Ирина Эланс
Системы эконометрических уравнений. 2
ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«МИНСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ»
Кафедра информационных технологий и высшей математики
КОНТРОЛИРУЕМАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Эконометрика и ЭММ»
на тему: «Системы эконометрических уравнений»
Студентка группы120501-с Молочко Анастасия
Руководитель: доц. кафедры ИТи ВМ
к.ф.-м.н. ___________A.Н.Лаврёнов
Минск — 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. ЕЕ изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков А.И. Орлов, Эконометрика, Учебник. М.: Издательство "Экзамен", 2002..
Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений.
Эконометрические методы применяются для построения крупных эконометрических систем моделей, описывающих экономику той или иной страны и включающих в качестве составных элементов производственную функцию, инвестиционную функцию, а также уравнения, характеризующие движение занятости, доходов, цен и процентных ставок и другие блоки.
В последние десятилетия методы эконометрики сыграли решающую роль в освоении и развитии автоматизации экономических расчетов разного уровня и назначения.
Определенный вклад в развитие системы эконометрических уравнений внесли советские экономисты, в их числе Е.Е. Слуцкий (1880-1948), Л.В. Канторович (1912-86) - лауреат Нобелевской премии по экономике 1975, и др., несмотря на ее замалчивание и трактовку как буржуазной, антимарксистской лженауки. Большая роль в ее реабилитации принадлежала академику B.C. Немчинову (1894-1964): написанная им статья «Эконометрия» (вышла в 1965) открыла для отечеств, экономистов возможности этого направления научной деятельности.
Цель курсовой работы - рассмотреть системы эконометрических уравнений, их применение в эконометрике.
Предмет работы - эконометрика как набор математическо-статистических методов.
Объект работы - системы эконометрических уравнений.
В связи с поставленной целью, мной были выделены задачи данной курсовой работы:
· Понятие системы эконометрических уравнений;
· Сущность проблемы идентифицируемости;
· Особенности системы линейных одновременных эконометрических уравнений;
· Методы наименьших квадратов;
· Применение эконометрических уравнений.
1СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ЭКОНОМЕТРИКЕ.
Любая экономическая система – это сложная система с множеством входов, выходов и сложной структурой взаимосвязей показателей, характеризующих деятельность этой системы. Поэтому для описания механизма функционирования таких систем обычно изолированных уравнений регрессии недостаточно.
Практически изменение какого-либо показателя в экономической системе, как правило, вызывает изменение целого ряда других. Так изменение производительности труда влияет на затраты труда, а, следовательно на себестоимость, прибыль, рентабельность производства и пр.
Все это вызывает потребность использования при описании сложных экономических явлений и процессов систем взаимосвязанных регрессионных уравнений и тождеств. Особенно актуальна необходимость в применении таких систем при моделировании на макроуровне, так как макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Например, при построении модели национальной экономики необходимо рассмотреть уравнения, описывающие потребление, инвестиции, прирост капиталовложений, воспроизводство трудовых ресурсов, производство продукта и пр.
Переменные, входящие в систему уравнений подразделяют на экзогенные, эндогенные и лаговые (эндогенные переменные, влияние которых характеризуется некоторым запаздыванием, временным лагом ).
Экзогенные и лаговые переменные называют предопределенными, т. е. определенными заранее.
Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от принятой теоретической концепции модели. Экономические показатели могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия, социальное положение, пол, возраст) входят в систему только как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).
Рассмотрим типы систем эконометрических уравнений.
1.1. Независимые системы.
В данном случае каждая зависимая переменная рассматривается как функция некоторого набора факторов .
. (1.1)
Набор факторов в уравнениях (1) может варьировать. Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно, а его параметры могут быть найдены на основе традиционного метода наименьших квадратов (МНК).
1.2.Рекурсивные системы.
В таких системах в одном из уравнений содержится единственная зависимая переменная , которая в следующем уравнении присутствует в качестве факторной переменной. В третье уравнение эти эндогенные переменные из предыдущих уравнений могут быть включены как факторные и т. д.
(1.2)
В данной системе каждое последующее уравнение наряду с факторными переменными включает в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений. Каждое уравнение этой системы может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов (МНК).
2.Системы одновременных (совместных) уравнений.
Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые (эндогенные) переменные в одних уравнениях входят в левую часть (т. е. выступают в роли результативных признаков), а в других уравнениях – в правую часть системы (т. е. выступают в качестве факторных переменных). Система взаимозависимых уравнений получила название системы совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений также называется структурной формой модели (СФМ).Система одновременных уравнений в структурной форме и при отсутствии лаговых переменных может быть записана:
(2.1)
Кроме регрессионных уравнений (они называются также поведенческими уравнениями) модель может содержать тождества, которые представляют собой алгебраические соотношения между эндогенными переменными. Тождества позволяют исключать некоторые эндогенные переменные и рассматривать систему регрессионных уравнений меньшей размерности Параметры модели в структурной форме называют ее структурными коэффициентами
Система одновременных уравнений в структурной форме позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.
В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим, т. к. нарушаются предпосылки, лежащие в основе МНК (например, предпосылка о некоррелированности факторных переменных с остатками). Эндогенные переменные являются случайными величинами, зависящими от . В том случае, когда эндогенная переменная входит в некоторое уравнение как факторная происходит нарушение названной предпосылки МНК. Таким образом, для нахождения структурных коэффициентов традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.
2.1.Структурная и приведенная форма модели.
Для определения структурных коэффициентов на основе структурной модели формируют приведенную форму модели.
Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:
(2.2)
где – коэффициенты приведенной формы модели, – случайные остатки для приведенной формы.
По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.
Можно показать, что коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим структурную модель с двумя эндогенными переменными.
. (2.3)
Запишем соответствующую приведенную форму модели:
. (2.4)
Выразим коэффициенты приведенной формы модели через коэффициенты структурной модели.
Из первого уравнения (1.5) можно выразить (ради упрощения опускаем случайную величину): .
Подставим во второе уравнение (1.5):
(2.5)
Выразим из (2.6) : .
Поступая аналогично со вторым уравнением системы (2.5), получим
, т. е. система (2.5) принимает вид:
Таким образом, коэффициенты приведенной формы модели выражаются через коэффициенты структурной формы следующим образом:
Следует заметить, что приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенных переменных через значения экзогенных, но аналитически она уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют взаимосвязи между эндогенными переменными.
3. Проблема идентифицируемости модели.
При правильной спецификации модели задача идентификация системы уравнений сводится к корректной и однозначной оценке ее коэффициентов. Непосредственная оценка коэффициентов уравнения возможна лишь в системах внешне не связанных уравнений, для которых выполняются основные предпосылки построения регрессионной модели, в частности, условие некоррелированности факторных переменных с остатками.
В рекурсивных системах всегда возможно избавление от проблемы коррелированности остатков с факторными переменными путем подстановки в качестве значений факторных переменных не фактических, а модельных значений эндогенных переменных, выступающих в качестве факторных переменных. Процесс идентификации осуществляется следующим образом:
1. Идентифицируется уравнение,
в котором в качестве
2. Рассматривается следующее
уравнение, в котором в качестве
факторной включена эндогенная
переменная, найденная на предыдущем
шаге. Модельные (расчетные) значения
этой эндогенной переменной
В системе уравнений в приведенной форме проблема коррелированности факторных переменных с отклонениями не возникает, так как в каждом уравнении в качестве факторных переменных используются лишь предопределенные переменные. Таким образом, при выполнении других предпосылок рекурсивная система всегда идентифицируема.
При рассмотрении системы одновременных уравнений возникает проблема идентификации.
Идентификация в данном случае означает определение возможности однозначного пересчета коэффициентов системы в приведенной форме в структурные коэффициенты.
Структурная модель (1.3) в полном виде содержит параметров, которые необходимо определить. Приведенная форма модели в полном виде содержит параметров. Следовательно, для определения неизвестных параметров структурной модели можно составить уравнений. Такие системы являются неопределенными и параметры структурной модели в общем случае не могут быть однозначно определены.
Чтобы получить единственно возможное решение необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой их взаимосвязи с эндогенной переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другими путями: например, путем приравнивания некоторых коэффициентов друг к другу, т. е. путем предположений, что их воздействие на формируемую эндогенную переменную одинаково и пр.
С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:
· идентифицируемые;
· неидентифицируемые;
· сверхидентифицируемые.
Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.
Модель неидентифицируема, если число коэффициентов приведенной модели меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.
Модель сверхидентифицируема, если число коэффициентов приведенной модели больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов нахождения параметров.
Чтобы определить тип структурной модели необходимо каждое ее уравнение проверить на идентифицируемость.
Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель кроме идентифицируемых содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.
3.1. Необходимое достаточное условие идентифицируемости модели.
Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.
Введем следующие обозначения:
М – число предопределенных переменных в модели;
m- число предопределенных переменных в данном уравнении;
- число эндогенных переменных в модели;
- число эндогенных переменных в данном уравнении;
Обозначим число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через , .
Тогда условие идентифицируемости каждого уравнения модели может быть записано в виде следующего счетного правила:
|
уравнение идентифицируемо |
|
уравнение неидентифицируемо |
|
уравнение сверхидентифицируемо |
Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.
Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации.
Достаточное условие идентификации
Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.
Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но не достаточное условие идентификации.
В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны . В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию структурных уравнений системы тождества участвуют..
Пример .
Изучается модель (одна из версий модели Кейнса):
(3.1)
где – потребление в период ; – ВВП в период ; - ВВП в период ( ); – валовые инвестиции в период ; – государственные расходы в период .
Первое уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция инвестиций, третье уравнение –тождество ВВП. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.
Модель включает три эндогенные переменные и две предопределенные переменные (одна экзогенная переменная – и одна лаговая переменная – ).
Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.
N |
Уравнение |
|
счетное правило |
||
1 |
|
2 |
1 |
|
идентифицируемо |
2 |
|
2 |
2 |
|
сверхидентифицируемо |
3 |
|
тождество, не подлежит проверке |
Например, первое уравнение содержит две эндогенные переменные и и одну предопределенную переменную .
Таким образом, ; D=2-1=1. Условие условие выполняется, т. е. уравнение идентифицируемо. Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.
|
|
|
|
| |
I уравнение |
-1 |
b11 |
b12 |
0 |
0 |
II уравнение |
0 |
b21 |
0 |
-1 |
0 |
Тождество |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.
Первое уравнение: матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид: . Ее определитель не равен нулю, поэтому ранг матрицы равен 2, т. е равняется числу эндогенных переменных без одного. Достаточное условие идентификации выполняется.
Второе уравнение: матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид: . Ранг данной матрицы равен 2, так как существут определитель второго порядка не равный нулю: . Следовательно, достаточное условие идентификации для данного уравнения также выполняется Но в соответствии с необходимым условием считаем это уравнение сверхидентифицируемым.
Таким образом, эта система уравнений является сверхидентифицируемой.
3.2. Методы оценки параметров структурной формы модели.
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:
1) косвенный метод наименьших квадратов;
2) двухшаговый метод наименьших квадратов;
3) трехшаговый метод наименьших квадратов;
4) метод максимального правдоподобия с полной информацией;
5) метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.
Рассмотрим сущность некоторых из этих методов.
3.3.Косвенный метод наименьших квадратов(КМНК).
Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов:
1. Для структурной модели строится приведенная форма модели.
2. Для каждого уравнения приведенной формы традиционным МНК оцениваются приведенные коэффициенты .
3. На основе коэффициентов приведенной формы находятся путем алгебраических преобразований параметры структурной модели.
3.4Двухшаговый
метод наименьших квадратов(
Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод (ДМНК).
Основная идея ДМНК состоит в следующем:
· на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения расчетные значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части этого уравнения;
· подставляя найденные расчетные значения эндогенных переменных вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.
Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК:
· на первом шаге при определении параметров приведенной формы модели и нахождении на их основе оценок расчетных значений эндогенных переменных ; ;
· на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению, когда вместо фактических значений эндогенных переменных рассматриваются их расчетные значения, найденные на предыдущем шаге.
Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:
· все уравнения системы сверхидентифицируемы;
· система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.
Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним можно найти на основе косвенного МНК. Двухшаговый метод, примененный к точно идентифицированным уравнениям дает такой же результат, что и косвенный МНК.
3.5.Практика применения
систем одновременных
Продолжим рассмотрение примера 15.
Система является сверхидентифицируемой: первое уравнение идентифицируемо, а второе уравнение сверхидентифицируемо. Поэтому для определения коэффициентов первого уравнения можно применить косвенный МНК, а для второго уравнении двухшаговый МНК.
Построим приведенную форму модели:
(3.2)
Исходные данные задачи (в млрд. руб.)
годы |
|
|
|
|
|
Предсказанное |
1999 |
4823.23 |
2281.18 |
670.44 |
674 |
2629.62 |
4182,05 |
2000 |
7305.65 |
3009.42 |
1165.23 |
1014.2 |
4823.23 |
6731,57 |
2001 |
8943.58 |
3972.81 |
1504.71 |
1193.5 |
7305.65 |
9496,45 |
2002 |
10830.54 |
5001.77 |
1762.41 |
1947.3 |
8943.58 |
11692,48 |
2003 |
13243.24 |
6147.26 |
2186.37 |
2345.6 |
10830.54 |
13947,4 |
2004 |
17048.12 |
7670.68 |
2865.01 |
2659.4 |
13243.24 |
16716,24 |
2005 |
21625.37 |
9613.84 |
3611.11 |
3472.1 |
17048.12 |
21268,68 |
2006 |
26903.49 |
11927.59 |
4730.02 |
4284.8 |
21625.37 |
26648,73 |
2007 |
33258.14 |
14831.38 |
6716.22 |
5983 |
26903.49 |
33297,77 |