Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Случайные функции

Содержание

Введение

На практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Примерами таких случайных величин могут служить: ошибка радиодальномера при непрерывном измерении меняющейся дальности; угол упреждения при непрерывном прицеливании по движущейся цели; отклонение траектории управляемого снаряда от теоретической в процессе управления или самонаведения. Такие случайные величины, изменяющиеся в процессе опыта называются случайными функциями.

Изучением подобных случайных явлений, в которых случайность проявляется в форме процесса, занимается специальная отрасль теории вероятностей — теория случайных функций (иначе — теория случайных или стохастических процессов). Эту науку можно образно назвать «динамикой случайных явлений». Теория случайных функций — новейший раздел теории вероятностей, развившийся, в основном, за последние два-три десятилетия.

В настоящее время эта теория продолжает развиваться и совершенствоваться весьма быстрыми темпами. Это связано с непосредственными требованиями практики, в частности с необходимостью решения ряда технических задач. Известно, что за последнее время в технике все большее распространение получают системы с автоматизированным управлением. Соответственно все большие требования предъявляются к теоретической базе этого вида техники — к теории автоматического управления. Развитие этой теории невозможно без анализа ошибок, неизбежно сопровождающих процессы управления, которые всегда протекают в условиях непрерывно воздействующих случайных возмущений (так называемых «помех»). Эти возмущения по своей природе являются случайными функциями. Для того чтобы рационально выбрать конструктивные параметры системы управления, необходимо изучить ее реакцию на непрерывно воздействующие случайные возмущения, а единственным аппаратом, пригодным для такого исследования, является аппарат теории случайных функций.

1 Случайные функции

1.1 Понятие о случайной функции

Первым из основных понятий является само понятие случайной функции. Это понятие настолько же шире и богаче понятия случайной величины, насколько математические понятия переменной величины и функции шире и богаче понятия постоянной величины.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее.

Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Если над случайной функцией произвести группу опытов, то мы получим группу или «семейство» реализаций этой функции.

В ряде задач практики встречаются случайные функции, зависящие не от времени, а от других аргументов. Например, характеристики прочности неоднородного стержня могут рассматриваться как случайные функции абсциссы сечения х. Температура воздуха в различных слоях атмосферы может рассматриваться как случайная функция высоты Н.

На практике встречаются также случайные функции, зависящие не от одного аргумента, а от нескольких. Например, аэрологические данные, характеризующие состояние атмосферы (температура, давление, ветер), представляют собой в общем случае случайные функции четырех аргументов: трех координат х, y, z и времени t.

Рассмотрим некоторую случайную функцию X (t). Предположим, что над ней произведено п независимых опытов, в результате которых получено п реализаций (рисунок 1) . Обозначим их соответственно номеру опыта x₁(t), х₂(t).....x_n(t).

Рисунок 1

Каждая реализация, очевидно, есть обычная (неслучайная) функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция X (t) превращается в обычную, неслучайную функцию.

Фиксируя некоторое значение аргумента t и посмотрим, во что превратится при этом случайная функция X (t). Очевидно, она превратится в случайную величину в обычном смысле слова. Эту случайную величину называют сечением случайной функции, соответствующим данному t. Если провести «сечение» семейства реализаций при данном t (рисунок 1), мы получим п значений, принятых случайной величиной X (t) в я опытах.

Мы видим, что случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента, она превращается в обычную случайную величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную) функцию.

1.2 Понятие о случайной функции как расширение понятия о системе случайных величин. Закон распределения случайной функции

Рассмотрим некоторую случайную функцию Х(t) на определенном отрезке времени (рисунок 2).

Строго говоря, случайную функцию не изображают с помощью кривой на графике: начертить можно лишь ее конкретные реализации. Однако в целях наглядности можно позволить условно изобразить на чертеже случайную функцию X (t) в виде кривой, понимая под этой кривой не конкретную реализацию, а всю совокупность возможных реализаций X (t). Эту условность отмечают тем, что кривую, символически изображающую случайную функцию, изображают пунктиром.

Рисунок 2

Предположим, что ход изменения случайной функции регистрируется с помощью некоторого прибора, который не записывает случайную функцию непрерывно, а отмечает ее значения через определенные интервалы — в моменты времени t₁,t₂, ..., t_m.

При фиксированном значении t случайная функция превращается в обычную случайную величину. Следовательно, результаты записи в данном случае представляют собой систему т случайных величин:

X(t₁), X(t₂), .... X(t_m)

Очевидно, при достаточно высоком темпе работы регистрирующей аппаратуры запись случайной функции через такие интервалы даст достаточно точное представление о ходе ее изменения. Таким образом, рассмотрение случайной функции можно с некоторым приближением заменить рассмотрением системы случайных величин (2). По мере увеличения т такая замена становится все более и более точной. В пределе число значений аргумента — и соответственно число случайных величин (2) — становится бесконечным. Таким образом, понятие случайной функции можно рассматривать как естественное обобщение понятия системы случайных величин на случай бесконечного (несчетного) множества величин, входящих в систему.

Исходя из такого толкования случайной функции попытаемся ответить на вопрос: что же должен представлять собой закон распределения случайной функции?

Зная, что закон распределения одной случайной величины есть функция одного аргумента, закон распределения системы двух величин — функция двух аргументов и т. д. Однако практическое пользование в качестве вероятностных характеристик функциями многих аргументов настолько неудобно, что даже для систем трех-четырех величин мы обычно отказываемся от пользования законами распределения и рассматриваем только числовые характеристики. Что касается закона распределения случайной функции, который представляет собой функцию бесчисленного множества аргументов, то такой закон в лучшем случае можно чисто формально записать в какой-либо символической форме; практическое же пользование подобной характеристикой, очевидно, совершенно исключено.

Можно, однако, для случайной функции построить некоторые вероятностные характеристики, аналогичные законам распределения. Идея построения этих характеристик заключается в следующем.

Рассмотрим случайную величину X (t) — сечение случайной функции в момент t (рисунок 3). Эта случайная величина, очевидно, обладает законом распределения, который в общем случае зависит от t. Обозначим его f (х, t). Функция f (x, t) называется одномерным законом распределения случайной функции X (t).

Рисунок 3

Очевидно, функция f (x, t) не является полной, исчерпывающей характеристикой случайной функции X (t). Действительно, эта функция характеризует только закон распределения X(t) для данного, хотя и произвольного t; она не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин X (t) при различных t. С этой точки зрения более полной характеристикой случайной функции X (t) является так называемый двумерный закон распределения:

f(x₁ x₂; t₁ ,t₂).

Это — закон распределения системы двух случайных величин X (t₁), X (t₂), т. е. двух произвольных сечений случайной функция X (t). Однако и эта характеристика а общем случае не является исчерпывающей; еще более полной характеристикой был бы трехмерный закон:

f(x₁ , х₂,, х₃; t₁,t₂, t₃).

Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов и получать при этом все более подробную, все более исчерпывающую характеристику случайной функции, но оперировать со столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне неудобно. Поэтому при исследовании законов распределения случайных функций обычно ограничиваются рассмотрением частных случаев, где для полной характеристики случайной функции достаточно, например, знания функции (2) (так называемые «процессы без последействия»).

1.3 Характеристики случайных функций

Есть много случаев убедиться в том, какое большое значение в теории вероятностей имеют основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание и дисперсия — для одной случайной величины, математические ожидания и корреляционная матрица — для системы случайных величин. Искусство пользоваться числовыми характеристиками, оставляя по возможности в стороне законы распределения, — основа прикладной теории вероятностей. Аппарат числовых характеристик представляет собой весьма гибкий и мощный аппарат, позволяющий сравнительно просто решать многие практические задачи.

Совершенно аналогичным аппаратом пользуются и в теории случайных функций. Для случайных функций также вводятся простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин, и устанавливаются правила действий с этими характеристиками. Такой аппарат оказывается достаточным для решения многих практических задач.

В отличие от числовых характеристик случайных величин, представляющих собой определенные числа, характеристики случайных функций представляют собой в общем случае не числа, а функции.

Математическое ожидание случайной функции X (t) определяется следующим образом. Рассмотрим сечение случайной функции X (t) при фиксированном t. В этом сечении мы имеем обычную случайную величину; определим ее математическое ожидание. Очевидно, в общем случае оно зависит от t, т. е, представляет собой некоторую функцию t :

m_x(t)=M [ X (t) ].

Рисунок 4

Таким образом, математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция m_x(t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции.

На рисунок 5 тонкими линиями показаны реализации случайной функции, жирной линией — ее математическое ожидание.

Аналогичным образом определяется дисперсия случайной функции.

Дисперсией случайной функции X (t) называется неслучайная функция D_x (t), значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции :

D_x (t) = D [ X (t) ].

Рисунок 5

Дисперсия случайной функции при каждом t характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего, иными словами, «степень случайности» случайной функции.

Очевидно, D_x(t) есть неотрицательная функция. Извлекая из нее квадратный корень, получим функцию a_x (t) — среднее квадратическое отклонение случайной функции:

Рисунок 6

Математическое ожидание и дисперсия представляют собой весьма сажные характеристики случайной функции; однако для описания основных особенностей случайной функции этих характеристик недостаточно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две случайные функции Х₁ (t) и X₂(t), наглядно изображенные семействами реализаций на рисунках 5 и 6.

У случайных функций Х₁(t) и Х₂ (t) примерно одинаковые математические ожидания и дисперсии; однако характер этих случайных функций резко различен. Для случайной функции X_x(t) (рисунок 5) . характерно плавное, постепенное изменение. Если, например, в точке t случайная функция Х₁(t) приняла значение, заметно превышающее среднее, то весьма вероятно, что и в точке t' она также примет значение больше среднего. Для случайной функции Х₁(t) характерна ярко выраженная зависимость между ее значениями при различных t. Напротив, случайная функция X₂(t) (рисунок 6) имеет резко колебательный характер с неправильными, беспорядочными колебаниями. Для такой случайной функции характерно быстрое затухание зависимости между ее значениями по мере увеличения расстояния по t между ними.

Очевидно, внутренняя структура обоих случайных процессов совершенно различна, но это различие не улавливается ни математическим ожиданием, ни дисперсией; для его описания необходимо ввести специальную характеристику. Эта характеристика называется корреляционной функцией (иначе — автокорреляционной функцией). Корреляционная функция характеризует степень зависимости

между сечениями случайной функции, относящимися к различным t.

Пусть имеется случайная функция X (t) (рис. 7); рассмотрим два ее сечения, относящихся к различным моментам: t и t', т. е. две случайные величины X (t) и X (t').

Рисунок 7

Очевидно, что при близких значениях t и t' величины X (t) и X (t') связаны тесной зависимостью: если величина X (t) приняла какое-то значение, то и величина X (t') с большой вероятностью примет значение, близкое к нему. Очевидно также, что при увеличении интервала между сечениями t, t' зависимость величин X(t) и X(t') вообще должна убывать.

Степень зависимости величин X (t) и X (t') может быть в значительной мере охарактеризована их корреляционным моментом; очевидно, он является функцией двух аргументов t и t'. Эта функция и называется корреляционной функцией.

Таким образом, корреляционной функцией случайной функции X (t) называется неслучайная функция двух аргументов K_x (t, t'), которая при каждой паре значений t, t' равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

где

Вернемся к примерам случайных функций X_l(t) и X₂(t) (рисунок 5, 6). Теперь видно, что при одинаковых математических ожиданиях и дисперсиях случайные функции Х₁(t) и X₂(t) имеют совершенно различные корреляционные функции. Корреляционная функция случайной функции X₁(t) медленно убывает по мере увеличения промежутка (t, t'); напротив, корреляционная функция случайной функции X₂(t) быстро убывает с увеличением этого промежутка.

Выясним, во что обращается корреляционная функция K_x(t, t'), когда ее аргументы совпадают. Полагая t'= t, имеем:

т. е. при t' = t корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции.

Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает: в качестве основных характеристик случайной функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.

Рисунок 8

Так как корреляционный момент двух случайных величин X (t) и X (t') не зависит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, то корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов, т. е. не меняется при перемене аргументов местами:

K_x (t, t') =K_x(t, t').

Если изобразить корреляционную функцию K_x(t, t') в виде поверхности, то эта поверхность будет симметрична относительно вертикальной плоскости Q, проходящей через биссектрису угла tOt' (рисунок 8).

Заметим, что свойства корреляционной функции естественно вытекают из свойств корреляционной матрицы системы случайных величин. Действительно, заменим приближенно случайную функцию X(t) системой т случайных величин X (t₁ ), X (t₂).....X (t_m).

При увеличении т и соответственном уменьшении промежутков между аргументами корреляционная матрица системы, представляющая собой таблицу о двух входах, в пределе переходит в функцию двух непрерывно изменяющихся аргументов, обладающую аналогичными свойствами. Свойство симметричности корреляционной матрицы относительно главной диагонали переходит в свойство симметричности корреляционной функции. По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин; аналогично при t'=t корреляционная функция K_x(t, ¥) обращается в дисперсию D_x (t).

На практике, если требуется построить корреляционную функцию случайной функции X (t), обычно поступают следующим образом: задаются рядом равноотстоящих значений аргумента и строят корреляционную матрицу полученной системы случайных величин. Эта матрица есть не что иное, как таблица значений корреляционной функции для прямоугольной сетки значений аргументов на плоскости (t, t’). Далее, путем интерполирования или аппроксимации можно построить функцию двух аргументов K_x(t, t^f).

Вместо корреляционной функции K_x(t, t’). можно пользоваться нормированной корреляционной функцией:

которая представляет собой коэффициент корреляции величин X (t), X (t). Нормированная корреляционная функция аналогична нормированной корреляционной матрице системы случайных величин. При t’=t нормированная корреляционная функция равна единице:

Выясним, как меняются основные характеристики случайной функции при элементарных операциях над нею: при прибавлении неслучайного слагаемого и при умножении на неслучайный множитель. Эти неслучайные слагаемые и множители могут быть как постоянными величинами, так в общем случае и функциями t.

Прибавим к случайной функции X (t) неслучайное слагаемое φ(t). Получим новую случайную функцию:

Y(t)=X(t)+φ(t)

По теореме сложения математических ожиданий:

m_y(t)=m_x(t)+φ(t)

т. е. при прибавлении к случайной функции неслучайного слагаемого к ее математическому ожиданию прибавляется то же неслучайное слагаемое.

Определим корреляционную функцию случайной функций Y (t):

т. е. от прибавления неслучайного слагаемого корреляционная функция случайной функции не меняется.

Умножим случайную функцию X(t) на неслучайный множитель φ(t):

Y(t)=φ(t)X(t)

Вынося неслучайную величину y(t) за знак математического ожидания, имеем:

M_y(t)=M[φ(t)X(t)]=φ(t)m_x(t)

т. е. при умножении случайной функции на неслучайный множитель ее математическое ожидание умножается на тот оке множитель.

Определяем корреляционную функцию:

т. е. при умножении случайной функции на неслучайную функцию ср(t) ее корреляционная функция умножается на (t)(t')

В частности, когда cp(£) = c (не зависит от t), корреляционная функция умножается на с².

Пользуясь выведенными свойствами характеристик случайных функций, можно в ряде случаев значительно упростить операции с ними. В частности, когда требуется исследовать корреляционную функцию или дисперсию случайной функции, можно заранее перейти от нее к так называемой центрированной функции;

X(t) = X(t) — m_x(t).

Математическое ожидание центрированной функции тождественно равно нулю, а ее корреляционная функция совпадает с корреляционной функцией случайной функции X (t):

При исследовании вопросов, связанных с корреляционными свойствами случайных функций, в дальнейшем всегда будем переходить от случайных функций к соответствующим центрированным функциям, отмечая это значком ° вверху знака функции.

Иногда, кроме центрирования, применяется еще нормирование случайных функций. Нормированной называется случайная функция вида:

Корреляционная функция нормированной случайной функции X_N(f)

равна:

а ее дисперсия равна единице.

Сложение случайных функций

Во многих задачах практики встречается то, что на вход динамической системы поступает не одна случайная функция X(t), а две или более случайные функции, каждая из которых связана с действием отдельного возмущающего фактора. Возникает задача сложения случайных функций, точнее — задача определения характеристик суммы по характеристикам слагаемых.

Эта задача решается элементарно просто, если две складываемые случайные функции независимы (точнее, некоррелированны) между собой. В общем же случае для ее решения необходимо знание еще одной характеристики—так называемой взаимной корреляционной функции (иначе — корреляционной функции связи).

Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X (t) и У (t) называется неслучайная функция двух аргументов t и t', которая при каждой паре значений t, t' равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции X (t) и случайной функции Y(t):

Взаимная корреляционная функция, так же как и обычная корреляционная функция, не изменяется при прибавлении к случайным функциям любых неслучайных слагаемых, а следовательно, и при центрировании случайных функций.

Из определения взаимной корреляционной функции вытекает следующее ее свойство:

Вместо функции R_xy(t, t') часто пользуются нормированной взаимной корреляционной функцией:

Если взаимная корреляционная функция равна нулю при всех значениях t, t’, то случайные функции X (t) и У (t) называются некоррелированными (несвязанными).

На практике обычно суждение о некоррелированности случайных функций составляют не на основании равенства нулю взаимной корреляционной функции, а, наоборот, взаимную корреляционную функцию полагают равной нулю на основании физических соображений, свидетельствующих о независимости случайных функций.

Следствия сложения случайных функций:

при сложении двух случайных функций их математические ожидания складываются;
при сложении некоррелированных случайных функций их корреляционные функции складываются;
корреляционная функция суммы взаимно некоррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых;
при прибавлении к случайной функции некоррелированной с нею случайной величины к корреляционной функции прибавляется постоянное слагаемое, равное дисперсии этой случайной величины.

1.5 Комплексные случайные функции

При практическом применении математического аппарата теории случайных функций часто оказывается удобным записывать как сами случайные функции, так и их характеристики не в действительной,

а в комплексной форме. В связи с этим необходимо дать определение комплексной случайной величины и комплексной случайной функции.

Комплексной случайной величиной называется случайная величина вида:

Z = X + iY

где X, Y — действительные случайные величины;

— мнимая единица.

Рисунок 10

Комплексную случайную величину можно геометрически интерпретировать как случайную точку Z на плоскости хОу (рисунок 10).

Для того чтобы аппарат числовых характеристик был применим и к комплексным случайным величинам, необходимо обобщить основные понятия математического ожидания, дисперсии и корреляционного момента на случай комплексных случайных величин. Очевидно, эти обобщения должны быть сделаны так, чтобы в частном случае, когда Y = Q и величина Z действительна, они сводились к обычным определениям характеристик действительных случайных величин.

Математическим ожиданием комплексной случайной величины Z=X+iY называется комплексное число

Это есть некоторое среднее значение величины Z или, геометрически, средняя точка т_z, вокруг которой происходит рассеивание случайной точки Z (рисунок 10).

Дисперсией комплексной случайной величины называется математическое ожидание квадрата модуля соответствующей центрированной величины:

где

Геометрически дисперсия комплексной случайной величины есть не что иное, как среднее значение квадрата расстояния от случайной точки Z до ее математического ожидания т_z (рисунок 10). Эта величина характеризует разброс случайной точки Z около ее среднего положения.

Выразим дисперсию комплексной случайной величины через дисперсии ее действительной и мнимой частей. Очевидно,

т. е. дисперсия комплексной случайной величины равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей.

Из самого определения дисперсии следует, что дисперсия комплексной случайной величины всегда действительна и существенно положительна. Обращаться в пуль она может только в случае, если величина Z не случайна.

Данные выше определения математического ожидания и дисперсии, очевидно, удовлетворяют поставленному требованию: при Y=0 и Z = X они превращаются в обычные определения математического ожидания и дисперсии действительной случайной величины.