Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Средние величины и вариация показателей. Методология и методика средних величин и показателей вариации

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Статистика

на тему: «Средние величины и вариация показателей. Методология и методика средних величин и показателей вариации»

Иркутск 2007

Содержание

с.

Введение …………………………………………………………………………..3

Понятие вариации ………………………………………………………………...4

Виды вариации и система показателей вариации ……………………………...5

Средние величины ………………………………………………………………..6

Применение средних величин …………………………………………………...9

Виды средних величин, способы их вычисления ……………………………..10

Расчёт относительных и абсолютных показателей …………………………...18

Вывод……………………………………………………………………………..25

Используемая литература ……………………………………………………....26

Введение

В моей курсовой работе я рассмотрю такое понятие, как средние величины. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различной численностью единиц.

В современных условиях развития рыночных отношений в экономике средние служат инструментом изучения объективных закономерностей социально-экономических явлений.

Средние в общественных явлениях обладают относительным постоянством, т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные явления характеризуются примерно одинаковыми средними.

Задачами данной курсовой работы является изучение понятия о средних величинах, а так же видов средних величин, правил их применения и формул для расчётов средних величин.

Целью написания моей курсовой работы является проведение расчётов средней цены товара на рынках города, средней заработной платы и средней трудоёмкости на основе исходной информации. А так же проведение расчётов абсолютных и относительных показателей вариации.

Источником для проведения необходимых расчётов являются данные статистического наблюдения о продаже яблок на 5 рынках города. Вся полученная информация представлена в таблице.

1. Понятие вариации.

Вариация – это принятие единицами совокупности или их группами различных, отличающихся друг от друга, значений признака. Вариация является результатом воздействия на единицы совокупности множества факторов. Синонимами термина «вариация» являются понятия «изменение», «изменчивость», «вариативность», и в дальнейшем они будут употребляться как тождественные.

Практически все явления, имеющие естественный характер происхождения, подвержены изменчивости. Например, химические процессы, синоптические явления, процессы выбора человеком спутника жизни (хотя в некоторых сообществах и этот процесс регламентируется), изменчивость наследственных признаков у каждого человека, – т.е. самые разнообразные процессы. Искусственно созданные человеком явления, а также ряд естественных законов могут иметь неизменный характер. Например, не имеют вариативности общественные явления, регулируемые нормативными актами, закрепляющими параметры этих явлений (например, минимальный размер заработной платы, срок полномочий выборного должностного лица), или такие явления, как скорость света и притяжение Земли.

Вариацией называется изменчивость только тех явлений, на которые воздействуют внешние факторы и причины. Тогда как о явлениях, изменяющихся в силу своей внутренней природы нельзя говорить, что они подвержены вариации. Например, рост человека, меняющийся в течении жизни. Изучение изменчивости роста отдельного человека, который, допустим, к 1 году составляет 0,8 м, а к 25 годам 1,79 м, путем расчета среднего роста, будет некорректным, т.к. в начале жизни рост был небольшой в силу естественных причин.

Необходимо подчеркнуть значение исследования вариации в статистической науке:

1. Выявление изменчивости размеров явления дает возможность оценить степень зависимости изучаемого явления от других факторов, в свою очередь подверженных изменчивости, или, другими словами, – оценить степень устойчивости явления к внешним воздействиям.

2. Вариация предполагает оценку однородности изучаемого явления, то есть меру типичности рассчитанной для этого явления средней величины.

3. Возможность оценивать вариативность определенного признака актуализирует статистические методы в условиях современной экономики, когда задачи, стоящие перед статистикой, усложняются целым рядом объективных факторов.

4. Вариация и методы ее исследования имеют важнейшее значение в изучении явлений, протекающих в обществе. Действительно, одной из главных проблем исследования общественных явлений и процессов выделяют высокий уровень их изменчивости, так как участниками общественных процессов выступают люди, обладающие различными системами ценностей и интересов.

2. Виды вариации и система показателей вариации.

Выделяют несколько видов вариации:

1. Если изучаемый признак может принять только одно из двух значений, противоположных по своей сути, то вариация называется альтернативной. Например, если изучается совокупность населения мужского пола, то по признаку прохождения службы в рядах российской армии всех мужчин можно разделить на две группы: проходившие службу, и не проходившие ее. Или в случае рассмотрения домохозяйств города по признаку наличия жилья в частной собственности все домохозяйства можно разделить на группу, обладающих жильем в частной собственности, и на группу домохозяйств, не обладающих таковым.

2. Систематическая вариация – изменение признака в определенном направлении. Вариация является систематической, только если изменение явления в определенном направлении не обусловлено внутренними законами развития изучаемого явления.

3. Случайной называется вариация, не имеющая явно выраженного направления, т.е. изменчивость признака при случайной вариации не предсказуема.

3. Средние величины.

Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др. Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся) признакам статистика использует средние величины. Средняя величина - это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку. В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.

Средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется основная тенденция развития, необходимость, закономерность, однако, для этого среднюю необходимо вычислять на основе обобщения массы фактов.

Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различной численностью единиц. Важнейшим условием научного использования средних величин в статистическом анализе общественных явлений является однородность совокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и технике вычисления средняя в одних условиях (для неоднородной совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности) соответствует действительности.

Качественная однородность совокупности определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности явления. Так, например, при исчислении средней урожайности требуется, чтобы исходные данные относились к одной и той же культуре (средняя урожайность пшеницы) или группе культур (средняя урожайность зерновых). Нельзя вычислять среднюю для разнородных культур. Средние, полученные для неоднородных совокупностей, будут искажать характер изучаемого общественного явления, фальсифицировать его, или будут бессмысленными. Так, если рассчитать средний уровень доходов служащих какого-либо района, то получится фиктивный средний показатель, поскольку для его исчисления использована неоднородная совокупность, включающая в себя служащих предприятий различных типов (государственных, совместных, арендных, акционерных), а также органов государственного управления, сферы науки, культуры, образования и т.п. В таких случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок, позволяющим выделить однородные группы, по которым и исчисляются типические групповые средние. Средине величины очень тесно связаны с методом группировок, т.к. для характеристики явлений необходимо исчислять не только общие (для всего явления) средние, но и групповые (для типических групп этого явления по изучаемому признаку). Групповые средние позволяют избежать "огульных" средних, обеспечивают сравнение уровней отдельных групп с общим уровнем по совокупности, выявление имеющихся различий и т.д.

Однако нельзя сводить роль средних только к характеристике типических значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике современная статистика использует так называемые системные средние, обобщающие неоднородные явления (характеристики государства, единой народнохозяйственной системы: например, средний национальный доход на душу населения, средняя урожайность зерновых по всей стране, средний реальный доход на душу населения, среднее потребление продуктов питания на душу населения, производительность общественного труда).

В современных условиях развития рыночных отношений в экономике средние служат инструментом изучения объективных закономерностей социально-экономических явлений. Однако в экономическом анализе нельзя ограничиваться лишь средними показателями, так как за общими благоприятными средними могут скрываться и крупные серьезные недостатки в деятельности отдельных хозяйствующих субъектов, и ростки нового, прогрессивного. Так, например, распределение населения по доходу позволяет выявлять формирование новых социальных групп. Поэтому наряду со средними статистическими данными необходимо учитывать особенности отдельных единиц совокупности. Средняя величина может принимать такие значения, которые не присущи непосредственно ни одному из элементов изучаемой совокупности, кроме того, на практике часто средняя величина для дискретного признака выражается как для непрерывного. Например, среднее число родившихся на каждую тысячу населения в регионе: в регионе имеются несколько населенных пунктов, в каждом из которых складывается собственный уровень рождаемости. Чтобы рассчитать среднюю рождаемость по региону необходимо численность всех родившихся младенцев соотнести с численностью населения и умножить на 1000: Результат расчета средней величины по данному показателю может выражаться в дробных числах, несмотря на то, что показатель «число родившихся» является целым числом.

Средняя величина являются равнодействующей всех факторов, оказывающих влияние на изучаемое явление. То есть, при расчете средних величинвзаимопогашаются влияние случайных (пертурбационных, индивидуальных) факторов и, таким образом, возможно определение закономерности, присущей исследуемому явлению. Адольф Кетле подчеркивал, что значение метода средних величин состоит в возможности перехода от единичного к общему, от случайного к закономерному, и существование средних величин является категорией объективной действительности. «Понятие о средней величине существует вне науки, которая только придает ему определенность и точность1». Математические приемы, используемые в различных разделах статистики, непосредственно связаны с вычислением средних величин.

4. Применение средних величин

Как уже говорилось выше обязательным условием расчета средних величин для исследуемой совокупности является ее однородность. Действительно, допустим, что отдельные элементы совокупности, вследствие подверженности влиянию некоторого случайного фактора, имеют слишком большие (или слишком малые) величины изучаемого признака, существенно отличающиеся от остальных. Такие элементы повлияют на размер средней для данной совокупности, поэтому средняя не будет выражать наиболее характерную для совокупности величину признака. Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые называются групповые средние, - они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех элементов общая средняя величина, характеризующая явление в целом, - она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу. На практике, однако, безусловное выполнение данного условия повлекло бы за собой ограничение возможностей статистического анализа общественных процессов, поэтому, часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям.

Еще одним важным условием применения средних величин в анализе является достаточное количество единиц в совокупности, по которой рассчитывается среднее значение признака. Достаточность анализируемых единиц обеспечивается корректным определением границ исследуемой совокупности, т.е. закладывается еще на начальном этапе статистического исследования. Данное условие становится решающим при применении выборочного наблюдения, когда необходимо обеспечить репрезентативность выборки.

Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности также является условием применения средней величины в анализе. В случае больших отклонений между крайними значениями и средней, необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности. Следовательно, их следует исключить из анализа, т.к. они оказывают влияние на размер средней величины.

5. Виды средних величин, способы их вычисления

В статистике выделяют несколько видов средних величин:

1. По наличию признака-веса:

а) невзвешенная средняя величина;

б) взвешенная средняя величина.

2. По форме расчета:

а) средняя арифметическая величина;

б) средняя гармоническая величина;

в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.

3. По охвату совокупности:

а) групповая средняя величина;

б) общая средняя величина.

Рассмотрим подробнее отдельные виды средних величин:

Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину:

Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

По форме расчета выделяют несколько видов средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму:

(1)

– показатель степени;

– -тый элемент совокупности;

– число наблюдений (число единиц совокупности).

При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные по форме средние величины.

Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины:

1. Определение исходного соотношения для исследуемого показателя.

2. Определение недостающих данных для расчета исходного соотношения.

3. Расчет средней величины.

Средняя арифметическая величина

Средняя арифметическая величина – наиболее характерная форма средней, на примере которой можно выявить все свойства средней.

Формула расчет средней арифметической величины имеет следующий вид:

, где (2)

– значение изучаемого признака для i-того элемента совокупности;

n – число наблюдений (число единиц совокупности).

1) Средняя арифметическая невзвешенная величина

Если показатель степени равен 1, то получаем следующую форму средней:

, где (3)

– индивидуальные значения признака у отдельных единиц совокупности.

Такая средняя величина называется средней арифметической простой (невзвешенной).

Данная форма средней величины является наиболее распространенной. Она получается путем соотношения суммарного объема индивидуальных значений признака каждого элемента совокупности и числа элементов совокупности.

2) Средняя арифметическая взвешенная величина:

Если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности с тем или иным значением осредняемого признака, то рассчитывается средняя арифметическая взвешенная:

(4)

– индивидуальные значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности;

– значения признака-веса для каждой единицы совокупности.

3) В зависимости от осредняемых данных выделяют несколько случаев применения средней арифметической взвешенной величины:

- расчет средней арифметической взвешенной в случае, если осредняемый признак выражен в абсолютных величинах, а признак-вес представлен первичным показателем;

- расчет средней арифметической взвешенной в случае, если осредняемый признак представлен в интервальном виде, т.е. когда данные, находящиеся в числителе исходного соотношения, рассчитываются следующим образом: сначала определяются середины интервалов (); затем серединное значение для каждого интервала умножается на значение признака-веса для этого интервала (); полученные произведения суммируются (). Полученный таким образом числитель соотносится с суммой значений признака-веса.

- расчет средней арифметической взвешенной, если в качестве осредняемого признака принимается удельный вес (т.е. когда совокупность поделена на подгруппы, в каждой из которых определено количество единиц, обладающих изучаемым признаком, доля таких единиц в общей численности подгруппы, и необходимо рассчитать среднее значение доли во всех подгруппах ()):

(5)

– представленное в абсолютном выражении количество единиц j-ой подгруппы, обладающих изучаемым признаком;

= 1, 2, 3…n – количество всех единиц j-ой подгруппы;

– количество подгрупп в совокупности;

То есть, если при расчете других средних арифметических взвешенных соотносились различные показатели, то средний удельный вес сохраняет те же показатели, которые применялись для расчета индивидуального значения удельного веса. Кроме того, при расчете удельного веса оба соотносимых показателя должны выражаться в абсолютных величинах. Если же необходимые данные отсутствуют, то следует привести показатели к сопоставимому виду.

Средняя гармоническая величина

1) Средняя гармоническая невзвешенная величина.

Если показатель степени равен (-1), то образуется следующая форма средней:

(6)

– индивидуальные значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности.

Такая средняя величина называется средней гармонической простой (невзвешенной). Она взаимосвязана со средней арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака.

Средняя гармоническая невзвешенная величина применяется в том случае, если согласно исходному соотношению средней необходимо, чтобы в знаменателе располагались обратные значения осредняемого признака. Данный вид средней применяется также, если значения признаков-весов одинаковы, следовательно, образуется тождество между средней гармонической взвешенной и средней гармонической невзвешенной.

2) Средняя гармоническая взвешенная величина.

Средняя гармоническая взвешенная величина имеет следующий вид:

(7)

– осредняемый признак;

– значения сводного, объемного показателя, выступающего как признак-вес.

Средняя гармоническая взвешенная величина рассчитывается в том случае, если имеющиеся данные предоставляют сведения об объеме определяющего показателя, рассчитываемого как произведение осредняемого признака и признака-веса. И если имеются также сведения об индивидуальных значениях осредняемого признака, а данные об отдельных значениях признака веса отсутствуют.

Такая форма средней применяется, когда необходимо рассчитать:

- общую среднюю из групповых средних величин;

- среднюю относительную величину, если не известна величина, находящаяся в знаменателе осредняемого признака.

Средняя геометрическая величина

1) Средняя геометрическая невзвешенная величина

Если показатель степени равен 0, то получаем следующую форму средней:

(8)

– индивидуальные значения признака у отдельных единиц совокупности;

П– произведение индивидуальных значений осредняемого признака;

n – число элементов совокупности.

Такая средняя величина называется средней геометрической простой (невзвешенной).

Данная форма средней отличается от остальных форм, описанных выше, в той же мере, как арифметическая прогрессия от геометрической. То есть, в случае расчета средних арифметической и гармонической элементы совокупности представляли собой либо:

а) абсолютные величины, которые могли быть просуммированы между собой;

б) относительные величины, которые путем дополнительных расчетов переводились в абсолютные, и затем суммировались.

В данной форме средней элементами исследуемой совокупности являются:

1. Относительные величины, объединенные в ряд динамики, т.е. с учетом фактора времени. Например, темпы роста, или относительные величины планового задания и выполнения плана, или относительные величины сравнения, рассчитанные для нескольких периодов. То есть, в качестве единиц совокупности выступают величины, полученные путем соотнесения различных признаков, поэтому для таких величин средняя рассчитывается через их произведение. Кроме того, как уже указывалось выше, вторичные показатели, которыми являются относительные величины динамики, не могут суммироваться.

Относительные величины динамики (темпы роста) могут рассчитываться с постоянной и переменной базами сравнения, поэтому форма средней геометрической может выглядеть как:

(9)

– темп роста, рассчитанный с переменной базой сравнения (цепным способом);

– темп роста, рассчитанный с постоянной базой сравнения (базисным способом).

То есть, средняя геометрическая рассчитывается как корень степени, равной числу темпов роста (n), где подкоренное выражение составляет произведение цепных темпов роста. Или как корень степени, равной «число уровней ряда динамики минус один» (k-1), где подкоренное выражение соответствует базисному темпу роста, рассчитанному для последнего периода.

2. Максимальная и минимальная величины признака. То есть, в случае если известны лишь экстремальные значения признака (хmin и хmax), то средняя рассчитывается как корень квадратный произведения между ними:

(10)

2) Средняя геометрическая взвешенная

Данная форма средней применяется, когда темпы роста остаются неизменными в течение нескольких периодов. Формула средней геометрической взвешенной определяется следующим образом:

(11)
х – количество периодов, в течение которых темпы роста оставались неизменными

Основные математические свойства средней арифметической:

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

(13)

Данное свойство можно доказывать как математическим, так и графическим путями. Суть их сводится к тому, что сумма отрицательных отклонений от среднего равна сумме положительных отклонений. Поэтому влияние отрицательных отклонений при суммировании нивелируется (взаимно погашается) положительными отклонениями, что и дает нулевой результат.

Необходимо отметить, что данное свойство верно и для взвешенных средних значений.

2. Произведение каждого значения осредняемого признака на соответствующую ему частоту будет тождественно произведению средней величины на сумму частот:

(14)

В данном свойстве отражена сущность средней величины, как результата распределения объема совокупности поровну между всеми ее элементами.

3. Сумма квадратов отклонения индивидуальных значений признака от его средней величины будет меньше, чем сумма квадратов отклонения от любой другой величины.

То есть, если обозначить произвольную величину как «Р», то получим:

(15)

4. Если каждое значение осредняемого признака изменить на какое-либо одно и то же число, то объем средней изменится на это же число.

5. Если каждое значение осредняемого признака изменить в какое-либо число раз, то объем средней изменится в это же количество раз.

6. Если каждое значение признака-веса или частоты осредняемого признака изменить в одно и то же число раз, то величина средней не изменится. Данным свойством удобно пользоваться в том случае, если необходимо быстро проанализировать совокупность с большим количеством элементов, и факторный признак выражен многозначными числами. Крайним проявлением указанного свойства является равенство всех весов, которые в таком случае при расчете средней величины можно не принимать во внимание, т.е. среднюю рассчитывать как не взвешенную.

6. Расчёт относительных и абсолютных показателей

Рассмотрев и изучив теоретические вопросы курсовой работы, проведём расчёты на основе исходных данных статистического наблюдения, представленных в таблице 1. Данные увеличены на 60.

Таблица 1. Данные статистического наблюдения о продаже яблок на 5 рынках города