Спектральный анализ и синтез сигнала

Министерство  образования Республики Беларусь 

Учреждение  образования 

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ 

Кафедра радиотехнических устройств 
 

                          К защите допустить:

                                                Руководитель проекта

                                                ______В.М.Дашенков 
 
 
 
 

Пояснительная записка

к курсовому  проекту

на тему: 

«Спектральный анализ и синтез сигнала» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил:           Руководитель проекта:

Студент ФРЭ  гр.741301        Дашенков В.М. 

Домасевич В.Л.     

                                                   
 

                                                 

Минск 2009 

Содержание 

 

Введение  и постановка задачи

     Теория радиотехнических цепей  и сигналов является фундаментальной  дисциплиной, которая своим содержанием  определяет профессиональную подготовку  инженеров. 

     Влияние этой научной теории  огромно и в настоящее время,  и дальнейшее развитие теории  очень важно для современного  общества, и  будет происходить  в обозримом будущем. Это объясняется  тем, что потребность в качественной  передаче и обработке непрерывно  растущих объемов информации  постоянно нарастает. При этом  основная проблема, заключающаяся   в отыскании методов передачи  и приема, обеспечивающих получение  требуемой достоверности принимаемых  сообщений и повышение скорости  передачи, все еще остается актуальной. 

       

 

2. Спектральные свойства сигнала

 

Сигнал  и событие

   

    Событие (получение записки, наблюдение сигнальной ракеты, прием символа по телеграфу) является сигналом только в той системе отношений, в которой сообщение опознается значимым (например, в условиях боевых действий сигнальная ракета — событие, значимое только для того наблюдателя, которому оно адресовано). Очевидно, что сигнал, заданный аналитически, событием не является и не несет информацию, если функция сигнала и её параметры известны наблюдателю.

      В технике сигнал всегда является событием. Другими словами, событие - изменение состояния любого компонента технической системы, опознаваемое логикой системы как значимое, является сигналом. Событие, неопознаваемое данной системой логических или технических отношений как значимое, сигналом не является. 

     Временной и частотный способ представления сигналов. Спектр сигнала.

   

     Есть два способа представления сигнала в зависимости от области определения: временной и частотный. В первом случае сигнал представляется функцией времени s(t) характеризующей изменение его параметра.

    Кроме привычного временного представления сигналов и функций при анализе и обработке данных широко используется описание сигналов функциями частоты. Действительно, любой сколь угодно сложный по своей форме сигнал можно представить в виде суммы более простых сигналов, и, в частности, в виде суммы простейших гармонических колебаний, совокупность которых называется частотным спектром сигнала.

     Для перехода к частотному способу представления используется преобразование Фурье:

S(ω)=. 

     Функция S(ω) называется спектральной функцией или спектральной плотностью.

     Поскольку спектральная функция S(ω) является комплексной, то можно говорить о спектре амплитуд | S(ω) | и спектре фаз φ(ω) = arg(S(ω)). Физический смысл спектральной функции: сигнал s(t) представляется в виде суммы  бесконечного ряда гармонических составляющих (синусоид) с амплитудами , непрерывно заполняющими интервал частот от 0 до , и начальными фазами φ(ω). Размерность спектральной функции есть размерность сигнала, умноженная на время. 

         Параметры сигналов 

     Мощность  сигнала P = .

     Удельная  энергия сигнала E .

     Длительность  сигнала (T) определяет интервал времени, в течение которого сигнал существует (отличен от нуля).

     Динамический  диапазон есть отношение наибольшей мгновенной мощности сигнала к наименьшей D = 10lgPmax / Pmin.

     Ширина  спектра сигнала F — полоса частот, в пределах которой сосредоточена  основная энергия сигнала[~95%].

     База  сигнала есть произведение длительности сигнала на ширину его спектра B = TF. Необходимо отметить, что между  шириной спектра и длительностью  сигнала существует обратно пропорциональная зависимость: тем короче спектр, тем  больше длительность сигнала. Таким  образом, величина базы остается практически неизменной.

     Отношение сигнал/шум равно отношению мощности полезного сигнала к мощности шума.

     Объем сигнала характеризует пропускную способность канала связи, необходимую  для передачи сигнала. Он определяется как произведение ширины спектра  сигнала на его длительность и  динамический диапазон

     V = FTD. 

      Итак, среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин. 

      В радиотехнике приходится иметь дело с электрическими сигналами, которые  связаны с передаваемыми сообщениями  принятым способом кодирования.

      Можно сказать, что электрический сигнал представляет собой физический (электрический) процесс, несущий в себе информацию. Количество информации, которое можно передать с помощью некоторого сигнала, зависит от основных его параметров: длительности, полосы частот, мощности и некоторых других характеристик. Важное значение имеет также уровень помех в канале связи: чем меньше этот уровень, тем большее количество информации можно передать с помощью сигнала с заданной мощностью. Прежде чем говорить об информационных возможностях сигнала, необходимо ознакомиться с его основными характеристиками. Целесообразно рассмотреть отдельно детерминированные и случайные сигналы.

      Детерминированным называют любой сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени можно предсказать с  вероятностью равной единице.

Примерами детерминированных сигналов могут  служить импульсы или пачки импульсов, форма, величина и положение  во времени  которых известны, а также непрерывный  сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра. Детерминированные  сигналы  можно подразделить на периодические  и непериодические.

      Периодическим называется любой сигнал, для которого выполняется условие s(t)=s(t+kТ), где период Т является конечным отрезком, а k – любое целое число.

      Простейшим  периодическим детерминированным  сигналом является гармоническое колебание. Строго гармоническое колебание  называют монохроматическим. Этот заимствованный из оптики  термин подчёркивает, что  спектр гармонического колебания состоит  из одной спектральной линии. У реальных сигналов, имеющих начало и конец, спектр неизбежно размывается. Поэтому  строго монохроматического колебания  в природе не существует. В дальнейшем под гармоническим и монохроматическим  сигналом условно будет подразумеваться  колебание. Любой  сложный периодический сигнал, как известно, можно представить в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте w = 2*Pi/T. Основной характеристикой сложного периодического сигнала является его спектральная функция, содержащая информацию об амплитудах и фазах отдельных гармоник.

      Непериодическим детерминированным сигналом называется любой детерминированный сигнал, для которого выполняется условие  s(t) s(t+kT).

      Как правило, непериодический сигнал ограничен  во времени. Примерами таких сигналов могут служить уже упоминавшиеся  импульсы, пачки импульсов, «обрывки»  гармонических колебаний и т.д. Непериодические сигналы представляют основной интерес, так как именно  они преимущественно  используются в практике.

      Основной  характеристикой непериодического, как и периодического сигнала, является его спектральная функция.

      К случайным сигналам относят сигналы, значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей  единицы. Такими функциями являются, например, электрическое напряжение, соответствующее речи, музыке, последовательности знаков телеграфного кода при передаче неповторяющегося текста. К случайным  сигналам относится также последовательность радиоимпульсов на входе радиолокационного  приёмника, когда амплитуды импульсов  и фазы их высокочастотного заполнения флуктуируют из-за изменения условий  распространения, положения цели и  некоторых других причин. Можно привести большое число других примеров случайных  сигналов. По существу, любой сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как случайный. Перечисленные детерминированные  сигналы, «полностью известные», информация уже  не содержат. В дальнейшем такие  сигналы часто будут обозначаться термином «колебание».

      Для характеристики и анализа случайных  сигналов применяется статистический подход. В качестве основных характеристик  случайных сигналов принимают:

     а) закон распределения вероятностей.

     б) спектральное распределение мощности сигнала.

      На  основе первой характеристики можно  найти относительное время пребывания величины сигнала в определённом интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому и ряд других важных параметров сигнала. Вторая характеристика даёт лишь распределение по частотам средней мощности сигнала. Более подробной информации относительно отдельных составляющих спектра – об их амплитудах и фазах – спектральная характеристика случайного процесса не даёт.

      Наряду  с полезными случайными сигналами  в теории и практике приходится иметь  дело  со случайными помехами – шумами. Как уже упоминалось выше, уровень  шумов является основным фактором, ограничивающим скорость передачи информации при заданном сигнале.     
 

2.1 Спектральные характеристики периодических сигналов 

      Для упрощения методов решения задач  анализа цепей, сигналы представляют в виде суммы определенных функций.

      Этот  процесс обосновывается понятием обобщенного  ряда Фурье. В математике доказано, что любая функция, удовлетворяющая  условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда:

.

      Для определения  умножим левую и правую части ряда на и возьмем интеграл от левой и правой части:

, для интервала [a;b] в котором  выполняются условия ортогональности.

Видно, что  .Получили выражение для обобщенного ряда Фурье:

.

     Выделим конкретный вид функции  , для разложения в ряд сигнала . В качестве такой функции выберем ортогональную систему функций:

     

     Для определения ряда вычислим значение :

     

.

     

, так как  _.

     Таким образом, получим:

     

, где

     

  _.

     Графически  данный ряд представляется в виде двух графиков амплитудных  гармонических  составляющих.

     Полученное  выражение можно представить  в виде:

     

где ; _.

     Получили  вторую форму записи тригонометрического  ряда Фурье. Графически данный ряд представляется в виде двух графиков - амплитудного и фазового спектров.

     Найдем  комплексную форму ряда Фурье, для  этого воспользуемся формулами  Эйлера:

     

     или

, где

     Графически  спектр в этой форме представлен  на оси частот в диапазоне  .

     Очевидно, что спектр периодического сигнала, выраженный в комплексной или  амплитудной форме – дискретный. Это значит, что в спектре имеются  составляющие с частотами   

       2.2 Спектральные характеристики непериодического сигнала 

     Так как в качестве непериодического сигнала в радиотехнике рассматривают  одиночный сигнал,  то для нахождения его спектра представим сигнал как  периодический с периодом . Воспользуемся преобразование ряда Фурье для данного периода. Получим для :

     

.

     Анализ  полученного выражения показывает, что при  амплитуды составляющих становятся бесконечно малыми и на оси частот они расположены непрерывно. Тогда, что б выйти из этого положения воспользуемся понятием спектральной плотности:

     

.

     Подставим полученное выражение в комплексный  ряд Фурье, получим:

     

.

     Окончательно  получим:

     

.

     Здесь - спектральная плотность, а само выражение – прямое преобразование Фурье. Для определения сигнала по его спектру используют обратное преобразование Фурье:

     

. 

Свойства  преобразования Фурье 

    Из  формул прямого и обратного преобразований Фурье,  очевидно, что если изменится  сигнал, то изменится и его спектр. Следующие свойства устанавливают  зависимость спектра измененного  сигнала, от спектра сигнала до изменений. 

    1) Свойство линейности преобразования  Фурье:

    

.

    

, т.е.

    

.

    Получили, что спектр суммы сигналов равен  сумме их спектров.

    2) Спектр сигнала сдвинутого во  времени:

    

.

    

.

    

.

    Получили, что при сдвиге сигнала амплитудный  спектр не изменяется, а изменяется только фазовый спектр на величину  

    3) Изменение масштаба времени:

    

.

      т.е при расширении(сужении)  сигнала в несколько раз спектр  этого сигнала сужается(расширяется).

    4) Спектр смещения:

    

.

    

. 

    5) Спектр производной от сигнала:

    

.

    Возьмем производную от левой и правой части обратного преобразования Фурье:

    

.

    .

    Видим, что спектр производной от сигнала  равен спектру исходного сигнала  умноженного на , то есть изменяется амплитудный спектр и меняется фазовый на

    6) Спектр интеграла сигнала:

    

.

    Возьмем интеграл от левой и правой части обратного преобразования Фурье:

    

.

    

.

    Видим, что спектр производной от сигнала  равен спектру исходного сигнала  деленного на .

    7) Спектр произведения двух сигналов:

    

.

    

.

    

.

    Таким образом, спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров умноженной на коэффициент  _.

    8) Свойство дуальности:

    

.

    

.

    Таким образом, если к какому-то сигналу  соответствует спектр , то сигналу по форме совпадающему с вышеуказанным спектром соответствует спектр по форме совпадающий с вышеуказанным сигналом.

    9) Теорема о свёрке 2-х функций:

    

.

    

.

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Синтез  сигнала в полосе частот (0,50кГц) 

 

Рис. 8 

Синтез  сигнала в полосе частот (0,75кГц) 

 

Рис. 9 
 
 
 
 

Синтез  сигнала в полосе частот (0,100кГц) 

 

Рис. 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение 3 

При выполнении данной работы была написана программа на языке C Sharp.

Внешний вид: 

 

Рис. 11 

 

Рис. 12 
 
 
 
 
 

 

Рис. 13 

 

Рис. 14 

 

Рис. 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 
 

       В ходе выполнения данной работы, на конкретном примере, был произведен расчет спектра сигнала. C помощью прямого преобразования Фурье на каждом из интервалов функции исходного сигнала. Неоценимую помощь оказали свойства преобразования Фурье, а особенно свойства интегрирования и дифференцирования. Благодаря этим свойствам расчёт спектра выходного сигнала стал значительно легче.

       Основной  трудностью при выполнении курсового  проекта являлся расчёт синтеза  сигнала на основании его спектра, что было связано с громоздкостью  аналитического выражения для спектра  выходного сигнала, и следовательно, с трудностью расчёта его интеграла. Обычными методами интеграл рассчитать не удалось. Поэтому для этой цели была написана программа на языке  программирования C Sharp. В которой для расчета интеграла был использован один из численных методов, а именно метод с автоматическим выбором шага по заданной точности, достоинствами которого является простота реализации, высокая точность и надёжность выполнения кода.

             В ходе выполнения курсовой  работы, были использованы некоторые  программные приложения: MS Office 2007, MathCAD 14 и графическое приложение MS Pain. Расчет и построение некоторых графиков производились при помощи программного пакета MathCAD 14, оформление и редактирование отчёта о проделанной работе выполнялось при помощи приложений MS Office 2007 и графического редактора Paint. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы