом).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для 2-го звена:

 

  (Гц);

  (Гц);

  ;

  ;

  ;

;

;

(рад/с) ;

;

  ;

  ;

;

;

;

;

;

;

;

;

(Ф) ;

(Ом) ;

  (Ф);

(Ом)  ;

(Ом).

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для 3-го звена:

 

  (Гц)     ;

  (Гц);

  ;

  ;

  ;

   ;

  ;

(рад/с) ;

  ;

  ;

  ;

;

;

;

;

;

;

;

;

(Ф);

(Ом) ;

  (Ф) ;

 (Ом);

 (Ом) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для 4-го звена:

 

    (Гц) ;

  ( Гц);

  ;

  ;

;

   ;

;

(рад/с) ;

;     

  ;

  ;

;

;

;

;

  ;

;

;

;

 (Ф) ;

(Ом);

   (Ф) ;

(Ом) ;

(Ом).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 6.1

Экспериментальные  расчеты полученных  элементов

Позиция	Обозначение	Количество	Применение
	Резисторы
R1	MЛТ 0.397 МОм  0.5 Вт±5%	1
R2	MЛТ 541,9 Ом  0.5 Вт±5%	1
R3	MЛТ  36 МОм  0.5 Вт±5%	1
R4,R7,R10	MЛТ 3.97 МОм 0.5 Вт±5%	3
R5	MЛТ 1.6 кОм  0.5 Вт±5%	1
R6	MЛТ 13.1 МОм 0.5 Вт±5%	1
R8	MЛТ 2.38 кОм 0.5 Вт±5%	1
R9	MЛТ 8.71 МОм 0.5 Вт±5%	1
R11	MЛТ 2.788 кОм  0.5 Вт±5%	1
R12	MЛТ 7.331 МОм  0.5 Вт±5%	1
	Конденсаторы
С1, С3,    С5, С7	К10-10А-М75- 50В- 200 мкФ-20%	4
C2, C4,    C6, C8	К10-10А-М75- 50В- 250 мкФ-20%	4

 

Ниже  представлен перечень элементов используемых в схеме для достижения требуемой АЧХ и ФЧХ,  показан на (рис.6.1), и (рис. 6.2).

Параметры элементы  наминальны взяты, к тем значениям, получены в результате  экспериментальных расчетов полученные из (табл.6.1).                                                                                                                 

Таблица 6.2

Параметры номинальных элементов

 

Позиция	Обозначение	Количество	Применение
	Резисторы
R1	MЛТ 0.4 МОм  0.5 Вт±5%	1
R2	MЛТ 330 Ом  0.5 Вт±5%	1
R3	MЛТ  36 МОм  0.5 Вт±5%	1
R4, R7, R10	MЛТ 4 МОм  0.5 Вт±5%	3
R5	MЛТ 1.5 кОм  0.5 Вт±5%	1
R6	MЛТ 13 МОм 0.5 Вт±5%	1
R8	MЛТ 2.2 кОм 0.5 Вт±5%	1
R9	MЛТ 8.7 МОм  0.5 Вт±5%	1
R11	MЛТ 3.3 кОм  0.5 Вт±5%	1
R12	MЛТ 6.8 МОм  0.5 Вт±5%	1
	Конденсаторы
С1, С3,    С5, С7	К10-10А-М75- 50В- 150 мкФ-20%	4
C2, C4,    C6, C8	К10-10А-М75- 50В- 332 мкФ-20%	4

7. Полученные  графики АЧХ и ФЧХ

 

На (рис. 6.1) и (рис. 6.2), построен график АЧХ и ФЧХ  фильтра,  для которых использованы элементы из (табл.6.2), на графике мы видим, что центральная частота составляет 5000 Гц, а полоса пропускания для на (рис. 6.2), во бее стороны составило около 200 Гц,  и генератор взят с 3 Вт с коэффициента усиления 10.

 

Рис. 7.1. АЧХ полосно-пропускающего фильтра Баттерворта 8-го порядка.