Система компьютерной математики Mathcad для решения математических задач

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение………………………………………………………………….……....

5

Задание №1……………………………………………………………………….

6

Задание №2……………………………………………………………………….

7

Задание №3. ……………………………………………………………………

8

Задание №4……………………………………………………………………….

10

Задание №5……………………………………………………………………….

12

Задание №6……………………………………………………………………….

14

Задание №7. ……………………………………………………………………...

16

Задание №8……………………………………………………………………….

19

Задание №9……………………………………………………………………….

21

Задание №10……………………………………………………………………

24

Задание №11……………………………………………………………………

26

Задание №12……………………………………………………………………

32

Задание №13……………………………………………………………………

33

Задание №14……………………………………………………………………

35

Задание №15……………………………………………………………………

37

Заключение……………………………………………………………………….

39

Список литературы……………………………………………………………….

40


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Цель курсовой работы:  научиться использовать систему компьютерной математики Mathcad для решения математических задач.

Задачи:

  1. изучить систему Mathcad;
  2. решить в системе Mathcad математические задачи по варианту.

Структура. Курсовая работа состоит из введения, практической части, заключения, списка литературы. Во введении приводятся цель и задачи работы, актуальность темы. Практическая часть содержит решения задач по варианту средствами системы Mathcad. В заключении подводятся итоги и  выводы по работе.

Актуальность. Mathcad является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи Mathcad − это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), Mathcad стал наиболее популярным математическим приложением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1. Операции над матрицами в MATHCAD

Найти значение матричного выражения

Решение













 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2. Вычисление определителя






 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3. Нахождение обратной матрицы

1. Найти матрицу А-1 , обратную к матрице A. Проверить выполнение равенства А-1 A=E.

Решение








 

 

 

 

 

 

 

 

2. Найдите матрицу Х из уравнения











 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найдите матрицу X из уравнения

Решение




Перепишем данное уравнение  в виде




















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 










 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4. Решение систем линейных уравнений в MATHCAD

1. Найти по формулам Крамера решение системы

Решение

































 

 

 

 

 

 

 

2. Решить как матричное уравнение Ax=b систему линейных уравнений

Решение
















 

 

 

 

 

 

 

3. Найти методом Гаусса решение системы линейных уравнений

Решение





















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5. Векторная  алгебра

1. Даны два вектора  и . Найти их длины и сумм ; линейную комбинацию ; скалярное произведение ; векторное произведение ; угол между векторами .

Решение



















 

 

 

 

2. Найти координаты вектора   в базисе , если он задан в базисе , а старый и новый базис связаны соотношениями

Решение















 

 

 

 

 

 

 

3. Найти угол (в градусах) между плоскостями 


Решение










 

 

 

 

4. Найти точку пересечения  прямой  и плоскости .

Решение

























 

 

 

5. Найти объем, площадь  основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках А(5,2,0), В(2,5,0), С(1,2,4), D(-1,1,1), опущенную из вершины D на грань АВС.

Решение








































 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 6. Пределы  и производные

1. Найти пределы

Решение
















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Найти производные

Решение










 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 




 

 

 

 

 

 

 

3. Найдите значения производных  функции в точке x=0,5.

Решение

Производная высшего порядка


















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 7. Графики  функций

  1. Введите на экран таблицу из 20 значений функции на промежутке  с шагом 0,4.

Решение







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Построить график функции на промежутках . Последовательным нажатием кнопок Формат, Графики X-Y открыть панель форматирования графика и заказать стиль по осей Пересекающиеся, сетку по оси X  из 4 линий, по оси Y из 5 линий. Линию графика сделать синей толщиной 2.

Решение







 

 

3. Построить график функции,  заданной параметрически  на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Решение










 

 

 

 




 

 

 

 

 

 

 

 

4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах . Кнопками Формат, Графики, Полярный график откройте панель форматирования  и подберите параметры.

Решение







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 8. Исследование функций

  Изобразить график заданной функции и подтвердить построение аналитическим исследованием: найти координаты точек пересечения с осями координат, найти и построить наклонные асимптоты, найти координаты точек экстремума, найти координаты точек перегиба.

Решение










точка пересечения с осью Оy






точка пересечения с Ox










Значит, наклонная асимптота y=x+1



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 













    (0, 0)-точка максимума


















не существует



Функция точек перегиба не имеет



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 9. Неопределенный интеграл

  1. Найти неопределенные интегралы    

Решение

1)




Применим подстановку






















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    2)




 

 

 

 

3)




 

  1. Разложим подынтегральное выражение в сумму простейших дробей



Тогда получим

где




 

 










 

 

  1. Найти неопределенный интеграл от функции с параметрами  k , ω и φ.

Решение




 

 

 

3. Найти первообразную для функции такую, что

Решение













Записываем ответ













 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Разложить рациональную дробь    в сумму простейших дробей.

Решение




 

 

Задание 10. Определенный интеграл

  1. Найти определенные интегралы

Решение










 

 

  1. Найти несобственные интегралы   Первый интеграл найти точно используя знак   Второй интеграл найти с точностью до 0,0001, заменяя данный несобственный интеграл собственным, подбирая большое число вместо  

Решение

1)




 

 

 

2     Заменим данный интеграл на интеграл






Оцениваем оставшуюся часть  интеграла






 

 

 

 

Имеет место неравенство










Подбираем число В












 

 

 

 

 

 

  1. Найти первообразную для функции такую, что

F(0) =0. Построить график функции на промежутке [-2,2].

Решение
















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 11. Геометрические приложения определенного интеграла

  1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь

фигуры, ограниченной указанными линиями               

Решение










Найдем площадь верхней  части 






Тогда площадь всей фигуры будет






 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 4,53

 

 

 

 

2)







Найдем площадь 1/6 части









Площадь всей фигуры






 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 3.12

3)
















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:1,35

  1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой  длину дуги данной линии                 

Решение

1)

 









 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 1,37

 

2)







 

 

 

 

 

 

 

 










 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 2,42

3) 













 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 0,41

  1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой объем тела, по-

лученного вращением фигуры Ф  вокруг оси абсцисс.

Решение










 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

Ответ: 19,74

  1. Вычислить с точностью до двух знаков после запятой площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг оси абсцисс.

            

Решение










 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 

Ответ: 603,19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 12. Построение поверхностей, заданных в явном виде

в декартовой системе координат

 


































 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 13. Частные  производные

  1. Для функции двух аргументов  найти ее частные производные

Решение



















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Для функции трех аргументов найти значения производных в точке М(-1;-1;1) .

Решение













 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

  1. Для функции  из задания 2 найти ее градиент в точке М.

Решение







 

 

 

 

  1. Для функции  из задания 2 найти производную в точке М по направлению вектора .

Решение










 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 14. Метод  наименьших квадратов

  1. В результате 10 экспериментов получена таблица

X

-4

-3

-1

0

2

3

4

6

7

8

Y

9,9

10,92

5,59

3

-1,68

-3,81

-6,3

-9,84

-10,11

-12,24


Применяя команду linfit найти методом наименьших квадратов подходящую зависимость y=ax+b. Изобразить на одном графике точки из таблицы и прямую y=ax+b. Найти сумму квадратов отклонений точек от прямой. 

Решение































 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Для таблицы 

X

-5

-4

-1

0

1

2

3

5

6

7

Y

56,14

37,7

-0,32

-6,03

-5,41

-1,33

7,48

36,06

55,4

79,67


той же командой  linfit найти подходящую зависимость   Изобразить на одном графике точки из таблицы и параболу   Найти сумму квадратов отклонений точек от параболы.  

Решение




























 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 15. Решение обычных дифференциальных уравнений

в MATHAD






















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
















 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 




 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Целью данной курсовой работы  было изучение программы  Mathcad и решение с помощью нее  математических задач.  Было рассмотрено множество справочников по Mathcad,  освоены методы работы с данными, с матрицами, с функциями, построения графиков функций и т.д. На основе этого были решены математические задачи по варианту.

Сегодня различные версии Mathcad являются математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С помощью Mathcad можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными «живыми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию Mathcad на любую область науки, техники и образования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

  1. Бутенков С.А. Методические указания к использованию системы MathCad  в практических занятиях по курсу высшей математики. – Таганрог: ТРТУ, 1995. Кудрявцев В.М. MathCAD 8. – М.: ДМК, 2000.
  2. Плис А.И. MathCAD 2000: Математический практикум для экономистов/ А.И.Плис, Н.А.Сливина. – М.: Финансы и статистика, 2000.
  3. Шушкевич Г.Ч. Введение в MathCAD 2000: Учебное пособие / Г.Ч. Шушкевич, С.В. Шушкевич. – Гродно: ГрГУ, 2001.

4. Кудрявцев В.М. MathCAD 8. – М.: ДМК, 2000.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.Ч. 2. – М.: Высш. шк., 1999.

6. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. – М.: Айрис-пресс, 2005.