Случайные погрешности измерений

Случайные погрешности  измерений

Описание случайных  погрешностей с помощью функций  распределения

 Случайный характер выпадения того или иного определенного результата измерения Х означает, что причины его появления настолько разнообразны, что невозможно заранее предсказать реализацию этого события. Можно говорить только в его вероятности появления при ограниченном или бесконечно большом числе измерений. Обозначая истинное значение измеряемой величины как Q, будем под символом X_i понимать результат измерения в опыте с номером i.

Задача, которая ставится перед метрологом, желающим приблизиться к истинному значению измеряемой величины Q и оценить вероятность  определенного отклонения в единичном  опыте или в серии измерений, состоит в отыскании закона распределения вероятности получения определенного результата от какого-либо аргумента, связанного с отклонением результата от истинного значения. Наиболее универсальным способом достижения этой цели является отыскание интегральных и дифференциальных функций распределения вероятности.

Под интегральной функцией распределения вероятности выпадения определенного результата во множестве повторяющихся измерений (F_x ) понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения Х в i-ом опыте окажется меньше, чем некоторое значение х, т. е.

(3.11)

где знаком Р обозначена вероятность попадания результата в интервал, записанный в фигурных скобках.

Наглядное представление  о смысле интегральной функции распределения  может быть получено если рассматривать  числовую ось 

на которой отложены значения аргумента х. Интегральная функция распределения численно равна вероятности того, что случайная точка X_i , в результате i-го измерения займет положение левее точки х'.

При таком определении  функция распределения F(x) не может  уменьшаться, т. е. F(x) является функцией возрастающей. При движении точки х' влево по числовой оси очевидно, что искомая вероятность будет стремиться к нулю, а при движении х' вправо функция F(x) стремится к единице. Это практически означает, что любой результат измерения попадет в какое-либо значение на числовой оси. Вероятность попадания в бесконечно малое значение х' равно нулю.

Интегральная функция  распределения имеет еще одно свойство - непрерывность. Оно выражает тот факт, что результат наблюдения может принять любое до опыта выбранное значение только с нулевой вероятностью.

На самом деле в  реальных измерениях это не совсем так. Особенно понятно это с позиций  современной квантовой теории. Квантовый (дискретный) характер изменения измеряемой величины, конечная разрешающая способность любого средства измерения, приводят к тому, что область значений измеряемой величины разбивается на ряд участков, в пределах которых данная величина постоянна или неразличима для наблюдателя. Поэтому интегральная функция распределения реально изменяется скачками на некоторое значение при переходе от одного участка числовой оси к другой.

Мы будем рассматривать  случай, когда ширина полос или  участков постоянства функции F(x) ничтожно мала и не влияет на анализ погрешностей. Итак, интегральная функция распределения вероятности получения определенного результата при измерении является непрерывной неубывающей функцией, стремящейся к нулю при х стремящимся к минус бесконечности и к единице при х стремящимся к бесконечности.

Случайную погрешность δ будем рассматривать как случайную величину, принимающую в различных опытах различные значения δ_i. Ее интегральную функцию будем рассматривать, поместив начало координат в точку х = Q, соответствующую истинному значению измеряемой величины, т. е.

(3.12)

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, называемой плотностью распределения вероятности. Обозначим дифференциальную функцию как P_x(х) или P_δ(δ) в зависимости оттого, где расположено начало координат в изменении аргумента. Обозначение х соответствует произвольному расположению начала координат, обозначение δ соответствует помещению начала координат в точку, соответствующую истинному значению измеряемой величины (x=Q, при этом δ=0).

Дифференциальная функция  распределения является производной  от интегральной функции по своему аргументу

(3.13)

График дифференциальной функции распределения часто  называют кривой распределения и  чаще всего он имеет максимум при х = Q или при δ=0

От дифференциальной функции распределения легко  перейти к интегральной путем  интегрирования по интервалам: , т. е.

Основным очевидным  свойством дифференциальной функции  распределения является равенство  единице площади под кривой распределения

Рассмотрим теперь физический смысл введенных понятий. Прежде всего определим вероятность  попадания результата наблюдений или  случайной погрешности в заданный интервал. Из определения интегральной функции распределения следует, что такая вероятность равна разности значений функции Г(х) на границах интервала:

Заменяя интегральную функцию  на дифференциальную, для той же вероятности получим:

или

Следовательно, вероятность  попадания результата измерения  в заданный интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к оси абсцисс на границах интервала. Произведения P_δ(δ)dδ и P_x(x)dx называются элементами вероятности. Они равны вероятности того, что случайные величины примутзначения в интервалах dδ и dx.

Следующим шагом в  рассмотрении теории случайных погрешностей является определение понятия математического  ожидания результата наблюдения X, т. е.:

Важное значение имеет  понятие, именуемое дисперсией распределения  результатов измерения D[X]:

Дисперсия распределения случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдения и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Физический смысл введенных  понятий становится очевидным, если переопределить с их помощью введенные нами категории систематической и случайной погрешностей.

Систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического  ожидания результатов измерения  от истинного значения измеряемой величины

Случайной погрешностью называется разность между результатом единичного измерения и математическим ожиданием результата

Истинное значение, как  и в предыдущих рассмотрениях, равно:

Если математическое ожидание рассматривать как абсциссу центра тяжести фигуры, заключенной  между кривой распределения и осью Ох, то дисперсия распределения является аналогом момента инерции этой фигуры относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести. Дисперсия распределения имеет размерность квадрата размерности измеряемой величины. Для удобства сопоставления в качестве определяющего параметра, характеризующего рассеяние, рассматривают арифметический корень из дисперсии, называемый средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:

С помощью оценки среднего квадратического отклонения можно  оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины ε, т. е. вероятность Р = {|δ| <ε}.

Для этого запишем  выражение для дисперсии распределения  случайной погрешности как

Если сузить пределы  интегрирования, то правая часть равенства  возрасти не может, поэтому:

При замене под интегралом на меньшую величину неравенство  может только усилиться:

Интегралы, стоящие в  скобках, есть вероятности того, что  случайная погрешность примет значения в интервалах, определяемых пределами интегрирования

Отсюда получаем окончательно:

Этот результат известен как неравенство Чебышева: вероятность  того, что результат измерения  вы идет за пределы произвольного  интервала ±ε меньше отношения дисперсии к квадрату величины этого интервала.

Полагая ε = 3 • δ_x, найдем вероятность того, что результат однократного измерения выйдет за пределы утроенного среднего квадратического отклонения, т. е. вероятность того, что случайная погрешность окажется большей 3 • δ_x

Вероятность того, что  погрешность измерения не превысит пределов Зσ соответственно составляет:

Физический смысл неравенства  Чебышева состоит в том, что оно  дает нижнюю границу для вероятности  попадания результатов измерения в наперед заданный интервал. Меньше этого значения вероятность не может быть ни при каком распределении.

Заканчивая рассмотрение характеристик функций распределения, подведем итог, состоящий в том, что  максимум математического ожидания определяет наиболее вероятное значение измеряемой величины в том случае, если разброс результатов измерений носит случайный характер. Величину этого разброса характеризует дисперсия распределения. Эти две характеристики являются наиболее употребительными, т. к. определяют наиболее близкий к истинному результат измерений и значение погрешности измерений.

В теории погрешностей иногда рассматривают так называемый третий центральный момент распределения, определяемый как

Этот момент характеризует  асимметрию или скошенность функции распределения. Чтобы получить удобную безразмерную характеристику асимметрии, вводят коэффициент асимметрии, равный отношению третьего центрального момента к кубу среднего квадратического отклонения:

Четвертый центральный  момент, определенный как

характеризует плосковершинность или островершинность кривой распределения и выражается с помощью эксцесса - безразмерной характеристики, определяемой выражением:

Равномерное распределение  случайных погрешностей

Часто при измерениях заранее известно, что возможные значения случайных погрешностей средства измерения равновероятны и лежат в пределах некоторого определенного интервала. Такое распределение называется равномерным. Значения дифференциальной функции такого распределения в определенном интервале {-α; +α] постоянны, а вне этого интервала равны нулю. Дифференциальная функция распределения случайной погрешности в этом случае имеет вид:

Такая ситуация встречается  каждый раз, когда речь идет об измерениях величины, изменяющейся порциями, квантами. В оптике это изменения энергии в пределах энергии кванта ΔЕ = hν. В электричестве это, например, изменения заряда в пределах заряда электрона е. В механике дискретность массы определяется массой одной частицы. Та же самая ситуация имеет место при измерениях прибором, разрешающая способность которого хуже, чем статистический разброс случайных значений величины. В этом случае всегда при изменениях величины меньшем, чем разрешающая способность прибора, мы получим одно и то же значение, а вероятность отклонения величины в этих пределах измерить будет невозможно.

То же самое имеет  место при измерениях размеров калибрами, т. е. концевыми мерами или скобами сфиксированными параметрами. Например, имея концевую меру в виде щупа или плитки Иогансона, мы можем рассортировать предметы только по признаку больше они по размеру номинала щупа или плитки или меньше. Поскольку калибры, щупы и плитки Иогансона являются такими же средствами измерения, как показывающие или регистрирующие приборы, в измерительной практике нужно уметь оценивать погрешности и при их использовании.

Постоянную величину С в равномерном распределении  находят из условия, что площадь  между кривой распределения и  осью абсцисс должна равняться единице, т. е.:

Уравнение для интегральной функции равномерного распределения находится из условия, что F_δ(δ) = 0 до тех пор, пока δ< -α. В пределах интервала [-α, +α]:

Это означает, что интегральная функция равномерного распределения  растет от значения F_δ(δ)=0 при δ= -α до F_δ(δ)=1 при δ=+α. При прохождении абсциссы через нуль интегральная функция равна 0,5. Окончательное выражение для интегральной функции распределения имеет вид:

Математическое ожидание случайной погрешности при равномерном  распределении легко найти из его определения:

Дисперсию случайной  равномерно распределенной погрешности можно найти по формуле:

Вероятность попадания  случайной погрешности в заданный интервал (δ₁; δ₂] при равномерном распределении равна

На графике функции  распределения эта вероятность равна заштрихованной на рисунке площади.

Если интервал изменения  δ полностью укладывается внутри интервала изменения а, то искомая  вероятность просто равна отношению  длин этих интервалов. Если интервал изменения  δ находится полностью за пределами  интервала изменения α, то вероятность  попадания случайной погрешности в интервал (δ₁; δ₂] равна нулю.

Нормальное  распределение Гаусса

В большинстве практических случаев при чисто случайных  разбросах результатов отдельных  измерений относительно истинного  значения измеряемой величины функция  распределения имеет вид, получивший название нормального распределения Гаусса.

Если причины, вызывающие отклонения результатов измерения  от истинного значения, настолько  разнообразны и многоплановы, что  невозможно выделить какую-либо доминанту, функция распределения всегда имеет вид экспоненты с определенными параметрами. К этому утверждению следует относиться как к аксиоме физики, т. е. мир устроен так, что при случайном выпадении многократных результатов повторяющихся событий функция распределения будет иметь вид экспоненты. В метрологии, как и в физике вообще, встречается достаточно много аксиом, например постоянство скорости света, корпускулярно-волновой дуализм, токи смещения в уравнениях Максвелла, принцип относительности и т. д. Аналитическую зависимость функции нормального распределения можно отнести к категории таких принципов или аксиом. В метрологии и в технике измерений получение такой зависимости неоценимо в определении достоверности, правильности и точности измерений. Предложенная Гауссом зависимость дифференциальной функции распределения результатов повторяющихся случайных событий оказалась настолько ценной, что в Германии, например, формула нормального распределения считается одним из самых крупных достижений науки.

Нормальное распределение  выпадения определенного результата в повторяющихся случайных событиях это такое распределение, дифференциальная функция распределения которого имеет вид:

где δ = х - m_F; здесь: х - результат однократного измерения; m_F - математическое ожидание результата измерения так, что

где σ_x - среднее квадратическое отклонение результатов измерения.

При записи в таком  виде кривые нормального распределения  зависят от среднего квадратического  отклонения. При увеличении σ распределение  все более расплывается, т. е. вероятность  появления больших отклонений от математического ожидания увеличивается, а вероятность меньших погрешностей сокращается.

Для того чтобы сделать  аналитическую зависимость нормального  дифференциального распределения  более универсальной, делают замену переменных, выражая отклонения величины х от математического ожидания m_F в единицах среднего квадратического отклонения:

где х - результат отдельного измерения; x₁ - минимальное возможное значение измерения; x₂ - максимальное возможное значение измерения. После такой замены переменных вероятность попадания результата измерения в некоторый заданный интервал (x₁ ; x₂ ] выражается как:

Интегралы в скобках не выражаются в элементарных функциях. Их вычисляют  с помощью так называемого  нормированного нормального распределения с дифференциальной функцией

график которой изображен на рисунке:

Функция p(t) не зависит от параметров распределения, в силу чего может  быть затабулирована. Интегральная функция  нормального распределения имеет  вид:

По физическому смыслу это есть вероятность того, что погрешность измерения будет меньше или равна величине z, т. е.

Интегральная функция нормального  распределения также затабулирована.

Используя интегральную функцию нормального  распределения, можно определить вероятность  попадания результата измерения в интервал (x₁ , x₂ ] как

При этом справедливо тождество:

Подчеркнем, что все сказанное  справедливо, если погрешности случайные, распределение можно считать  нормальным с известной дисперсией σ_x² . Тогда на основании формулы

 имеем:

Обычно значения t₁ и t₂, выбирают симметрично по обе стороны от максимума распределения так, что t₁ = t₂ = t_p. Формула для вероятности попадания результата в заданный интервал приобретает вид:

Меняя х и m_F местами в этом неравенстве, получим:

Если систематические погрешности исключены и m_F = Q, то

Это означает, что истинное значение измеряемой величины с доверительной  вероятностью Р = 2Ф(t_p) -1 находится между границами интервала [(х -t_pσ_x );(х+t_pσ_x )] . Интервал от -t_pσ_x до +t_pσ_x называется доверительным интервалом погрешности измерения, а половина интервала t_pσ_x называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдения, соответствующей доверительной вероятности Р.

Для определения доверительной  границы задаются доверительной  вероятностью Р и по формуле

находят из таблиц параметр t_p. После этого вычисляют доверительное отклонение t_pσ_x . Если известно среднее квадратическое отклонение результатов измерения, то легко определить погрешность измерения при заданной доверительной вероятности.

Задача может быть поставлена иначе, а именно: какова доверительная вероятность попадания  результата измерения в заданный доверительный интервал, если известно среднее квадратическое отклонение серии измерений? В этом случае определяют параметр t_p делением доверительного интервала на среднеквадратическое отклонение t_p= (t_pσ_x ) /σ_x . Затем из таблиц значений интегральной функции нормального распределения находят величину Ф(t_p), после чего вычисляют доверительную вероятность как 2Ф(t_p) -1.

Из приведенных определений понятий, определяющих нормальное распределение вероятности получения определенных результатов измерения можно кратко сформулировать следующие выводы:

1. Погрешности измерения (интервалы допустимой погрешности) зависят от того, с какой вероятностью мы хотим получить достоверный результат.
2. Для определения погрешности при заданном доверительном интервале и для определения этого интервала при заданной доверительной вероятности необходимо знать среднее квадратическое отклонение результатов измерения.
3. Функции нормального распределения дают связь между вероятностью попадания результатов измерения (доверительной вероятностью) в заданный интервал и величиной самого интервала, называемого доверительной границей случайного отклонения.

Нормальное  распределение при ограниченном числе наблюдений. Распределение Стьюдента

Сформулированные в предыдущем разделе понятия и написанные формулы относятся к случаю, когда  число измерений бесконечно велико. На практике мы всегда имеем дело с  ограниченным числом измерений, и задача, которая всегда стоит перед оператором, состоит в том, как оценить точность измерений, т. е. найти его меру приближения к истинному значению на основании группы результатов наблюдения. Эта задача есть частный случай статистической задачи нахождения параметров функции распределения, в первую очередь среднего квадратического отклонения, на основе выборки, т. е. ряда значений, принимаемых этой величиной в результате п независимых опытов.

В результате отдельных измерений  мы получаем некоторые строго фиксированные результаты (точки) измеряемой величины. Их значения являются случайными с некоторым распределением, зависящим как от самой величины, так и от числа опытов. При случайном разбросе значений рассеяние (или среднее квадратическое отклонение) в большинстве случаев определяется характером и величиной случайных хаотических воздействий или на средство измерения, или на объект измерения, или на оператора.

К точечным оценкам теория случайных  погрешностей предъявляет совершенно определенные требования, которые можно сформулировать следующим образом:

1. Оценка должна быть состоятельной, т. е. при увеличении числа опытов она должна приближаться к истинному значению измеряемой величины - должна сходиться по вероятности.
2. Оценка должна быть несмещенной, то есть ее математическое ожидание должно быть равно измеряемой величине.
3. Оценка должна быть эффективной, то есть ее дисперсия должна быть меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

Пусть есть ряд результатов  отдельных измерений x₁ ; x₂ ; x₃ ;...... x_n , где

n - число наблюдений. Математическое  ожидание и дисперсия записываются  как

За оценку истинного  значения измеряемой величины естественно  принять значение среднего арифметического, т. е.:

Эта оценка математического  ожидания результата измерений может стать оценкой истинного значения измеряемой величины после исключения систематической погрешности.

Поскольку среднее арифметическое вычислено на основании ограниченного  ряда измерений, оно само является величиной  случайной. Вычислим его математическое ожидание:

Это значит, что среднее  арифметическое является несмещенной  оценкой истинного значения. Однако несмещенными будут и все другие оценки вида:

если  . Покажем, что из всех определенных так оценок, наименьшую дисперсию имеет среднее арифметическое

В теории погрешности  показывается, что последняя сумма  достигает минимума, если все а одинаковы и равны 1/n. Тогда дисперсия среднего арифметического равна:

т. е. дисперсия среднего арифметического  в n раз меньше дисперсии результата отдельного наблюдения. В терминах среднего квадратического отклонения это имеет вид:

т. е. среднее квадратическое отклонение среднего арифметического в  раз меньше среднего квадратического отклонения результата отдельного наблюдения. По мере увеличения числа наблюдений

Логическим следствием сказанного является оценка истинного значения измеряемой величины по результатам отклонения от среднего арифметического:

В качестве точечной оценки дисперсии  случайной погрешности естественно  выбрать величину

Эта оценка состоятельна и эффективна, но немного смещена, поскольку ее математическое ожидание составляет

Точечную оценку среднего квадратического  отклонения результата отдельного измерения  принято определять как

Эта оценка есть тоже случайная величина, т. е. при повторении серии из п измерений мы получим несколько иное S\ значение оценки среднего квадратического отклонения. Поскольку среднее арифметическое значение имеет дисперсию в 1/n раз меньшую, чем результат для отдельного измерения, точечная оценка дисперсии (среднего квадратического отклонения) для среднего арифметического имеет вид:

где S_x² - среднее квадратическое отклонение для результата отдельного измерения.

Общий итог введения понятий для  нормального распределения вероятности  для ограниченного числа измерений  можно записать в виде

где Q - истинное значение измеряемой величины, равное математическому ожиданию Q=m_F; - среднее арифметическое значение результатов серии независимых измерений; - среднее квадратическое отклонение среднего арифметического при повторении серии измерений.

При увеличении числа измерений  доверительный интервал сокращается  в  раз. Этот очень важный вывод теории погрешностей позволяет с любой наперед заданной вероятностью в принципе сколь угодно близко подойти к истинному значению измеряемой величины, увеличивая число независимых измерений.

Как итог, при нормальном распределении  случайных погрешностей мы имеем  тесную взаимосвязь между желаемым отклонением от истинного значения измеряемой величины, доверительной  вероятностью данного отклонения и числом независимых измерений. Соответственно, задача может быть поставлена в нескольких вариантах:

1. Определить доверительный интервал, если необходимо получить заданную доверительную вероятность при фиксированном числе измерений.
2. Определить доверительную вероятность попадания среднего арифметического значения определенного числа независимых измерений в заданный доверительный интервал.
3. Определить необходимое число независимых измерений, если считать известной доверительную вероятность и задаться определенным доверительным интервалом.

При ограниченном числе  измерений доверительный интервал, введенный нами для распределения  Гаусса, записывается в виде

Результат измерений  приобретает вид:

Если при измерениях имеется возможность проведения ограниченного числа измерений, но дисперсия результатов неизвестна, то функция распределения должна зависеть не только от желаемой доверительной вероятности и доверительного интервала, но и от числа независимых измерений. В этом случае вместо распределения Гаусса используется несколько иное распределение, называемое распределением Стьюдента, которое имеет следующую аналитическую зависимость:

где k - число степеней свободы распределения, равное числу  независимых измерений без единицы k = (n -1), а параметр t называется дробью Стьюдента и определяется как

где сохранены предыдущие обозначения, т. е. n - число независимых  измерений; - среднее арифметическое значение серии измерений; Q -истинное значение измеряемой величины и S_x - оценка среднего квадратического отклонения результата измерения.

Вероятность того, что  в результате измерения дробь  Стьюдента примет некоторое значение в интервале(-t; +t)равна

Значения функции S(t, k) были вычислены и затабулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах от 0,10до 0,99 при k =1, 2,...... 30. Эти значения приведены в приложении.

С помощью распределения  Стьюдента может быть найдена  вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного  значения измеряемой величины не превышает

Итог записывается в  прежнем виде: Q = Х + 8 ; при Р =.....%. Таблицы  значений интегралов функции S(t,k) распределения  Стьюдента , приведенные в приложении, определяют доверительную вероятность Р как функцию двух параметров - t и k. По этой таблице, следовательно, можно, зная два из этих трех значений, найти третье, т. е. по числу измерений и доверительному интервалу либо найти доверительную вероятность, либо по числу измерений и доверительной вероятности найти доверительный интервал, либо по доверительной вероятности и доверительному интервалу найти необходимое число независимых измерений, которые необходимо выполнить. Например, зная число опытов п, найдем число степеней свободы к = п - 1. Задавшись доверительной вероятностью Р, определим соответствующее ей значение дроби Стьюдента t по таблице. Затем по формуле

находим доверительный  интервал.

Проиллюстрируем возможности  оценки случайной погрешности с  использованием распределения Стьюдента  на примере.

Пример:

Даны некоторые результаты измерения длины при числе независимых измерений, равных 5. Получен следующий результат:

L= (15,785+0,005) мм  
(среднее квадратическое отклонение = 0,005 мм).

Вопрос: Какова вероятность  того, что при этом длина будет  измерена с точностью δ_i = 0,01 мм?

Решение: ; k= 5 -1 =4. Из таблицы находим для t=2 и к =4

В той же задаче найти  доверительную границу погрешности  результата измерений при доверительной  вероятности 99%.

По таблице для Р = 99 и к = 4 находим t = 4, 604. Следовательно

В заключение раздела, посвященного расчету случайных погрешностей, приведем некоторую шутливую аналогию. Поставим вопрос так: каков процент попадания мяча в ворота при реализации футбольных пенальти и от чего это за висит? Пусть при этом не будет учитываться роль вратаря.