Составление оптимального инвестиционного портфеля

 

Введение.

Понятие оптимального портфеля описывает объективное нахождение прибыльности портфеля исходя из риска, который готов понести инвестор. По мере роста капитала предполагаемого инвестора возникает необходимость снизить риски, диверсифицировать портфель, а для этого нужно сначала определиться со структурой инвестиционного портфеля.

Когда всё идёт гладко и рынок растёт, то можно  вложиться в любой рисковый инструмент и с высокой степенью вероятности  получить прибыль, ведь в период роста рынка лучшую доходность показывают инструменты с высоким риском. Но когда дело доходит до "смутных" времён( взять, например , недавний  кризис), то самые высокодоходные вложения начинают приносить большой убыток с высокой скоростью. Как узнать, в какой момент грянет очередной кризис? Вот на основании того, что нереально предсказать будущее с точностью и формируется инвестиционный портфель.

Если портфель включает в себя консервативные инструменты, то в плохие времена просадка, то есть убыток капитала, будет меньше. Однако структура инвестиционного портфеля должна быть грамотной. Классически в него должны входить как рисковые доходные инструменты, так и консервативные в определённых пропорциях. Таким образом,  при составлении оптимального инвестиционного портфеля,  нам необходимо решить след дующие задачи- снизить риски и повысить доходность.

Для начала  рассмотрим , что  подразумевается под терминами «инвестиции» , «инвестиционная деятельность» и «инвестиционные портфели».

Инвестиции.

Инвестиции — долгосрочные вложения капитала в экономику с целью получения дохода.

Инвестиции являются неотъемлемой частью современной экономики. От кредитов инвестиции отличаются степенью риска для инвестора (кредитора) — кредит и проценты необходимо возвращать в оговоренные сроки независимо от прибыльности проекта, инвестиции возвращаются и приносят доход только в прибыльных проектах. Если проект убыточен — инвестиции могут быть утрачены.

Инвестиционная  деятельность

Инвестиционная  деятельность — вложение инвестиций и осуществление практических действий в целях получения прибыли и (или) достижения иного полезного эффекта.

Классификация инвестиций

Существуют  разные классификации инвестиций.

По  объекту инвестирования выделяют:

  • Реальные инвестиции (прямая покупка реального капитала в различных формах):
    1. в форме материальных активов (основных фондов, земли), оплата строительства или реконструкции.
    2. Капитальный ремонт основных фондов.
    3. Вложения в нематериальные активы: патенты, лицензии, права пользования, авторские права, товарные знаки, ноу-хау, человеческий капитал (воспитание, образование, наука) и т. д.
 
  • Финансовые  инвестиции (косвенная покупка капитала через финансовые активы):
    1. ценные бумаги
    2. предоставленные кредиты
    3. лизинг (для лизингодателя)
  • Спекулятивные инвестиции (покупка активов исключительно ради возможного изменения цены):
    1. валюты
    2. драгоценные металлы (в виде обезличенных металлических счетов)
    3. ценные бумаги (акции, облигации, сертификаты институтов совместного инвестирования и т.п.)

По  основным целям инвестирования:

  • Прямые инвестиции
  • Портфельные инвестиции
  • Реальные инвестиции
  • Нефинансовые инвестиции
  • Интеллектуальные инвестиции (связаны обучением специалистов, проведение курсов и многое другое.)

По  срокам вложения:

  • краткосрочные (до одного года)
  • среднесрочные (1-3 года)
  • долгосрочные (свыше 3-5 лет)

 
По форме собственности  на инвестиционные ресурсы:

  • частные
  • государственные
  • иностранные
  • смешанные

Риск  и прибыль

Инвестиции характеризуются, среди прочего, двумя взаимосвязанным  параметрами: риском и прибыльностью (доходностью). Как правило, чем выше риск инвестиций, тем выше должна быть их ожидаемая доходность.

Величина инвестиционного  риска показывает вероятность потери инвестиций и дохода от них. Величина общего, интегрального риска складывается из семи видов риска: законодательного, политического, социального, экономического, финансового, криминального, экологического. При этом среднероссийский риск принимается за единицу, а реальные показатели регионов могут отклоняться. 

Инвестиционные портфели.

Структура инвестиционного  портфеля должна быть подобрана конкретно  под каждого инвестора с учётом его инвестиционных целей, отношению к рискам и прочих факторов. Однако при любых входящих условиях есть универсальные, неизменные, фундаментальные правила составления инвестиционного портфеля, которые давно уже опробованы на западных развитых рынках с многолетней историей.

Понятие инвестиционного  портфеля

Для начала определим  понятие инвестиционного портфеля. Инвестиционный портфель - это капитал, вложенный в несколько инструментов инвестиций, с разной доходностью и риском, с целью диверсифицировать капитал (снизить риск получить убыток или других неблагоприятных последствий), а в ряде случаев одновременно с этим и увеличить доходность портфеля в целом.

Составление оптимального инвестиционного  портфеля.

Оптимальный инвестиционный портфель зависит прежде всего от срока (горизонта) инвестиций. Чем он меньше и чем больше вероятность того, что потребуются деньги, тем более консервативным должен быть портфель - тогда риск получить на выходе меньше, чем было вложено, снижается. Однако снижается вместе с тем и возможная доходность.

Если инвестировать  на длительный срок, то большую часть  денег можно вкладывать агрессивно (в акции в том или ином виде), а меньшую - консервативно.

     
 

Нельзя забывать, что рынок цикличен. Упадок когда-то закончится, за ним последует рост - надо просто как бы "влиться в движение" - а за ростом будет падение и не мешало бы вовремя выйти из рынка. Вычислить такие поворотные моменты - непросто (Естественно, речь идёт о годах, а не о краткосрочных колебаниях.), но возможно. Поэтому и существует технология инвестирования, когда средства распределяются по разным активам с целью диверсификации инвестиционного портфеля (а иногда вместе с тем и повышается доходность). А раз в год проводить ре-балансировку портфеля, чтобы вернуть процентное соотношение активов к начальному значению.

Доходность инвестиционного  портфеля может быть как меньше, так и больше отдельно взятых из портфеля инструментов инвестиций (при  хорошем стечении обстоятельств, зависит от рассматриваемого временного отрезка). 
 

Обзор методов решения поставленной задачи.

Решение проблемы оптимального распределения долей  капитала между ценными бумагами, сводящего общий риск к минимальному уровню, и составление оптимального портфеля было предложено в 50-е годы ХХ века американским ученым Г. Марковицем. Формализованная модель Г. Марковица, а также разработанная в начале 60-х годов модель В. Шарпа, позволяет добиваться формирования такого инвестиционного портфеля, который бы отвечал потребностям и целям каждого индивидуального инвестора. Как любая формализованная модель, указанные модели имеют ряд допущений и могут быть реализованы только при определенных условиях (на отечественном фондовом рынке не все есть условия).

Модель  Марковица.

В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал статью “ Portfolio Selection ”, которая легла в основу теории инвестиционного портфеля. Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется. Другим важным исходным положением в теории                   Г. Марковица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реагирует на появление новой информации.

В своих теоретических  исследованиях Марковиц полагал, что  значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя E ( r ) – ожидаемую доходность и σ - стандартное отклонение как меру риска (только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении). Следовательно, инвестор должен оценить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания – обеспечивает максимальную доходность r при допустимом значении риска σ . Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения “доходность-риск”.

  Эффективные портфели 

Ключ к решению  проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфелей , так называемой границы эффективности . Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

1.  Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска.

2.  Обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожидаемой доходности.

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска  при каждой величине ожидаемой доходности, образуют так называемую границу эффективности . Эффективный портфель – это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине E ( r ) и максимальную отдачу при заданном уровне риска.

Та часть риска  портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации,        называется        дивесирифицируемым ,   или несистематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит название недиверсифицируемого, или систематического риска.

Общая постановка задачи нахождения границы эффективных

портфелей

Если портфель состоит  более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей, или, иными словами, можно сформулировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора  сводится к следующему: из всего  бесконечного набора портфелей с  ожидаемой доходностью E( rn ) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к следующему:

необходимо  найти минимальное  значение дисперсии  портфеля при заданных начальных условиях:

Для   решения    задачи    нахождения    оптимального   портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а)   n значений ожидаемой доходности E ( ri ), где i = 1, 2,…, n каждой 
ценной бумаги в портфеле;

б)   n значений дисперсий σ i 2 каждой ценной бумаги;

в)   n ( n -1)/2 значений ковариации σ i 2 , j , где i , j = 1, 2,…, n .

Wi – “веса” каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n ценных бумаг по сути дела сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е * инвестор должен найти такие значения Wi , при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения Е * инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.  
 

  Нахождение оптимального  портфеля 

В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E ( r ) и уровня риска σ портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания        E ( r ) и σ , поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна , и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальный портфель непременно является эффективным , то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

На практике конкретный инвестор, построив границу  эффективных портфелей, должен задать себе вопрос – какую доходность он ожидает от портфеля? После этого по кривой границы эффективных он определяет уровень σ такого портфеля. Затем инвестор должен оценить, удовлетворяет ли его такой уровень риска. Если инвестор готов к более высокому уровню риска, то ему целесообразно выбрать портфель с более высокой E ( r ). Тот портфель, который при установленной инвестором доходности     E ( r ) даст наилучшее сочетание E ( r ) и σ , будет оптимальным, для данного инвестора.

  Оптимизация инвестиционного  портфеля по методу  Шарпа

В 1963 г. американский экономист У. Шарп ( William Sharpe ) предложил  новый метод построения границы  эффективных портфелей, позволяющий  существенно сократить объемы необходимых  вычислений. В дальнейшем этот метод  модифицировался и в настоящее  время известен как одноиндексная модель Шарпа ( Sharpe single - index model ).

В основе модели Шарпа лежит метод линейного  регрессионного анализа, позволяющий  связать две переменные величины - независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + р Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи rm , вычисленную на основе индекса Standart and Poor s ( S & P 500). В качестве зависимой переменной берется отдача ri какой-то i -ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S & P 500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью ( Market Model ), а норму отдачи rm - рыночной нормой отдачи.

Пусть норма  отдачи rm принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm 1 , rm 2 , ... , rmN . При этом доходность ri какой-то i -ой ценной бумаги имела значения ri 1 , ri 2 , ... , riN . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

ri,t = а i + р i rm,t +ei,t                         

где:   ri t - доходность i -ой ценной бумаги в момент времени t ;

а i - параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i -ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm ;

P i - параметр  линейной регрессии, называемый  бета, показывающий чувствительность  доходности i -ой ценной бумаги  к изменениям рыночной доходности;

rmt - доходность рыночного портфеля в момент t ;

е i , t - случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения rit и rmt порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру рi, поскольку он определяет чувствительность доходности i -ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если p>1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm . Соответственно, при p < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности h от средней арифметической (ожидаемой) величины E( r ) j , чем рыночная норма отдачи. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом р > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с р < 1 - менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг р > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной Р .

Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле 

E(rn ) = n WiE(ri)                    

где Wi - вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим  в эту 

формулу выражение  для ri из формулы ri,t = а i + р i rm,t +ei,t                           :

E( rn ) = n * Wi E(аi+рi rm + ei,t) = n * Wi (аi+eit) + n *Wi *ргE( rm )       

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое  предыдущего уравнения можно представить в виде:

n WiPiE(rm) = Wn+1E(an+1 + en+1)     

где : Wn+1= n Wi P i ;

an+1 + en+1= rm

при этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна  дисперсии    рыночной    доходности.  Выражение  Wn+1= n Wi P i 

представляет  собой сумму взвешенных величин  P каждой ценной бумаги (где весом служат Wi ) и называется портфельной бетой (Р n ).В итоге получаем :

E( rn ) = х Wi E(аi+ei)                                         

а поскольку E (e i ) = 0, то окончательно имеем:

E ( rn ) = xWiai                                                  

Итак, ожидаемую доходность портфеля E( rn ) можно представить состоящей из двух частей:

а)     суммы взвешенных параметров а i каждой ценной бумаги - 
W 1   a1+W 2 a 2 + .... + Wnan , что отражает вклад в E( rn ) самих ценных 
бумаг, и

б)      компоненты Wn +1 an +1 = n WiAE ( rm ),   то    есть    произведения

портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка  с ценными бумагами портфеля.

Модели  формирования портфеля инвестиций.

В соответствии с правилом выбора по Парето наилучшим  из совокупности предполагаемых инвестиционных объектов является вариант, для которого нет ни одного объекта по заданным показателям не хуже него, а хотя бы по одному показателю лучше. При этом для сравнения объектов инвестирования по заданным показателям составляются, как правило, таблицы предпочтений, демонстрирующие преимущества тех или иных инвестиционных объектов. Зачастую правило выбора по Парето дает большее количество вариантов, чем это необходимо с учетом ограниченности общего объема инвестиционных ресурсов. В этом случае применяется правило выбора по Борда, согласно которому инвестиционные объекты ранжируются по значениям каждого показателя в порядке убывания с присвоением соответствующего значения ранга, и наилучшим вариантом признается объект инвестирования с максимальным значением суммарного ранга.

Процедура выбора может осуществляться и на основе метода выбора по удельным весам показателей, при котором сами основные показатели ранжированы по степени значимости для инвестора. Каждому показателю присваивается весовой коэффициент (в долях единицы) при сумме всех весовых коэффициентов, равной единице. Значения рангов показателей для каждого инвестиционного объекта взвешиваются по удельным весам самих показателей и суммируются. Лучший инвестиционный объект характеризуется максимальным значением такого взвешенного ранга.

При составлении  инвестиционного портфеля могут  использоваться комбинированные методы, для чего отбор инвестиционных проектов производится в несколько этапов, на каждом из которых применяется  одно из правил с последующим исключением выбранных вариантов из дальнейшего рассмотрения. Обобщенная оценка может осуществляться на основе суммирования значений всех рассматриваемых показателей или на основе того показателя, которому инвестор отдает приоритет. Оценочные показатели могут включать основные показатели доходности инвестиций, а также такие показатели, как совокупный показатель риска по инвестиционному проекту, показатель кредитного рейтинга заемщика и др.

Выбор того или  иного метода оценки инвестиционных решений и формирования инвестиционного портфеля определяется конкретной целевой установкой инвестора. Вместе с тем рассмотренные методы не позволяют в достаточной мере отразить значение отдельных показателей в системе сравнительной оценки эффективности инвестиций,  достичь максимального соответствия между суммарным объемом финансирования инвестиционных проектов и предполагаемыми инвестиционными ресурсами. 

Постановка  задачи линейного  программирования для  формирования оптимального инвестиционного  портфеля.

 

В наибольшей степени  принципу составления оптимального портфеля соответствуют методы линейного  программирования, позволяющие решить задачу максимизации доходности портфеля при заданных ограничениях.

Отбор объектов инвестирования по критерию доходности (эффективности) играет наиболее существенную роль в процессе инвестиционного анализа в связи с высокой значимостью этого фактора в системе оценок. 

При постановке задачи линейного программирования оптимизация инвестиционного портфеля сводится к задаче нахождения такой комбинации инвестиционных объектов, которая обеспечила бы максимально возможный уровень доходности при заданных ограничениях.

В качестве критериального показателя доходности, который должен быть максимизирован, следует использовать показатель суммарного чистого приведенного дохода инвестиционного портфеля, отражающий совокупный эффект инвестиций

∑ NРVi→max, i = 1,..., n   

Чистый  приведенный доход (net present value, NPV) - сумма текущих эффектов за весь расчетный период, приведенная к начальному шагу; превышение интегральных результатов над интегральными затратами; абсолютная величина дохода от реализации проекта с учетом ожидаемого изменения стоимости денег и зависит от нормы дисконта.

http://proffin.com/nasha_spravka/materialy_po_biznes-planirovaniyu/terminy_i_opredeleniya/ 
 

В качестве ограничений  могут быть заданы нестрогие неравенства (≤ и ≥):

  • общий объем инвестиций по объектам в составе инвестиционного портфеля ∑Ii, не должен превышать объем инвестиционных ресурсов, выделенных для финансирования инвестиций Iр

∑Ii <=Ip   

минимальная внутренняя норма доходности по объектам в соcтаве инвестиционного портфеля (IRR) должна быть не меньше стоимости предполагаемых инвестиционных ресурсов k или установленной инвестором нормы дисконта r

min (IRR)≥k(r)     

(Внутренняя норма доходности IRR (Iinternal Rate of Return) является широко используемым показателем эффективности инвестиций. Под этим термином понимают ставку дисконтирования, при которой чистая текущая стоимость инвестиционного проекта равна нулю. На практике значение IRR сравнивается с заданной нормой дисконта r. При этом, если IRR>r, то проект обеспечивает положительную величину NPV и процент дохода, равный (IRR-r).