Системы счисления. 7

 

 Министерствообразования и науки

Хабаровского края

Краевое государственное  бюджетное учреждение среднего профессионального  образования 

Солнечный промышленный техникум

 

 

Курсовая работа

 специальность: 230103 « Автоматизированные системы обработки информации и управления»

Дисциплина: разработка и эксплуатация информационных систем

на тему: «Системы счисления»

К.Р РиЭАИС 04.11.ПЗ

 

 

 

 

Выполнил: студент  AC-4 
Иваненко Е.А

Проверил:  Якумов. А.А.

 

 

 

Солнечный 
2011

                                                       

 

                                          

                                                      Содержание

 

 Введение……………………………………………………………………………...3

  1. Методы…………………………………………………………………….……...4
  2. Мои результаты………………………………………………………………….5
  3. Сущность различных систем счисления……………………………………….6
  4. Системы счисления……………………………………………………………....7
  5. Базисный набор……………………………………………………………….....7
  6. Непозиционные системы счисления…………………………………………….8
  7. Римские цифры…………………………………………………………….……..8
  8. Египетские счисления……………………………………………………….......9
  9. Позиционная система счислений………………………………………………10
  10. Как перевести целое число из десятичной системы в любую позиционную систему счисления?..........................................................................................11
  11. Применение теоремы о смешанных системах счисления…………………….14

 Заключение………………………………………………………………………....15

     Список Литературы………………………………………………………………..16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                   

 

 

 

                                                    Введение

 

В повседневной жизни мы, как правило, пользуемся десятичной системой счисления. Но это лишь одна из многих систем, которая получила свое распространение, вероятно, по той  причине, что у человека на руках 10 пальцев. Однако эта система не всегда удобна. Так, в вычислительной технике применяется двоичная система  счисления.

В разные исторические периоды  развития человечества для подсчетов  и вычислений использовались те или  иные системы счисления. Например, довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. д.) и  сейчас считают дюжинами. Число месяцев  в году двенадцать. Двенадцатеричная система счисления сохранилась  в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).

В древнем Вавилоне существовала весьма сложная шестидесятеричная  система. Она, как и двенадцатеричная система, в какой-то степени сохранилась  и до наших дней (например, в системе  измерения времени: 1 час = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам, аналогично в системе  измерения углов: 1 градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).

система счисления, у ацтеков  и народов майя, населявших в течение  многих столетий обширные области американского  континента, - двадцатеричная система. У некоторых племен Австралии и Полинезии встречалась двоичная система.

Цели данной работы Выяснить какую роль играют различные системы счисления на наших современников и как они относятся к "древним" системам счисления и нашим "современникам". Найти информацию о том как появился счёт, о том, какими системами счисления пользовались люди в древние времена, какие системы счисления используются в современном мире.

Исследовать какие системы  счисления используют одноклассники, родители, знакомые. Для этого выяснить какие системы счисления «живут» и ныне, в чем причина их долгожительства, могли бы мы обходиться без какой-либо из них.

Представить результаты исследования "Какую роль в вашей жизни  играет счёт?" и выводы в Wiki-стенгазете.

Создать игровую тестирующую  программу по теме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                     

                           

                                 1.   Методы исследования


 

1   Анкетирование .

 2  Социологический опрос .

I этап - анкетирование  студентов 
Для того чтобы получить ответ на первый вопрос «Как появился счет?», мы выдвинули гипотезу «Люди за всю историю существования придумали лишь пять различных систем счисления". 
С целью – выяснить, что студенты знают о появлении счета, мы провели анкетирование «Счет - вчера, сегодня, завтра"». 
В анкетировании приняли участие 62 учащихся нашего техникума:

Участники анкетирования 

Девочки

Мальчики 

Итого

Учащиеся 1-ого курса 

9

15

24

Учащиеся 2-ого курса 

13

10

23

Учащиеся 3-ого курса 

10

5

15

Итого

32

30

 

 

Анализируя данную таблицу, можно сделать вывод, что в  анкетировании приняли участие  студенты 1,2,3 курсов техникума.

Ребятам были предложены следующие  вопросы анкеты: 
1. Как давно появился счет? 
2. Сколько различных систем счисления Вы знаете? 
3. Какими системами счисления Вы пользуетесь ежедневно? 
4. Как Вы думаете, "живут" ли в современном мире "древние" системы счисления, кроме общеизвестных?

 

 

 

 

 

                             II этап - социологический опрос

 
   Работая над вопросом «Какими системами счисления пользовались люди в древние времена и какими пользуются в современном мире?», мы выдвинули гипотезу «Наши современники пользуются лишь двумя системами счисления». Для этого мы провели социологический опрос людей, которых встретили в техникуме и на территории нашего техникума, а также родителей и родственников.  
В социологическом опросе приняли участие 44 человека. 
Нашим респондентам были предложены вопросы: 
1. Назовите системы счисления, которые "жили" в древности? 
2. Назовите системы счисления, которые "живут" в современном мире? 
3. Какие системы счисления используют наши современники, но не все?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

                                               

                                        2     Мои результаты

На I этапе исследования, мы выяснили что учащиеся 1-ого курса знакомы лишь с десятичной системой счисления. Учащиеся 2 и3 курса наиболее просвещенные в этой теме: называют от 3 до 6 систем счисления. Итак, подводя итоги I этапа, можно сделать вывод, что выдвинутая нами гипотеза «Люди за всю историю существования придумали лишь пять различных систем счисления"» не подтвердилась.

В ходе исследования мы также  выяснили, что современные люди используют: римскую, десятичную, 60-ричную системы  счисления почти ежедневно. Но есть и другие системы счисления, которые  тоже "живут" в современном  мире: старославянская, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.

На II этапе исследования, мы получили следующие результаты: наши современники называют 2-3 системы  счисления. С годами "жизнь" систем счисления изменяется: некоторые  уходят в прошлое, в тоже время, есть такие, которые "живут" и в современном  мире. Подводя итоги данного опроса, можно сделать вывод, что выдвинутая нами гипотеза «Наши современники пользуются лишь двумя системами счисления» не подтвердилась.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                      

                               3     Сущность различных систем счислений

 

Вначале проанализируем различия между цифрами и числами: число - это абстрагированная от конкретики запись количества (например, число 25 - это двадцать пять предметов чего угодно и не только предметов, а, скажем, лет или килограммов), а цифра - это специальный знак для обозначения количества единиц. Следует обратить внимание, что цифры - это тоже записи чисел, например 8 - это не только цифра, но и число.

Слово «цифра» происходит от позднелатинского слова «cifra», первые цифры появились у египтян и вавилонян, причем интересно, что цифры, как специальные знаки, образовались позже, чем буквы. Так, многие народы (греки, финикияне, евреи, сирийцы) для цифр использовали буквы алфавита, в России аналогичная система применялась вплоть до XVI века. Современные так называемые «арабские цифры» имеют неясное происхождение, например, утверждают, что они принесены в Европу арабами в XIII веке возможно из Индии. Повсеместно их стали использовать с XV века.

Число - это одно из фундаментальных и самых древних понятий математики; оно появилось сначала в связи со счетом отдельных предметов, а затем, абстрагировавшись, стало обозначать количественную меру. Это привело к идее о бесконечности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4... и т. д. Для наших целей такого определения достаточно, но математиками были разработаны и другие числа. В частности, задачи измерения площадей привели к понятию рационального (дробного) числа, затем появились отрицательные числа, необходимость в вычислении отношения диагонали квадрата к его стороне привела к открытию иррациональных чисел, рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел и т. д. И лишь в XIX веке была разработана теория действительных чисел. Новый импульс эта теория получила в связи с развитием компьютерных технологий.

Известно, что числовая ось  бесконечна, поскольку к каждому  числу можно прибавить еще  единицу и получить следующее  число, с которым можно поступить  так же. При этом понятно, что придумывать  какие-либо специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) бесконечной числовой оси нереально.

Поэтому для записи произвольного  числа бесконечной числовой оси  прибегают к помощи одной или  нескольких систем счисления.

Счисление (система счисления) - это способ представления любых чисел с помощью определенного количества знаков (цифр) по позиционному принципу.

В этом определении стоит  выделить следующие важные моменты.

Количество знаков, которые  обычно именуются «цифрами», всегда ограничено. И с помощью такого, ограниченного количества цифр (обычно мы используем десять цифр) удается  записывать произвольные числа, например 23 456 или 1 000 123 456 789.

Чтобы преодолеть это ограничение, используется особый способ записи, который  называется «позиционным».

 

 

 

 

Позиционная система счисления  состоит в использовании ограниченного  числа цифр, зато позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры на математическом языке называется разрядом.

 

 

Другими словами, значение цифры  «переменчиво» и зависит от ее позиции в числе. Например, в числе  «одиннадцать» («11») две единицы  имеют разное значение, это относится  и к другим сочетаниям «единиц» - «111», «1111», «11 111» и т. д.

Не всякие числовые системы  используют именно такой позиционный  способ записи, в истории человечества были и иные эксперименты.

Способ записи чисел с  помощью римских цифр не грешит единообразием: если цифра расположена справа, то ее значение прибавляется к предыдущей, например число «XI» означает «одиннадцать».

 

                                4    Система счисления

 

это способ записи чисел  с помощью заданного набора специальных  знаков (цифр).

Запись числа в некоторой  системе счисления называется кодом  числа.

Отдельную позицию в изображении  числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа  называется разрядностью и совпадает  с его длиной.

 

                                 5    Базисный набор 

 набор функций, который используется для построения     молекулярных орбиталей, которые представляются как линейная комбинация  функций этого набора с определенными весами или коэффициентами. Обычно этими функциями являются атомные орбитали, центрированные на атомах, хотя иногда функции центрируют на связях, наполовинахp-орбитали и т. п.БазисыПоуплаНазвание валентно-расщеплённых базисных наборов, созданных группой Джона Поупла, выглядит обычно как X-YZg. Здесь X обозначает количество простых гауссовых функций, входящих в состав базисной функции атомной орбитали. Y и Z показывают, что валентныеорбитали состоят из двух базисных функций каждая: первая из которых представляет собой линейную комбинацию Y простых гауссовых функций, а вторая — Z простых гауссовых функций. То есть две цифры после дефиса подразумевают, что данный базис является валентно-расщепленным, double-zeta. Если после дефиса стоит три или четыре цифры, то базис, соответственно, будет tripe-, quadruple-zeta. Чаще всего используют следующие базисы Поупла:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • 3-21g
  • 3-21g* — с поляризационными функциями
  • 3-21+g — с диффузионными функциями
  • 3-21+g* — с поляризационными и диффузионными функциями
  • 6-31g
  • 6-31g*
  • 6-31+g*
  • 6-31g (3df, 3pd)
  • 6-311g
  • 6-311g*
  • 6-311+g*

                   6   Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в  числе. При этом система может  накладывать ограничения на положение  цифр, например, чтобы они были расположены  в порядке убывания.

 

                          7    Римские цифры 

 

 цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Римские цифры появились  за 500 лет до нашей эры у этрусков.Числовые обозначения в Древнем Риме напоминали первый способ греческой нумерации. У римлян были специальные обозначения не только для чисел 1, 10, 100 и 1000, но и для чисел 5, 50 и 500. Римские цифры имели такой вид: 1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D и 1000 - M. Возможно, знак V означал раскрытую руку, а X - две такие руки. Но есть и иное объяснение. Когда счет шел десятками, то, нарисовав 9 палочек, десятой их перечеркивали. А чтобы не писать слишком много палочек, перечеркивали одну палочку и писали десять так: . отсюда и получилась римская цифра X. А цифра 5 получилась просто разрезанием цифры для числа 10 пополам.

Спорят ученые и о происхождении  других римских цифр. Возможно, что  обозначения C и M связаны с римскими названиями сотни и тысячи. Тысячу римляне называли "милле" (слово "миля" когда-то обозначало путь в тысячу шагов).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначая числа, римляне  записывали столько цифр, чтобы их сумма давала нужное число. Например, число 7 они записывали так: VII, а число 362 так: CCCLXII. Как видите, сначала идут большие цифры, а потом поменьше. Но иногда римляне писали меньшую  цифру перед большей. Это означало, что нужно не складывать, а вычитать. Например, число 4 обозначалось IV (без одного пять), а число 9 - IX (без одного девять). Запись XC означала число 90 (без одного сто). Так что, если вы увидите на старинном доме сделанную римскими цифрами надпись MDCCCXLIV, то легко определите, что он построен в 1844 году. А если на афише кинотеатра будет написано "Пираты XX века", то вы не прочтете это "Пираты ха-ха века", а поймете, что речь идет о пиратах двадцатого века. Самым большим числом, которое умели обозначать римляне, было 100000. Поэтому обычно в названиях крупных денежных сумм слова "сотен тысяч" опускались. Запись означала 10 сотен тысяч, то есть миллион.

Хотя римская нумерация  была не слишком удобной, она распространилась по всей ойкумене - так называли древние  греки известный им обитаемый  мир. Когда-то римляне завоевали  многие страны и присоединили их к  своей империи. Со всех этих стран  они взимали громадные налоги и, конечно,

пользовались при этом своими обозначениями чисел. Так  что пришлось жителям этих стран  учить римскую нумерацию, посылая  все проклятия на головы поработителей. И даже после того, как рухнула  Римская империя, в деловых бумагах  Западной Европы применялась эта  неудобная нумерация.

 

                8      Египетская система счисления 

 

 непозиционная система счисления, которая употреблялась в Древнем Египте вплоть до начала X века н.э. В этой системе цифрами являлись иероглифические символы; они обозначали числа 1, 10, 100 и т. д. до миллиона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                      

                       9    Позиционная система счислений

 

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного  числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = anPn + an-1Pn-1 + ... + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 + ... + a-mP-m

Позиционная система счисления  определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием b также называется b-ричной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п.).

Целое число x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:[1]

, где   — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству

Каждая степень  в такой записи называется разрядом (позицией), старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя степени . Обычно для ненулевого числа требуют, чтобы старшая цифра в b-ричном представлении была также ненулевой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как перевести целое число  из десятичной системы в любую  другую позиционную систему счисления?

 

Для перевода целого десятичного  числа  N  в систему счисления с основанием  q  необходимо  N  разделить с остатком ("нацело") на  q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на  q , и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N  в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

 

 

 

 

 

Достаточно часто требуется  уметь переводить число из одной  системы счисления в другую. Давайте  научимся выполнять такое действие. Преобразование целых чисел и  правильных дробей выполняется по разным правилам. В действительном числе  преобразование целой и дробной  части производят по отдельности.

Преобразование целых  чисел.

Для перевода необходимо исходное число разделить на основание новой системы счисления до получения целого остатка, который является младшим разрядом числа в новой системе счисления (единицы). Полученное частное снова делим на основание системы и так до тех пор, пока частное не станет меньше основания новой системы счисления. Все операции выполняются в исходной системе счисления.

 

 

 

 

 

Рассмотрим для примера  перевод числа из десятичной системы  счисления в двоичную.

Возьмём десятичное число  А10 = 124 и поделим его на основание двоичной

системы, то есть число 2. Деление  будем производить уголком:

 

 

 

 

 

 

В результате первого деления  получим разряд единиц (самый младший  разряд). В результате второго деления  получим разряд двоек. Деление 

продолжаем, пока результат  деления больше двух. В конце операции преобразования мы получили двоичное число 11111002.

Теперь то же самое число  переведём в восьмеричную систему  счисления. Для этого число 12410 разделим на число 8:

Как мы видим, остаток от первого деления равен 4. То есть младший разряд восьмеричного числа  содержит цифру 4. Остаток от второго  деления равен 7. то есть второй разряд восьмеричного числа – это  цифра 7. Старший разряд получился  равным 1. То есть в результате многократного  деления мы получили восьмеричное число 1748.

Проверим, не ошиблись ли мы в процессе преобразования? Для этого  преобразуем получившееся двоичное число в десятичную систему по обычной формуле разложения: 

1×82+7×81+4×80=6410+5610+410=124

А можно ли осуществить  перевод из восьмеричной системы  счисления в двоичную делением? Можно! Но деление нужно произвести по правилам восьмеричной арифметики. Правила работы в восьмеричной системе счисления мы рассмотрим в следующей главе. Тем не менее, для полноты материала, рассмотрим пример перевода в двоичную форму полученного ранее восьмеричного числа 1748. Разделим его на основание новой системы счисления 2.

 

Как мы убедились выполнять  деление в восьмеричной системе  очень неудобно, ведь подсознательно мы делим в десятичной системе  счисления. Давайте обратим внимание на то, что число 8 является степенью числа 2. То есть можно считать восьмеричную систему счисления просто более  короткой записью двоичного числа. Это означает, что для представления  восьмеричной цифры можно использовать три двоичных бита (8=23). Давайте составим таблицу соответствия. Она приведена в таблице

 

 

 

 

 

     Таблица 1. Таблица соответствия восьмеричных цифр и двоичного кода

Двоичный код

Восьмеричная цифра

Десятичный эквивалент

000

0

0

001

1

1

010

2

2

011

3

3

100

4

4

101

5

5

110

6

6

111

7

7


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применение теоремы о  смешанных системах счисления

Если системы с основаниями  Р и Q являются смешанными, то перевод чисел из одной такой системы счисления в другую осуществляется чрезвычайно просто. А если мы уже знаем представление каждой цифры Q-ичной системы в Р-ичной (здесь Q > Р), то перевод становится тривиальным, причем в обе стороны.

Одно из практических применений теоремы о смешанных системах счисления состоит в том, что  арифметические действия над числами, записанными в любой системе счисления, моженовыполнить в системе, смешанной с исходной, если последняя более удобна.

Например, вычисления в 100-ичной  системе заменяются на десятичную арифметику (100-ичные числа переводятся в  десятичную систему, а результат  при необходимости может быть снова записан в 100-ичной), а действия с шестнадцатеричными или восьмеричными  числами легко заменяются на двоичную арифметику (что активно используется в 

Данную теорему можно  также использовать для сокращения длины записи чисел, путем замены системы счисления с меньшим основанием, на систему с большим, но таким, чтобы эти системы являлись смешанными. Заметим,что это всегда возможно. Так, если мы имеем запись числа в Р-ичной системе, то мы можем переписать это же число в системе с основанием Q = Pm, уменьшив количество цифр в m раз (конечно, если их больше, чем m).. Например, при использовании двоичной системы счисления сами числа можно представлять в 256-ричной, сократив количество цифр в записи числа в 8 раз (256 = 28).

Но и на этом применение теоремы не исчерпывается. Теорема  о смешанных системах счисления  может иногда сделать более рациональным решение задачи перевода чисел из одной системы в другую, даже если они непосредственно не являются смешанными.

Например, при переводе чисел  из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и наоборот удобно сначала переписать число в двоичном виде (двоичная система является смешанной как с восьмеричной, так и с шестнадцатеричной).

Бывает также необходимо перевести число из десятичной системы  счисления сразу в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Сначала следует определить, перевод в какую из перечисленных систем является длявас наиболее простым и удобным.

С одной стороны, перевод  в шестнадцатеричную систему  путем последовательного деления  на 16 выполняется меньшим числом действий, а, следовательно, вероятность  сделать ошибку уменьшается, однако операцию деления на 16 тривиальной  не назовешь. С другой стороны, при  переводе в