Системы координат и преобразования между ними. 2

Министерство  Образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение

Высшего профессионального образования

"СИБИРСКАЯ  ГОССУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ  АКАДЕМИЯ"

(ГОУ  ВПО "СГГА") 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА ПО ВЫСШЕЙ ГЕОДЕЗИИ

«СИСТЕМЫ  КООРДИНАТ 

И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЖДУ  НИМИ» 
 
 
 

Выполнил: ст. гр. ЛГ-31

                                                                                    ______ А.А.Силаева

                                                              Принял:

                                                                                  ______А.Г.Малков                                                                                             

Линево 2010 

СОДЕРЖАНИЕ 

   1. ВВЕДЕНИЕ 4 

   2. ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ГЕОДЕЗИИ

       2.1 Система прямоугольных пространственных координат 5

       2.2 Система геодезических пространственных координат 7

       2.3 Система плоских прямоугольных координат Гаусса –

       Крюгера 10

   3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ В ДРУГУЮ

       3.1 Технологические схемы преобразования координат 15

          3.1.1 Вычисление пространственных прямоугольных  координат в системе ПЗ-90 по геодезическим координатам  16

          3.1.2 Определение пространственных прямоугольных координат в системе СК-42 по пространственным прямоугольным координатам в системе

ПЗ-90 16

          3.1.3 Определение пространственных прямоугольных координат

в системе  СК-95 по пространственным прямоугольным  координатам в системе ПЗ-90 17

          3.1.4 Преобразование геодезических координат из системы ПЗ-90 в систему СК-42 17

          3.1.5 Вычисление геодезических координат в системе ПЗ-90 по пространственным прямоугольным координатам 17

          3.1.6 Связь пространственных координат с прямоугольными

          3.1.7 Вычисление геодезических координат в системе СК-95 по пространственным прямоугольным координатам 19

          3.1.8 Преобразование плоских прямоугольных координат Гаусса – Крюгера по геодезическим координатам 19

  4. МЕСТНАЯ СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА-КРЮГЕРА 21

  5. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ  23 

  6. ПРИЛОЖЕНИЕ А  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ВВЕДЕНИЕ 

    Целью выполнения курсовой работы является изучение способов преобразования координат в различных системах: референцной и общеземной; геодезической, прямоугольной плоской и пространственной.    

    Для решения поставленных задач выданы следующие исходные данные:

    1). Прямоугольные пространственные координаты точки в системе координат ПЗ-90.

    2). Параметры эллипсоидов Красовского и ПЗ-90 (большая полуось и квадрат первого эксцентриситета).

    3). Элементы ориентирования систем координат СК-42 и СК-95 относительно системы ПЗ-90 (углы поворота и прямоугольные пространственные координаты точки).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    2 ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ГЕОДЕЗИИ 
 

    Положение точки на поверхности эллипсоида, на поверхности Земли и в пространстве может быть определено с помощью различных систем координат.

    В геодезии наибольшее распространение  получили следующие системы:

    - система прямоугольных координат  х, у, отнесенных к плоскости  меридиана данной точки (координаты меридианного эллипса);

    - система прямоугольных  пространственных  координат X, Y, Z;

    - система геодезических пространственных  координат B, L, H;

    - система плоских прямоугольных  координат Гаусса – Крюгера  х, у.

    Прежде  чем перейти к характеристике систем координат приведем определения основных сечений эллипсоида.

    Меридианный эллипс – след сечений поверхности эллипсоида плоскостью, проходящей через ось вращения.

    Меридиан – часть меридианного эллипса, заключенная между полюсами.

    Параллель – след сечения поверхности эллипсоида плоскостью, параллельной оси вращения.

    Экватор – параллель с наибольшим радиусом (равным большой полуоси). 

    2.1 Система прямоугольных пространственных координат 

    Система прямоугольных пространственных координат XYZ представлена на рисунке 1. В этой системе за начало координат принят центр О эллипсоида, ось OZ совпадает с малой осью эллипсоида, ось ОХ находится на пересечении плоскостей геодезического экватора и начального меридиана, ось OY дополняет систему до правой — в правой системе координат вращение оси ОХ к OY происходит против часовой стрелки, если смотреть по направлению ZO. Положение точки А в этой системе определяется координатами

    Х = ОА",    Y = A´A",    Z = A´A.    
 

    Система пространственных прямоугольных координат X, Y, Z позволяет также определять положение точек А и вне эллипсоида, то есть на земной поверхности и вне неё. Эта система играет важную роль в спутниковых определениях положения точек.  

    Рисунок 1 - Система прямоугольных пространственных координат 

    Преимущества:

    - однозначно определяет положение точки в пространстве;

    - для ее применения не нужен  эллипсоид вращения.

         Недостатки:

    - нельзя определять эти координаты  по – отдельности;

    - основная система координат –  система плоских прямоугольных  

       координат, но прямого перехода от XYZ  к XY нет.

    Если  центр эллипсоида совпадает с  центром масс Земли, то в название системы добавляется слово «геоцентрическая». Геоцентрическая система прямоугольных пространственных координат представлена на рисунке 2. В этой системе положение точки А на поверхности эллипсоида определяют геодезической долготой L и геоцентрической широтой Ф, равной углу между радиус-вектором р и плоскостью экватора. 
 

    Рисунок 2 - Система геоцентрических координат 

    2.2 Система геодезических пространственных координат 

    Система геодезических координат позволяет однозначно определять положение точки в пространстве тремя величинами: геодезической широтой В, геодезической долготой L и геодезической высотой Н. Такая система представлена на рисунке 3. Если точка располагается на поверхности эллипсоида, то Н = 0 и ее положение определяют величинами В и L. Геодезические координаты вычисляют по результатам геодезических измерений.

    Геодезической широтой В называется угол между нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке и плоскостью геодезического экватора, т. е. плоскостью, проходящей через центр эллипсоида перпендикулярно его малой оси. Счет широт ведется от 0 до 90˚ к северу и югу от экватора. Северным широтам придается знак плюс, а южным – минус.

    Геодезической долготой L называют двугранный угол между плоскостью начального (Гринвичского) меридиана и плоскостью геодезического меридиана, проходящего через данную точку. Под плоскость геодезического меридиана понимают плоскость, проходящую через нормаль к поверхности земного эллипсоида в данной точке и параллельную его малой оси. Счет долгот ведется от начального меридиана к западу и востоку от 0 до 180˚. Западным долготам приписывается знак минус, а восточным – знак плюс.

    Положение точки на нормали относительно поверхности эллипсоида определяется геодезической высотой.

    Геодезической высотой Н называют высоту точки над поверхностью земного эллипсоида, отсчитываемого по нормали к поверхности эллипсоида в этой точке. Для точек, лежащих на поверхности эллипсоида, геодезические высоты равны нулю (Н=0).

    В геодезической системе координат  направление на какую-либо цель определяется геодезическим азимутом, под которым понимается двугранный угол между плоскостью геодезического меридиана данной точки и плоскостью, проходящей через нормаль в ней и содержащей данное направление. Геодезические азимуты отсчитываются от направления на север по ходу часовой стрелки от 0 до 360˚.

    Система геодезических координат B, L, H имеет  широкое применение в практике геодезических  и картографических работ.

    Рисунок 3 - Система геодезических координат 
 

    Преимущества:

• система едина для всей поверхности эллипсоида, удобна для составления карт;
• координатные линии в этой системе параллели и меридианы являются   линиями любой картографической проекции;
• геодезическая широта и долгота определяют положение нормали к эллипсоиду, проходящей через заданную точку;
• три координаты однозначно определяют положение точки в пространстве;
• эта система позволяет общую задачу по вычислению координат пунктов  разделить на две подзадачи меньшей размерности и отдельно определить широту, долготу и высоту;
• геодезические  измерения на земной поверхности связаны с отвесными линиями;
• эта система связана с системой плоских прямоугольных координат, а именно это и является в геодезической практике основной системой координат.

    Недостатки:

• вычисление широт и долгот на поверхности эллипсоида производится по очень громоздким формулам;
• эту систему координат нельзя применять для обработки результатов спутниковых измерений поправки будут равны самим измеренным величинам);
• система геодезических широт и долгот относится к эллипсоиду в отличие от астрономических  широт и долгот связанных с уровенной поверхностью Земли.

    2.3 Система плоских прямоугольных координат Гаусса – Крюгера 
 

    Любая система плоских прямоугольных  координат связана с изображением поверхности эллипсоида на плоскость (рис.4).

    x=f₁(B, L);

    y=f₂ (B, L).

    Рисунок 4 - Система плоских прямоугольных координат 
 

    х=О₁К₁; у=О₁К₂.

    Использование результатов топографо-геодезических работ в инженерных целях существенно облегчается, если эти результаты отнесены к простейшей — прямоугольной системе координат на плоскости. В этой системе многие геодезические задачи на небольших участках местности и на картах (планах) решаются путем применения простых формул аналитической геометрии на плоскости. Так как поверхность земного эллипсоида, к которой относятся результаты геодезических и съемочных работ, не развертывается в плоскость, то ее проектируют на плоскость по определенным законам.

    Закон изображения одной поверхности  на другой называется проекцией. Для  геодезических целей предпочитают проекции, обеспечивающие медленное нарастание в них искажений элементов геодезических построений при постепенном увеличении площади проектируемой территории. Особенно важным является требование, чтобы в проекции обеспечивались высокая точность и удобство учета этих искажений, причем по наиболее простым формулам, этим требованиям удовлетворяет конформная проекция Гаусса — Крюгера, для применения которой поверхность земного эллипсоида делят на зоны, заключенные между двумя меридианами с разностью долгот 6 или 3°.

    Осевые  меридианы шестиградусных зон совпадают  с центральными меридианами листов карты масштаба 1:1 000 000. Порядковый номер зоны определяется по формуле

    n=N — 30, (1)                                      

    где N — номер колонны листа карты масштаба I: 1000 000.

    Долготы осевых меридианов шестиградусных зон определяются по формуле

       L₀ = 6 n — 3,  (2)                                      

    где n — номер зоны.

    Прямоугольные координаты х, у в пределах зоны вычисляются относительно экватора и осевого меридиана, которые изображаются прямыми линиями (рис. 5.). В пределах территории СССР  абсциссы координат Гаусса — Крюгера положительные; ординаты положительные к востоку, отрицательные — к западу от осевого меридиана. Чтобы избежать отрицательных ординат, точкам осевого меридиана условно приписывают значение у = 500 000 м с обязательным указанием впереди номера соответствующей зоны.

Рисунок 5 - Прямоугольные координаты х,у

    Рисунок 6 - Стороны треугольника с вершинами построенного на эллипсоиде (а) и их изображение на плоскости в виде кривых (б). 

    В конформной проекции углы треугольников триангуляции не искажаются,    т. е. остаются    такими же, как на поверхности земного эллипсоида.  Масштаб    изображения линейных элементов на плоскости постоянен в данной точке и не зависит от азимута этих элементов; линейные искажения на осевом меридиане равны нулю и постепенно возрастают по мере удаления от него; на краю шестиградусной зоны они достигают наибольшей величины, равной  1 : 1000, а на краю трехградусной зоны — 1: 5000.

    Все линии на поверхности земного  эллипсоида, за исключением осевого меридиана и экватора, изображаются на плоскости кривыми. Так, например, стороны треугольника с вершинами 1, 2, 3, построенного на эллипсоиде (рис. 6,а), изобразятся на плоскости в виде кривых (рис. 6,б).

    На  рис. 6, а приняты следующие обозначения: ОР — осевой меридиан зоны, долгота которого равна L₀; E1P — геодезический меридиан точки 1, имеющей геодезические координаты В₁, L₁; l = L₁—L₀ — долгота точки 1 относительно осевого меридиана; А₁₂— геодезический азимут направления 1—2.

    На  рис. 6, б показано изображение в конформной проекции тех же линий и треугольника, что и на рис. 5, а: О'Р' — осевой меридиан зоны; E'1P' — геодезический меридиан точки 1, имеющей плоские прямоугольные координаты х ₁, у_1; α₁₂ — дирекционный угол хорды S₁₂, стягивающей концы изображения стороны треугольника между точками 1 и 2; Р"1 — линия, проходящая через точку 1 параллельно осевому меридиану зоны; γ₁ — гауссово сближение меридианов в точке 1.

    В связи с тем что в конформной проекции стороны треугольников изображаются на плоскости кривыми линиями, мы не можем пока применить простые формулы аналитической геометрии для решения геодезических задач. Необходимо криволинейные стороны треугольника на плоскости заменить хордами. Кроме того, надо иметь формулы, позволяющие вычислить с необходимой точностью плоские прямоугольные координаты х, у исходного пункта в точке 1 по его геодезическим координатам — широте В и долготе L. Нужны также формулы для обратного перехода от х, у к В, L в целях контроля правильности преобразования координат из одной системы в другую. Наконец, для вычисления координат х, у других вершин треугольника 1, 2, 3 (рис. 6, б) по  формулам

                 х_k = х_i + s_ik cos a_ik;                 у _k = у_i + s_ik sin a_ik                           (3)

    надо  определить дирекционные углы a_ik и длины сторон s_ik на плоскости.

    Вследствие  конформности  проекции геодезический  азимут на плоскости можно согласно рис. 6, б представить в виде

                                           A_{ik =} a_ik + γ_i - δ_ik,                                      (4)

    где γ_i — гауссово сближение меридианов в i-й точке, a_ik — дирек-ционный угол хорды ik на плоскости, δ_ik — угол между криволинейной стороной ink треугольника на плоскости и ее хордой ik. Отметим, что углы γ, а и δ отсчитываются по ходу часовой стрелки, как положительные величины: угол γ — от изображения меридиана до направления оси х, угол a — от оси х до хорды и угол δ — от криволинейной стороны ink до хорды ik. Дирекционный угол хорды ik равен

                                                   a_ik = A_ik — γ_i + δ_ik.                                        (5)

    Отсюда  видно, что для вычисления дирекционного  угла а_ik исходной стороны надо знать гауссово сближение меридианов γ_i и поправку δ_ik за кривизну изображения стороны треугольника на плоскости в проекции Гаусса — Крюгера или, другими словами, редукцию горизонтального направления.

    Надо иметь формулы для перехода от длины линии S на поверхности земного эллипсоида к проекции этой линии s на плоскости. Таким образом, для математической обработки геодезических сетей на плоскости в проекции Гаусса — Крюгера необходимо:

1. От геодезических координат исходных пунктов сети перейти к плоским прямоугольным координатам проекции этих пунктов. В целях контроля следует решить обратную задачу: по прямоугольным координатам вычислить геодезические.
2. От исходных длин и геодезических азимутов сторон на поверхности земного эллипсоида перейти к длинам и дирекционным углам этих сторон на плоскости.
3. Все измеренные направления, редуцированные на поверхность земного эллипсоида, исправить поправками за кривизну изображения сторон на плоскости.

    В том случае, когда геодезическая  сеть охватывает район двух смежных  зон, возникает необходимость преобразования прямоугольных координат из одной зоны в другую.

    Ниже  приводятся примеры решения указанных  задач применительно к эллипсоиду Красовского, принятому для математической обработки геодезических измерений в СССР и социалистических странах.

    Параметры эллипсоида Красовского:

    большая полуось    а = 6 378 245,000 м

    малая полуось     b = 6 356 863,019 м

    полярное  сжатие    а= (а – b)/ а =1 : 298,3 = 0,0033523299

    квадрат первого эксцентриситета

    е² = (а² — b ²)/а² = 0,0066934216; 

    квадрат второго эксцентриситета

    е'² = (а² — b²)/b² = 0,0067385254. 

    Преимущества:

• позволяет упростить решение всех геодезических задач;
• позволяет однозначно определить положение точки внутри зоны.

 Недостатки:

• координаты x, y задают положение точки только внутри зоны;
• затрудняется обработка измерений на объекте расположенном на 
• стыке двух зон или в нескольких зонах.

3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ В ДРУГУЮ

  3.1 ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ 

                СК – 95                        ПЗ – 90                       СК - 42

    Рисунок 7 - Технологическая схема преобразования координат 
 
 
 

    3.1.1 Вычисление пространственных прямоугольных  координат в системе ПЗ-90 по геодезическим координатам

N=a/(√1-e² *sin B) ;                                                                                              (1)

X´ = (N+H)*cosB*cosL ;                                                                                      (2)

Y´= (N+H)*cosB*sinL ;                                                                                        (3)

Z´= (N*(1-e²)+H)*sinB .                                                                                       (4)

    [ПРИЛОЖЕНИЕ  А] 

    3.1.2 Определение пространственных прямоугольных координат в системе СК-42 по пространственным прямоугольным координатам в системе ПЗ-90 

    X1= X’-∆m*X-ξz″/ρ″*Y’+ξy″/ ρ″ *Z’-x;                                                    (1)

    Y1= Y’-∆m*Y’-ξx″/ρ″*Z’+ξz″/ ρ″*X’-y;        (2)

    Z1= Z’-∆m*Z’-ξy″/ρ″*X’+ξx″/ ρ″*Y’-z;                                                     (3)

      [ПРИЛОЖЕНИЕ Б] 

    3.1.3 Определение пространственных прямоугольных координатв системе СК-95 по пространственным прямоугольным координатам в системе ПЗ-90

    X =X’-x₁ ;                                                                                                 (1)        

    Y =Y’-y₁ ;                                                                                                 (2)          

        Z =Z’-z₁ ;                                                                                                 (3)           

    [ПРИЛОЖЕНИЕ  В] 
 

    3.1.4 Вычисление геодезических координат в системе ПЗ-90по пространственным прямоугольным координатам 

tg L = x  ;       (L-долгота)                                                     (1)                                                                       

Q=√X² + Y² ;                                                                         (2)                                                               

tgB⁽ⁱ⁾=Z/(1-e²)*Q;                                                                 (3)