Системы координат и преобразования между ними

 

Сибирская Государственная  Геодезическая Академия

 

 

 

 

Кафедра высшей геодезии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

На тему: Системы координат  и преобразования между ними.

 

 

 

 

 

 

 

   Выполнил:                                                                                        Проверил:

    Ст. гр. ПГ-31                                                                                      Афонин К. Ф. 

   Шевченко Г.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Новосибирск 2012

 

 

Цель работы: Изучить способы преобразования координат в различных системах: референцной и общеземной; геодезической, прямоугольной плоской и пространственной.

 

Исходные  данные:

1) Задание на выполнение  курсовой работы.

2) Прямоугольные пространственные  координаты точки в системе  координат         ПЗ-90.02.

Вариант №66

X₁=27842.679

Y₁=3344066.463

Z₁=5414150.223

h₁=-22.784

3) Параметры эллипсоидов  Красовского и ПЗ-90:

а=6378245м,         е²=0.00669342162,

а=6378136.3м,      е²=0.00669436619.

4) Элементы ориентирования  системы координат СК-42 относительно  системы ПЗ-90.02:

x=23.93м,   y=-141.03м,  z=-79.98м,

ω_x=0,  ω_y=-0.35,  ω_z=-0.79,  Δm=-0.22*10^-6.

5) Элементы ориентирования  системы координат СК-95 относительно  системы     ПЗ-90.02:

x₁=24.83м,   y₁=-130.97м,  z₁=-81.74м,

ω’_x=0,  ω’_y=0,  ω’_z=-0.13,  Δm’=-0.22*10^-6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Системы координат, применяемые в геодезии.

Положение точек на поверхности земного  эллипсоида, на поверхности Земли  и в пространстве может быть определено с помощью следующих систем координат. В геодезии наибольшее распространение  получили следующие системы:

1. система прямоугольных пространственных координат (X,Y,Z).
2. система геодезических пространственных координат (B,L,H).
3. система геоцентрических широт и геодезических долгот (Ф,L).
4. система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера (x,y).

 

1.1. Система прямоугольных пространственных координат (X,Y,Z).

За начало координат принимается  центр эллипсоида О (рис.1.1.). Ось OZ располагается но полярной оси эллипсоида РОР₁, ось ОХ — в плоскости экватора в меридиане РЕР₁, который принимается за начальный; ось OY — в плоскости экватора, но в меридиане РКР_1: плоскость которого составляет с плоскостью начального меридиана угол в 90°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 Рис.1.1.

Таким образом, положение  точки М поверхности эллипсоида определяется координатами: X=M_IM_II, Y=OM_II, Z=MM_I.

    Пространственные  координаты X, У, Z до последнего времени имели небольшое применение как в теоретических выводах, так и в практических вычислениях. Это объясняется тем, что как сами измерения, так и вычисления производились на поверхности Земли и заключались в вычислении координат ее точек, расстояний между этими точками.

   В этом случае  наиболее удобной была система  координат, непосредственно связанная с поверхностью Земли. Однако в связи с космическими исследованиями возникли геодезические задачи по определению координат точек во внешнем пространстве Земли. При этом система поверхностных координат становится неудобной. Наоборот, система прямоугольных пространственных координат, позволяющая выражать положение точек независимо от поверхности земного эллипсоида, оказывается наиболее целесообразной для решения возникающих задач. Поэтому эта система координат X, Y, Z в настоящее время приобретает большое теоретическое и практическое значение. Метод решения геодезических задач при помощи этой системы координат получил наименование «трехмерной геодезии».

   Достоинства системы:

1. Позволяет однозначно определять положение точки в пространстве.
2. Для вычисления координат не нужно редуцировать результаты измерений на поверхности эллипсоида. Эту систему удобно применять при математической обработки результатов спутниковых измерений.

  Недостатки системы:

1. Нельзя разорвать тройку координат.
2. Нельзя уменьшить размерность вектора координат, как в системе геодезических и пространственных координат.
3. Нет формул прямого перехода к плоским прямоугольным координатам.

 

1.2.Система геодезических пространственных координат (B,L,H).

 

 

 

 

 

 

 

                                                  Рис .1.2.

Геодезической широтой точки М называется острый угол В, образованный нормалью Мп к поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью экватора ERE₁ .

Геодезическая широта обозначается буквой В. Широты отсчитываются от экватора к северу и югу и называются, соответственно, северными и южными широтами. Пределы измерения от 0⁰ до 90⁰.

Геодезическая долгота L точки М - двугранный угол РМР₁Е, образованный плоскостью начального меридиана РЕР₁ и плоскостью меридиана данной точки.

Долгота измеряется от 0⁰ до 360⁰ или от 0⁰ до 180⁰ на восток и запад от гринвичского меридиана.

В качестве начального меридиана  для счета долгот в настоящее  время повсеместно принят меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию.

Геодезическая высота Н – отрезок нормали к поверхности эллипсоида вращения, заключенный между этой поверхностью и данной точки.

Иначе говоря, предварительно редуцируя результаты измерений  на поверхность референц-эллипсоида, мы приводим их к нулевой высоте (Н — 0). Этим существенно упрощается решение геодезических задач: от вычисления трех координат (B, L, H), определяющих положение точки в пространстве, переходят к вычислению двух (B, L). Это целесообразно для точек земной поверхности, для которых Н всегда мало, а следовательно малы и редукции. При значительных высотах Н указанное редуцирование измеренных величин становится нецелесообразным, чем и вызывается необходимость перехода в этом случае к системе пространственных прямоугольных координат.

 

Достоинства системы:

1. Едина для всей поверхности эллипсоида и, таким образом, объединяет в общей для всей земной поверхности координатной системе геодезические, съемочные и картографические материалы.
2. Геодезическая широта и долгота определяют положение нормали к эллипсоиду, проходящей через данную точку.
3. ) Координатные линии в этой системе (параллели и меридианы) являются основными линиями любой картографической проекции.

 Недостатки системы:

1. Сложность решения всех геодезических задач.
2. Из-за необходимости редуцирования результатов на поверхность эллипсоида накладно использовать для обработки результатов спутниковых наблюдений.

1.3. Система геоцентрических  широт и геодезических долгот (Ф,L).

Одной из координат в этой системе является геодезическая долгота L, которая определяет меридианный эллипс, проходящий через точку М. Положение точки М на этом эллипсе в рассматриваемой системе координат определяется геоцентрической широтой Ф. Геоцентрическая широта определяется как угол между радиусом-вектором р точки М и плоскостью экватора или, что все равно, большой полуосью меридианного эллипса. На рис.1.3. ОМ — радиус-вектор р меридианного эллипса, проведенного через точку М; угол МОЕ₁ — геоцентрическая широта Ф точки М.

                                                     Рис.1.3.

Эта система координат  в высшей геодезии применяется редко; чаще в астрономии, теории фигуры Земли  и математической картографии.

Достоинства системы:

1. Позволяет однозначно определить положение точки в пространстве.
2. В этой системе координат иногда формулы сфероидической геодезии записываются короче, выглядят проще, чем формулы геодезической.
3. Эта система имеет вспомогательные значения.

1.4. Система плоских  прямоугольных координат Гаусса-Крюгера (x,y).

Практически необходимо иметь координаты пунктов геодезической сети в прямоугольной плоской системе прямолинейных координат для того, чтобы можно было легко использовать геодезические данные при выполнении различного рода проектных работ, при землеустройстве и т. д. Это вызывает необходимость введения проекции поверхности эллипсоида на плоскость, т. е. изображения частей земной поверхности на плоскости по определенному закону.

 

В настоящее время в России принята  проекция Гаусса — Крюгера или система прямоугольных плоских прямолинейных координат в конформной проекции Гаусса, в которой производят вычисления всех пунктов опорной геодезической сети.

                                                 Рис.1.4.

Достоинства системы:

1. Позволяет однозначно определять положение точки внутри зоны.
2. Позволяет упростить решение всех геодезических задач.

Недостаток  системы:

     1)Неизвестно местоположение точки на Земле.

 

2. Технологические схемы преобразования координат из одной системы в другую.

               

X  Y  Z

 

X1 Y1 Z1

B  L  H

 

B1 L1 H1

СК-42

ПЗ-90

СК-95

 

x1  y1 γ1 m1

x_м  y_м γ_м m_м

x  y  γ  m

СКМ-95

                    

2.1.Первая возможная технологическая схема преобразования координат:

          

             

X  Y  Z

 

X₁ Y ₁Z₁

B  L  H

 

B¹ L¹ H¹

x  y  γ m

 

x¹  y¹ γ¹ m¹

x_м  y_м γ_м m_м

СК-42

ПЗ-90

СК-95

СКМ-95

      ₁₎

₂₎

₃₎

₄₎

₅₎

₆₎

₇₎

     8)             

      ₉₎

2.2.Вторая возможная технологическая схема преобразования координат:

                     

X  Y  Z

 

X¹ Y¹ Z¹

B  L  H

 

B¹ L¹ H¹

x  y  γ m

 

x¹  y¹ γ¹ m¹

x_м  y_м γ_м m_м

СК-42

ПЗ-90

СК-95

СКМ-95

 

2.3.Третья  возможная технологическая схема преобразования координат:     

X  Y  Z

 

X1 Y1 Z1

B  L  H

 

B1 L1 H1

СК-42

ПЗ-90

СК-95

 

x1  y1 γ1 m1

x_м  y_м γ_м m_м

x  y  γ  m

СКМ-95

              

 

Вывод:

Вторая схема является оптимальным вариантом преобразования из одной системы координат в  другую. Это обусловлено тем, что  формулы перехода являются более  простыми, не требующие больших вычислений.  Однако она уступает первой схеме  в точности вычислений.

3. Преобразование координат из одной системы в другую.

 

1. Вычисление пространственных прямоугольных координат в системе СК-42 по пространственным прямоугольным координатам в системе ПЗ-90.02

 

           

            

            

 

3.2.      Вычисление геодезических пространственных координат по пространственным прямоугольным координатам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Вычисление геодезических пространственных координат в системе СК-42 по геодезическим пространственным координатам в системе ПЗ-90.02.

 

1. B = B - ΔB
2. L = L - ΔL
3. H^г = H^г - ΔH
4. ΔB₁= (∑₂+∑₃)
5. ΔB₂=(1+e²cos2B)(-w_xsinL+w_ycosL)
6. ΔB₃=ρΔme²sinBcosB
7. ΔB = ΔB₁+ ΔB₂+ ΔB₃
8. ∑₂ = NsinBcosB
9. ∑₃ = -∑₁sinB+zcosB

10)∑₁ = xcosL+ysinL

x,y,z – координаты центра

11) а =

₁₂₎

13)

₁₄₎

₁₅₎

₁₆₎

₁₇₎

_{18) ΔL1 =( ρ/(N+H)cosB))(-xsinL+ycosL)}

_{19) ΔL2 = tgB(1-e²)(wxcosL+wysinL) - wz}

_{20)ΔL = ΔL1 + ΔL2}

_{21) ΔH1 = (-a/N)Δa + Nsin²B(Δe²/2)}

_{22) ΔH2 =} ∑₁cosB + zsinB

23) ΔH₃ = -Ne²sinBcosB((w_x/ρ)sinL – (w_y/ρ)cosL)

24) ΔH₄ = (a²/N + H^г)Δm

 

25) _{ΔH = ΔH1 + ΔH2 + ΔH3 + ΔH4}

4. Вычисление пространственных прямоугольных координат по геодезическим координатам.
1. X = (N+H^г)cosBcosL
2. Y = (N+H^г)cosBsinL
3. Z = (N(1-e²)+H^г)sinB
4. N = a/W
5. W =
5. Вычисление плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам.

 

  СК-42                                     ПЗ-90.02                                          СК-95

  B,L,H^г B,L,H                                          B’,L’,H’

a,e² a,e²                                       a,e²       L₀^m

L₀ L₀                                         L₀

x,y x,y                                       x’,y’      x^m,y^m

γ,m       γ^m,m^m

Выполняется с помощью программы Universal Transverse Mercator (UTM).

Для вычисления координат  Гаусса-Крюгера необходимо определить номер зоны n и L₀.

L₀ = 6n-3 = 81˚

n = (L/6)+1 = 14

 

Преобразование  геодезических координат в плоские  прямоугольные координаты и обратно

Для получения плоских  прямоугольных координат в принятой на территории Российской Федерации  проекции Гаусса-Крюгера используют геодезические координаты на эллипсоиде Красовского.

Плоские прямоугольные координаты с погрешностью не более 0,001 м вычисляют  по формулам

     

    

где , - плоские прямоугольные координаты (абсцисса и ордината) определяемой точки в проекции Гаусса-Крюгера, м;

- геодезическая широта определяемой  точки, рад;

- расстояние от определяемой  точки до осевого меридиана  зоны, выраженное в радианной  мере и вычисляемое по формуле

;                                          

- геодезическая долгота определяемой  точки, ...°;

- номер шестиградусной зоны  в проекции Гаусса-Крюгера, вычисляемый по формуле

,                                                      

- целая часть выражения, заключенного  в квадратные скобки.

Преобразование плоских  прямоугольных координат в проекции Гаусса-Крюгера на эллипсоиде Красовского в геодезические координаты осуществляют по формулам

;                                                         

,                                 

где , - геодезические широта и долгота определяемой точки, рад;

- геодезическая широта точки,  абсцисса которой равна абсциссе  определяемой точки, а ордината равна нулю, рад;

- номер шестиградусной зоны  в проекции Гаусса-Крюгера, вычисляемый по формуле

,                                                     

- целая часть выражения, заключенного  в квадратные скобки;

- ордината определяемой точки  в проекции Гаусса-Крюгера, м.

Значения  , и вычисляют по следующим формулам:

;     

   

 

где - вспомогательная величина, вычисляемая по формуле

;                                         

- вспомогательная величина, вычисляемая  по формуле

;                       

, - абсцисса и ордината определяемой точки в проекции Гаусса-Крюгера, м.

Погрешность преобразования координат по формулам составляет не более 0,001 м.

 

4. Местная система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера.

Система плоских прямоугольных координат  Гаусса-Крюгера была введена в нашей стране в 1928 г., но всеобщее распространение получила при выпуске в 1930 г. таблиц для вычисления координат Гаусса-Крюгера.

      Распространение  системы координат Гаусса-Крюгера, вытеснивших все применявшиеся ранее, привело к установлению определенного порядка в использовании результатов геодезических измерений и унификации их обработки.

Необходимость введения системы  плоских координат вызывалась тем, что эллипсоидальная геодезическая  система, будучи наиболее общей и  удобной при изучении научных  проблем высшей геодезии, изображении  всей Земли на картах и решении  геодезических задач на значительные расстояния, становится сложной и  мало пригодной в массовых геодезических  работах по созданию съемочного обоснования  топографических карт и различных  инженерных сооружений. Новая система  Гаусса-Крюгера учитывала все недостатки известных систем. В ней земной эллипсоид делится на зоны меридианами, то есть каждая зона охватывает значительную территорию от северного до южного полюса Земли. Изображения каждой зоны на плоскости совершенно одинаковы, что определяет однообразие плоских координат в них и применение одних и тех же формул и таблиц при вычислениях в разных зонах. Переход из зоны в зону также осуществляется по одним и тем же таблицам и формулам. Эти преимущества проекции Гаусса-Крюгера обусловили ее широкое распространение и международное признание.

Если вновь создаваемая  геодезическая сеть располагается  одновременно на территории двух смежных  зон и исходные данные отнесены к  различным системам координат, то при  математической обработке такой  сети в системе координат одной  зоны необходимо, чтобы все исходные данные были отнесены к меридиану  одной и той же зоны.

Путь решения:

1) переход от плоских  координат (усл.1 зоны) к геодезическим  координатам;

2) переход от геодезических  координат к плоским координатам  X, Y (относительно осевого меридиана 2 зоны).

Достоинства данного способа:

- универсальность

- возможность вычисления  с высокой точностью (0.002-0.03 м)

- возможность автоматизации  процесса преобразования координат

 

СК-95	СК-95 (СКМ)
x=5955165.509           y=120263.672	x=5953639.404 y= - 11797.183
γ=1  28  05.579	γ=0 08 38.39
m=1.00017715	m=1,0000017

 

Вывод: преобразованные для  заданной точки плоские прямоугольные  координаты Гаусса – Крюгера из СК-95 в местную систему координат СКМ показывает величину изменения масштаба изображений и дирекционных углов. Величина масштаба изображения меньше в СК-95, чем в местной системе координат на величину изменения равной     m=1,00017545 , а дирекционных углов γ=1  19  27.189 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1. ГОСТ Р 21794-2008. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек. М.: Стандартинформ, 2009
2. Телеганов Н.А. Елагин А.В. Высшая геодезия и основы координатно-временных систем. Новосибирск СГГА, 2004.   
3. Практикум по высшей геодезии под ред. Н.В.Яковлева. М.: Альянс, 2007