Средние величины в статистике. 2

 

Министерство Образования и Науки Российской Федерации

Государственный Академический Университет

Гуманитарных Наук

Институт Экономического Образования

 

Кафедра Общей Экономики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

 

На тему:  «Средние величины в статистике»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Студентка: Ким Анна

Научный руководитель: к. ф.-м. наук,

доцент Юрасов Алексей Николаевич 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва

2014г.

 

Содержание

 

Введение – стр. 1

1. Сущность средних величин, общие принципы применения – стр. 2

2. Виды средних величин  – стр. 4

2.1.Средняя арифметическая величина – стр. 4

2. 2 Средняя гармоническая величина – стр. 6

2.3 Средняя геометрическая величина – стр. 7

2.4 Средняя квадратическая величина – стр. 8

2.5 Средняя кубическая  величина – стр. 9

2.6. Медиана – стр. 10

2.7. Мода – стр. 12

3. Основные методологические  требования правильного расчета  средних величин – стр. 14

Заключение – стр. 16

Список использованной литературы – стр. 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Средние величины в статистике – это тема моей курсовой работы.

Что такое статистика и для  чего она нужна?

Термин "статистика" появился в середине 18 века. Означал "государствоведение". Получил распространение в монастырях. Постепенно приобрел собирательное значение.

С одной стороны, статистика – это совокупность числовых показателей, характеризующих общественные явления и процессы (статистика труда, статистика транспорта) .

С другой – под статистикой понимается практическая деятельность по сбору, обработке, анализу данных по различным направлениям общественной жизни.

С третьей стороны, статистика – это итоги массового учета, опубликованные в различных сборниках.

Наконец, в естественных науках статистикой  называются методы и способы оценки соответствия данных массового наблюдения математическим формулам.

Таким образом, статистика – это общественная наука, изучающая количественную сторону массовых общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной.

 

Итак, перейдем к средним величинам. Где их используют и для чего они нужны?

 
В работе, в быту мы пользуемся средними величинами. В любом исследовании для выявления закономерностей используют средние величины. Для лучшего понимания используют средние величины, состав совокупность которых отражает свойства всех признаков.

Тема курсовой работы актуальна поскольку, рассмотрение средних величин это, как основной показатель для любого изучения или процесса.

 

Данная работа разделена на теоретические и практические части. 

• В теоретическом разделе рассмотрим виды средних величин: средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая, а также структурные средние величины - в экономическом анализе и условия их использования.
• В практической части есть задания на нахождение средних величин, на этих примерах данных задач будут показаны способы расчета средних.

 

 

1

1. Сущность средних величин. Применения.

Среди обобщающих показателей, характеризующих статистические совокупности, большое значение имеют средние величины.

Средняя величина — это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака.

Совокупность, изучаемая по количественному признаку, состоит из индивидуальных значений; на них оказывают влияние как общие причины, так и индивидуальные условия. В среднем значении отклонения, характерные для индивидуальных значений, погашаются. Средняя, являясь функцией множества индивидуальных значений, представляет одним значением всю совокупность и отражает то общее, что присуще всем ее единицам.

Практическое применение средних величин как обобщающих характеристик явлений и процессов в природе и обществе чрезвычайно широко.

Можно рассчитать среднемесячную заработную плату работника той или иной профессиональной группы (шахтера, библиотекаря, врача) и среднемесячный денежный доход, который приходится на одного жителя страны, среднюю себестоимость продукции по группе предприятий, выпускающих данный вид продукции, и среднегодовую температуру воздуха в 2009 г. в Москве и т.д.

В приведенных примерах средние величины характеризуют качественно однородные группы изучаемого явления. Разумеется, уровни месячной заработной платы шахтеров в силу различия их квалификации, стажа работы, отработанного за месяц времени и многих других факторов отличаются как друг от друга, так и от уровня средней заработной платы. Однако в среднем уровне отражены основные факторы, которые влияют на уровень заработной платы, и взаимно погашаются различия, которые возникают вследствие индивидуальных особенностей работника. Средняя заработная плата отражает типичный уровень оплаты труда для данного вида работников. Средняя величина в этом случае является не просто обобщающей, но и типической характеристикой совокупности. Получению типической средней должен предшествовать анализ того, насколько данная совокупность качественно однородна. Если совокупность состоит из разнокачественных частей, следует разбить ее на типические группы.

Например, если доходы 70% населения сокращаются в несколько раз, доходы 20% увеличиваются в несколько десятков раз и только у 10% населения остаются на прежнем уровне, то, опираясь на такую обобщающую характеристику, как среднедушевой доход, можно сделать вывод о том, что доходы населения неизменны. Однако полученные средние обобщающие показатели не являются типичными. В этой совокупности ярко выражены противоположные тенденции изменения уровня доходов, поэтому обобщающие показатели следует рассчитать для отдельных ее однородных частей.

Средние величины используются в качестве типических характеристик не только для однородных, но и для неоднородных совокупностей.

Например, если рассчитывается потребление сигарет на душу населения, то из всей совокупности населения можно исключить детей в возрасте до 10 лет, не говоря уже о том, что и довольно значительная часть других возрастных групп не потребляет этот продукт.

2

Средняя величина ВВП на душу населения, средняя величина потребления различных групп товаров на человека и другие подобные величины представляют обобщающие характеристики государства как единой экономической системы и носят название системных средних.

В других случаях из типических средних можно получить системную среднюю.

Например, если известны средние значения доходов на душу населения для типических групп, то общая средняя, рассчитанная на основе этих групповых средних, представляет собой системную среднюю.

Выбор той или иной формы средней зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

Указанные средние величины могут быть вычислены, либо когда каждый вариант в данной совокупности встречается только один раз, при этом средняя называется простой или невзвешенной, либо когда варианты повторяются различное число раз, при этом число повторений вариантов называется частотой или статистическим весом, а средняя, вычисленная с учетом весов, — средней взвешенной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2. Виды средних величин

 
В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:

• степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя кубическая);

• структурные средние (мода, медиана).

 

 

 

Виды средних величин

 

 

 

 

Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения, поэтому их называют структурными, позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

 

1. Средняя арифметическая величина.

 
Самый распространенный вид средней величины – средняя арифметическая. Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. Вычисление данной величины сводится к суммированию всех значений варьирующего признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности.

 

 

4

Например, пять рабочих выполняли заказ на изготовление деталей, при этом первый изготовил 5 деталей, второй – 7, третий – 4, четвертый – 10, пятый– 12. Поскольку в исходных данных значение каждого варианта встречалось только один раз, для определения средней выработки одного рабочего следует применить формулу простой средней арифметической:

т. е. в нашем примере средняя выработка одного рабочего равна

 

 

 

 

 

 

Средний возраст студентов

 

 

Применяя формулу средней арифметической взвешенной, получаем:

 

 

Для выбора средней арифметической взвешенной существует определенное правило: если имеется ряд данных по двум показателям, для одного из которых надо вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы,

 

5

а значения числителя неизвестны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, 
то средняя величина должна высчитываться по формуле средней арифметической взвешенной.

 

 
2.2. Средняя гармоническая  величина. 
В некоторых случаях характер исходных статистических данных таков, что расчет средней арифметической теряет смысл и единственным обобщающим показателем может служить только другой вид средней величины – средняя гармоническая. 

 

В настоящее время вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность при расчете обобщающих статистических показателей в связи с повсеместным внедрением электронно-вычислительной техники. Большое практическое значение приобрела средняя гармоническая величина, которая тоже бывает простой и взвешенной. Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное деление одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

 

Например, пусть известно, что автомобиль прошел первые 210 км со скоростью 70 км/ч, а оставшиеся 150 км со скоростью 75 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути в 360 км, используя формулу средней арифметической, нельзя. Так как вариантами являются скорости на отдельных участках xj = 70 км/ч и Х2 = 75 км/ч, а весами (fi) считаются соответствующие отрезки пути, то произведения вариантов на веса не будут иметь ни физического, ни экономического смысла. В данном случае смысл приобретают частные от деления отрезков пути на соответствующие скорости (варианты xi), т. Е. затраты времени на прохождение отдельных участков пути (fi/xi). Если отрезки пути обозначить через fi, то весь путь выразиться как Σfi, а время, затраченное на весь путь, – как Σ fi/xi , Тогда средняя скорость может быть найдена как частное от деления всего пути на общие затраты времени:

 

В нашем примере получим:

 

 

 

 

 

 
6

Если при использовании средней гармонической веса всех вариантов (f) равны, то вместо взвешенной можно использовать простую (невзвешенную) среднюю гармоническую:

 

 

 

 

 

 

 

где xi – отдельные варианты; n – число вариантов осредняемого признака. В примере со скоростью простую среднюю гармоническую можно было бы применить, если бы были равны отрезки пути, пройденные с разной скоростью.

 

Любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялась величина некоторого итогового, обобщающего показателя, который связан с осредняемым показателем. Так, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней величиной (средней скоростью) не должно измениться общее расстояние.

Форма (формула) средней величины определяется характером (механизмом) взаимосвязи этого итогового показателя с осредняемым, поэтому итоговый показатель, величина которого не должна изменяться при замене вариантов их средней величиной, называется определяющим показателем.  Для вывода формулы средней нужно составить и решить уравнение, используя взаимосвязь осредняемого показателя с определяющим. Это уравнение строится путем замены вариантов осредняемого признака (показателя) их средней величиной.

Кроме средней арифметической и средней гармонической в статистике используются и другие виды (формы) средней величины. Все они являются частными случаями степенной средней. Если рассчитывать все виды степенных средних величин для одних и тех же данных, то значения

их окажутся одинаковыми, здесь действует правило мажорантности средних. С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина.

 

 

 

2. Средняя геометрическая

 
Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения каждого уровня к предыдущему.

 
7 
Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле: 
,

 
где   –  знак произведения,  
N   –  число осредняемых величин. 
Пример. Количество зарегистрированных преступлений за 4 года возросло в 1,57 раза, в т. ч. за 1-й – в 1,08 раза, за 2-й – в 1,1 раза, за 3-й – в 1,18 и за 4-й – в 1,12 раза. Тогда среднегодовой темп роста количества преступлений составляет:  , т.е. число зарегистрированных преступлений ежегодно росло в среднем на 12%. 
Средняя геометрическая взвешенная используется, когда временные интервалы неодинаковы: 
, 
где   – временной интервал.

 

2.4. Средняя квадратическая величина

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.

 

 

, для простой.

, для взвешенной.

 

 

Например, имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: х1 = 100 м; х2 = 200 м; х3 = 300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300):3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3*(200 м)2 =120 000 м2. В то же время площадь исходных трех участков равна: (100 м)2 + (200 м)2 + ( 300 м)2 = 140 000 м2. Правильный ответ дает квадратическая средняя:

8

Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

 

 

2.5. Средняя кубическая величина  
Если по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, мы приходим к средней кубической, имеющей вид:  
, для простой.  
, для взвешенной.  
Средняя кубическая имеет ограниченное применение в практике статистики. Ею пользуются для исчисления средних диаметров труб, стволов и т.п., необходимых для разного рода расчетов, как, например, для определения запасов древесины на складах и на лесных участках. 

 

Все рассмотренные выше средние величины могут быть представлены в виде общей формулы:

где – средняя величина; – индивидуальное значение; n – число единиц изучаемой совокупности; k – показатель степени, определяющий вид средней.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше k в общей формуле степенной средней, тем больше средняя величина. Из этого следует, что между величинами степенных средних существует закономерное соотношение:

Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние– мода (Мо) и медиана (Ме).

 

 

 

9

 

2.6. Медиана  
Медиана (Ме) — величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.  
В ранжированном вариационном ряду с нечетным числом единиц совокупности медианой является значение признака у средней в ряду единицы. Медиана не зависит от значений признака, стоящих на краях вариационного ряда. 

 
В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы применяется формула: 

 

 
, 

 

 
где XMe - нижняя граница интервала, в котором находится медиана;  
f´Me - число наблюдений (или объем взвешивающего признака), накопленное до начала медианного интервала;  
fMe - число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (в абсолютном или относительном выражении);  
i - величина медианного интервала;  
- половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении). 

 

 
Примером такого ряда может служить месячная заработная плата рабочих завода.  

Порядковый номер рабочего	1	2	3	4	5	6	7	итого
Месячная заработная плата, руб. (x)	90	105	148	160	175	220	250	1148

 

В этом ряду среднее место по размеру заработной платы занимает рабочий с номером 4, получивший 160 руб. Эта величина и есть медиана. Меньше и больше медианы одинаковое число вариантов. При нечетном числе вариантов (п) порядковый номер, которому соответствует медиана, определяется по формуле :

 

 

.

 

 

10

Когда количество вариантов в ряду четное число, медианой считают один из тех вариантов, который по своей величине мог бы находиться посередине между вариантами с номером 

 и  . Так, если бы в цехе был еще и восьмой рабочий с заработной платой в 276 руб., то медиана находилась бы посередине между четвертым и пятым порядковыми номерами. В таких случаях принято считать, что в промежутке между номерами   и   идет равномерное нарастание или убывание вариантов. Поэтому за медиану принимают среднюю арифметическую из вариантов с номерами   и  . В данном примере  
 
Смысл полученного результата такой: одна половина рабочих получила за месяц меньше, а другая — больше 167,5 руб.  
Следовательно, медиана — обобщающий показатель распределения совокупности, уровень признака, который делит совокупность на две равные части, и представляет обычно интерес в анализе, как это видно из приведенного примера.  
Медиана, в отличие от средней, не является абстрактной величиной. Она находится точно в середине ряда, представляет собой реальное значение признака, соответствует определенному варианту и при этом наиболее точна в случае нечетного числа членов совокупности. Медиана как обобщающая характеристика совокупности не может, однако, заменить среднюю.  
Медиана — это центр распределения численности единиц совокупности, а средняя — центр распределения отклонений значений признака от равнодействующей. Величина медианы определяется лишь одним или двумя серединными значениями признака. Изменения всех остальных величин, если они не меняют последовательности членов в центре ряда, не находят отражения в медиане.  
 
Так, если месячную заработную плату наименее оплачиваемых двух рабочих поднять на 40 руб., это не скажется на медиане, несмотря на то, что тем самым значительно повышаются доходы двух рабочих цеха и существенно выравнивается заработная плата членов коллектива. Поэтому медиана, представляющая определенный интерес в анализе, не может заменить среднюю, которая при замене реального коллектива абстрактным коллективом с уравненными значениями признака оставляет неизменным определяющий показатель совокупности.  
Медианой целесообразно пользоваться, когда не известны границы открытых крайних интервалов вариационного ряда, на которые приходится значительная часть единиц всей совокупности, так как средняя в этих случаях страдает значительной неточностью. При исчислении же медианы отсутствие сведений об этих границах не влияет на точность расчета.  
 

11

2.7. Мода  
Мода (Мо) - это вариант признака, который при данном сочетании причин разного порядка чаще всего встречается в вариационном ряду. Например, цена, по которой чаще всего реализуется данный товар на рынке, является модой или модальной ценой.  
 
 
 
 
13 
Месячная заработная плата, которая чаще всего встречается в данном коллективе, является для него модальной заработной платой.  

Мода - типичная величина, в том смысле, что она встречается в совокупности или объективно может встретиться чаще других. Она имеет важное значение для решения некоторых задач, например какой высоты должны быть предназначенные для массового потребления станки, столы и т. п., какое количество детей чаще всего встречается в семье, какое время дня является «пиковым» для работы предприятий общественного питания, электростанций, городского транспорта  и др., какой уровень выполнения плана наиболее часто встречается в том или ином коллективе рабочих или   предприятий и т. п.  
Мода соответствует определенному значению признака. На практике моду находят, как правило, по сгруппированным данным.  
В дискретном ряду мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой.  
В интервальном вариационном ряду, тем более при непрерывной вариации признака, строго говоря, каждое значение признака встречается только один раз. Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Внутри этого интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения, то есть число единиц совокупности, приходящееся на единицу измерения варьирующего признака, достигает максимума. Это условное значение и считается точечной модой. Логично предположить, что такая точечная мода располагается ближе к той из границ интервала, за которой частота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границей модального интервала.

 

Отсюда имеем обычно применяемую формулу: 
,  
XMo - нижнее значение признака X в модальном интервале;  
i - величина интервала;  
fMo - частота (частость) повторения признака X в модальном интервале;  
fMo-1 ,fMo+1 - соответственно частоты (частости) признака для интервала, предшествующего модальному и следующего за ним. 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

Пример:

 

 

 

Удойность в среднем от одной коровы за год, кг	Процент хозяйств
До 1000	7,6
1000-1649	9,7
1650-1999	16,1
2000-2499	37,5
2500-2999	20,6
3000-3999	8,2
4000 и выше	0,3
	100

14

По табл. модальный интервал составляет 2000 - 2499шт, так  как ему соответствует наибольшая частота 37,5%, нижняя его граница хо = 2000, а величина интервала h = 500. Следовательно,  

 
 

           Это значит, что чаще всего встречаются хозяйства, у которых надой в среднем от одной коровы составляет 2280 кг.  
Для решения практических задач наибольший интерес представляет обычно мода, выраженная в виде интервала, а не дискретным числом. Объясняется это назначением моды, которая должна выявить наиболее распространенные размеры явления. Выраженная в виде дискретного числа мода часто не отвечает этому требованию. Так, в нашем примере процент хозяйств, у которых годовой надой в среднем на одну корову составляет 2280 кг, хотя и больше, чем хозяйств с любым другим уровнем надоя, но сам по себе он может быть небольшим. Хозяйств же с удойностью в пределах интервала 2000 - 2499 кг - 37,5%, а 2000 - 3000 кг - 58,1, - т. е. весьма значительный процент. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

3. Основные методологические  требования расчета средних величин.

 

Первый этап.

 

1. Если форма выбрана неправильно, то средняя будет завышена либо занижена.

 

2. Каждая средняя имеет свой особый смысл и область применения. 
3.  
   Решающим в выборе формы средней является социально-экономическое содержание явления, сущность которого должна найти свое количественное выражение в средней.

 

4. Средняя должна, на основе обобщения количественной стороны массовых общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной, дать ответ на конкретные вопросы, выдвигаемые жизнью.

 

5. Учесть сущность объекта, законы его развития, его специфику, определить задачу, которая должна решаться при помощи средней, и исходя из всего этого установить определяющий показатель, который должен найти отражение в средней.

 

 

Второй этап.

 

Выбор формы средней заключается в определении характера связи между определяющим свойством и осредняемым признаком. Если, например, связь прямо пропорциональна, то для расчета средней надо воспользоваться формулой средней арифметической, а при обратной пропорциональности — формулой средней гармонической. В случаях, когда связь выражается в форме геометрической прогрессии, средняя должна исчисляться по формуле средней геометрической и т. п.