Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Системы числовых уравнений в арифметических пространствах

Московский государственный университет леса

Курсовая работа по функциональному анализу

на тему: «Системы числовых уравнений в арифметических пространствах».

Выполнил: студент Гераськин А.В.

Группа ПМ-31

Руководитель: доцент кафедры высшей

математики МГУЛ, Галканов А.Г.

Москва 2013

Содержание.

Введение………………………………………………….…….3
Понятия, связанные с системой и совокупностью

уравнений………………………………………………….…...4

Методы решения линейных систем уравнений…………......8

Прямые методы ……………………………...……………….…9
Итерационные методы………………………………………...17

Методы решения нелинейных систем уравнений……….…21
Заключение…………………………………………………....26

Введение.

В начале работы хотелось бы определить несколько понятий, которые пригодятся нам в дальнейшем. Эти понятия были взяты из книги А.Г.Галканова «Числовые уравнения и тождества в понятиях, теоремах, методах, задачах и решениях».

Уравнение – аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Решить уравнение означает найти множество всех его решений(корней) или доказать, что корней нет.

Определение 1.

Если , то предикат (1) называется числовым уравнением.

При этом:

X называется множеством задания уравнения.
x называется неизвестным уравнения.
f и g соответственно левой и правой частью уравнения.

Определение 2.

Если (1) есть уравнение и , то число называется корнем (или решением) уравнения (1) на множестве X.

Определение 3.

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1.

В общем виде:

В канонической форме:

Определение 4.

Если т.е. существует последовательность , сходящаяся к стационарной последовательности {x^*} и разность двух сходящихся числовых последовательностей {} и {} есть бесконечно малая, то каждое число , начиная с номера l+1, называется приближённым корнем уравнения (1) с погрешностью δ в смысле близости по значениям аргумента и с погрешностью ε в смысле близости по значениям функций f и g.

При этом числа x₁, x₂,…,x_n,… называются последовательными приближениями к искомому корню, а δ и ε – их погрешностями.

Определение 5.

Множество всех упорядоченных совокупностей по n чисел (х₁,х₂,...,х_n) называется арифметическим n-мерным пространством ℝⁿ, где n - размерность пространства.

На множестве естественным образом вводятся операции сложения и умножения на числа. Если , то по определению для числа :

, a

Отметим свойства введенных операций(X,Y,Z:

α(X+Y)=αX+αY
(αβ)X=α(βX)
1*X=X

Понятия, связанные с системой и совокупностью уравнений.

Пусть – это упорядоченный набор из n(n≥2) действительных чисел X≠. Рассмотрим n – местный предикат

, (2)

где - заданные функции своих аргументов, определённые и непрерывные в области X, , m ≥ 2.

Определение 6.

Если

то предикат (2) называется системой (числовых) уравнений на множестве X.

Если (2) есть система уравнений, то n называется числом неизвестных, m – числом уравнений и вместо (2) применяется наиболее распространенная запись

(3)

где знак { принято считать знаком системы уравнений (или знаком совместных утверждений).

Определение 7.

Упорядоченный набор , такой, что

называется решением системы уравнений (3).

Определение 8.

Множество

называется множеством решений системы уравнений (3).

Пример 1.

S={(1,1),(5,3)} является множеством решений системы уравнения

Определение 9.

Две системы уравнений, называются эквивалентными или равносильными, если их множества задания и множества решений соответственно равны.

Определение 10.

Система уравнений (3) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, иначе – несовместной.

Определение 11.

Система (3) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Определение 12.

Система уравнений (3) называется определённой, если она имеет единственное решение, иначе – неопределённой.

Как и уравнение, всякая система уравнений(3):

либо имеет единственное решение;
либо имеет множество решений;
либо не имеет решения.

Пусть

………………………,

где все уравнения рассматриваются на одном и том же непустом множестве X.

Определение 13.

Некоторое число называется решением совокупности уравнений (3₁)-(3_n), если x^* есть решение, по меньшей мере, одного из уравнений (3₁)-(3_n):.

При этом пишут

В соответствии с этим саму совокупность уравнений обозначим

, а множество её корней - .

Определение 14.

Если , т.е. каждое решение уравнения (3₀) является решением совокупности уравнений (3₁)-(3_n) и всякое решение совокупности уравнений (3₁)-(3_n) является решением уравнения (3₀), то уравнение (3₀) называется равносильным совокупности уравнений (3₁)-(3_n).

При этом пишут

Как и в случае уравнений, для решения произвольных систем уравнений универсальных алгоритмов не существует. Поэтому изучаются отдельные классы систем уравнений.

Определение 15.

Если в (3) все функции f_k ,g_k являются линейными, то (3) называется линейной системой, иначе, т.е. хотя бы одна из функций f_k ,g_k нелинейная – нелинейной системой уравнений.

Наиболее изученными являются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

(4),

где a_i,j,b_j – заданные действительные числа, При m=n (4) называется квадратной, иначе прямоугольной.

Также СЛАУ можно записать в матричной форме:

или Ax=b, где A – матрица системы, x – столбец неизвестных, b – столбец свободных членов. Если к матрице A приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Наряду с системой уравнений (3) рассматриваются и системы неравенств:

или смешанные системы вида:

Методы решений линейных систем уравнений.

Существует достаточно много методов решения систем уравнений, которые можно разделить на 2 вида:

Прямые (точные) - методы позволяют найти решение за определённое количество шагов, к ним относятся:

Метод Гаусса
Метод Гаусса — Жордана
Метод Крамера
Матричный метод
Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)
Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)
Метод вращений.

Итерационные методы - основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений, к ним относятся:

Метод Якоби (метод простой итерации)
Метод Гаусса — Зейделя
Метод релаксации
Многосеточный метод
Метод Монтанте
Метод Абрамова (пригоден для решения небольших СЛАУ)
Метод квази-минимальных невязок (QMR)

Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений.

Прямые методы решения систем уравнений.

Рассмотрим несколько основных методов решения СЛАУ.

Метод Гаусса.

Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между I в. до н.э. и II в. н. э.

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

К достоинствам данного метода можно отнести:

Для матриц ограниченного размера менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.
Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение.
Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы.

Алгоритм:

Пусть исходная система выглядит следующим образом:

Матрица А называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.

Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

Далее начинается обратный ход, при котором последовательно, начиная с x_n, находим все x, для этого:

Таким образом, алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса можно разделить на два этапа:

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, помножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку, и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Пример:

Решить систему:

Решение:

Для решения данной системы вначале обнулим коэффициенты при x₁ во 2 и 3 строчках системы, для этого вычтем из них первую строчку, делённую на 2 и 4 соответственно:

Теперь обнулим коэффициент в 3 строчке, для этого вычтем из неё 2 строчку, делённую на 2:

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма. На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке:

Из 3-го уравнения имеем: ;

из 2-го уравнения: ;

из 1-го:.

Таким образом, исходная система решена.

К недостаткам такого метода можно отнести то, что для матриц большого объёма данный метод очень трудоёмкий, а также его большую погрешность возникающую, в случае если ведущие элементы малы. Поэтому обычно используется другой вариант метода Гаусса – метод Гаусса с выбором главного элемента.

Путем перестановки строк, а также столбцов с соответствующей перенумерацией коэффициентов и неизвестных добиваются выполнения условия:

, j = i+1,i+ 2, …, m;

т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Переставляя уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент a₁₁ был максимальным по модулю. Разделив первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают x₁ из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй главный элемент и т.д.

Рассмотрим применение метода Гаусса с выбором главного элемента на примере следующей системы уравнений:

В первом уравнении коэффициент при x₁ =0, во втором 1 и в третьем -2, т.е. максимальный по модулю коэффициент в третьем уравнении.

Поэтому переставим третье и первое уравнение:

Исключим x₁ из второго и третьего уравнений с помощью первого. Во втором уравнении исключать не надо. Для исключения из третьего уравнения умножим первое на 0.5 и сложим с третьим:

Рассмотрим второе и третье уравнения. Максимальный по модулю элемент при x₂ в третьем. Поэтому поместим его на место второго:

Исключим x₂ из третьего уравнения. Для этого умножим второе на -0.5 и сложим с третьим:

Выполняя обратный ход, получим результат:

Такая перестановка уравнений необходима для того, чтобы уменьшить влияние ошибок округления на конечный результат.

Метод QR-разложений.

В настоящее время, кроме метода Гаусса, известно много прямых методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Большинство этих методов основано на переходе от исходной системы Ax = b к новой системе Bx = d , решаемой проще исходной. Этот переход производится путем умножения исходной системы на некоторую матрицу C, которая выбирается из условий, чтобы эта матрица вычислялась не слишком сложно, а само умножение не сильно портило систему, то есть не сильно изменяло ее число обусловленности. Этим условиям удовлетворяют методы вращений и отражений. Оба метода позволяют получить представление матрицы A в виде произведения ортогональной матрицы Q на верхнюю треугольную матрицу R:

A = QR,

и считаются одними из наиболее устойчивых к вычислительной погрешности.

Определение 16.

Матрица Q называется ортогональной, если для нее выполняется условие

QT = Q−1 , то есть QQT = E .

Метод вращений

В этом методе матрица C, приводящая исходную систему n уравнений

Ax = b к системе с верхней треугольной матрицей CAx = Cb ⇒ Bx = d , где

B = CA; d = Cb , получается последовательным обнулением элементов, лежащих ниже главной диагонали с помощью матриц элементарных вращений T_ij Гивенса:

Они отличаются от единичной матрицы E только четырьмя элементами:

Умножение вектора x на матрицу T_ij геометрически можно интерпретировать как поворот в плоскости Ox_i x_j n-мерного пространства, что и дало

название методу. Матрица T_ij удовлетворяет условию ортогональности

На первом шаге прямого хода, получения матрицы B, исключается переменная x₁ из второго и последующих уравнений исходной системы. Это делается посредством умножения слева системы Ax = b вначале на матрицу вращения

элементы которой вычисляются по формулам:

где a_ij – коэффициенты матрицы A. Коэффициенты t_ij удовлетворяют условиям:

.(5)

В результате получается система, второе уравнение которой не содержит неизвестное x₁ :

, (6)

Новые коэффициенты первых двух уравнений вычисляются по правилам:

согласно (5).

Если в исходной системе a₂₁ =0 , считается t₁₁ =1, t₁₂ =0 , и матрица вращений становится равной единичной T₁₂ = E .

Для исключения x₁ из третьего уравнения система (6) умножается слева на матрицу вращения T₁₃:

Коэффициенты T₁₃ вычисляются по формулам:

, (7)

и удовлетворяют условиям

Аналогичным образом исключается 1 x из всех последующих уравнений. В итоге получается система следующего вида:

На втором шаге метода, состоящем из (n − 2) “малых” шагов, аналогичным образом исключается x₂ из третьего и последующих уравнений системы A⁽¹⁾x = b⁽¹⁾ .

После завершения (n −1) -го шага система принимает вид: .

или в матричной форме:

Верхняя треугольная матрица A⁽ⁿ⁻¹⁾ , которая обычно обозначается R, связана с исходной матрицей равенством R = TA, где T – матрица результирующего вращения,

Матрица T ортогональна, так как является произведением ортогональных матриц T_ij . Обозначая Q = T ⁻¹ = T^T , получаем

то есть QR-разложение матрицы A.

Обратный ход метода вращения проводится так же, как и в методе Гаусса, то есть решается вначале система Qy = b, а затем система Rx = y. Этот метод обладает существенной численной устойчивостью, однако более трудоемок в сравнении с методом Гаусса. Получение матриц QR-разложения для квадратной матрицы A порядка n общего вида требует около 2n³ арифметических операций.

Итерационные методы.

Метод простой итерации (Якоби).

Пусть задана система уравнений Ax = b. Представим ее в виде x = Gx + β (8), где G – матрица; x, β – векторы.

Зададим некоторое начальное приближенное значение вектора x = x⁽⁰⁾ и подставим его в правую часть уравнения (8). В результате получим первое приближение вектора x⁽¹⁾ . Его снова подставим в правую часть уравнения (8), и получим второе приближение вектора x⁽²⁾ . Продолжая далее этот процесс, получим последовательность значений вектора {x^{(k )} }:

………………

Если последовательность векторов { x^{(k )} } сходится, то она сходится к решению системы уравнений. Покажем это. Из последовательностей (9) находим:

…………………………………………………

Используя понятие нормы, величину вектора x можно оценить так:

. (10)

Если норма матрицы G меньше единицы ||G||<1, то , и первый член этого неравенства пропадает при любом начальном значении вектора x. Второй член неравенства при k →∞ равен

Для доказательства этого утверждения умножим (G^k−1 +G^k−2+ …+ E) на (E−G). В результате получим

(G^k−1 + G^k−2 +…+ E)(E − G) = G^k−1 + G^k−2+…+ E − G^k − G^k−1 −…− G = E − G^k ,

откуда . Так как , и , что и требовалось доказать.

Таким образом, неравенство (10) преобразуется к виду

С другой стороны, перенеся неизвестные в левую часть, уравнение x = Gx + β можно записать в виде (E −G)x = b . Умножив его слева на обратную матрицу (E −G)−1 , получим решение системы

что совпадает с оценкой решения методом итераций (11) при k →∞. Таким образом, для сходимости процесса итераций необходимо, чтобы < 1. Причем сходимость в этом случае имеет место при произвольном начальном значении x⁽⁰⁾ .

Итерации продолжаются до выполнения условия

где ε – заданная погрешность расчета.

Число операций для получения решения N ≈ 2n²k , где n – порядок системы; k – число итераций.

Метод Гаусса–Зейделя.

Метод Гаусса–Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что при расчете последующих компонент вектора x в нем используются значения ранее уже вычисленных компонент.

Пусть система Ax = b приведена к виду (8) x = Gx + β . Представим матрицу G в виде суммы трех матриц G = L + D + R, где D – диагональная матрица; L – нижняя треугольная матрица; R – верхняя треугольная матрица (без диагональных элементов). Тогда алгоритм метода Гаусса–Зейделя можно записать в виде

или в виде

где x^{(k )} , x^(k+1)– два последовательных приближения к точному решению,

k = 1, 2,… – номер итерации. Уравнения этой системы решаем последовательно друг за другом, используя ранее вычисленные компоненты вектора x^(k+1) . Итерации продолжаются до выполнения условия сходимости. Рассмотрим методы Якоби и Гаусса–Зейделя на примере решения системы трех уравнений:

Зададим произвольные начальные значения и подставим их в

правую часть системы (13). В результате получим следующие приближения

неизвестных: и т. д. до выполнения условия сходимости.

Алгоритм метода Гаусса–Зейделя также использует начальные значения вектора x и имеет следующий вид:

то есть отличается от метода простой итерации тем, что при расчете компонент вектора x на (k +1)-й итерации используются все ранее вычисленные компоненты (k +1)-й итерации.

Условие сходимости метода Гаусса–Зейделя такое же, < 1, однако сходимость в общем случае более быстрая, чем у метода Якоби.

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше суммы модулей всех остальных коэффициентов:

то есть матрица A системы Ax = b должна иметь диагональное преобладание.

Приведем рассмотренные итерационные методы в матричном виде. Для этого представим матрицу A как сумму нижней треугольной, диагональной и верхней треугольной матриц A = L + D + R:

; ;

Заменяя в уравнении Ax = b матрицу A суммой матриц A = L + D + R, представим алгоритмы Якоби и Гаусса–Зейделя соответственно в виде:

В правых частях этих уравнений записаны уже известные компоненты вектора x.

Методы решения нелинейных уравнений.

Задачи вычисления корней нелинейных уравнений часто встречаются при научных исследованиях. Корнем, или решением нелинейного уравнения f (x) = 0 , (15) называется такое значение x =ξ , которое превращает уравнение (15) в тождество: f (ξ ) ≡ 0. Нелинейные уравнения обычно подразделяют на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими называются уравнения, содержащие алгебраические функции. Уравнения, содержащие тригонометрические, показательные, логарифмические и др. функции, называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений бывают прямыми и итерационными. Прямые методы дают решение в виде конечной формулы и применимы лишь к узкому классу уравнений. Для решения большинства нелинейных уравнений применяются итерационные методы, то есть методы последовательных приближений.

Приближенное нахождение изолированных корней уравнения обычно

состоит из двух этапов:

1) отделения корней, то есть определения интервалов, содержащих отдельные корни;

2) уточнения приближенных корней, т. е. доведения их до заданной степени точности.

В общем случае систему нелинейных уравнений можно записать в виде:

Если неизвестные x₁, x₂, …, x_n и функции f₁, f₂,…, f_n рассматривать как n-мерные векторы , то систему (16) можно записать кратко в векторном виде F(x)=0.

Метод половинного деления.

Пусть требуется найти корень уравнения f (x) = 0 на отрезке [a,b], который был задан заранее, либо получен методом отделения корней. Решение задачи выполняется следующим образом. Проверяется условие существования корня на отрезке [a,b]: f (a) f (b) < 0 . Если это условие выполнено, приступаем к вычислению корня. Отрезок делится пополам точкой c = (a + b) / 2 и вычисляется значение функции f (c) в этой точке. Проверяется, на каком из двух получившихся отрезков [a,c] или [c,b] располагается корень. Для этого следует определить знак произведения f(a)f(c) или f(c)f(b) . Если f(a)f(c) < 0, то f(c) f(b) > 0 , и корень располагается на отрезке [a,c]. Следовательно, отрезок [c,b] можно отбросить и искать корень на отрезке [a,c], который обозначается как [a₁ ,b₁ ] . В противном случае f(a)f(c) > 0 , корень располагается на отрезке [c,b] , и этот отрезок обозначается [ a₁,b₁ ]. С отрезком [ a₁,b₁ ] производятся точно такие же действия, как и с предыдущим, в результате чего получается отрезок [ a₂,b₂ ] вдвое меньшей длины, содержащий корень. В ходе повторных операций половинного деления получается последовательность вложенных друг в друга отрезков [ a₁,b₁ ], [ a₂,b₂ ],…, [a_n ,b_n ], таких, что f(a_n)f(b_n) < 0, и, следовательно, содержащих корень. Длина их уменьшается по закону

Процесс половинного деления продолжается до тех пор, пока длина отрезка [ a_n, b_n] не станет меньше заданной погрешности ε:

Cреднюю точку отрезка [a_n ,b_n ] можно принять за приближенное значение корня

Из неравенства (17) можно определить число n операций половинного деления, необходимых для получения заданной точности решения:

Погрешность приближенного решения можно оценить по формуле:

Пример

Методом половинного деления уточнить корень уравнения

f(x) = x⁴ + 2 x³ - x - 1 = 0

лежащий на отрезке [ 0, 1] .

Последовательно имеем:

f(0) = - 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1 = - 1,19;

f(0,75) = 0,32 + 0,84 - 0,75 - 1 = - 0,59;

f(0,875) = 0,59 + 1,34 - 0,88 - 1 = + 0,05;

f(0,8125) = 0,436 + 1,072 - 0,812 - 1 = - 0,304;

f(0,8438) = 0,507 + 1,202 - 0,844 - 1 = - 0,135;

f(0,8594) = 0,546 + 1,270 - 0,859 - 1 = - 0,043 и т. д.

Можно принять

ξ= (0,859 + 0,875) = 0,867

Метод Ньютона.

Формулы метода Ньютона для систем нелинейных уравнений, как и в случае одного нелинейного уравнения, получаются посредством применения формулы Тейлора для функции F(x) в окрестности решения ξ . Пусть нам известно некоторое k-е приближение x^{(k )} к решению ξ системы (16). Поэтому решение можно представить как

где Δx – приращение (поправка) к приближенному решению. В развернутом виде это уравнение записывается как

Разложим функцию F(x) в ряд Тейлора по малому параметру Δx, оставив только два первых члена разложения в силу малости параметра:

Здесь - матрица Якоби для системы уравнений

Полагая, что матрица Якоби W(x^{(k )} ) неособенная, разрешим уравнение (18) относительно вектора Δx:

Здесь W ⁻¹ (x^(k)) – обратная матрица матрицы Якоби.

Подставив значение приращения Δx в уравнение (17), получаем алго-

ритм метода Ньютона

Здесь вместо точного решения ξ системы (16) в левой части алгоритма (19) поставлено последующее приближение x^(k+1) к решению, так как значение приращения Δx получено из приближенного уравнения (18). При расчете по формуле (19) на каждом шаге итерации необходимо вычислять обратную матрицу W ⁻¹ (x^{(k )} ) при новых значениях x^{(k )}. Расчеты продолжаются до выполнения условия сходимости решения, т.е. близости двух последовательных приближений

где ε – малая величина, погрешность решения. Этот метод обладает значительно большей скоростью сходимости, чем метод простой итерации. Для его применения необходимо, чтобы матрица Якоби была неособенной.

Пример.

Пусть требуется решить систему двух нелинейных уравнений:

f(x,y) = 0; φ(x,y) = 0 .

При этом известно приближенное значение решения: x = a; y = b .

Введем векторы:

и составим матрицу Якоби для системы F(z) = 0 :

Полагая, что det W ≠ 0 при x = a, y = b , вычисляем обратную матрицу W⁻¹ :

Для системы двух уравнений удалось получить обратную матрицу Якоби в аналитическом виде, что в общем случае n уравнений не удается. Далее, применяя формулу (19), получаем

z^(k+1) = z^{(k
)} −W⁻¹ (z^{(k )})F(z^{(k )})

или в развернутом виде

Выражения справа сначала вычисляются при x = x(0) = a; y = y(0) = b. Дальнейшие уточнения решения продолжаются для k = 1, 2,K до выполнения условия (20).

Заключение.

Как мы видим, существует достаточно большое количество методов решения систем уравнений, каждый из которых имеет свои преимущества. Данные методы применяются в различных науках и позволяют решать необходимые задачи, от простейших математических и экономических до сложных физических и химических задач.

Список использованной литературы:

А.Г. Галканов. Числовые уравнения и тождества в понятиях, теоремах, методах, задачах и решениях.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/275/АРИФМЕТИЧЕСКОЕ.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Система_линейных_алгебраических_уравнений.