Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Средние величины в статистике. 3

Министерство образования и науки

Российской Федерации Псковский

филиал НОУ ВПО - РМАТ

Специальность: «Менеджмент организации»

Специализация: «Менеджмент туризма»

Предмет: «Статистика»

Курсовая работа

«Средние величины в статистике»

Студентки 5 курса

заочного отделения

группа 062133-ТМ

Екимовой О.В.

Руководитель:

Яковлева Е.А.

Псков 2011

Содержание:

	Введение	3
Часть I	1.Сущность средних величин.	4
	2. Степенные средние величины и порядок их вычисления.	6
	2.1. Средняя арифметическая.	6
	2.2.Свойства средней арифметической.	9
	2.3.Средняя хронологическая	10
	2.4.Средняя гармоническая.	12
	2.5.Средняя геометрическая.	13
	2.6.Средняя квадратическая.	14
	3. Структурные средние величины.	14
Часть II	Практическая часть.	18
	Заключение	29
	Список литературы	30

Введение.

Тема моей курсовой работы средние величины в статистике. Мы пользуемся средними величинами постоянно, в быту и работе. Средние величины являются основными для выявлений закономерностей в любом исследовании. Средние величины помогают дать обобщённую характеристику единицам явления. Так же для лучшего понимания общей картины используют именно средние величины, в которых отражаются свойства всех признаков, входящих в состав совокупности.

Учитывая всё выше сказанное можно выявить актуальность темы моей курсовой работы. Рассмотрение средних величин, как основных показателей, для дальнейшего изучения любых явлений, также различных явлений и исследований в туристской сфере. В ходе изучения статистики тема средних величин является основополагающей для понимания дальнейшего изучения процессов.

Все средние величины делят на 2 большие группы: степенные и структурные. Среди степенных выделяют среднюю арифметическую, геометрическую, квадратическую, хронологическую, гармоническую. Наиболее широко используемой является средняя арифметическая величина. Среди структурных средних выделяют моду и медиану.

Эта курсовая работа посвящена рассмотрению различных видов средних величин и методов их вычисления. Её цель изучить понятие средних величин в статистике и их возможное применение в ткризме.

В ходе написания этой работы, для достижения поставленной цели, были использованы материалы учебников, журналов, статистические данные из псковского статистического ежегодника.

Часть I

1.Сущность средних величин.

Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические явления. Каждое из этих явлений может иметь различное количественное выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной и той же профессии рабочих или цены на рынке на один и тот же товар и т.д.

Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся) признакам статистика использует средние величины. Средние величины играют особую роль в статистическом исследовании. Это определяется задачей статистики – выявлением закономерностей массовых явлений. Закономерности можно выявить, лишь обобщая однородные явления и давая обобщённую характеристику единицам явления. В экономическом анализе часто приходится оперировать средними величинами в целях лучшего понимания общей картины, когда нужно из многих признаков получить величину, в которой отражались бы свойства всех признаков, входящих в состав совокупности. [5 c.146]

Средняя величина — это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку. (годин)

Применение средних величин позволяет охарактеризовать определенный признак совокупности одним числом, несмотря на количественные различия единиц по данному признаку внутри совокупности.

Следовательно, средняя величина есть обобщающая характеристика совокупности; средняя величина выражает типичное свойство совокупности; средняя величина — величина абстрактная, а не конкретная, так как в ней сглаживаются отдельные значения единиц совокупности, имеющие отклонения в ту и другую сторону. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она представляет значение определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом, через характеристику единицы совокупности она характеризует всю совокупность в целом. [2 c.98]

Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различной численностью единиц.

Пользуясь средними величинами при анализе массовых явлений, необходимо всегда помнить, что часто в средней величине скрываются отстающие хозяйствующие субъекты, которые имеют низкие показатели своей деятельности и, наоборот, не выявляются фирмы, компании, предприятия и т. д., которые работают весьма эффективно. Это возможно, как уже говорилось выше, в связи со свойством средней, в которой отклонения отдельных значений признака от ее величины взаимно погашаются.

Важнейшим условием научного использования средних величин в статистическом анализе общественных явлений является однородность совокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и технике вычисления средняя в одних условиях (для неоднородной совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности) соответствует действительности. Качественная однородность совокупности определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности явления. Так, например, при исчислении средней урожайности требуется, чтобы исходные данные относились к одной и той же культуре (средняя урожайность пшеницы) или группе культур (средняя урожайность зерновых). Нельзя вычислять среднюю для разнородных культур.

Средине величины очень тесно связаны с методом группировок, т.к. для характеристики явлений необходимо исчислять не только общие (для всего явления) средние, но и групповые (для типических групп этого явления по изучаемому признаку).[7 c.26]

2. Степенные средние величины и порядок их вычисления.

2.1. Средняя арифметическая.

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние. К степенным средним величинам относятся средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя гармоническая, средняя хронологическая и т. д. В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Однако больше всего в экономической практике приходится употреблять среднюю арифметическую, которая делится на среднюю арифметическую простую и взвешенную. А средняя арифметическая взвешенная в свою очередь может рассчитываться как для дискретного ряда, так и для интервального ряда. [1 c.261]

Рассмотрим сначала среднюю арифметическую простую. Она считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

где индивидуальное значение изучаемого (осредняемого) признака,

а количество наблюдений.

Таким образом средняя арифметическая простая вычисляется как сумма всех индивидуальных значений признака делённая на их количество.

Рассмотрим среднюю арифметическую простую на примере данных о числе предприятий гостиничного типа в Пскове.

Гостиницы (на конец года).

Год

Число предприятий гостиничного типа

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2002

2003

2004

2005

2006

Для расчета среднего количества предприятий гостиничного типа в Пскове в каждом году используем формулу средней арифметической простой. Для нашего примера:

шт.

Таким образом, получается, что в каждом году в Пскове в среднем имелось 31.125 предприятие гостиничного типа.

Взвешенная средняя для дискретного ряда используется тогда, когда индивидуальное значение признака представлено конкретным числом, считается по сгруппированным данным и имеет общий вид:

где частота, повторяемость индивидуального значения признака.

Для примера возьмём абстрактные данные о гостиницах Пскова:

Количество гостиниц и их вместимость в Пскове на 2010г.

Количество мест	Количество гостиниц
А	1
10 20 35 40 50 100	2 4 3 7 6 3
Итого:	27

Для того чтобы рассчитать среднее количество мест в гостиницах Пскова используем формулу среднего арифметического для дискретного ряда:

(мест)

таким образом среднее количество мест в гостиницах Пскова 40.185 мест.

Если будем иметь другие данные о количестве мест в гостиницах Пскова:

Количество гостиниц и их вместимость в Пскове на 2010г.

Количество мест	Количество гостиниц
А	1
10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70	2 4 3 7 6 3
Итого:	27

То для расчета среднего количества мест в гостиницах будем использовать формулу средней арифметической взвешенной для интервального ряда которая имеет общий вид:

где серединное значение признака в группе и рассчитывается по формуле

в данной формуле наибольшее значение признака в группе (верхняя граница интервала), а наименьшее.

Тогда для нашего примера:

мест

Таким образом среднее количество мест в гостиницах Пскова равно 39.81.

2.2.Свойства средней арифметической.

Рассмотрим основные свойства средней арифметической.

Первое свойство. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической величины равна нулю.

Первое свойство средней может быть использовано, в частности, для контроля правильности вычислений арифметической средней: если средняя вычислена правильно, сумма отклонений должна равняться нулю (практически, с учетом округлений, допускаемых при вычислении средней, — очень близка к нулю).

Второе свойство. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшиться во столько же раз. Вследствие этого свойства индивидуальные значения признака можно сократить в с раз, произвести расчет средней и результат умножить на с. Возможно использовать если например заработная плата всех работников турфирмы увеличилась на 10%, то и средняя заработная плата работников турфирмы увеличилась на 10%.

Третье свойство. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или вычесть постоянное число, то средняя величина увеличится (или уменьшится) на это же число. Можно использовать если например цена на туры увеличилась на 500 рублей вследствие увеличения процентной ставки фирмы тураператора, следственно и средняя стоимость тура увеличится на 500 рублей.

Четвертое свойство. Если же все веса средней одинаково увеличить (или уменьшить) в несколько раз, средняя арифметическая не изменится.

Увеличение всех весов в несколько раз приводит к тому, что во столько же одновременно увеличится и числитель, и знаменатель дроби (средней арифметической), поэтому значение дроби не изменяется.

Пятое свойство. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа. [3 с.79]

2.3.Средняя хронологическая

Средняя хронологическая — это средний уровень ряда динамики, т. е. средняя, исчисленная по совокупности значений показателя в разные моменты или периоды времени.

В зависимости от вида ряда динамики применяются различные способы ее расчета, а именно расчет средней хронологической интервального ряда и средней хронологической моментного ряда.

Средней хронологической интервального (более распространённого) ряда является средняя величина из уровней интервального ряда динамики, которая исчисляется по формуле:

где — средний уровень ряда;

— уровень ряда динамики;

— число членов ряда

Для примера рассмотрим данные о детских оздоровительных учреждениях в Пскове и области.

Детские оздоровительные учреждения.

	1995	2000	2003	2004	2005	2006
Число летних оздоровительных лагерей	141	358	391	399	410	314

Исследуемый ряд является интервальным, используя формулу средней хронологической можем высчитать среднее количество оздоровительных учреждений:

учреждений.

Средней хронологической моментного ряда является средняя величина из уровней моментного ряда динамики. Если есть функция, выражающая изменение моментного показателя во времени, то за время от до средняя хронологическая моментного ряда равна:

Однако данных непрерывного наблюдения значения в распоряжении статистики, как правило, нет. Поэтому в зависимости от характера изменения показателя и имеющихся данных применяются различные методы расчета. При равных промежутках времени между датами, на которые имеются данные, и равномерном изменении размера показателя между датами средняя хронологическая моментного ряда обычно исчисляется по формуле:

где — уровень ряда;

— число всех членов ряда;

— средний уровень.

Если периоды времени, отделяющие одну дату от другой, не равны между собой, то расчет средней хронологической моментного ряда производится по формуле средней взвешенной арифметической, в качестве весов которой принимаются отрезки времени между датами, т. е. по формуле:

где — время, в течение которого данный уровень ряда оставался без изменения. [2 c.149]

2.4.Средняя гармоническая.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда частоты (веса) не приводятся непосредственно, а входят сомножителями в один из имеющихся показателей.

Если частоты имеют одно значение и равны 1, то в подобных случаях применяют формулу средней гармонической простой (не взвешенной):

или в сокращенном виде:

где — средняя гармоническая

— числа обратные заданным индивидуальным значениям признака

Иначе говоря, простая гармоническая средняя есть отношение числа индивидуальных значений к сумме обратных значений этих значений.

Если же частоты (веса) различные, то применяется средняя гармоническая взвешенная, которая вычисляется следующим образом:

где — средняя гармоническая взвешенная

Как первая, так и вторая формулы показывают, что средняя гармоническая есть величина обратная средней арифметической.

Веса арифметической средней и гармонической средней обозначены разными буквами и m. Это не случайно, так как весами средней арифметической служат частоты рассматриваемого ряда, а весами гармонической средней будет произведение вариантов на веса.

Выбор формулы средней (гармонической или арифметической) зависит от так называемого определяющего показателя.

Определяющим показателем называется показатель, который получает реальное экономическое значение при умножении индивидуальных значений признака на частоты или при их делении. Если при перемножении индивидуальных значений на частоты получается реальная экономическая величина – применяют среднюю арифметическую взвешенную.

Если при перемножении индивидуальных значений на частоты никакого реального показателя не дает, а получается бессмыслица, то частоты делят на индивидуальные значения. В этом случае применяется средняя гармонически взвешенная. [4 c.82]

2.5.Средняя геометрическая.

Ещё одной формулой, по которой может осуществляться расчёт среднего показателя, является средняя геометрическая

Невзвешенная:

Взвешенная:

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста. [4 с. 90]

2.6.Средняя квадратическая.

Невзвешенная:

Взвешенная:

Наиболее широко этот вид средней используется при расчёте показателей вариации. В статистической практике также находят применение степенные 3го и более высоких порядков. [4 c.94]

3. Структурные средние величины.

Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен.

Такими структурными средними величинами являются мода и медиана.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном ряду модой является вариант с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:

где нижняя граница интервала содержащего моду

величина интервала содержащего моду

частота интервала содержащего моду

частота предшествующего интервала

частота следующего интервала

Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту (частость). [8 c. 73]

Вычисление моды в интервальном ряду является весьма условным. Приближённое модальное значение признака можно определить и графически – по гистограмме. Для этого нужно взять столбец, имеющий наибольшую высоту, и из его левого верхнего угла провести отрезок в верхний угол последующего столбца, а из правого угла – в верхний правый угол предыдущего. Абсцисса точки пересечения отрезков и будет соответствовать модальному значению признака в изучаемой совокупности.

Медиана – вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части, таким образом, что половина единиц совокупности имеют значения признака меньше, чем медиана, а половина – больше, чем медиана.

В интервальном ряду медиана определяется по формуле:

где нижняя граница интервала содержащего медиану

величина интервала содержащего медиану

полусумма всех частот

накопительная частота интервала предшествующего интервалу содержащему медиану.

частота интервала содержащего медиану

Интервалом содержащим медиану, считается интервал у которого накопительная частота либо равна, либо больше полусуммы всех частот.

Расчет накопительной частоты производится путём суммирования собственной частоты и частоты предшествующих интервалов. [5 c.162]

Для примера рассчитаем моду и медиану для распределения гостиниц Пскова по количеству мест:

Количество гостиниц и их вместимость в Пскове на 2010г.

Количество мест	Количество гостиниц
А	1
10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70	2 4 3 7 6 3
Итого:	27

мест

наиболее распространённое количество мест в гостиницах Пскова составляет 48.

мест

46.42 делит совокупность на 2 половины в I количество мест не превышает 46.42, а во II больше этого значения.

Медиану приближенно можно определить графически — по кумуляте. Для этого высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой (строится по накопленным частотам). Абсцисса точки пересечения и является медианой.

Расчет модального и медианного значений для вариационных рядов с неравными интервалами осуществляется по формулам, аналогичным приведенным выше, только вместо показателей частот используются показатели абсолютной или относительной плотности распределения, которые обеспечивают сопоставимость неравных интервалов. Показатели плотности распределения находятся как отношения частот к величине интервала:

Абсолютная плотность распределения

относительная плотность

По соотношению характеристик центра распределения (средней величины, моды и медианы) можно судить о симметричности эмпирического ряда распределения. Симметричным является распределение, в котором частоты двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В симметричном распределении средняя величина, медиана и мода равны между собой:

Если, то имеет место правосторонняя асимметрия, т. е. большая часть единиц совокупности имеет значения изучаемого признака, превышающие модальное значение. На графике распределения правая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше, чем левая.

Соотношение характерно для левосторонней асимметрии, при которой большая часть единиц совокупности имеет значения признака ниже модального. На графике распределения левая ветвь вытянута больше, чем правая.

Для нашего примера получается, что 39.81< 46.42<48, следственно большая часть единиц совокупности имеет значение признака ниже модального, так как асимметрия левосторонняя.

II. Практическая часть.

Вариант № 6

Показатели деятельности предприятий за 2003 год.

№ наблюдения	Объём продукции млн.руб.	Средняя заработная плата руб.
1	24	3200
2	45	4100
3	32	4300
4	34	4500
5	44	3900
6	51	4000
7	39	4500
8	26	3800
9	25	3500
10	28	3900
11	18	3200
12	13	3000
13	13	2900
14	21	3300
15	31	4100
16	42	3850
17	12	2500
18	43	3950
19	11	2650
20	13	2900
21	11	2650
22	21	3300
23	22	3250
24	21	3200
25	23	3850
26	31	4100
27	32	4300
28	17	3150
29	16	3100
30	17	3150
31	19	2900
32	20	2950
33	22	3200
34	10	3000
35	24	3200
36	25	4000
37	11	2650
38	19	2900
39	17	3150
40	16	3100