Системы двух нелинейных уравнений первого порядка в частных производных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

 

 

Курсовая работа

«Системы двух нелинейных уравнений первого порядка в  частных производных»

 

 

 

 

 

 

Проверил:

___________________

Выполнил:

_______________

 

 

Оглавление

 

Введение 2

Глава 1. Система двух нелинейных уравнений первого порядка 3

§1. Условия разрешимости 3

§2. Построение решения 5

§3. Примеры решения нелинейных систем из двух нелинейных уравнений первого порядка 9

Глава 2. Практическое применение нелинейных систем уравнений первого порядка 13

§1. Системы вида    13

§2. Системы газодинамического типа, линеаризуемые с помощью преобразования годографа 15

§3. Другие нелинейные системы двух уравнений первого порядка 17

§4. Пояснения к главе 2 18

Глава 3. Геометрическая интерпретация уравнения первого порядка с двумя независимыми переменными. 19

§1. Случай линейного однородного уравнения 19

§2. Случай квазилинейных уравнений 21

Заключение 23

Список литературы 24

 

 

Введение

В курсовой работе будут  рассмотрены системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных  производных первого порядка. Главной  задачей является изучение методов  нахождения общего решения системы и условий его существования. Второстепенной задачей является непосредственно решение примеров и применение изученных методов. Так же необходимо привести практические постановки задач из математической физики, биологии, химии и других наук, использующих в моделировании различных процессов системы подобного рода. Так же будет рассмотрена геометрическая теория и интерпретация линейных  и квазилинейных уравнений первого порядка.

 

Глава 1. Система двух нелинейных уравнений первого порядка

§1. Условия  разрешимости

Значительный интерес  в теории и приложениях представляют системы уравнений вида

     (2.1)

где и – заданные дифференцируемые функции.

Эта система содержит одну неизвестную функцию и, вообще говоря, не имеет решения. Поэтому, прежде всего, выедем необходимые условия совместности.

ТЕОРЕМА 2.1. Если для каждой точки  области D пространства переменных существует решение , удовлетворяющее условию , имеющее непрерывные частные производные первого порядка и непрерывную производную   , то в этой области равенство

            (2.2)

должно выполняться тождественно по переменным .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  Допустим, что система имеет решение  , у которого существуют непрерывные частные производные первого порядка и непрерывная производная   . Подставляя это решение в уравнения системы (2.1), получим два тождества, из которых находятся два выражения для производной   :

              (2.3)

Заменяя производные и их значения в силу уравнений (2.1), из соотношений (2.3) находим, что необходимое условие существования решения состоит в том, что равенство (2.2) выполняется тождественно по переменным , если в него вместо  подставить решение системы уравнений (2.1). С другой стороны, равенство (2.2) можно рассматривать как уравнение относительно .

Если  – решение этого уравнения, то из приведенных выше рассуждений следует: если решение системы (2.1) существует, то оно совпадает с . Непосредственная подстановка этой функции в уравнение системы (2.1) позволяет выяснить является ли эта функция решением или нет.

Поскольку уравнение  (2.2) является алгебраическим, то оно может, вообще говоря, определять лишь частные  решения системы дифференциальных уравнений (2.1). Для нас же особый интерес представляет вопрос о существовании  и структуре общего решения системы  уравнений (2.1), а также вопрос о  существовании решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Если в области D пространства переменных система (2.1) имеет бесчисленное множество решений так, что через каждую точку проходит интегральная поверхность системы (2.1), то условие (2.2) должно выполняться в каждой точке , а следовательно, во всей области D. Теорема доказана.

§2. Построение решения

Рассмотрим теперь вопрос о построении решений системы  уравнений (2.1).

ТЕОРЕМА 2.2. Если в области D равенство (2.2) выполняется тождественно по переменным , то решение системы уравнений (2.1) сводится к интегрированию двух обыкновенных дифференциальных уравнений.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  Возьмем  первое уравнение системы (2.1), рассматривая в нем  как параметр. Тогда его можно рассматривать как обыкновение дифференциальное уравнение с параметром. Проинтегрируем его с начальным условием

    (2.4)

где – пока произвольная дифференцируемая функция. Полученное решение обозначим через

.                   (2.5)

Оно, очевидно, обладает свойством 

             (2.6)

Отсюда, дифференцируя, находим, что 

        (2.7)

Потребуем теперь, чтобы  функция (2.5) удовлетворяла второму  уравнению системы (2.1). Тогда получим

      (2.8)

По предположению существует производная  , поэтому производная так же существует и удовлетворяет уравнению в вариациях

               (2.9)

 Аналогично устанавливается,  что существует производная  , которая удовлетворяет уравнению

         (2.10)

Из этих уравнений следует  существование непрерывных производных  и . При этом функция как решение однородного уравнения (2.10) нигде не обращается в нуль. Поэтому, разрешая уравнение (2.8) относительно , получим

   (2.11)

Так как левая часть  этого соотношения зависит только от , то и его правая часть также должна обладать тем же свойством, т.е. ее производная по x должна быть равной нулю. Докажем это.

Выполняя необходимые  вычисления получаем

           (2.12)

 

Учитывая, что  является решением первого уравнения системы (2.1) (см. (2.5)), в соотношении (4.12) величину можно заменить на  . Аналогично заменяем и их значениями в соответствии с уравнениями (2.9) и (2.10). В результате правая часть соотношения (2.12) принимает вид

Выражение в скобках, стоящее  в числителе этого выражения, тождественно равно нулю по условию, т.е. правая часть равенства (2.11) не зависит от , и его можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции . Покажем, что его правая часть удовлетворяет условию Липшица. Так как она не зависит от , то в ней всюду вместо можно писать .

Если воспользоваться  соотношениями (2.6) и (2.7), то легко устанавливается  эквивалентность уравнений (2.8) и (2.11). Поэтому можно записать

  (2.13)

    (2.14)

Правая часть этого  уравнения удовлетворяет условиям существования и единственности решения, поскольку производная  существует и непрерывна. Поэтому, интегрируя его при начальном условии , получим

       (2.15)

Формулу (2.5) можно теперь переписать в виде

.    (2.16)

 Это решение по построению  удовлетворяет условию  при и . Так как рассматриваемые в ходе доказательства обыкновенные дифференциальные уравнения удовлетворяют условиям единственности решения задачи Коши, то теорема полностью доказана.

 

 

 

СЛЕДСТВИЕ 2.1. Общее решение  системы уравнений (2.1) зависит от одной произвольной постоянной.

В самом деле, в решении (2.16) можно рассматривать как произвольную постоянную, характеризующую значение при и . Следовательно, решение можно представить в виде:

(2.17)

где – произвольная постоянная. Рассматривая это соотношение как уравнение относительно , находим, что его можно разрешить относительно этой постоянной.

В самом деле, решение (2.16) обыкновенного дифференциального  уравнения (2.15) разрешимо относительно , так как меняя роли начальных координат ( ) и текущих координат ( ), будем иметь

  (2.18)

С другой стороны, решение (2.5) разрешимо относительно начального значения . Поэтому можно записать

 

Подставляя полученное значение в уравнение (2.18), находим, что

.                (2.19)

При этом выражение, стоящее  слева в этом равенстве, имеет  непрерывные производные по .

ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. В приведенном  доказательстве теоремы при интегрировании первого уравнения из системы (2.1) в качестве постоянной (относительно переменной ) интегрирования бралась функция как начальное значение  при и при любом значении . Однако общее решение этого уравнения можно находить при любом , заменяя затем эту постоянную функцией . Уравнение (2.11) не будет зависеть от переменной , если, конечно, решение системы (2.1) существует. Очевидно также, что переменные и можно поменять местами, начав решение задачи не с первого уравнения системы (2.1), а со второго.

§3. Примеры  решения нелинейных систем из двух нелинейных уравнений первого порядка

ПРИМЕР 2.1. Требуется решить систему уравнений

  (2.20)

Проверим условие совместности (2.2) этих уравнений:

 

Это условие выполняется  лишь при  и при Непосредственной подстановкой этих значений в систему уравнений (2.20) находим, что перовое значение является решением системы, а второе – нет.

ПРИМЕР 2.2. Требуется решить систему уравнений

   (2.21)

Условие совместности системы

 

выполняется тождественно.

Сначала решаем первое уравнение  системы (2.21), рассматривая в нем  как параметр. Его общее решение можно представить в виде

  (2.22)

где рассматривается пока как произвольная дифференцируемая функция. Подставляя это решение во второе уравнение системы (2.21), получаем линейное уравнение относительно

 

Его общее решение можно  представить в виде

 

где – произвольная постоянная. Подставляя найденное значение в формулу (2.22), получаем решение исходной системы уравнений в виде

 

ПРИМЕР 2.3. Требуется решить систему уравнений

    (2.23)

Проверим условие совместности (2.2) этих уравнений:

 

Выполняется тождественно.

Рассмотрим первое уравнение  системы и найдем его общее  решение:

 

 

 

        (2.24)

(2.24) – общее решение  первого уравнения системы (2.23)

Подставляя это решение  во второе уравнение системы (2.23), получаем линейное уравнение относительно

 

Интегрируя получаем общее  решение в виде:

 

Подставляя найденное  значение в формулу (2.23), получаем решение исходной системы уравнений в виде

 

ПРИМЕР 2.4. Требуется решить систему уравнений

       (2.25)

Покажем, что непрерывно дифференцируемых решений система  не имеет. Предполагая противное, на основе данных уравнений имеем:

 

 

Отсюда в силу непрерывности  смешанных производных следует  тождество:

 

Выразим

            (2.26)

Следовательно функция (2.26) должна быть решением обоих уравнений.

Но непосредственной подстановкой в систему (2.25) убеждаемся в том  что это не так

 

Следовательно система дифференциальных уравнений (2.25) не имеет решений!

ПРИМЕР 2.5. Требуется решить систему уравнений

    (2.27)

Проверим условие совместности (2.2) этих уравнений:

 

Это условие выполняется  лишь при  и при .  Непосредственной подстановкой этих значений в систему уравнений (2.27) находим, что перовое значение является решением системы, а второе – нет.

 

 

 

Глава 2. Практическое применение нелинейных систем уравнений первого порядка

В этой главе будут рассмотрены  различные нелинейные системы уравнений  первого порядка, моделирующие различные  химические, физические или биологические  процессы.

§1. Системы вида  

Подобные системы уравнений  встречаются в теории химических реакторов, в теории фильтрации и  хроматографии.

Системы данного вида инвариантны  относительно сдвигов по независимым  переменным и допускают решения  типа бегущей волны  Эти решения, а также вырожденные решения, когда одна из искомых функций равна нулю (или константе), далее не рассматриваются.

Ниже  – произвольные функции соответствующего аргумента ;  уравнения упорядочены по мере усложнения типа аргумента.

ПРИМЕР 3.1.  Дана система

 

Общее решение

 

Где – произвольные функции

 

ПРИМЕР 3.2. Дана система 

 

Здесь, - произвольные функции

Решение с обобщенным разделением  переменных:

 

Здесь функции ,   ,  определяются системой, состоящей из одного алгебраического (трансцендентного) уравнения и двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

 

 

 

ПРИМЕР 3.3. Дана система

 

Пусть

Точное решение в виде произведения функций разных аргументов:

 

где функции  и описываются автономными обыкновенными дифференциальными уравнениями

 

Интегрируя, получим

§2. Системы газодинамического типа, линеаризуемые с помощью преобразования годографа

ПРИМЕР 3.4. Дана система

 

Данная система описывает  нелинейные одномерные продольные колебания  упругого стержня, где  – градиент деформации, – скорость деформации, – напряжение. Условие выражает гиперболичность этой системы, штрих обозначает производную по .

1. Пусть   -  решение рассматриваемой системы уравнений. Тогда пара функций

 

где – произвольные постоянные, также будет решением данной системы.

2. Тривиальные решения:

 

где – произвольные постоянные.

3. Автомодельные решения, зависящие от отношения независимых переменных :

 

 

где – произвольные постоянные.

4. Точны решения в неявном виде:

 

 

где  – произвольные функции, – произвольные постоянные Эти решения описывают простые волны Римана и характеризуются функциональной зависимостью искомых величин   . В частных случаях эти формулы переходят в автомодельные решения под цифрой (3).

5. Рассматриваемая система может быть линеаризована с помощью преобразования годографа

 

где и приняты за независимые переменные, а и – за зависимые переменные.

6. Исключая из рассматриваемой системы , приходим к уравнению вида

 

ПРИМЕР 3.5. Дана система

 

Система описывает одномерные течения идеального политропного газа, где  – скорость газа, – его плотность.

§3. Другие нелинейные системы двух уравнений первого порядка

ПРИМЕР 3.6 Дана система

 

Эта система описывает  глубокую фильтрацию однокомпонентной суспензии частиц в пористой среде  с учетом изменения ее проницаемости (обусловленной захватом частиц пористой средой). Первое уравнение системы  представляет собой баланс массы  для накапливаемых частиц и суспензии, а второе уравнение описывает  кинетику накопления; – концентрация суспензии,  – концентрация накапливаемого вещества (осадка),  -  коэффициент фильтрации.

 

§4. Пояснения к главе 2

1. Химический реактор— агрегат для проведения химических реакций объёмом от нескольких миллилитров до десятков кубометров. В зависимости от условий протекания реакций и технологических требований реакторы делятся: реакторы для реакций в гомогенных системах и в гетерогенных системах; реакторы низкого, среднего и высокого давления; реакторы низкотемпературные и высокотемпературные; реакторы периодического, полунепрерывного и непрерывного действия.
2. Суспензия – или взвесь (лат. suspensio, буквально — подвешивание, от лат. suspendo — подвешиваю) — смесь веществ, где твёрдое вещество распределено в виде мельчайших частичек в жидком веществе во взвешенном неосевшем состоянии.
3. Теория фильтрации – раздел гидродинамики, посвященный исследованию движения жидкостей через пористые среды, то есть тела, пронизанные системой сообщающихся между собой пустот (пор). Пористыми являются многие природные тела: грунты, горные породы, древесина, кожа, кость, мягкие ткани животных, а также искусственные материалы: строительные (бетон, кирпич), пищевые (хлеб), искусственная кожа, керамика, металлические детали, полученные методом порошковой металлургии, и т.д.
4. Хроматография – динамический сорбционный метод разделения и анализа смесей веществ, а также изучения физико-химических свойств веществ. Основан на распределении веществ между двумя фазами — неподвижной (твердая фаза или жидкость, связанная на инертном носителе) и подвижной (газовая или жидкая фаза, элюент).

 

Глава 3. Геометрическая интерпретация уравнения первого порядка с двумя независимыми переменными.

§1. Случай линейного однородного уравнения

Простейший тип дифференциального  уравнения в частных производных  первого порядка – линейное однородное дифференциальное уравнение для  одной неизвестной функции  двух независимых переменных:

(1.1)

или

          (1.2)

Здесь для сокращения положено

 

Дифференциальное уравнение  всегда будет рассматриваться в  некоторой области ,  в которой коэффициенты и определены и непрерывны.

(От вида этой области  может существенно зависеть решение рассматриваемого дифференциального уравнения. К указанным здесь предположениям часто присоединяют еще другие, дополнительные. Для разрешимости дифференциального уравнения (1.1) одного указанного в тексте предположения о коэффициентах, вообще говоря, не достаточно)

Пятерку чисел мы будем называть плоскостным элементом (элементом прикосновения), связывая с этими числами плоскость

 

в трехмерном пространстве переменных . Точка , через которую проходит эта плоскость, называется точкой-носителем, числа называются направляющими коэффициентами плоскостного элемента. Плоскостные элементы с общей точкой-носителем () образуют, очевидно, семейство плоскостей, проходящих через одну точку () (разумеется, исключая плоскость, перпендикулярную к координатной плоскости XOY). Если – непрерывно дифференцируемая поверхность, то плоскостной элемент определяет (для допустимых значений и ) касательную плоскость к этой поверхности (см. рисунок).

(Напомним, что если поверхность  задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в некоторой точке имеет вид ,  т. е. вектор ) является нормалью к данной поверхности в рассматриваемой точке)

В силу дифференциального  уравнения (1.1) или (1.2) с каждой точкой можно связать плоскостные элементы , направляющие коэффициенты которых удовлетворяют уравнению

 

Предполагая что  (т. е. рассматривается регулярная точка) получаем пучок плоскостей (кроме плоскости, ортогональной к плоскости XOY), которые проходят через горизонтальную прямую

 

. Таким образом, в силу  дифференциального уравнения (1.1), каждой точке отвечает пучок  плоскостей.

(Эти пучки и их оси называются  соответственно пучками Монжа  и осями Монжа; точка пространства  вместе с направлением оси  Монжа, проходящей через эту  точку, называется характеристическим  линейным элементом)

Интеграл уравнения (1.1) с  геометрической точки зрения есть любая  непрерывно дифференцируемая поверхность  , которая в каждой своей точке имеет одну из плоскостей соответствующего пучка своей касательной плоскостью.

§2. Случай квазилинейных уравнений   

Квазилинейное   дифференциальное уравнение в частных производных  первого порядка для одной  неизвестной функции       независимых переменных имеет вид

       (1.3)

или, используя обозначения   и вместо вектора с компонентами ,

 (1.4)

Очевидно, оно линейно  относительно производных искомой  функции, в то время как сама эта  функция может входить нелинейным образом.

Дифференциальное уравнение (1.3) будет всегда рассматриваться  лишь в такой области   – мерного , – пространства, в которой коэффициенты   и непрерывны.

Достаточно наглядная  геометрическая интерпретация возможна лишь для  . Если в этом случае записать дифференциальное уравнение типа (1.3) в виде

 

то каждой точке  пространства будет, в силу этого уравнения, соответствовать плоскостной элемент , направляющие коэффициенты которого удовлетворяют уравнению

 

Это уравнение определяет множество плоскостей, проходящих через  прямую

 

, за исключением плоскости,  ортогональной к плоскости . В силу дифференциального уравнения, таким образом, каждой точке будет соответствовать пучок плоскостей, но общая прямая этих плоскостей теперь уже, вообще говоря, не параллельна плоскости .

 

Заключение

В ходе курсовой работы мной были рассмотрены системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных  производных первого порядка, а  также алгоритм их решений. Были разобраны  примеры решений, охватывающие разные случаи: когда необходимое условие  совместности выполняется тождественно, когда корни системы находятся  непосредственно из условия совместности системы и третий случай – когда  система не имеет решений. Так  же было приведено практическое применение систем уравнений в задачах математической физики, в моделировании процессов  фильтрации, массопереноса, биологических  процессов, химических реакторов и  др. Так же полностью раскрыт геометрический смысл линейных и квазилинейных  уравнений первого порядка в  частных производных.  

Список литературы

1. Степанов В. В. – Курс дифференциальных уравнений
2. Камке Э. – Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка
3. Егоров Ю.В. – Лекции по уравнениям с частными производными
4. Трикоми Ф. –Лекции по уравнениям в частных производных
5. Вязьмина Е.А., Бедриковецкий П. Г., Полянин А. Д. - Новые классы точных решений нелинейных систем уравнений теории фильтрации и конвективного массопереноса
6. Полянин А. Д. Зайцев В.Ф. – Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2^nd Edition