Система управления скоропортящимися запасами

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Саратовский Государственный  университет Н.Г.Чернышевского

 

 

Кафедра математической экономики

 

 

Система управления скоропортящимися запасами

 

Курсовая работа

 

 

студентки 4 курса механико-математического факультета

Даллакян Эмилии Аршаковны

 

Научный руководитель

                  Доцент  ______________________М.П. Мисник

Зав. кафедрой

Доктор ф.-м. наук, ______________________С.И. Дудов

профессор

 

Саратов 2010 
Содержание

стр

Введение…………………………………………………………………………..3

  1. Классическая модель экономического размера заказа……………………..6
  2. Типы моделей управления запасами………………………………………...8

     2.1 Однопродуктовая статическая модель………………………………...…... 8

     3. Скоропортящиеся запасы……………………………………………..11

3.1 Управление скоропортящимися запасами……………………………...…11

3.2 Приближение уровня устаревших товаров…….………………………….12

3.3 Страховой запас………………………………….………………………….17

Заключение……………………………………………………………………...21

Приложение 1……………………………………………………………...……22

Приложение 2……………………………………………………………...……24

Список использованной литературы…………………………………………..29

 

Введение

Запасы представляют собой один из важнейших факторов обеспечения постоянства и непрерывности воспроизводства. Эту важную роль играют все составные части совокупного материального запаса, в том числе товарно-материальные запасы, находящиеся у предприятия отраслей обращения.

Общепринятым является отнесение продуктов труда к  товарным запасам у предприятий  отраслей обращения от момента их поступления на эти предприятия до момента погрузки на транспортные средства для отправки или непосредственной передачи потребителям.

Непрерывность производства требует, чтобы постоянно находилось достаточное количество сырья и материалов, для полного удовлетворения потребностей производства в любой момент их использования. Поэтому необходимость бесперебойного снабжения производства в условиях непрерывности спроса и дискретности поставок, обуславливает создание на предприятиях материальных запасов.

Их всестороннее изучение и правильное понимание сущности товароматериальных запасов, их значения и роли в экономике предприятий и объединений, стоит в ряду важнейших проблем по экономии и рациональному использованию материальных ресурсов страны и задач по совершенствованию материально - технического снабжения народного хозяйства.

Теория управления запасами относится к числу наиболее молодых  отраслей исследования операций, хотя отдельные результаты ее получены достаточно давно[4]. Впервые подобная задача применительно к определению резервных денежных фондов была математически сформулирована Эджвортом Ф. в     1888 г. В начале XX века появился целый ряд статей по определению наиболее экономичного объема поставки марки материального ресурса на предприятие. По данным Смита Р., за период 1912 – 1927 гг. было опубликовано 27 работ, предлагавших различные варианты соответствующей формулы. Большая часть их относится к последним годам этого периода и вызвана затруднениями в сбыте продукции и снижением уровня запасов, предвестниками мирового экономического кризиса в 1929 г.

Вторая мировая война  дала мощный толчок развитию количественных методов выработки решения в сложной обстановке. Зародилась новая отрасль знания – исследование операций, в корне изменилось отношение к применению математики в экономике и в военном деле. Важнейшей областью приложения методов исследования операций оказалось снабжение военных и торгово-промышленных организаций, оптимизация которого была немыслима без рационального управления запасами на складах. Как сообщалось в работах     Буффа Е., не редкость когда 25 и более процентов капитала промышленных фирм вложены в запас. При этом абсолютная величина стоимости запасов достигает таких величин (на 01.01.1960 в “Дженерал Электрик” – 800 млн. долларов, в “Дженерал Моторс” – 2 млрд.), что даже небольшой процент снижения запасов оборачивается ощутимой выгодой. Естественно, что фирмы щедро субсидировали исследования по оптимизации запасов и способствовали быстрому внедрению их результатов в практику.

В зарубежной литературе, к примеру, в работах Старра М. и Миллера М. делается попытка обобщить известные методы применительно к системам снабжения с многокомпонентными запасами, а также предлагаются блок-схемы статистического моделирования некоторых задач теории на электронных вычислительных машинах.

В качестве примеров рассматриваемых задач по управлению запасами можно привести следующие: определение “точки заказа”, “оптимальной партии заказа” (с фиксированным заказом, с фиксированной периодичностью заказа), “системы с двумя фиксированными уровнями запасов” и т.д. В созданной теории рассматриваются, например, такие задачи как:

    • управление запасами однородного продукта на изолированном складе при фиксированной задержке поставок;
    • управление запасами при случайной задержке поставок;
    • управление многономенклатурными запасами и т.д.

При решении этих задач  рекомендовано оценивать экономичность (и, если удается, оптимизацию) управления запасами. Оцениваются стоимости: хранения, поставок, штрафных санкций и т.п., осуществляется статистический анализ спроса и т.д. В разработанной теории постановка практических задач управления запасами, как правило, приводит к многономенклатурным ситуациям, к необходимости совместного рассмотрения группы складов, случайным задержкам поставок по времени. Все эти факторы существенно усложняют расчет оптимальных стратегий. Ситуация, рассматриваемая при расчете, однако, сильно упрощается при выполнении каждого из следующих условий:

  • поставка марки материала производится от независимых поставщиков;
  • штрафы за недостачу либо суммируются по всем номенклатурным позициям, либо отсутствуют совсем;
  • на выбор параметров стратегий управления запасами не наложено общих для группы номенклатурных позиций ограничений или такие ограничения несущественны;
  • критерием качества организации снабжения для каждого склада служит сумма затрат на данном складе;
  • отношение среднеквадратического отклонения задержки поставок к ее среднему значению мало.

В курсовой работе рассматривается управление запасами: в первой главе рассмотрена классическая модель экономического размера заказа. Во второй главе – типы моделей управления запасами и однопродуктовая статическая модель, приведены графики изменения уровня запаса во времени и формулы описывающие модель. В третьей главе рассмотрен вероятностный спрос, в случае, скоропортящихся запасов, приведены формулы для управления запасами, динамики уровня скоропортящегося запаса, рассмотрено приближение ожидаемого уровня запасов и страховой запас.

 

    1. Классическая модель экономического размера заказа

Простейшей из математических моделей, которая применяется для планирования запасов, является классическая модель размера заказа, когда для упрощения принимаются условия равномерного потребления (расхода) и постоянного определенного отставания времени поставки от момента заказа продукции (марки материала) у поставщика. [3].При этом минимизируются суммарные издержки хранения запасов, которые берутся прямо пропорциональными объему этих запасов и времени хранения, и издержки, связанные с заказом, которые постоянны для каждого заказа и не связаны с объемом заказа. Основным ее результатом является следующая формула определения оптимального размера заказа (партии) поставки:

 

где qопт. – оптимальная партия поставки;

с1 – сумма постоянных транспортно-заготовительных расходов;

Q – потребность в материале на планируемый период T;

с2 – сумма издержек хранения и потерь от иммобилизации (пролеживания) единицы материала в запасе за планируемый период T (продолжительность года – T=365 дней).

Информацию о движении, о стоимости, о сформированной нормативной базе по запасам и оборотным средствам позволяет менеджеру оперативно управлять материальными и финансовыми потоками на предприятии. Данная информация позволяет решить следующий комплекс задач:

    • выявить дефицитные позиции материальных ресурсов;
    • выбрать позиции материальных ресурсов, по которым сформировались излишние запасы и их можно реализовать;
    • оценить обеспеченность запасами и их структуру;
    • проанализировать структуру оборотных средств на предприятии;
    • определить, что и когда нужно заказать, в каком объеме, даты очередных заказов на поставку материальных ресурсов (т.е. сформировать план материально-технического снабжения на очередной месяц);
    • определить потребность в финансовых ресурсах для обеспечения необходимых поставок материалов в плановом месяце и т.д.

Использование той или иной системы управления запасами зависит от следующих обстоятельств:

    1. Если издержки управления запасами значительнее и их можно вычислить, то следует применять систему с фиксированным размером заказа.
    2. Если издержки управления запасами незначительные, то более предпочтительной оказывается система с постоянным уровнем запасов.
    3. При заказе товаров поставщик налагает ограничения на минимальный размер партии.

В этом случае желательно использовать систему с фиксированным  размером заказа, поскольку легче один раз скорректировать фиксированный размер партии, чем непрерывно регулировать его переменный заказ.

    1. Однако если налагаются ограничения, связанные с грузоподъемностью транспортных средств, то более предпочтительной является система с постоянным уровнем запасов.
    2. Система с постоянным уровнем запасов более предпочтительна и в том случае, когда поставка товаров происходит в установленные сроки.

Система управления запасами с фиксированным размером заказа часто выбирается тогда, когда необходимо быстро реагировать на изменение сбыта.

 

 

    1. Типы моделей управления запасами

Разнообразие моделей  этого класса определяется характером спроса, который может быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным (задаваемым плотностью вероятности)[6].

Характер спроса является одним из основных факторов при построении модели управления запасами, поэтому имеются факторы, влияющие на выбор типа модели.

  1. Запаздывания поставок или сроки выполнения заказов.
  2. Пополнение запаса.
  3. Период времени определяет интервал, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса.
  4. Число пунктов накопления запасов.
  5. Число видов продукции..

Чрезвычайно трудно построить  обобщенную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Рассмотрим модели, соответствующие некоторым системам управления запасами. Рассмотрим в качестве примера однопродуктовую статическую модель.

    1. Однопродуктовая статическая модель.

Модель управления запасами простейшего типа характеризуется  постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита [9].

На рис 1 показано изменение уровня запаса во времени.

Рис. 1 - Изменение уровня запаса во времени

Пусть К – затраты  на оформление заказа, имеющие место  всякий раз при его размещении, h – затраты на хранение единицы  заказа в единицу времени, а β – ежедневный спрос на некоторый товар. Следовательно, суммарные затраты в единицу времени можно представить в виде:

 

Продолжительность цикла  движения заказа составляет t0=у/β ; Средний уровень запаса равен у/2. Оптимальное значение у получается в результате минимизации С(у) по у. Таким образом, в предположении, что у – непрерывная переменная, имеем:

 

                                                                                        (1)

Откуда оптимальное выражение  заказа определяется выражением:

                                                                                                    (2)

 Выражение (2) называют формулой экономичного размера заказа Уилсона.

Пример. Ежедневный спрос на некоторый товар (β) составляет 100ед. Затраты на размещение каждого запаса (К) постоянны и равны 100долл. Ежедневные затраты на хранение единицы запаса (h) составляют 0,02долл. Определить экономичный размер партии и точку заказа при сроке выполнения заказа, равном 12 дням.

Оптимальная продолжительность  цикла составляет:

t0*=у*/β = 1000/100 = 10 дней.

Т.к. срок выполнения заказа равен 12 дням и продолжительность  цикла составляет 10 дней, возобновление заказа происходит, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на 12-10=2 дня. Таким образом, заказ размером у*=1000 размещается, когда уровень запаса достигает 2*100=200ед.

 

    1. Скоропортящиеся запасы

3.1.Управление скоропортящимися запасами

Скоропортящийся запас  – это запас, в котором все  единицы одного товара, оставшиеся на складе, одновременно потеряют свою полезность [4]. Оставшиеся единицы должны быть выброшены, если они еще не были использованы после хранения в течение фиксированного промежутка времени. Поэтому управление запасами скоропортящихся товаров происходит следующим образом:

1) определяется оптимальный размер заказа (с учетом расходов на хранение, на дефицит и списание устаревших товаров) и подается заказ на пополнения запаса;

2) весь прибывший продукт  считается новым;

3) отпуск товара производится  по принципу «первый пришел  – первый вышел»;

4) продукт, не реализованный  в течение срока хранения, m, списывается.

Состояние запаса представляется вектором из m–1 компоненты (наличие  продукта с распределением по оставшимся срокам годности в периодах).

Для точного описания наличного запаса в каждый момент времени и уровня запасов в системе используются формулы (3) и (4) соответственно:

                                                        (3)

                                                                                                            (4)

где xit – количество запасов на момент времени t с оставшимся сроком хранения равным i;

m – срок годности продукта;

d – спрос на товар;

Q – размер заказа;

(a)+=max(0,a).

 

Тогда, для (Q,r)-системы управления запасами можно вывести соотношения, позволяющее определить средние издержки в единицу времени i при цене p определяются по формуле (5):

           (5)

 

где dpi – спрос на товар ценой р за время хранения i;

Q – размер заказа;

r – точка заказа;

K – фиксированные  затраты на оформление заказа;

U – наличный запас;

C – затраты на пополнение  единицы запаса;

Ө – затраты, связанные с учетом неудовлетворенного спроса (за единицу);

β – доля неудовлетворенного спроса, которая может быть задолжена;

W – затраты, понесенные  вследствие устаревания товара (за  единицу);

h – затраты на содержание  единицы запаса в единицу времени.

 

3.2.Приближение уровня устаревших товаров

Использование формулы (5) при создании программного продукта, предназначенного для решения реальных задач управления запасами, практически невозможно, в связи со значительной вычислительной сложностью, вызванной использованием данной формулы [5]. Поэтому целесообразно использовать приближенный подход для описания наличного запаса в каждый момент времени.

При формировании приближенного  значения уровня запаса в каждый момент времени, используются следующие предположения:

1) В данной системе  рассматривается только один  скоропортящийся продукт. Каждая единица продукта имеет фиксированный срок жизни m. Уровень запаса отслеживается постоянно и уменьшается за счет удовлетворения спроса или избавления от устаревших единиц.

2) Заказ размером Q размещается,  когда уровень запаса достигает  точки перезаказа r. Существует положительное  время доставки L для каждого пополнения и фиксированные затраты на оформление заказа K.

3) Все единицы заказа  на пополнение запаса прибывают  свежими или новыми. Полезность каждой единицы товара не уменьшается и не исчезает до момента окончания срока годности, но товар должен быть выброшен, если он не был использован до истечения срока хранения. Затраты, понесенные вследствие устаревания товара равны W за единицу.

4) Спрос в единицу  времени, d1, – положительная случайная переменная. Предположим, что она имеет особое непрерывное или дискретное распределение с функцией плотности и мат. ожиданием D.

5) Единицы запаса всегда  используются согласно FIFO политике  выпуска (первый попавший на  склад потребляется первым).

6) Запас покидает систему  либо для удовлетворения спроса, либо изымается как устаревший товар.

7) Часть неудовлетворенного  спроса в системе задалживается,  а часть – теряется безвозвратно, причем, доля задолженного спроса не меняется в зависимости от продолжительности дефицита.

В случае с полной потерей продаж весь неудовлетворенный спрос полностью теряется, и покупатели обращаются для удовлетворения потребности в товаре к другим источникам [6]. Однако часто возникает ситуация, когда при отсутствии на складе товара, некоторые покупатели ждут, пока не будет удовлетворен их спрос из следующего заказа. Таким образом, разумно предположить, что только часть дефицита, β (0≤ β ≤1), становится на учет, а остальная часть, (1– β), теряется навсегда. Динамика уровня запаса в такой системе изображена на рис 2.

Рис. 2. – Динамика уровня скоропортящегося запаса в (Q,r)-системе

 

Для определения ожидаемого уровня запасов в системе необходимо знать ожидаемый уровень устаревших товаров и ожидаемый объем  дефицита.

В качестве приближения  ожидаемого количества устаревших товаров можно использовать соотношение (6):

         (6)

где r – точка заказа;

Q – размер заказа;

L – время доставки  заказа;

fm+L(u) – вероятностная функция случайной переменной dm+L (т.е. спрос в течение m+L единиц времени).

 

 

Для описания ожидаемого размера дефицита используется соотношение (7):

 

          (7)

где функция fL(x) – это вероятностная функция случайной переменной,

dL – спрос во время поставки заказа.

Рассмотрим четыре приближения  ожидаемого уровня запасов в единицу  времени [7]:

1) грубая аппроксимация  (без учета дефицита и устаревания  товара);

2) аппроксимация Вагнера  (без учета продолжительности  дефицита и устаревания товара).

3) модифицированный подход Вагнера (с учетом продолжительности дефицита, но, исключающая устаревание товара).

4) приближение с учетом  ожидаемого уровня устаревших  товаров.

При грубой аппроксимации  предполагается, что значения ER и ES намного меньше текущего размера  заказа Q. Поэтому, ER и ES можно пренебречь и ожидаемый уровень запасов в единицу времени определяется по формуле (8):

EI =                                                                                              (8)

Аппроксимация Вагнера  учитывает оба случая исчерпания и неисчерпания запаса во время доставки заказа и описывается соотношением (9):

EI={ }                                          (9)

 

 

 

 

Ожидаемый уровень запаса в единицу времени в модифицированной модели Вагнера можно выразить как:

                                              (10)

Аппроксимация с учетом устаревания товара описывает общий  ожидаемый уровень запаса с помощью  соотношения (10):

                                                (11)

Наилучшей моделью для  описания уровня запаса в системе  является модель с учетом дефицита и устаревания товара. Политика заказов (Q, r) может таким образом быть получена корректно, и отклонения в определении Q и r могут быть сведены к минимуму.

Оптимальная политика управления запасами, т.е. значения параметров Q и r, определяются из минимума общих затрат в единицу времени. Общие ожидаемые средние затраты в единицу времени для случая с частичным учетом неудовлетворенных требований можно определить из соотношения (12):

                      (12)

где ET – ожидаемая  длина цикла, определяется из соотношения (13):

                                                                                (13)

ER определяется из  соотношения (6), ES – из соотношения (7).

В одном крайнем случае, когда β=0, случай с частичным учетом неудовлетворенных требований преобразуется в случай с полной потерей продаж, а в другом, когда β=1 – в случай с полным учетом неудовлетворенных требований.

 

3.3 Страховой запас

 Расчет величины страхового запаса до сих пор не имеет однозначной методики [10]. Причиной этому является неопределенность спроса и периода выполнения заказа, для одновременного учета которых применяются различные подходы. В основном используется два подхода к расчету страхового запаса. Первый (или вероятностный) подход представляется нам более естественным и обоснованным, в отличие от второго подхода, основанного на ожидаемом количестве дефицитных изделий при заданном «уровне обслуживания».

Страховой (гарантийный, резервный, буферный) запас создается  для защиты от возможного дефицита изделий. Величина страхового запаса постоянно поддерживается дополнительно к ожидаемой потребности и имеет вероятностную природу. Дефицит изделий может быть обусловлен как неопределенностью спроса, так и неопределенностью периода выполнения заказа. Неопределенность спроса – это случайные колебания объема продаж в течение всего периода времени между двумя моментами пополнения запаса. Неопределенность периода выполнения заказа представляет собой случайную величину времени между моментом размещением заказа на пополнение запаса и моментом его получения. Для адекватной оценки величины страхового запаса необходим одновременный учет обоих видов неопределенностей.

В настоящее время  принято два подхода к расчету  величины страхового запаса. В первом подходе (вероятностный подход) величина страхового запаса рассчитывается исходя из заданного значения вероятности отсутствия дефицита. Во втором подходе расчет величины страхового запаса основывается на понятии «уровня обслуживания» и определяется как ожидаемое количество изделий, которых может не хватать при данном уровне обслуживания.

 

 

Оба подхода строятся на следующей стохастической модели потребления и пополнения запаса:

1. Случайная величина (q) потребления изделий в каждый единичный период времени (например за день или неделю) подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием (МО) mq и средним квадратическим отклонением (СКО) σq ;

2. Период выполнения  заказа (L) является случайной величиной с МО и СКО равными mL  и  σL , соответственно;

3. Случайные величины qi в единицу времени независимы между собой, имеют одинаковые распределения с равными МО и СКО и не зависят от случайной величины L ;

4. Суммарное потребление (Q) в течение периода (L) представляет собой сумму случайного числа случайных величин qi , то есть

 

и имеет нормальное распределение с МО и СКО равными mQ = mq mL и 

Вероятностный подход. Задается значение вероятности (P) бесперебойной выдачи изделий из имеющегося запаса. Так, вероятность P = 0,95 что означает, что в 95% всего времени мы рассчитываем, что запас не исчерпается и в 5% времени мы будем испытывать дефицит изделий. Обратившись к таблице значений функции Лапласа находим для заданной вероятности P соответствующее количество (k) средних квадратических отклонений σQ , тогда величина страхового запаса рассчитывается как k σQ . Если, например, P = 0,95 то σQ надо умножить на k = 1,64.

Подход, основанный на понятии «Уровень обслуживания». Под уровнем обслуживания понимается количество изделий, которое может быть получено потребителем немедленно из имеющего запаса. Так, если недельный спрос на изделия составляет 100 шт., то 95%-ый уровень обслуживания означает, что 95 изделий могут быть получены из имеющегося запаса, а 5 изделий составят дефицит. Данный подход основывается на расчете нормированного (МО=0 и СКО=1) ожидаемого количества изделий M(k), которых будет не хватать при данном уровне обслуживания в течение периода выполнения заказа L. Реальное же количество дефицитных изделий за период L составит величину M(k) σQ . Функция M(k) легко вычисляется и ее значения затабулированы.