Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Системы массового обслуживания с неограниченной очередью

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Майкопский государственный технологический университет»

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине «Математические методы и модели в экономике»

на тему: «Системы массового обслуживания с неограниченной очередью»

Работа состоит из ____ стр., ____ рис., ___ табл.

Объектом исследования являются системы массового обслуживания с неограниченной очередью.

Цель работы состоит в исследовании систем массового обслуживания с неограниченной очередью, процессов, протекающих в них, классификации систем, показателей их эффективности, а также параметров, описывающих эти процессы.

К полученным результатам относятся построение математической модели одноканальной системы массового обслуживания с неограниченным ожиданием (неограниченной очередью) и количественная оценка ее показателей эффективности.

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Майкопский государственный технологический университет»

Инженерно-экономический факультет

Кафедра высшей математики и системного анализа

"Утверждаю"

Зав. кафедрой

________________________________

(уч. звание, уч. степень)

_____________________________________________

(подпись)

ЗАДАНИЕ

ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ

Студенту ………… группы ЭГ-31

1. Тема работы «Системы массового обслуживания с неограниченной очередью»

2. Срок сдачи работы ________________________________________

3. Исходные данные работе рекомендуемые теоретические источники и статистические данные для построения математической модели одноканальной системы массового обслуживания с неограниченным ожиданием.

4. Содержание расчетно-пояснительной записки (перечень подлежащих разработке вопросов)

1) в работе должны быть рассмотрены системы массового обслуживания с неограниченной очередью, процессы, протекающие в них, показатели их эффективности, а также параметры, описывающие эти процессы;

2) построить и проанализировать модель одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием по заданным исходным данным.

5. Консультанты по работе:

кафедра _______________________________________________________

(уч. звание, уч. степ., должность)

_____________________________________________________________

(по разделу)

______________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

кафедра_______________________________________________________

(уч. звание, уч. степ., должность)

_____________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

_____________________________________________________________

(по разделу)

_______________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

7. Дата выдачи задания ___________________________________________

Руководитель работы_____________________________________________

(подпись)

8. Задание получил ____________ студент ___________________________

(подпись)

9. Дополнительные указания (по усмотрению руководителя)

10. График индивидуальных консультаций

NN п/п	Дата консультации	Продолжительность консультации	Подпись консультанта
1
2
3
4
5

Содержание

Введение
Теоретическая глава. Системы массового обслуживания (СМО)

1.1. Основные понятия теории СМО

1.2. Классификация СМО

1.3. Поток событий

1.4. Понятие Марковского подхода

1.5. Показатели эффективности СМО

1.6. СМО с неограниченной очередью. Одноканальные СМО с неограниченной очередью

1.7.Многоканальные СМО с неограниченной очередью

Практическая часть. Задача.

Построение математической модели СМО с неограниченной очередью

Заключение
Список обязательной и используемой литературы

Введение

Теория систем массового обслуживания начала развиваться в начале XX века. Основателем систем массового обслуживания считается математик Иохансен, сформулировавший в 1907 году предпосылки новой теории.

В настоящее время появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теории массового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения - военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др.

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского ученого А.К. Эрланга(1878-1929),с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.

Теория массового обслуживания — область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого, варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

В коммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока не нашло желаемого распространения.

В основном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого понимания содержания коммерческой деятельности, а также надежного и точного инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные варианты последствий управленческих решений.

II. Теоретическая глава. Системы массового обслуживания (СМО).

Одним из разделов «Теории принятия решений» является теория массового обслуживания, которая рассматривает и изучает вопросы организации и обслуживания потока требований или заявок.

Теория массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

Математическую теорию массового обслуживания можно охарактеризовать двумя способами: указанием области практических задач, к решению которых она применяется, и указанием классов изучаемых ею случайных процессов.

Практически задачи теории массового обслуживания связаны с исследованием любых операций, состоящих из многих однородных элементарных операций, на осуществление которых влияют случайные факторы. Задачи подобного типа возникают в самых разнообразных направлениях исследований: в естествознании, в технике, в экономике, организации производства и т.д.

Системы массового обслуживания представляют собой системы специфического вида. Вообще «система» – целостное множество взаимосвязанных элементов, неделимое на независимое подмножество.

Основа системы массового обслуживания - средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, операторы, билетные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

Теория массового обслуживания занимается изучением вопросов организации и обслуживание потока требований или заявок.

Заметим, что за последние годы область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с "обслуживающими организациями" в буквальном смысле слова. Как своеобразные системы массового обслуживания могут рассматриваться: электронные цифровые вычислительные машины; системы сбора и обработки информации; автоматизированные производственные цехи, поточные линии; транспортные системы; системы противовоздушной обороны и т. д.

Задачи массового обслуживания условно делят на задачи анализа и задачи синтеза - оптимизации систем массового обслуживания. Первые предполагают определение основных параметров функционирования системы массового обслуживания при неизменных, наперед заданных исходных характеристиках: структура системы, дисциплина обслуживания, потоки требований и законы распределения времени на их обслуживание. Вторые направлены на поиск оптимальных параметров систем массового обслуживания.

Функционирование любой системы массового обслуживания можно представить через все возможные состояния ее и интенсивность перехода из одного состояния в другое. Основными параметрами функционирования СМО являются вероятности ее состояния, то есть возможности наличия n требований в системе – Рn.

1.1. Основные понятия СМО

Заявкой (или требованием) называется спрос на удовлетворение какой-либо потребности (далее потребности предполагаются однотипными). Выполнение заявки называется обслуживанием заявки.

Системы массового обслуживания (СМО) – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступающие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Основными компонентами СМО любого вида являются:

входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
дисциплина очереди;
механизм обслуживания.

Требование (заявка) — запрос на обслуживание.

Входящий поток требований — совокупность требований, поступающих в СМО.

Время обслуживания — период времени, в течение которого обслуживается требование.

Математическая модель СМО — это совокупность математических выражений, описывающих входящий поток требований, процесс обслуживания и их взаимосвязь.

Поступление заявки в СМО называется событием.

И, тем не менее, основная проблема при исследовании систем массового обслуживания заключается в том, что в реальности они могут быть исследованы с использованием классической теории массового обслуживания только в редких случаях. Потоки входящих и исходящих заявок могут оказаться не простейшими, следовательно, нахождение предельных вероятностей состояний с использованием системы дифференциальных уравнений Колмогорова невозможно, в системе могут присутствовать приоритетные классы, тогда расчет основных показателей СМО также невозможен.

Для оптимизации работы СМО была введена система из двух приоритетных классов и увеличено число обслуживающих каналов. В таком случае целесообразно применить методы имитационного моделирования, например метод Монте-Карло. Основная идея метода заключается в том, что вместо неизвестной случайной величины принимается ее математическое ожидание в достаточно большой серии испытаний. Производится разыгрывание случайной величины (в данном случае это интенсивности входящего и исходящего потоков) изначально равномерно распределенной. Затем осуществляется переход от равномерного распределения к показательному распределению, посредством формул перехода.

Функция распределения F(t) случайного интервала времени T между двумя последовательными заявками по определению равна. Но где – вероятность того, что следующая после последней заявки поступит в СМО по истечении времени t, т.е. за время t в СМО не поступит ни одна заявка. Но вероятность этого события находится из (6) при i = 0. Таким образом:

p(T≥t)=p0(t)=e-λ*t

F(t)=1- e-λ*t

Плотность вероятности f(t) случайной величины T определяется формулой:

f(t)=F't(t)=λ* e-λ*t,t>0

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины T равны соответственно:

M(T) = ; D(T) = ; σ(T) =

Каналом обслуживания называется устройство в СМО, обслуживающее заявку. СМО, содержащее один канал обслуживания, называется одноканальной, а содержащее более одного канала обслуживания – многоканальной.

1.2. Классификация СМО

Если заявка, поступающая в СМО, может получить отказ в обслуживании (в силу занятости всех каналов обслуживания) и в случае отказа вынуждена покинуть СМО, то такая СМО называется СМО с отказами.

Если в случае отказа в обслуживании заявки могут вставать в очередь, то такие СМО называются СМО с очередью (или с ожиданием). При этом различают СМО с ограниченной и неограниченной очередью. Очередь может быть ограничена как по количеству мест, так и по времени ожидания. Различают СМО открытого и замкнутого типа. В СМО открытого типа поток заявок не зависит от СМО. В СМО замкнутого типа обслуживается ограниченный круг клиентов, а число заявок может существенно зависеть от состояния СМО (например, бригада слесарей – наладчиков, обслуживающих станки на заводе).

СМО могут также различаться по дисциплине обслуживания.

Если в СМО нет приоритета, то заявки отбираются из очереди в канал по различным правилам.

• Первым пришел – первым обслужен (FCFS – First Came – First Served)

• Последним пришел – первым обслужен (LCFS – Last Came – First Served)

• Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью обслуживания (SPT/SJE)

• Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью дообслуживания (SRPT)

• Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью обслуживания (SEPT)

• Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью дообслуживания (SERPT)

Приоритеты бывают двух типов – абсолютный и относительный.

Если требование в процессе обслуживания может быть удалено из канала и возвращено в очередь (либо вовсе покидает СМО) при поступлении требования с более высоким приоритетом, то система работает с абсолютным приоритетом. Если обслуживание любого требования, находящегося в канале не может быть прервано, то СМО работает с относительным приоритетом. Существуют также приоритеты, осуществляемые с помощью конкретного правила или набора правил. Примером может служить приоритет, изменяющийся с течением времени.

Таким образом, классификацию СМО можно показать следующим образом:

СМО
одноканальные	Многоканальные
с отказами
с ожиданием при ограниченной очереди
с ожиданием при неограниченной очереди

Системы с отказами не имеют очередей.

Системы с ожиданием имеют очереди.

Заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты:

- покидает систему с отказами;

- становится в очередь на обслуживание в системах с ожиданием при неограниченной очереди или на свободное место при ограниченной очереди;

- покидает систему с ожиданием при ограниченной очереди, если в этой очереди нет свободного места.

В качестве меры эффективности экономической СМО рассматривают сумму потерь времени:

- на ожидание в очереди;

- на простои каналов обслуживания.

1.3. Поток событий

Последовательность событий, заключающихся в поступлении заявок в СМО, называется входящим потоком заявок.

Последовательность событий, заключающихся в выполнении заявок в СМО, называется выходящим потоком заявок.

Поток заявок называется простейшим, если он удовлетворяет следующим условиям:

1)отсутствие последействия, т.е. заявки поступают независимо друг от друга;

2)стационарность, т.е. вероятность поступления данного числа заявок на любом временном отрезке [t1, t2] зависит лишь от величины этого отрезка и не зависит от значения t1, что позволяет говорить о среднем числе заявок за единицу времени λ, называемом интенсивностью потока заявок;

3)ординарность, т.е. в любой момент времени в СМО поступает лишь одна заявка, а поступление одновременно двух и более заявок пренебрежимо мало.

Замечание. Поток, в котором события происходят через равные промежутки времени, не является простейшим потоком событий!

Интенсивностью (плотностью) потока событий называется среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Интенсивность входящего потока обозначается λ.

Замечание. Простейший поток событий обладает постоянной интенсивностью.

Простейший поток событий близко связан с распределением Пуассона. Действительно, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Вероятность того, что на отрезке времени длины t произойдет ровно i событий из простейшего потока с интенсивностью λ , выражается формулой Пуассона:

pi(t)=, i=0,1,..

т.е. вероятности распределены по закону Пуассона с параметром λt. По этой причине простейший поток называется также пуассоновским потоком.

Утверждение 2. Длина отрезка времени между последовательными событиями из простейшего потока событий с интенсивностью λ является случайной величиной, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром λ.

Замечание. Плотность показательного распределения определяется по формуле:

f(t)=0, при -∞<t<0, и f(t)=λ*e-λ*t, при 0≤t<+∞.

1.4. Понятие Марковского подхода

Марковский процесс — случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значения временного параметра не зависит от эволюции, предшествовавшей, при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано («будущее» процесса не зависит от «прошлого» при известном «настоящем»; другая трактовка (Вентцель): «будущее» процесса зависит от «прошлого» лишь через «настоящее»).

Процесс Маркова — модель авторегрессии AR(1): xt=ψ1*xt-1+εt

Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А.Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать "динамикой вероятностей". В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как: теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. В настоящее время теория марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях таких наук, как механика, физика, химия и др.

Благодаря сравнительной простоте и наглядности математического аппарата, высокой достоверности и точности получаемых решений, особое внимание марковские процессы приобрели у специалистов, занимающихся исследованием операций и теорией принятия оптимальных решений.

Марковские случайные процессы относятся к частным случаям случайных процессов (СП). В свою очередь, случайные процессы основаны на понятии случайной функции (СФ).

Случайной функцией называется функция, значение которой при любом значении аргумента является случайной величиной (СВ). По иному, СФ можно назвать функцию, которая при каждом испытании принимает какой-либо заранее неизвестный вид.

Такими примерами СФ являются: колебания напряжения в электрической цепи, скорость движения автомобиля на участке дороги с ограничением скорости, шероховатость поверхности детали на определенном участке и т.д.

Как правило, считают, что если аргументом СФ является время, то такой процесс называют случайным. Существует и другое, более близкое к теории принятия решений, определение СП. При этом под случайным процессом понимают процесс случайного изменения состояний какой-либо физической или технической системы по времени или какому-либо другому аргументу.

Нетрудно заметить, что если обозначить состояние Si и изобразить зависимость Si(t), то такая зависимость и будет случайной функцией.

СП классифицируются по видам состояний Si и аргумента t. При этом СП могут быть с дискретными или непрерывными состояниями или временем. Например, любой выборочный контроль продукции будет относиться к СП с дискретными состояниями (S1- годная, S2 - негодная продукция) и дискретным временем (t1 , t2 - времена проверки). С другой стороны, случай отказа любой и машины можно отнести к СП с дискретными состояниями, но непрерывным временем. Проверки термометра через определенное время будут относиться к СП с непрерывным состоянием и дискретным временем. В свою очередь, например, любая осциллограмма будет записью СП с непрерывными состояниями и временем.

Кроме указанных выше примеров классификации СП, существует еще одно важное свойство. Это свойство описывает вероятностную связь между состояниями СП. Так, например, если в СП вероятность перехода системы в каждое последующее состояние зависит только от предыдущего состояния, то такой процесс называется процессом без последействия

Зависимость Pi / i + 1 = f(Si) называют переходной вероятностью, часто говорят, что именно процесс без последействий обладает марковским свойством, однако, строго говоря, здесь есть одна неточность. Дело в том, что можно представить себе СП, в котором вероятностная связь существует не только с предшествующими, но и более ранними - Si-1, Si+2 ... состояниями, т.е.

Pi/i+1 = f (Si, Si-1, Si-2)

Такие процессы также рассматривались А.А.Марковым, который предложил называть их в отличие от первого случая (простой цепи) - сложной цепью. В настоящее время теория таких цепей разработана слабо и обычно применяют так называемый процесс укрупнения состояний путем математических преобразований, объединяя предшествующие состояния в одно.

Это обстоятельство должно обязательно учитываться при составлении математических моделей принятия решений.

Итак, марковский процесс удобно задавать графом переходов из состояния в состояние.

Мы рассмотрим два варианта описания марковских процессов — с дискретным и непрерывным временем.

В первом случае переход из одного состояния в другое происходит в заранее известные моменты времени — такты (1, 2, 3, 4, …). Переход осуществляется на каждом такте, то есть исследователя интересует только последовательность состояний, которую проходит случайный процесс в своем развитии, и не интересует, когда конкретно происходил каждый из переходов.

Во втором случае исследователя интересует и цепочка меняющих друг друга состояний, и моменты времени, в которые происходили такие переходы.

1.5. Показатели эффективности СМО

СМО описываются некоторыми параметрами, которые характеризуют эффективность работы системы.

n – число каналов в СМО;

λ – интенсивность входящего потока;

μ – интенсивность потока обслуживания;

ρ = – показатель нагрузки системы;

m – максимальное число мест в очереди, ограничивающее длину очереди заявок;

pотк – вероятность отказа заявке в принятии ее в систему;

робс – вероятность того, что заявка будет обслужена;

Q= робс – относительная пропускная способность системы;

При этом:

Q=pобс=1-pотк

А – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способность СМО)

A=λ*Q

LСМО – среднее число заявок, находящихся в СМО.

Lоч - среднее число заявок в очереди. Определяется как математическое ожидание случайной величины m – числа заявок, состоящих в очереди

Lоч=M(m)=

Здесь pn+I - вероятность нахождения в очереди i заявок;

– среднее время пребывания заявки с СМО

– среднее время пребывания заявки в очереди

Для открытых СМО справедливы соотношения:

= = +

Эти соотношения называются формулами Литтла и применяются только для стационарных потоков заявок и обслуживания.

При всем многообразии СМО они имеют общие черты, которые позволяют унифицировать их моделирование для нахождения наиболее эффективных вариантов организации таких систем.

Для моделирования СМО необходимо иметь следующие исходные данные:

- основные параметры;

- граф состояний.

Результатами моделирования СМО являются вероятности ее состояний, через которые выражаются все показатели ее эффективности.

Основные параметры для моделирования СМО включают:

- характеристики входящего потока заявок на обслуживание;

- характеристики механизма обслуживания.

Рассмотрим характеристики потока заявок.

Поток заявок - последовательность заявок, поступающих на обслуживание.

Интенсивность потока заявок λ - среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.

Механизм обслуживания характеризуется:

- числом n каналов обслуживания;

- производительностью канала, или интенсивностью обслуживания μ;