Содержание

Введение

    Данная  курсовая работа посвящена изучению метода средних величин. В средних  величинах отображаются важнейшие  показатели, характеризующие общественные явления, такие как товарооборот, товарные запасы, цены, заработная плата, рождаемость. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др. Правильное понимания сущности средней через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического  и социального развития. Метод средних величин находит свое применение при статистических исследованиях в любой области.

    В теоретической части рассмотрим виды средних величин, а именно: средняя  арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая и структурные средние - в экономическом анализе, а также условия их применения.

    В расчетной части представлены задачи на нахождение средних величин, на примере  этих задач будут показаны различные способы  нахождения средних величин, и использование их в экономическом анализе.

    В аналитической части будет проведено  исследование в результате которого, будет найдена средняя цена товара.

    При проведении статистического анализа  данных в этой работе будут использованы следующие программные средства: Microsoft Word и Microsoft Excel.

Теоретическая часть

1.1 Средние величины  в экономическом  анализе

   Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические  явления. Каждое из этих явлений может иметь различное количественное выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной и той же профессии рабочих или цены на рынке на один и тот же товар и т.д. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

     Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся)  признакам  статистика использует средние величины.

    Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.¹ Количество показателей, вычисленных в виде средних величин, и используемых на практике очень велико.

    Важнейшее свойство средней величины заключается  в том, что она представляет значение определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом, через характеристику единицы совокупности она характеризует всю совокупность в целом.

    Средние величины связаны с законом больших  чисел. Суть этой связи заключается  в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется основная  тенденция развития, необходимость, закономерность, однако, для этого среднюю необходимо вычислять на основе обобщения массы фактов.

    Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям  с различной численностью единиц. Важнейшим условием научного использования  средних величин в статистическом анализе общественных явлений является однородность совокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и технике вычисления  средняя в одних условиях  (для неоднородной совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности) соответствует действительности. 

    Качественная  однородность совокупности определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности явления. Так, например, при исчислении средней урожайности требуется, чтобы исходные данные относились к одной и той же культуре (средняя урожайность пшеницы) или группе культур (средняя урожайность зерновых). Нельзя вычислять среднюю для разнородных культур.

    Таким образом, основными свойствами средней  величин являются:

     - Она обладает устойчивостью,  что позволяет выявлять закономерности  развития явлений.  Средняя облегчает  сравнение двух совокупностей, обладающих различной численностью.

     -  Она помогает характеризовать  развитие уровня явления во  времени.

     -  Она помогает выявить и  охарактеризовать связь между  явлениями.

    Признак, по которому производится осреднение, называется осредняемым признаком.  Величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется ее индивидуальным значением.

    Значение  признака, которое встречается у  групп единиц или у отдельных  единиц и не повторяется, называется вариантом признака.                 

     Средняя величина может принимать такие  значения, которые не присущи непосредственно  ни одному из элементов изучаемой  совокупности, кроме того, на практике часто средняя величина для дискретного  признака выражается как для непрерывного. Например, среднее число родившихся на каждую тысячу населения в регионе: в регионе имеются несколько населенных пунктов, в каждом из которых складывается собственный уровень рождаемости. Чтобы рассчитать среднюю рождаемость по региону необходимо численность всех родившихся младенцев соотнести с численностью населения и умножить на 1000:

     Результат расчета средней величины по данному  показателю может выражаться в дробных  числах, несмотря на то, что показатель «число родившихся» является целым  числом.

     Средняя величина является равнодействующей всех факторов, оказывающих влияние на изучаемое явление. То есть, при расчете средних величин взаимопогашаются влияние случайных (пертурбационных, индивидуальных) факторов и, таким образом, возможно определение закономерности, присущей исследуемому явлению. Значение метода средних величин состоит в возможности перехода от единичного к общему, от случайного к закономерному, существование средних величин является категорией объективной действительности.

     Итак, к расчету средней предъявляются  два основных требования:

- Среднюю  нужно рассчитывать так, чтобы  она погашала то, что мешает  выявлению характерных черт и закономерностей в развитии явления, а не затушевывала развитие.

- Средняя  может быть вычислена только  для однородной совокупности. Средняя, вычисленная для неоднородной совокупности, называется огульной.

    Одинаковые  по форме и технике вычисления средние в одних случаях могут  быть огульными, а в других – общими в зависимости от того, с какой  целью они интерпретируются.

    Говоря  о методологии исчисления средних, не надо забывать, что средняя всегда дает обобщенную характеристику лишь по одному признаку. Каждая же единица совокупности имеет много признаков. Поэтому необходимо рассчитывать систему средних, чтобы охарактеризовать явление со всех сторон.

    Расчет  средних величин производится по правилам, которые разрабатываются  математической статистикой.

    Математические  приемы, используемые в различных  разделах статистики, непосредственно  связаны с вычислением средних  величин.

    Средние в общественных явлениях обладают относительным постоянством, т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные явления характеризуются примерно одинаковыми средними. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Условия применения средних  величин в анализе

       Как уже говорилось выше, обязательным условием расчета средних величин для исследуемой совокупности является ее  качественная однородность. Действительно, допустим, что отдельные элементы совокупности, вследствие подверженности влиянию некоторого случайного фактора, имеют слишком большие (или слишком малые) величины изучаемого признака, существенно отличающиеся от остальных. Такие элементы повлияют на размер средней для данной совокупности, поэтому средняя не будет выражать наиболее характерную для совокупности величину признака.

     Средняя представляет собой обобщающую статистическую характеристику, в которой получает количественное выражение типичный уровень признака, которым обладают члены изучаемой совокупности. Но одной средней нельзя отобразить все характерные черты статистического распределения. Возможны случаи совпадения средних арифметических при разном характере распределения.

     Показатели  вариации используются для характеристики и упорядочения статистических совокупностей. Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период. Изучение вариации помогает понять сущность изучаемого явления. К показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. 

     Если  исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые  называются групповые средние, –  они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех элементов общая средняя величина, характеризующая явление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу.

     На  практике, однако, безусловное выполнение данного условия повлекло бы за собой  ограничение возможностей статистического  анализа общественных процессов. Поэтому, часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям. Например, при  расчете величины средней заработной платы по Тюменской области, когда совместно анализируется заработная плата труда в автономных округах и в южных районах Тюменской области, а затем полученный средний уровень заработной платы труда сопоставляется с соседними сибирскими регионами.

     Еще одним важным условием применения средних  величин в анализе является достаточное  количество единиц в совокупности, по которой рассчитывается среднее  значение признака. Достаточность анализируемых  единиц обеспечивается корректным определением границ исследуемой совокупности, т.е. закладывается еще на начальном этапе статистического исследования. Данное условие становится решающим при применении выборочного наблюдения, когда необходимо обеспечить репрезентативность выборки.

     Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности также является условием применения средней величины в анализе. В случае наличия больших отклонений между крайними значениями и средней необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности. Следовательно, их необходимо исключить из анализа, т.к. они оказывают влияние на размер средней величины.

3. Виды  средних величин.

     В статистике выделяют несколько видов  средних величин, структурированных  по разным основаниям:

1. По наличию  признака-веса:

а) невзвешенная средняя величина;

б) взвешенная средняя  величина.

2. По форме  расчета:

а) средняя арифметическая величина;

б) средняя гармоническая  величина;

в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.

3. По охвату  совокупности:

а) групповая  средняя величина;

б) общая средняя  величина.

     Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину:

     Если  средняя величина рассчитывается для  признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая  средняя величина называется средней  невзвешенной или простой средней.

     Если  имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете  для корректного расчета средней  величины, то рассчитывается средняя  взвешенная.

     По  форме расчета выделяют несколько видов средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму:

      ,

где - среднее значение исследуемого явления;

k – показатель  степени средней;

x – текущее значение (вариант) осредняемого признака;

i –i-тый элемент  совокупности;

n – число  наблюдений (число единиц совокупности).

При разных показателях  степени k получаем, соответственно, различные  по форме средние величины. (Табл. 1):

     Таблица 1 - Наименования средних величин по степеням средних.

     Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины:

1. Определение  исходного соотношения для исследуемого  показателя.

2. Определение  недостающих данных для расчета  исходного соотношения.

3. Расчет средней  величины.

   Рассмотрим  некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике. Для этого введем следующие понятия и обозначения:

     Признак, по которому находится средняя, называемый осередняемым признаком,  обозначим  буквой "х"

Значения признака, которые встречаются у группы единиц или отдельных единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака  и обозначаются через x₁, x₂, x₃ и т.д. Средняя величина этих значений обозначается через "  " . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3.1 Средняя арифметическая

     Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

     Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают  через х ( ); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

     Например, имеются следующие данные о производстве рабочими продукции  (табл. 2)

     Таблица 2 - Количество изделий, выпущенных за смену 

     В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену.

     Численные значения признака (16,  17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы:

     Простая средняя арифметическая применяется  в случаях,  когда имеются отдельные  значения признака,  т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены  в  виде  рядов распределения или группировок,  то средняя исчисляется иначе.

     Средняя арифметическая взвешенная вычисляется  по формуле  , где f_i - частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов признака, деленная на сумму весов. Она применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз.

     Статистический  материал в результате обработки  может быть  представлен не  только  в виде дискретных рядов распределения,  но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

     При расчете средней по интервальному  вариационному ряду необходимо сначала  найти середину интервалов. Это и  будут значения x_i, а количество единиц совокупности в каждой группе f_i (таблица 3).

     Таблица 3 - Распределения числа рабочих цеха по возрасту.

     Средний возраст рабочих цеха будет равен лет.

Для упрощения  расчета средней используют «способ  моментов» (способ отсчета от условного  нуля).

     Способ  моментов предполагает следующие действия:

     - Если возможно, то уменьшаются  веса.

     - Выбирается начало отсчета – условный нуль. Обычно выбирается с таким расчетом, чтобы выбранное значение признака было как можно ближе к середине распределения. Если распределение по своей форме близко к нормальному, но за начало отсчета выбирают признак, обладающий наибольшим весом.

     - Находятся отклонения вариантов  от условного нуля.

     - Если эти отклонения содержат  общий множитель, то рассчитанные  отклонения делятся на этот  множитель. 
Находится среднее значение признака по следующей формуле

     где A  - значение одного из центральных вариантов с наибольшей частотой

     i  - величина интервала.

     Пример: А= 45; i=10

     Таблица 4 - Распределение рабочих по возрасту.

     x1 – новые варианты признака

      .

      .

     Как видно из примера средняя величина, полученная в результате использования способа моментов отличается от средней, рассчитанной по формуле взвешенной средней. Неточность объясняется, по-видимому, предположением о равномерном распределении единиц признака внутри группы, а так же большим интервалом.

    В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

     Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

     1. От уменьшения или увеличения  частот каждого значения  признака  х в n раз величина средней арифметической не изменится.

     Если  все частоты разделить или умножить на какое-либо число,  то величина  средней не изменится.

     2. Общий множитель индивидуальных  значений  признака  может   быть вынесен за знак средней:

     3. Средняя  суммы  (разности)  двух  или нескольких величин  равна сумме (разности) их средних:

     4. Если х = с, где с - постоянная  величина, то  .

     5. Сумма отклонений значений признака  Х от средней арифметической  х равна нулю:

1.3.2 Средняя гармоническая

     Наряду  со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (f_i) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.

     Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле 

      ,

     т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.

     Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин.,  третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

     На  первый  взгляд  кажется,  что  задача легко решается по формуле  средней арифметической простой:

     Полученная  средняя была бы правильной,  если  бы  каждый  рабочий сделал только  по одной детали.  Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей.  Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением: