Реферат. 
 

Тема: Системный анализ и моделирование экосистем 
 
 
 

                             . 

Братск 2010

    ПЛАН  РАБОТЫ:

1. СИСТЕМНЫЙ  АНАЛИЗ.

2. АКСИОМАТИКА  СИСТЕМНЫХ СВОЙСТВ.

3. СИСТЕМНЫЙ  АНАЛИЗ И ПРОБЛЕМЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ.

4. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

5. ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ СЛУЧАЙ.

6.ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ.

9. СИСТЕМНЫХ АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОСИСТЕМ

    СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ:

    Системный анализ

• Совокупность методологических средств, обеспечивающих решение сложных проблем политического, социального, экономического, правового и т. д. характера.
• Системный анализ базируется на ряде прикладных математических дисциплин, в частности на исследовании операций.
• Примерами задач, решаемых с помощью методов исследований операций и математического программирования, являются:

    1.Разработка  высокоэффективных методов управления  людьми и техникой.

    2.Определение и обоснование целей функционирования системы.

• Исследование операций - наука, вырабатывающая решения во всех областях деятельности человека.

    Разработка  методов использования имеющейся  техники, обеспечивающей выполнение поставленной задачи с минимальными затратами и с максимальной эффективностью. 
 

    ОСНОВНЫЕ  ПОНЯТИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

    1. ОПЕРАЦИЯ. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОПЕРАЦИИ

    Под операцией мы будем понимать любое  мероприятие (или систему действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению определенной цели.

    Всякий  определенный выбор зависящих от нас параметров мы будем называть решением.

    Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными. Оптимальными называются решения, которые, по тем или иным соображениям, предпочтительнее других.

    Основная  задача исследования операций—предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

    Заметим, что само принятие решения выходит  за рамки исследования операций и  относится к компетенции ответственного лица (или группы лиц), которым предоставлено право окончательного выбора. При этом выборе ответственные за него лица могут учитывать, наряду с рекомендациями, вытекающими из математического расчета, еще ряд соображений (количественного и качественного характера), которые не были учтены расчетом.

    Таким образом, исследование операций не ставит себе задачей полную автоматизацию  принятия решений, полное исключение из этого процесса размышляющего, оценивающего, критикующего человеческого сознания. В конечном итоге, решение всегда принимается человеком (или группой лиц); задача исследования операций — подготовить количественные данные и рекомендации, облегчающие человеку принятие решения. Даже в тех случаях, когда принятие решения, казалось бы, полностью автоматизировано (например, в процессе автоматического управления предприятием или космическим кораблем), роль человека не устраняется, ибо, в конечном счете, от него зависит выбор алгоритма, по которому осуществляется управление.

    Наряду  с основной задачей — обоснованием оптимальных решений — к области исследования операций относятся и другие задачи, такие как

    — сравнительная оценка различных вариантов организации операции;

    — оценка влияния на результат операции различных параметров (элементов решения и заданных условий);

— исследование так называемых «узких мест», то есть элементов управляемой системы, нарушение работы которых особенно сильно сказывается на успехе операции, и т. д.

    Эти «вспомогательные» задачи исследования операций приобретают особую важность, когда мы рассматриваем данную операцию не изолированно, а как составной элемент целой системы операций. Так называемый «системный» подход к задачам исследования операций требует учета взаимной зависимости и обусловленности целого комплекса мероприятий. Разумеется, в принципе всегда можно объединить систему операций в одну сложную операцию более «высокого порядка», но на практике это не всегда удобно (и не всегда желательно), и в ряде случаев целесообразно выделять в качестве «операций» отдельные элементы системы, а окончательное решение принимать с учетом роли и места данной операции в системе.

    Итак, рассмотрим отдельную операцию О. Размышляя  над организацией операции, мы стремимся сделать ее наиболее эффективной. Под эффективностью операции разумеется степень ее приспособленности к выполнению стоящей перед ней задачи. Чем лучше организована операция, тем она эффективнее.

    Чтобы судить об эффективности операции и  сравнивать между собой по эффективности различно организованные операции, нужно иметь некоторый численный критерий оценки или показатель эффективности (в некоторых руководствах показатель эффективности называют «целевой функцией»).

    Будем в дальнейшем обозначать показатель эффективности буквой W.

    Конкретный  вид показателя эффективности W, которым следует пользоваться при численной оценке эффективности, зависит от специфики рассматриваемой операции, ее целевой направленности, а также от задачи исследования, которая может быть поставлена в той или другой форме.

    Многие  операции выполняются в условиях, содержащих элемент случайности (например, операции, связанные с колебаниями спроса и предложения, с движением народонаселения, заболеваемостью, смертностью, а также все военные операции). В этих случаях исход операции, даже организованной строго определенным образом, не может быть точно предсказан, остается случайным. Если это так, то в качестве показателя эффективности W выбирается не просто характеристика исхода операции, а ее среднее значение (математическое ожидание). Например, если задача операции — получение максимальной прибыли, то в качестве показателя эффективности берется средняя прибыль. В других случаях, когда задачей операции является осуществление вполне определенного события, в качестве показателя эффективности берут вероятность этого события (например, вероятность того, что в результате воздушного налета данная группа целей будет поражена).

    Правильный  выбор показателя эффективности — необходимое условие полезности исследования, применяемого для обоснования решения.

    Рассмотрим  ряд примеров, в каждом из которых показатель эффективности W выбран в соответствии с целевой направленностью операции.

    Пример 1. Рассматривается работа промышленного предприятия под углом зрения его рентабельности, причем проводится ряд мер с целью повышения этой рентабельности Показатель эффективности — прибыль (или средняя прибыль), приносимая предприятием за хозяйственный год

    Пример 2. Ремонтная мастерская занимается обслуживанием машин; ее рентабельность определяется количеством машин, обслуженных в течение дня. Показатель эффективности — среднее число машин, обслуженных за день («среднее» потому, что фактическое число случайно)

    Пример 3. Проводится борьба за экономию средств при производстве определенного вида товаров. Показатель эффективности—количество (или среднее количество) сэкономленных средств.

    Во  всех рассмотренных примерах показатель эффективности, каков бы он ни был, требовалось обратить в максимум («чем больше, тем лучше»). Вообще, это не обязательно: в исследовании операций часто пользуются показателями, которые требуется обратить не в максимум, а в минимум («чем меньше, тем лучше»). Например, в примере 4 можно было бы в качестве показателя эффективности взять «вероятность тоге, что появившийся самолет не будет обнаружен» — этот показатель желательно сделать как можно меньше. В примере 5 за показатель эффективности можно было бы принять «среднее число сбоев за сутки», которое желательно минимизировать. Если оценивается какая-то система, обеспечивающая наведение снаряда на цель, то в качестве показателя эффективности можно выбрать среднее значение «промаха» снаряда (расстояния от траектории до центра цели), которое желательно сделать как можно меньше. Наряд средств, выделяемых на выполнение какой-либо задачи, тоже желательно сделать минимальным, равно как и стоимость предпринимаемой системы мероприятий. Таким образом, во многих задачах исследования операций разумное решение должно обеспечивать не максимум, а минимум некоторого показателя.

    Очевидно, что случай, когда показатель эффективности  W надо обратить в минимум, легко сводится к задаче максимизации (для этого достаточно, например, изменить знак величины W). Поэтому в дальнейшем, рассматривая в общем виде задачу исследования операций, мы будем для простоты говорить только о случае, когда W требуется обратить в м а к с и м у м. Что касается практических конкретных задач, то мы будем пользоваться как показателями эффективности, которые требуется максимизировать, так и теми, которые требуется минимизировать. 

    2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ

    Для применения количественных методов исследования в любой области всегда требуется построить ту или другую математическую модель явления. Me составляет исключения и исследование операций. При построении математической модели явление (в нашем случае — операция) каким-то образом упрощается, схематизируется; из бесчисленного множества факторов, влияющих на явление, выделяется сравнительно небольшое количество важнейших, и полученная схема описывается с помощью того или другого математического аппарата. В результате устанавливаются количественные связи между условиями операции, параметрами решения и исходом операции — показателем эффективности (или показателями, если их в данной задаче несколько).

    Чем удачнее подобрана математическая модель, тем лучше она отражает характерные черты явления, тем успешнее будет исследование и полезнее — вытекающие из него рекомендации.

    Общих способов построения математических моделей  не существует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из целевой направленности операции и задачи научного исследования, с учетом требуемой точности решения, а также точности, с какой могут быть известны исходные данные.

    Требования  к модели противоречивы. С одной  стороны, она должна быть достаточно полной, т. е. в ней должны быть учтены все важные факторы, от которых существенно зависит исход операции. С другой стороны, модель должна быть достаточно простой для того, чтобы можно было установить обозримые (желательно— аналитические) зависимости между входящими в нее параметрами. Модель не должна быть «засорена» множеством мелких, второстепенных факторов — их учет усложняет математический анализ и делает результаты исследования трудно обозримыми.

    Одним словом, искусство составлять математические модели есть именно искусство, и опыт в этом деле приобретается постепенно. Две опасности всегда подстерегают составителя модели: первая - утонуть в подробностях («из-за деревьев не увидеть леса»); вторая - слишком огрубить явление («выплеснуть из ванны вместе с водой и ребенка»). В сложных случаях, когда построение модели вызывает наибольшее сомнение, полезным оказывается своеобразный «спор моделей», когда одно и то же явление исследуется на нескольких моделях. Если научные выводы и рекомендации от модели к модели меняются мало, это — серьезный аргумент в пользу объективности исследования. Характерным для сложных задач исследования операций является также повторное обращение к модели: после того, как первый цикл исследований выполнен, возвращаются снова к модели и вносят в нее необходимые коррективы.

    Построение математической модели — наиболее важная и ответственная часть исследования, требующая глубоких знаний не только и не столько в математике, сколько в существе моделируемых явлений. Однако раз созданная удачная модель может найти применение и далеко за пределами того круга явлений, для которого она первоначально создавалась. Так, например, математические модели массового обслуживания нашли широкое применение в целом ряде областей, далеких, с первого взгляда, от массового обслуживания (надежность технических устройств, организация автоматизированного производства, задачи ПВО и др.). Математические модели, первоначально предназначенные для описания динамики развития биологических популяций, находят широкое применение при описании боевых действий и наоборот — боевые модели с успехом применяются в биологии.

    Математические  модели, применяемые в настоящее  время в задачах исследования операций, можно грубо подразделить на два класса:

    а н а л и т  и ч е с к  и е            и          с т а т и  с т и ч е с к и е.

    Для первых характерно установление формульных, аналитических зависимостей между параметрами задачи, записанных в любом виде: алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными и т. д. Чтобы такое аналитическое описание операции было возможно, как правило, нужно принять те или иные допущения или упрощения. С помощью аналитических моделей удается с удовлетворительной точностью описать только сравнительно простые операции, где число взаимодействующих элементов не слишком велико. В операциях же большого масштаба, сложных, в которых переплетается действие огромного количества факторов, в том числе и случайных, на первый план выходит метод статистического моделирования. Он состоит в том, что процесс развития операции как бы «копируется» на вычислительной машине, со всеми сопровождающими его случайностями. Всякий раз, когда в ход операции вмешивается какой-либо случайный фактор, его влияние учитывается посредством «розыгрыша», напоминающего бросание жребия. В результате многократного повторения такой процедуры удается получить интересующие нас характеристики исхода операции с любой степенью точности.

    Статистические  модели имеют перед аналитическими то преимущество, что они позволяют учесть большее число факторов и не требуют грубых упрощений и допущений. Зато результаты статистического моделирования труднее поддаются анализу и осмыслению. Более грубые аналитические модели описывают явление лишь приближенно, зато результаты более наглядны и отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. Наилучшие результаты получаются при совместном применении аналитических и статистических моделей:

    простая аналитическая модель позволяет  вчерне разобраться в основных закономерностях явления, наметить главные его контуры, а любое дальнейшее уточнение может быть получено статистическим моделированием. 

    3. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

    ИССЛЕДОВАНИЯ  ОПЕРАЦИИ. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ  СЛУЧАЙ

    Рассмотрим  задачу исследования операций в общей  постановке, безотносительно к виду и цели операции.

    Пусть имеется некоторая операция 0, т. е. управляемое мероприятие, на исход которого мы можем в какой-то мере влиять, выбирая тем или другим способом зависящие от нас параметры. Эффективность операции характеризуется каким-то численным критерием или показателем W, который требуется обратить в максимум (случай, когда его требуется обратить в минимум, сводится к предыдущему и отдельно не рассматривается).

    Предположим, что тем или иным способом математическая модель операции построена; она позволяет вычислить показатель эффективности W при любом принятом решении, для любой совокупности условий, в которых выполняется операция.

    Рассмотрим  сначала наиболее простой случай: все факторы, от которых зависит  успех операции, делятся на две  группы:

    — заданные, заранее известные факторы (условия проведения операции) а1, а2..., на которые мы влиять не можем;

    — зависящие от нас факторы (элементы решения) х1, х2, ..., которые мы, в известных пределах, можем выбирать по своему усмотрению.

    Этот  случай, в котором факторы, влияющие на исход операции, либо заранее известны, либо зависят от нас, мы будем называть детерминированным.

    Заметим, что под «заданными условиями» операции а1,а2 ... могут пониматься не только обычные числа, но и функции, в частности— ограничения, наложенные на элементы решения. Равным образом, элементы решения х1, х2, ... также могут быть не только числами, но и функциями.

    Показатель  эффективности W зависит от обеих групп факторов:

    как от заданных условий, так и от элементов  решения. Запишем эту зависимость в виде общей символической формулы:

    W=W(a1, а2,... х1, х2,...).                (3.1)

    Так как математическая модель построена, будем считать, что зависимость (3.1) нам известна, и для любых а1, а2 ...; х1, х2, ... мы можем найти W.

    Тогда задачу исследования операций можно  математически сформулировать так:

    При заданных условиях а1, а2, ... найти такие элементы решения х1, х2, ..., которые обращают показатель W в максимум.

    Перед нами — типично математическая задача, относящаяся к классу так называемых вариационных задач. Методы решения таких задач подробно разработаны в математике. Простейшие из этих методов («задачи на максимум и минимум») хорошо известны каждому инженеру. Для нахождения максимума или минимума (короче, экстремума) функции нужно продифференцировать ее по аргументу (или аргументам, если их несколько), приравнять производные нулю и решить полученную систему уравнений.

    Однако, этот простой метод в задачах  исследования операций имеет ограниченное применение. Причин этому несколько.

    1. Когда аргументов х1, х2, ... много (а это типично для задач исследования операций), совместное решение системы уравнений, полученных дифференцированием основной зависимости, зачастую оказывается не проще, а сложнее, чем непосредственный поиск экстремума.

    2. В случае, когда на элементы решения х1, х2, ... наложены ограничения (т. е., область их изменения ограничена), часто экстремум наблюдается не в точке, где производные обращаются в нуль, а на границе области возможных решений. Возникает специфическая для исследования операций математическая задача «поиска экстремума при наличии ограничений», не укладывающаяся в схему классических вариационных методов.

    3. Наконец, производных, о которых идет речь, может вовсе не существовать, например, если аргументы х1, х2, ... изменяются не непрерывно, а дискретно, или же сама функция W имеет особенности.

    Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при наличии произвольных ограничений  не существует. Однако для случаев, когда функция и ограничения обладают определенными свойствами, современная математика предлагает ряд Специальных методов. Например, если показатель эффективности W зависит от элементов решения х1, х2, ... линейной ограничения, наложенные на х1, х2, ..., также имеют вид линейных равенств (или неравенств), максимум функции W находится с помощью специального аппарата, так называемого линейного программирования. Если эти функции обладают другими свойствами (например, выпуклы или квадратичны), применяется аппарат «выпуклого» или «квадратичного» программирования, более сложный по сравнению с линейным программированием, но все же позволяющий в приемлемые сроки найти решение. Если операция естественным образом расчленяется на ряд «шагов» или «этапов» (например, хозяйственных лет), а показатель эффективности W выражается в виде суммы показателей Wi, достигнутых за отдельные этапы, для нахождения решения, обеспечивающего максимальную эффективность, может быть применен метод динамического программирования.

    Если  операция описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а управление, меняющееся со временем, представляет собой некоторую функцию x(f), то для нахождения оптимального управления может оказаться полезным специально разработанный метод Л. С. Понтрягина.

    Таким образом, в рассматриваемом детерминированном  случае задача отыскания оптимального решения сводится к математической задаче отыскания экстремума функции W; эта задача может быть весьма сложной (особенно при многих аргументах), но, в конце концов, является вычислительной задачей, которую, особенно при наличии быстродействующих ЭЦВМ, удается, так или иначе, решить до конца. Трудности, возникающие при этом, являются расчетными, а не принципиальными. 

    4. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ. ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

    В предыдущем параграфе мы рассмотрели  самый простой, полностью детерминированный случай, когда все условия операции а1,  а2, ... известны, и любой выбор решения х1, х2,... приводит к вполне определенному значению показателя эффективности W.

    К сожалению, этот простейший случай не так уж часто встречается на практике. Гораздо более типичен случай, когда не все условия, в которых будет проводиться операция, известны заранее, а некоторые из них содержат элемент неопределенности. Например, успех операции может зависеть от метеорологических условий, которые заранее неизвестны, или от колебаний спроса и предложения, заранее трудно предвидимых, связанных с капризами моды, или же от поведения разумного противника, действия которого заранее неизвестны.

    В подобных случаях эффективность  операции зависит уже не от двух, а от трех категорий факторов:

    — условия выполнения операции а1, а2, ..., которые известны заранее и изменены быть не могут;

    — неизвестные условия или факторы Y1, Y2, ... ;

    — элементы решения х1, х2, ..., которые нам предстоит выбрать. Пусть эффективность операции характеризуется некоторым показателем W, зависящим от всех трех групп факторов. Это мы запишем в виде общей формулы:

    W=W(a1, а2,...; Y1, Y2,...; х1, х2,...).

    Если  бы условия Y1, У2, ... были известны, мы могли бы заранее подсчитать показатель W и выбрать такое решение х1, х2, ..., при котором он максимизируется. Беда в том, что параметры Y1,Y2, ... нам неизвестны, а значит, неизвестен и зависящий от них показатель эффективности W при любом решении. Тем не менее задача выбора решения по-прежнему стоит перед нами. Ее можно сформулировать так:

    При заданных условиях а1, а2,…, с учетом неизвестных факторов Y1, y2, ... найти такие элементы решения х1, х2, ..., которые по возможности обращали бы в максимум показатель эффективности W.

    Это — уже другая, не чисто математическая задача (недаром в ее формулировке сделана оговорка «по возможности»). Наличие неизвестных факторов Y1, Y2, ... переводит нашу задачу в другую категорию' она превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределенности.

    Давайте будем честны: неопределенность есть неопределенность. Если условия выполнения операции неизвестны, мы не имеем возможности, так же успешно организовать ее, как мы это сделали бы, если бы располагали большей информацией. Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности, хуже решения, принятого во вполне определенной ситуации. Наше дело — сообщить своему решению в наибольшей возможной мере черты разумности. Решение, принятое в условиях неопределенности, но на основе математических расчетов, будет все же лучше решения, выбранного наобум. Недаром один из видных зарубежных специалистов — Т. Л. Саати в книге «Математические методы исследования операций» дает своему предмету следующее ироническое определение:

    «Исследование операций представляет собой искусство  давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».

    Задачи  о выборе решения в условиях неопределенности встречаются нам в жизни на каждом шагу. Пусть, например, мы собрались ехать в отпуск, взяв с собой чемодан ограниченного объема, причем вес чемодана не должен превышать того, при котором мы можем носить его без посторонней помощи (условия а1, а2, ...). Погода в районах путешествия заранее неизвестна (условия Y1, Y2, ...). Спрашивается, какие предметы одежды (х1, х2, ...) следует взять с собой?

    Эту задачу мы, разумеется, решаем без всякого математического аппарата, хотя, по-видимому, не без опоры на какие-то численные данные (хотя бы на вероятности морозной или дождливой погоды в районах путешествия в данное время года). Однако, если нужно принять более серьезное и ответственное решение (например, о характеристиках проектируемой плотины в районе возможных паводков, или о выборе типа посадочного устройства для посадки на планету с неизвестными свойствами поверхности, или о выборе образца вооружения для борьбы с противником, характеристики которого заранее неизвестны), то выбору решения в обязательном порядке должны быть предпосланы математические расчеты, облегчающие этот выбор и сообщающие ему, в доступной мере, черты разумности.