Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Содержание и значение математической символики

Содержание

Введение………………………………………………………………………………..3

Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления………………………………………………………………………………...4
Символика Виета и Декарта и развитие алгебры………………………….10
Обозначение производной и интеграла у Лейбница и развитие анализа……………………………………………………………………………….19
Предикаты и кванторы………………………………….…………………….21

Заключение…………………………………………………………………………….29

Список литературы………………………………………………………………….30

Введение

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведем свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рублей) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А две тысячи лет назад что знал человек о числах? А пять тысяч лет назад?

Вопрос не простой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет тому назад люди могли записывать числа, могли производить над ними арифметические действия. Но записывали они числа совершенно по другим принципам, нежели мы в настоящее время. В любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

В математике и информатике принято символы, участвующие в записи числа, называть цифрами. Но что же люди понимают под словом «число»?

Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Появление дробных чисел было связано с необходимостью производить измерения (сравнения с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона). Но так как единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине, то возникла практическая потребность ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики. Понятие числа — фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В данной работе под числом понимается его величина, а не его символьная запись.

Сегодня, начале XXI века, человечество для записи чисел использует в основном десятичную систему счисления. А что такое — система счисления?

Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления

Система счисления — это способ записи (изображения) чисел. Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от номера ее позиции в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и «вносит» в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и «вносит» в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от ее места в записи числа, называются непозиционными. Примером непозиционной системы счисления является римская система записи чисел.

Позиционные системы счисления — результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было еще очень далеко). Каждому мешку в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10-11 тысяч лет до н.э.). Ученые назвали этот способ записи чисел единичной (палочной) системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков — палочка. Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу. Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность ее применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. При записи большого числа легко ошибиться — нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки.

Можно предположить, что для облегчения счета люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи стали использовать знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Так как люди, естественным образом, при подсчете использовали пальцы рук, то первыми появились знаки для обозначения групп предметов из 5 и 10 штук (единиц). И, таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные знаки (цифры) для обозначения чисел

Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих «цифр», в которых каждая «цифра» повторялась не более девяти раз.

Например, число 345 древние египтяне записывали так:

где – единицы, – десятки, – сотни.

Рисунок 1 дает представление о способах записи любой информации в Древнем Египте. Бумагу заменяла глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание.

Рис.1.Фотография стены и глиняной дощечки

с древнеегипетскими иероглифами

Так же далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации — вавилонской — люди записывали цифры по-другому. Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин ▼ служил для обозначения единиц и лежачий клин ◄ для обозначения десятков. Число 32, например, записывали так:

◄◄◄▼▼.

Знаки ▼ и ◄ служили «цифрами» в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком ▼, что и 1. Этим же знаком обозначались числа

и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков («цифр») соответствовало чередованию разрядов:

▼▼◄▼▼.

2-ой разряд 1-ый разряд

Значение числа определяли по значениям составляющих его «цифр», но с учетом того, что «цифры» в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же «цифр» в предыдущем разряде.

Например, число записывали так:

▼◄◄◄▼▼,

а число 444 в этой системе записи чисел имело вид

▼▼▼▼▼▼▼◄◄▼▼▼▼,

так как . Это число состоит из двух разрядов:

▼▼▼▼▼▼▼◄◄▼▼▼▼.

старший разряд младший разряд

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом — в позиционной системе с основанием 60. Запись числа у вавилонян была неоднозначной, так как не существовало «цифры» для обозначения нуля.

Шестидесятеричная вавилонская система — первая известная система счисления, основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, до сих пор час делится на 60 минут, а минута на 60 секунд. Точно так же, следуя примеру вавилонян, окружность делится на 360 частей (градусов).

В ходе своего развития человечество стремилось совершенствовать запись чисел, у разных народов в разное время употреблялись различные системы счисления.

Римская система принципиально ненамного отличается от египетской. В ней для обозначения чисел

используются заглавные латинские буквы

соответственно, являющиеся «цифрами» этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». Значение числа равно:

сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида);
разности значений двух «цифр», если слева от большей цифры» стоит меньшая. В этом случае от значения боль шей «цифры» отнимается

Рис.2.Календарь на каменной плите (3-4 вв.) найденный в Риме

значение меньшей «цифры». Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая «цифра» может быть меньше правой максимум на один порядок: так перед из «младших» может стоять только, перед — только, перед — только ;

сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого или второго вида.

Современная десятичная система счисления возникла приблизительно в V веке н.э. в Индии. Возникновение этой системы стало возможным после величайшего открытия — цифры для обозначения отсутствующей величины. Как же появился нуль?

Как было сказано, уже вавилоняне употребляли специальный символ для обозначения нулевого значения разряда. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие ученые. Вместе с их вычислительными таблицами они переняли и вавилонскую систему счисления, но числа от 1 до 59 они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации.

Но самое замечательное было то, что для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ «О» (первая буква греческого слова Ouden — ничто). Этот знак, по-видимому, и был прообразом нашего нуля.

Индийцы познакомились с греческой астрономией между II и VI вв. н.э. Это видно из того, что они переняли общие теоретические положения этой науки и многие греческие термины. В это время в Индии использовалась мультипликатив-

ная система счисления. По утверждению историков примерно в это время индийцы познакомились и с вавилонской системой счисления, и с греческим круглым нулем. Индийцы соединили свою десятичную мультипликативную систему с принципами нумерации чисел греческих астрономов. Это и был завершающий шаг в создании десятичной системы счисления.

Символика Виета и Декарта и развитие алгебры

Считается, что эллины заимствовали первые сведения по алгебре у вавилонян. Греческий философ-неоплатоник Прокл Диадох отмечал в своем сочинении: «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, имела свое происхождение в измерении площадей». Воздействие традиций вавилонской алгебры на математику Древней Греции и алгебраическую школу стран ислама подчеркивается в «Истории математики». Создание основ математики в том виде, к которому мы привыкли при изучении этой науки в школе, выпало на долю греков и относится к VI—V векам до нашей эры. Античная наука достигла вершины в работах Евклида, Архимеда, Аполлония.

Новый подъем античной математики в III веке нашей эры связан с творчеством великого математика Диофанта. Его основной труд — «Арифметика». К сожалению, лишь шесть книг из тринадцати книг дошли до нашего времени. Диофант сумел возродить и развить числовую алгебру вавилонян, освободив ее от геометрических построений, которыми пользовались греки. У Диофанта впервые появляется буквенная символика. Он ввел обозначения: неизвестной, квадрата, куба, четвертой, пятой и шестой степеней, а также первых шести отрицательных степеней. В «Истории математики» это отмечено особо: «Книга Диофанта свидетельствует о наличии у него буквенной символики. Значение этого шага огромно. Только на такой основе могло быть создано буквенное исчисление, развит формульный аппарат, позволяющий часть наших мыслительных операций заменить механическими преобразованиями. Однако Диофант, видимо, не нашел в этом деле последователей ни в его эпоху, ни много позднее. Лишь с конца XV века в Европе началась интенсивная разработка алгебраической символики, а завершение создания буквенного исчисления произошло только в конце XVI — начале XVII века в трудах Виета и Декарта». «Диофант — пишет В.А.Никифоровский, — сформулировал правила алгебраических операций со степенями неизвестной, соответствующие нашим умножению и делению степеней с натуральными показателями, и правила знаков при умножении. Это дало возможность компактно записывать многочлены, производить умножение их, оперировать с уравнениями. Он указал также правила переноса отрицательных членов уравнения в другую часть его с обратными знаками, взаимного уничтожения одинаковых членов в обеих частях уравнения».

Начиная с V века центр математической культуры постепенно перемещается на восток — к индусам и арабам. Математика индусов была числовой. Она отмечена стремлением достичь строгости эллинов в доказательствах и обосновании геометрии, довольствуясь чертежами.

Основные достижения индусов состоят в том, что они ввели в обращение цифры, называемые нами арабскими, и позиционную систему записи чисел, обнаружили двойственность корней квадратного уравнения, двузначность квадратного корня и ввели отрицательные числа. Первое известное применение десятичной позиционной системы относится к 595 году — сохранилась плита, на которой число лет 346 записано в такой системе. Наиболее известными математиками Индии были Ариабхата (прозванный «первым», около 500 г.) и Брахмагупта (около 625 г.). Индусы рассматривали числа безотносительно к геометрии. Они распространили правила действия над рациональными числами на числа иррациональные, производя над ними непосредственные выкладки. Еще одно достижение индусов в совершенствовании алгебраической символики состоит в том, что они ввели обозначения нескольких различных неизвестных и их степеней. Как у Диофанта, они были по сути дела сокращениями слов.

Вслед за индийскими математиками пользоваться правилом положения стали математики Ближнего и Среднего Востока. Особую роль в истории развития алгебры в первой половине IX века сыграл трактат Аль-Хорезми на арабском языке под названием «Книга о восстановлении и противопоставлении» (на арабском языке — «Китаб аль-джебр валь-мукабала»). Позднее при переводе на латинский язык арабское название трактата было сохранено. С течением времени «аль-джебр» сократили до «алгебры».

В трактате решение уравнений рассматривается уже не в связи с арифметикой, а как самостоятельный раздел математики. Арабский математик показывает, что в алгебре применяются неизвестные, их квадраты и свободные члены уравнений. Аль-Хорезми назвал неизвестное «корнем». При решении различных видов уравнений Аль-Хорезми предлагает переносить отрицательные члены уравнений из одной части в другую, называя это восстановлением. Вычитание равных членов из обеих частей уравнения при этом он называет противопоставление (валь мукабала).

«В своем трактате Аль-Хорезми, — отмечает Александр Свечников, — рассматривает неизвестное число как величину особого рода, вводит термин корень, свободный член называет дирхем (так в то время называли и денежную единицу). Он распределяет уравнения по видам, разъясняет, как применять правила восполнения и противопоставления, формулирует правила решения уравнений различных видов. В рукописях Аль-Хорезми все математические выражения и все выкладки записаны словами, вот почему алгебру того времени и более поздних времен называли риторической, т.е. словесной. В период работы над алгебраическим трактатом Аль-Хорезми уже знал о числовой алгебре Вавилона и других стран Востока. Он был знаком с геометрической алгеброй греков и достижениями индийских астрономов и математиков.

Аль-Хорезми выделил алгебраический материал в особый раздел математики и освободил его от геометрического толкования, хотя в некоторых случаях пользовался геометрическими доказательствами. Алгебраический труд Аль-Хорезми стал образцом, который изучали и которому подражали многие математики более позднего времени. Последующие алгебраические сочинения и учебники по своему характеру стали приближаться к современным. Алгебраический трактат Аль-Хорезми послужил началом создания науки алгебры. Он был в числе первых сочинений по математике, переведенных на латинский язык. В то время в Европе все научные труды писали и печатали на латинском языке. При решении задачи главное — осмысление содержания задачи, способность выразить его на языке алгебры. Проще говоря, записать условие задачи посредством символов — математических знаков.

Диофант, как уже говорилось, дал понятие об алгебраическом уравнении, записанном символами, однако очень далекими от современных. Первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины Франсуа Виет. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т.е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

Франсуа Виет (1540—1603) родился на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт. Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери — двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике. В 1671 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III. В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать от имени короля выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов. Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников.

В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Именно на этот период приходится пик его творчества. Получив неожиданный досуг, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная еще наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних».

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Перечисление шло в том порядке, в каком эти труды должны были издаваться, чтобы составить единое целое — новое направление в науке. К сожалению, единого целого не получилось. Трактаты публиковались в совершенно случайном порядке, и многие увидели свет только после смерти Виета. Один из трактатов вообще не найден. Однако главный замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене: «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой... скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства...»

Основы своего подхода Виет называл видовой логистикой. Следуя примеру древних, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т.д., а также множество скаляров, которым соответствовали реальные размеры — длина, площадь или объем. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных — согласные.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т.е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач. Из знаков действий он использовал и , знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом

Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. Но многие знаки, введенные до него, он не использовал. Так, квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов.

Символика Виета позволила и решать конкретные задачи, и находить общие закономерности, полностью обосновывая их. Таким образом, алгебра выделилась в самостоятельную ветвь математики, не зависящую от геометрии.

Символики Виета придерживался впоследствии Пьер Ферма. Дальнейшее значительное усовершенствование алгебраической символики принадлежит Декарту. Рене Декарт ввел для обозначения коэффициентов строчные буквы латинского алфавита. Для обозначения неизвестных он использовал последние буквы того же алфавита. Это нововведение получило широкое распространение в работах математиков и с небольшими изменениями сохранилось до наших дней.

Постулирование алгебраических операций над отрезками, сделанное Декартом в начале «Геометрии», означало не только новый подход к вопросу о соотношении между алгеброй и геометрией, диаметрально противоположный подходу древних. Оно также вело к расширению понятия числа. Декарт отождествлял отношение отрезка, соизмеримого или несоизмеримого с единичным отрезком, к единичному с соответствующим этому отношению целым, дробным или иррациональным числом. Он дал геометрическое толкование и отрицательным числам как противоположно направленным отрезкам. И хотя Декарт при рассмотрении уравнений применяет неудачную терминологию, называя отрицательные корни «ложными», в противоположность «истинным» (положительным), он объединяет те и другие в класс «действительных» в отличие от «воображаемых» (мнимых).

Кроме того, применение к исчислению отрезков алгебраических формул в соответствии с данными определениями операций снимало требование однородности входящих в те или иные соотношения величин, которому подвержены соотношения в математике древних и Виета. Символика Декарта была более совершенной. Он обозначал данные отрезки буквами , неизвестные («неопределенные») — буквами Рене Декарт ввел обозначение степеней:

Правда, квадрат величин он выражал и с помощью символов

Обозначение корня у этого математика несколько отличается от современного.

Входящие в различные формулы Декарта буквы считались положительными величинами. Для обозначения отрицательных величин он ставил знак минус. Если знак коэффициента произволен, то перед ним ставилось многоточие. Знак равенства имел необычный вид. И еще один символ применял Декарт: он ставил звездочки, чтобы показать отсутствующие члены уравнения.

Изложение теория уравнений в третьей книге «Геометрии» Декарт начинает с рассмотрения вопроса о числе корней уравнения. Левую часть уравнения (справа Декарт пишет нуль!) получает умножением двучленов вида

и естественным образом приходит к формулировке основной теоремы алгебры. Он пишет: «Итак, знайте, что всякое уравнение может иметь столько же различных корней или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений». При этом двучлены вида

дают «истинные», а вида

— «ложные» корни.

Несколько дальше Декарт дополняет: «... хотя всегда можно вообразить себе у каждого уравнения столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует, ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням». Здесь «воображаемые» корни — мнимые. Они появились в связи с основной теоремой алгебры. Получение уравнения с помощью биномов приводит Декарта к приему понижения его порядка в случае известного корня делением многочлена на двучлен

Далее Декарт дает «правило знаков» для нахождения числа положительных и отрицательных корней уравнения по числу перемен знаков коэффициентов. Он утверждает, что число положительных корней равно числу перемен знаков в ряду коэффициентов уравнения, а число отрицательных корней совпадает с числом повторений знака. С этим же вопросом связаны замечания о границах действительных корней уравнения.

Еще одна чрезвычайно важная задача алгебры поставлена Декартом — задача приводимости уравнений, т.е. представления целого многочлена с рациональными (целыми) коэффициентами в виде произведения многочленов низших степеней. Декарт установил, что корни уравнения третьей степени с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, строятся с помощью циркуля и линейки (иначе говоря, уравнение разрешимо в квадратных радикалах, тогда и только тогда, когда оно имеет целый корень (левая часть его будет представлена в виде произведения множителей первой и второй степени).

Для уравнения четвертой степени он также указал условие разрешимости. Оно состоит в разрешимости его кубической резольвенты, т.е. соответствующего уравнения шестой степени, кубического относительно .

В конце третьей книги «Геометрии» Декарт графически решает уравнения третьей, четвертой, пятой и шестой степеней, отыскивая корни их как пересечение некоторых линий.

В письме Мерсенну 4 апреля 1648 г. Декарт признавался, что написал «Геометрию» трудно для посрамления Роберваля и других противников, чтобы они «попали в своей критике впросак», не разобравшись в, существе. «Уверяю вас, что если бы я не имел в виду этих злобных умов, то я написал бы ее совершенно иначе и сделал бы много ясное; быть может, я еще это и сделаю как-нибудь, если только увижу этих чудовищ побежденными или смирившимися». Правда, в самой «Геометрии» он пишет иначе: «Однако в мои цели не входит написать большую книгу. Я скорее стремлюсь в немногих словах выразить многое... И я надеюсь, что наши потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною было добровольно опущено, с целью предоставить им самим удовольствие найти это».