Системы эконометрических уравнений

Содержание

Введение

Глава 1. Основные понятия  эконометрики

1.1 Особенности эконометрического  метода

1.2 Понятие эконометрических  уравнений

1.3 Применение систем  эконометрических уравнений

Глава 2. Системы  эконометрических уравнений

2.1 Система независимых  уравнений

2.2 Пример модели  авторегрессии

2.3 Проблема идентифицируемости

2.4 Система линейных  одновременных эконометрических  уравнений

2.5 Методы наименьших  квадратов

Заключение

Список литературы

Введение

Объектом статистического  изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты  связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии  недостаточны для описания таких  систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании  отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это  предположение является очень грубым: практически изменение одной  переменной, как правило, не может  происходить при абсолютной неизменности других. ЕЕ изменение повлечет за собой  изменения во всей системе взаимосвязанных  признаков1.

Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной  регрессии не может характеризовать  истинные влияния отдельных признаков  на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических социологических исследованиях  важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными  системой так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений.

Эконометрические  методы применяются для построения крупных эконометрических систем моделей, описывающих экономику той или  иной страны и включающих в качестве составных элементов производственную функцию, инвестиционную функцию, а  также уравнения, характеризующие  движение занятости, доходов, цен и  процентных ставок и другие блоки.

В последние десятилетия  методы эконометрики сыграли решающую роль в освоении и развитии автоматизации  экономических расчетов разного  уровня и назначения.

Определенный вклад  в развитие системы эконометрических уравнений внесли советские экономисты, в их числе Е.Е. Слуцкий (1880-1948), Л.В. Канторович (1912-86) - лауреат Нобелевской  премии по экономике 1975, и др., несмотря на ее замалчивание и трактовку как  буржуазной, антимарксистской лженауки. Большая роль в ее реабилитации принадлежала академику B.C. Немчинову (1894-1964): написанная им статья «Эконометрия» (вышла в 1965) открыла для отечеств, экономистов  возможности этого направления  научной деятельности.

Цель курсовой работы – рассмотреть системы эконометрических уравнений, их применение в эконометрике.

Предмет работы –  эконометрика как набор математическо-статистических методов.

Объект работы –  системы эконометрических уравнений.

В связи с поставленной целью, мной были выделены задачи данной курсовой работы:

Понятие системы  эконометрических уравнений;

Сущность проблемы идентифицируемости;

Особенности системы  линейных одновременных эконометрических уравнений;

Методы наименьших квадратов;

Применение эконометрических уравнений.

Глава 1. Основные понятия эконометрики

1.1 Особенности  эконометрического метода

Эконометрическая  модель — основное понятие эконометрии, экономико-математическая модель, параметры  которой оцениваются с помощью  методов математической статистики. Она выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов как  на макро-, так и на микроэкономическом уровне на основе реальной статистической информации.

Наиболее распространены эконометрические модели, представляющие собой системы регрессионных  уравнений, в которых отражается зависимость эндогенных величин (искомых) от внешних воздействий (текущих  экзогенных величин) в условиях, описываемых  параметрами модели, а также лаговыми переменными. Кроме регрессионных (как  линейных, так и нелинейных) уравнений, применяются и другие математико-статистические модели.

Эконометрическая  модель может быть представлена в  двух формах: структурной и приведенной. В наиболее общем виде любую эконометрическую модель, построенную в виде системы  линейных уравнений.

Эконометрический  метод включает решение следующих  проблем2:

качественный анализ связей экономических переменных - выделение зависимых и независимых  переменных;

подбор данных;

оценка параметров модели;

проверка ряда гипотез  о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты (гипотезы о средней, дисперсии и ковариации);

анализ мультиколлинеарности объясняющих переменных, оценка ее статистической значимости, выявление переменных, ответственных за мультиколлинеарность;

введение фиктивных  переменных;

выявление автокорреляции, лагов;

выявление тренда, циклической и случайной компонент;

проверка остатков на гетероскедастичность;

анализ структуры  связей и построение системы одновременных  уравнений;

проверка условия  идентификации;

оценивание параметров системы одновременных уравнений (двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия);

моделирование на основе системы временных рядов: проблемы стационарности и коинтеграции;

построение рекурсивных  моделей, ARIMA- и VAR- моделей;

• проблемы идентификации  и оценивания параметров.

Эконометрическая  модель, как правило, основана на теоретическом  предположении о круге взаимосвязанных  переменных и характере связи  между ними. При всем стремлении к «наилучшему» описанию связей приоритет  отдается качественному анализу.

Поэтому в качестве этапов эконометрического исследования можно указать3:

постановку проблемы;

получение данных, анализ их качества;

спецификацию модели;

оценку параметров;

интерпретацию результатов.

Этот список менее  подробен, чем предыдущий, и включает те стадии, которые проходит любое  исследование, независимо от того, на использование  каких данных оно ориентировано: пространственных или временных.

1.2 Понятие  эконометрических уравнений

Например, если изучается  модель спроса как соотношение цен  и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования  спроса необходима модель предложения  товаров, в которой рассматривается  также взаимосвязь между количеством  и ценой предлагаемых благ. Это  позволяет достичь равновесия между  спросом и предложением.

В еще большей  степени возрастает потребность  в использовании системы взаимосвязанных  уравнений, если мы переходим от исследований на микроуровне к макроэкономическим расчетам. Модель национальной экономики  включает в себя следующую систему  уравнений: функции потребления, инвестиций заработной платы, тождество доходов  и т.д. Это связано с тем, что  макроэкономические показатели, являясь  обобщающими показателями состояния  экономики, чаще всего взаимозависимы.

Так, расходы на конечное потребление в экономике  зависят от валового национального  дохода. Вместе с тем величина валового национального дохода рассматривается  как функция инвестиций.

Система уравнений  в эконометрических исследованиях  может быть построена по-разному4.

Возможна система  независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная y рассматривается  как функция одного и того же набора факторов x: y1 = a11x1 + a12x2 +…+a1mxm+ e1, y2 = a21x1 + a22x2 +…+a2mxm+ e2 yn = an1x1 + an2x2 +…+anm xm+ en.

Набор факторов x1 в  каждом уравнении может варьировать. Например, модель вида y1 = f (x1,x2, x3, x4, x5,);y2 = f (x1, x3, x4, x5,);y3 = f (x2, x3, x5,);y4 = f (x3, x4, x5,).

Также является системой независимых уравнений с тем  лишь отличием, что набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравнении  системы может быть следствием как  экономической нецелесообразности его включения в модель, так  и несущественности его воздействия  на результативный признак (незначимо  значение t-критерия или F - критерия для  данного фактора).

Каждое уравнение  системы независимых уравнений  может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов по существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда  нет уверенности, что факторы  полностью объясняют зависимые  переменные, в уравнениях присутствует свободный член a0. Так как фактические  значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки.

В итоге система  независимых уравнений при трех зависимых переменных и четырех  факторах имеет вид: y1 = a01 + a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 + e1,y2 = a02 + a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 + e2,y3 = a03 + a31x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 + e3.

Однако если зависимая  переменная у одного уравнения выступает  в виде фактора х в другом уравнении, то исследователь может строить  модель в виде системы рекурсивных  уравнений5: y1 = a11x1 + a12 x2 + … + a1m xm + e1,y2 = b21y1 + a21x1 + a22 x2 + … + a2m xm + e2,y3 = b31y1 + b32y2 + a31x1 + a32 x2 + … + a3m xm + e3, yn = bn1y1 + bn2y2 + bnn-1yn-1 + an1x1 + an2 x2 + … + anm xm + en.

В данной системе  зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором собственно факторов х. Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида

y1 = a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + e1,y2 = b21y1 + a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + e2

где у1 - производительность труда;

у2 - фондоотдача;

х1 - фондовооружонность труда;

х2 - энерговооружонность труда;

х3 - квалификация рабочих.

Как и в предыдущей системе, каждое уравнение может  рассматриваться самостоятельно, и  его параметры определяются методом  наименьших квадратов.

Наибольшее распространение  в эконометрических исследованиях  получила система взаимозависимых  уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях - в правую часть системы: y1 = b12* y2 + b13* y3 +… + b1n * yn + a11 * x1 + a12 * x2 +…+ a1m xm + e1,y2 = b21* y1 + b23* y3 +… + b2n * yn + a21 * x1 + a22 * x2 +…+ a2m xm + e2, yn = bn1* y1 + bn2* y2 +… + bnn-1 * yn-1 + an1 * x1 + an2 * x2 +…+ anm xm + en.

Система взаимозависимых  уравнений получила название система  совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что  в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Примером системы  одновременных уравнений может  служить модель динамики цены и заработной платы вида y1 = b12y2 + a11x1 + e1, y2 = b21y1 + a22x2 + a23 x3 + e2,

где у1 - темп изменения  месячной заработной платы ;у2 - темп изменения цен;х1 - процент безработных;х2 - темп изменения постоянного капитала;х3 - темп изменения цен на импорт сырья.

В рассмотренных  классах систем эконометрических уравнений  структура матрицы коэффициентов  при зависимых переменных различна.

Представим систему  эконометрических уравнений в матричном  виде:

BY + ГX = E,

где В - матрица коэффициентов при зависимых переменных;

Y - вектор зависимых  переменных;

Г - матрица параметров при объясняющих переменных;

Х - вектор объясняющих  переменных;

Е - вектор ошибок.

Если матрица В диагональная, то рассматриваемая модель является системой независимых уравнений. Так, при трех зависимых и трех объясняющих переменных модель имеет вид: y1 = a01 + a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + Е1,y2 = a02 + a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + Е2,y3 = a03 + a31x1 + a32 x2 + a33 x3 + Е3.

Если матрица В треугольная (или может быть приведена к такому виду), то модель представляет собой систему рекурсивных уравнений. Так, если модель имеет вид: y1 = a01 + a11x1 + a12 x2 + Е1,y2 = a02 + b21y1 + a21 x1 + a23 x2 + Е2,y3 = a03 + b32y2 + a31 x1 + a32 x2 + Е2.

Т.е. зависимая переменная у1 первого уравнения участвует как объясняющая переменная во втором уравнении системы, а зависимая переменная у2 второго уравнения рассматривается как объясняющая переменная в третьем уравнении.

Если матрица В не является ни диагональной, ни треугольной, то модель представляет собой систему одновременных уравнений. Так, для модели вида y1 = a01 + b12y2 + a11x1 + a12 x2 +Е1,y2 = a02 + b21y1 + b23y3 + a23x3+ Е2,y3 = a03 + b31y1 + a32x2 + a33x3+Е3.

1.3 Применение  систем эконометрических уравнений                Применение систем эконометрических уравнений представляет собой непростую задачу.

Проблемы здесь  происходят из-за ошибок спецификации. Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа. Более совершенными по сравнению со статическими моделями являются динамические модели экономики, которые содержат в правой части лаговые переменные и учитывают тенденцию развития (фактор времени). Значительные трудности создает невыполнение условия независимости факторов, которое в корне нарушается в системах одновременных (взаимозависимых) уравнений6.

Использование корреляционно-регрессионного анализа в контексте структурного моделирования — это попытка  подойти к выделению и измерению  причинных связей переменных. Для  этого следует сформулировать гипотезы о структуре влияний и корреляции. Такая система причинных гипотез  и соответствующих взаимосвязей изображается графом, вершины которого — это переменные (причины или  следствия), а дуги — причинные  отношения. Верификация гипотез  требует установления соответствия между графом и системой уравнений, описывающей этот граф.

Структурные модели эконометрики представляются системой линейных по отношению к наблюдаемым  переменным уравнений. Если алгебраическая система соответствует графу  без контуров (петель), то она является рекурсивной системой. Такая система  позволяет рекуррентно определять значения входящих в нее переменных. В ней в уравнения для признака включаются все переменные, кроме  тех, которые расположены выше него по графу. Соответственно формулировка гипотез в структуре рекуррентной модели довольно проста, при условии  использования данных динамики. Рекурсивная  система уравнений позволяет  определить полные и частные коэффициенты влияния факторов. Коэффициенты полного  влияния измеряют значение каждой переменной в структуре. Структурные модели позволяют оценить полное и непосредственное влияние переменных, прогнозировать поведение системы, рассчитывать значения эндогенных переменных.

Если нужно всего  лишь уточнить характер связей переменных, то используют метод путевого анализа (путевых коэффициентов). В основе его лежит гипотеза об аддитивном характере (аддитивность и линейность) связей между переменными. К сожалению, применение путевого анализа в социально-экономических исследованиях затруднено тем, что не всегда линейная зависимость удовлетворительно выражает все разнообразие причинно-следственных связей в реальных системах. Значимость результатов анализа определяется правильностью построения максимально связного графа и, соответственно, изоморфной математической модели в виде системы уравнений. В то же время важным достоинством путевого анализа является возможность производить декомпозицию корреляций.

В данной главе мы рассмотрели сущность систем эконометрических уравнений, их применение. Таким образом, понятие одновременных эконометрических уравнений и методы их решения  были впервые предложены норвежским экономистом Т. Хавельмо, лауреатом Нобелевской премии по экономике.

В зависимости от характера ограничений и статистической структуры переменных эконометрические модели классифицируются на линейные модели с одной, двумя и большим  числом переменных, а также на пробит-модели, логит-модели, тобит-модели и др.

Применение систем эконометрических уравнений представляет собой непростую задачу.

Основной областью применения эконометрических моделей  является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа.

Глава 2. Системы эконометрических уравнений

2.1 Система  независимых уравнений

Объектом статистического  изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты  связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии  недостаточно для описания таких  систем и объяснения механизма функционирования. При использовании отдельных  уравнений регрессии, в большинстве  случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение  является очень грубым: практически  изменение одной переменной, как  правило, не может происходить при  абсолютной неизменности других. Ее изменение  повлечет за собой изменение во всей системе взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое уравнение  множественной регрессии не может  характеризовать истинные влияния  отдельных признаков на вариацию результирующей переменной.

Система независимых  уравнений – система, в которой  каждая зависимая переменная y рассматривается  как функция одного и того же набора факторов x то есть система вида7: Y1=a11x1 + a12x2 +…+ a1mxm +ε1;

Y2=a21x1 + a22x2 +…+ a2mxm +ε2; Yn=an1x1 + an2x2 +…+ anmxm +εn.

Система рекурсивных  уравнений – система, в которой  зависимая переменная одного уравнения  выступает в виде фактора x в другом уравнении, то есть система вида: Y1=a11x1 + a12x2 +…+ a1mxm +ε1; Y2= b21y1 +a21x1 + a22x2 +…+ a2mxm +ε2 ; Y3= b31y1 + b32y2+a31x1 + a32x2 +…+ a3mxm +ε2 ; Yn= bn1y1 + bn2y2 +…+ bnn-1yn-1 + an1x1 + an2x2 +…+ anmxm +εn.

Система взаимозависимых  уравнений (система совместных одновременных  уравнений) – система в которой  одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую  часть, а в других уравнениях –  в правую, то есть система вида: Y1= b12y2 + b13y3 +…+ b1nyn + a11x1 + a12x2 +…+ a1mxm +ε1; Y2= b21y1 +b23y3 +…+ b2nyn + a21x1 + a22x2 +…+ a2mxm +ε2 ; Yn= bn1y1 + bn2y2 +…+ bnn-1yn-1 + an1x1 + an2x2 +…+ anmxm +εn.

Приведенная форма  модели – система линейных функций  эндогенных переменных от экзогенных: 
Y1=δ11x1 +δ12x2 +…+ δ1mxm;

Y2=δ21x1 +δ 22x2 +…+  δ2mxm;

Yn=δn1x1 + δn2x2 +…+ δnmxm,

где δij – коэффициенты приведенной формы модели.

2.2 Пример  модели авторегрессии

В качестве первоначального  примера рассмотрим эконометрическую модель временного ряда, описывающего рост индекса потребительских цен (индекса инфляции)8.

Пусть I(t) - рост цен  в месяц t. Тогда, по мнению некоторых  экономистов естественно предположить, что

I(t) = сI(t- 1) + a + b S (t - 4) + e, (1)

где I(t- 1) - рост цен  в предыдущий месяц

с - некоторый коэффициент  затухания, предполагающий, что при  отсутствии внешний воздействий  рост цен прекратится),

a - константа (она  соответствует линейному изменению  величины I(t) со временем),

b S (t - 4) - слагаемое,  соответствующее влиянию эмиссии  денег (т.е. увеличения объема  денег в экономике страны, осуществленному  Центральным Банком) в размере S (t - 4) и пропорциональное эмиссии с коэффициентом b, причем это влияние проявляется не сразу, а через 4 месяца; наконец, e - это неизбежная погрешность.

Модель (1), несмотря на свою простоту, демонстрирует многие характерные черты гораздо более  сложных эконометрических моделей. Во-первых, обратим внимание на то, что  некоторые переменные определяются (рассчитываются) внутри модели, как I(t). Их называют эндогенными (внутренними). Другие задаются извне (это экзогенные переменные). Иногда, как в теории управления, среди экзогенных переменных, выделяют управляемые переменные - те, с помощью которых менеджер может привести систему в нужное ему состояние9.

Во-вторых, в соотношении (1) появляются переменные новых типов - с лагами, т.е. аргументы в переменных относятся не к текущему моменту  времени, а к некоторым прошлым  моментам.

В-третьих, составление  эконометрической модели типа (1) - это  отнюдь не рутинная операция. Например, запаздывание именно на 4 месяца в связанном  с эмиссией денег слагаемом b S (t - 4) - это результат достаточно изощренной предварительной статистической обработки. Далее, требует изучения вопрос зависимости  или независимости величин S (t - 4) и I(t). От решения этого вопроса  зависит, как выше уже отмечалось, конкретная реализация процедуры метода наименьших квадратов.

С другой стороны, в  модели (1) всего 3 неизвестных параметра, и постановку метода наименьших квадратов  выписать нетрудно:

2.3 Проблема  идентифицируемости

Идентификация –  это единственность соответствия между  приведенной и структурной формами  модели.

При переходе от приведенной  формы модели к структурной исследователь  сталкивается с проблемой идентификации. Индетификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентификацируемости структурные модели можно подразделить на три вида10:

идентифицируемые;

неидентифицируемые;

сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной  модели, т.е. если число параметров структурной  модели равно числу параметров приведенной  формы модели.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов  меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов.

Структурная модель всегда представляет собой систему  совместных уравнений, каждое из которых  требуется проверить на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо.

Чтобы уравнение  было идентифицируемо, необходимо, чтобы  число экзогенных переменных (D), отсутствующих  в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении (H) без  одного.

D+1=H – уравнение  идентифицируемо;

D+1<H – уравнение  неидентифицируемо;

D+1>H – уравнение  сверхидентифицируемо.

Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем экзогенным и эндогенным переменным можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем  число эндогенных переменных в системе  без одного.

2.4 Система  линейных одновременных эконометрических  уравнений

В литературе подобные системы часто называют системами  одновременных уравнений, имея в  виду, что здесь зависимая переменная одного уравнения может появляться одновременно в виде переменной (но уже в качестве независимой) в  одном или нескольких других уравнениях. В таком случае теряет смысл традиционное различение зависимых и независимых  переменных. Вместо этого устанавливается  различие между двумя видами переменных.

Это, во-первых, совместно  зависимые переменные (эндогенные), влияние которых друг на друга  должно быть исследовано (матрица A в  слагаемом Ay(t) приведенной выше системы уравнений).

Во-вторых, предопределенные переменные, которые, как предполагается, оказывают влияние на первые, однако не испытывают их воздействия; это переменные с запаздыванием, т. е. лаговые (второе слагаемое) и определенные вне данной системы уравнений экзогенные переменные.

Экзогенными, напр., всегда оказываются показатели климатических  условий, если они включаются в модель. В то же время многие экономические  переменные в зависимости от задач  и структуры модели могут относиться и к эндогенным, и к экзогенным.

Понятие одновременных  эконометрических уравнений и методы их решения были впервые предложены норвежским экономистом Т. Хавельмо, лауреатом Нобелевской премии по экономике.

В зависимости от характера ограничений и статистической структуры переменных эконометрические модели классифицируются на линейные модели с одной, двумя и большим  числом переменных, а также на пробит-модели, логит-модели, тобит-модели и др.

Чисто формально  можно все переменные выразить через  переменные, зависящие только от текущего момента времени. Например, в случае уравнения (1) достаточно положить

H(t) = I(t- 1), G(t) = S (t - 4).

Тогда уравнение  примет вид11:

I(t) = сH(t) + a + b G(t) + e. (2)

Отметим здесь же возможность использования регрессионных  моделей с переменной структурой путем введения фиктивных переменных. Эти переменные при одних значениях  времени (скажем, начальных) принимают  заметные значения, а при других - сходят на нет (становятся фактически равными 0). В результате формально (математически) одна и та же модель описывает совсем разные зависимости.

2.5 Методы  наименьших квадратов

Как уже отмечалось, разработана масса методов эвристического анализа систем эконометрических уравнений. Они предназначены для решения  тех или иных проблем, возникающих  при попытках найти численные  решения систем уравнений.

Одна из проблем  связана с наличием априорных  ограничений на оцениваемые параметры. Например, доход домохозяйства может  быть потрачен либо на потребление, либо на сбережение. Значит, сумма долей  этих двух видов трат априори равна 1. А в системе эконометрических уравнений эти доли могут участвовать  независимо. Возникает мысль оценить  их методом наименьших квадратов, не обращая внимания на априорное ограничение, а потом подкорректировать. Такой  подход называют косвенным методом  наименьших квадратов.