Средние величины в статистике

Министерство  образования и  науки РФ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Псковский  государственный  университет» 
 
 
 

Кафедра «Бухгалтерского учета и аудита» 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

ПО СТАТИТСТИКЕ 

на тему: Средние величины в статистике 
 
 
 

Выполнил  студент очной формы обучения: А Н 
 
 
 
 

Псков

2012 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1. ПОНЯТИЕ СРЕДНЕЙ  АРИФМЕТИЧЕСКОЙ 4

2. ДРУГИЕ ФОРМЫ СРЕДНИХ  ВЕЛИЧИН 9

2.1 Средняя гармоническая.  Средняя геометрическая. Средняя квадратическая  и средняя кубическая 9

2.2 Структурные средние. 13

3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДНИХ  ПОКАЗАТЕЛЕЙ В  СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ 18

4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 21

Задание 1 21

Задание 2 24

Задание 3 28

Задание 4 33

Задание 5 36

Задание 6 41

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 45

ЛИТЕРАТУРА 47

ПРИЛОЖЕНИЕ  А 48 

ВВЕДЕНИЕ

     Изучая  общественные явления, величина признака которых колеблется или, как говорят, варьируется в зависимости от конкретных условий, статистика пользуется средними величинами, в которых находят свое отражение наиболее общие причины, влияющие на размеры изучаемого явления. Многие показатели, характеризующие общественные явления, имеют познавательное значение лишь тогда, когда она выражены в средних величинах.

     Средней величиной является обобщающая характеристика большого количества индивидуальных значений варьирующего признака.

     Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические  явления. Каждое из этих явлений может  иметь различное количественное выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной  и той же профессии рабочих  или цены на рынке на один и тот  же товар и т.д.

     Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

     Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся) признакам статистика использует средние величины.

     Таким образом, смысл и значение средней  величины в статистике состоят в том, что она дает обобщенную цифровую характеристику изучаемого общественного явления.

     Выше  сказанное означает, что данная тема является актуальной, так как область  применения и использования средних  величин в статистике довольно широка.

     Целью данной курсовой является ознакомление с применением средних величин в статистике.

В соответствии с заданной целью были поставлены следующие задачи:

- охарактеризовать  понятие средне величины;

- изучить другие  формы средних величин;

- проанализировать  использование средних показателей  в статистическом анализе. 

1. ПОНЯТИЕ СРЕДНЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ

     Виды  средних величин различаются, прежде всего тем, какое свойство, какой  параметр исходной варьирующей массы  индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

     Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

     Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина - среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата или средний доход работников предприятия - это такая сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд оплаты труда (или все доходы, направленные на личное потребление) был распределен между работниками поровну.

     Исходя  из определения, формула средней  арифметической величины имеет вид:

, где

 –  средняя величина,

- численность  совокупности.

     По  формуле вычисляются средние  величины первичных (объемных) признаков, если известны индивидуальные значения признака. Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения или группировку, как, например, табл. 1.1

Таблица 1.1

Распределение футбольных матчей высшей лиги России по числу  забитых за матч обеими командами мячей в 1996 г.

     Среднее число мячей, забитых за одну игру, должно представлять собой результат равномерного распределения общего числа забитых мячей по всем 306 матчам розыгрыша первенства. Общее число забитых мячей, согласно исходной информации табл. 1.1, можно получить как сумму произведений значений признака в каждой группе хi, на число игр с таким количеством забитых мячей fi (частоты). Получим формулу

, где

n – число групп.

     Такую форму средней арифметической величины называют взвешенной арифметической средней в отличие от простой средней. В качестве весов выступают здесь числа единиц совокупности в разных группах. Название «вес» выражает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую «важность» при расчете средней величины. «Важнее», весомее число забитых мячей, которое встречалось чаще: 1, 2, 3 мяча, а такие значения, как 7 или 9 забитых мячей, как бы ни радовались таким результативным матчам болельщики, при расчете средней не играют большой роли: их «вес» мал. Имеем: х̅ =  2,68 мяча за игру.

     Как видим, средняя арифметическая величина может быть дробным числом, если даже индивидуальные значения признака могут принимать только целые  значения (дискретный признак). Ничего «предосудительного» для метода средних в этом не заключено; из сущности средней не вытекает, что она обязана  быть реальным значением признака, которое могло бы встретиться у какой-либо единицы совокупности.

     Виды  средней арифметической.

     Если  при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. Например, по табл. 1.2 можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. Тогда первый интервал будет от 17 до 20 лет, а максимальный возраст - 65 лет, тогда последний интервал - 50-65 лет.

Таблица 1.2

Распределение рабочих предприятия  по возрасту

Средний возраст рабочих, рассчитанный по формуле  взвешенной арифметической средней с заменой точных значений признака в группах серединами интервалов, составил:

что и  записано в итоговую строку по графе 3 табл. 1.2. Напомним, итог объемного показателя — это сумма, итогов по графе относительных показателей или средних групповых величин — средняя. Числитель дроби - это общая сумма человеко-лет, прожитых рабочими предприятия; разделив ее на число работников, получаем возраст в годах, так что логика показателя средней величины соблюдена.

     Перейдем  к рассмотрению средних вторичных (относительных) признаков. Сумма таких показателей сама по себе реальной величиной какого-либо признака в совокупности не является. Однако общее определение арифметической средней сохраняет силу и в этом случае. При вычислении таких средних величин необходимо, чтобы сохранялась сумма величины объемного признака, который является числителем при построении осредняемого относительного показателя. Например, при вычислении средней величины урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры (по формуле взвешенной арифметической средней) необходимо, чтобы общий объем валового сбора этой культуры остался неизменным при замене индивидуальных величин урожайности средней величиной. Нельзя менять реальную величину объемного признака - она является базой расчета средней. Чтобы выполнить указанное условие, в качестве весов при расчете средней величины относительного показателя необходимо принять значения того признака, который является знаменателем при определении относительного показателя. Так, при вычислении средней урожайности по совокупности хозяйств весами должны служить размеры площади данной культуры.

     Рассмотрим  пример расчета средней доли предметов  народного потребления в общем выпуске промышленной продукции по совокупности предприятий (табл. 1.3). В этом случае весом должен являться общий объем всей продукции предприятия.

     Тогда средняя доля предметов народного  потребления в продукции четырех  предприятий равна: . Средняя доля ближе к долям у тех предприятий, которые имеют большой объем всей продукции (предприятия № 2 и 3). Числитель средней величины - это объем выпуска предметов потребления всеми предприятиями - величина, которая должна сохраняться неизменной при замене разных четырех долей на среднюю долю. Расчет по данным табл. 1.3 проведен на основе известных индивидуальных значений осредняемого признака и весов. 

Таблица 1.3

Объем и структура промышленной продукции

     Однако  исходная информация может иметь  другую форму: индивидуальные значения осредняемого признака могут быть неизвестны, зато известны индивидуальные или суммарные значения объемных признаков как числителя, так и знаменателя относительной величины. Например, известно, что в акционерном сельхозпредприятии было посажено 145 га картофеля и собрано с них 2595,5 т продукции. При этом совершенно неизвестно, сколько было собрано с каждого гектара из 145 га в отдельности, хотя на самом деле, конечно, индивидуальные величины продукции, полученные на каждом гектаре, существовали объективно. Однако никакой потребности в их раздельном учете нет; учет продукции ведется по бригадам, по отдельным полям севооборота, но не по каждому гектару. Среднюю урожайность картофеля получают попросту делением массы собранной продукции на площадь посадки, т. е. как относительную величину, характеризующую хозяйство в целом:

     По  отношению к предприятию это  относительный показатель. Но существуют и сами значения урожайности с каждого из 145 га, хотя и неучтенные. По отношению к ним 17,9 т с 1 га - это средняя величина. Такую форму определения средней арифметической величины, при которой остаются неизвестными индивидуальные значения осредняемого признака, следует называть Неявной формой средней. Формула такой средней имеет вид: . 

2. ДРУГИЕ ФОРМЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

2.1 Средняя гармоническая. Средняя геометрическая. Средняя квадратическая и средняя кубическая

     При расчете средних показателей  помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялся итоговый, обобщающий, или, как его принято называть,  определяющий показатель, который связан с осредняемым показателем (например, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней скоростью не должно измениться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и то же время; при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой не должен измениться фонд заработной платы). Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных существует только одно истинное среднее значение показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социально-экономического явления.

      Произведение  xf дает объем осредняемого признака x для совокупности единиц и обозначается w. если осредняется заработная плата рабочих цеха, а f – число рабочих, то w=xf – фонд заработной платы цеха. При исчислении средней цены товара объемом осредняемого признака w выступает стоимость проданных товаров, рассчитываемая как произведение цены единицы товара на количество единиц (объем продаж). Объемом осредняемого признака «урожайность» является валовой сбор сельскохозяйственных структур со всей площади: w=xf, где x – урожайность отдельных культур, ц/га; f – посевная площадь, га.

      Если  в исходных данных имеются значения осредняемого признака x и объем осредняемого признака w, то для расчета средней применяется гармоническая взвешанная:

, где

 x – значение осредняемого признака;

w – вес варианты x, объем осредняемого признака.

      Средняя выработка продукции на одного рабочего за смену в двух цехах завода, вырабатывающих однородную продукцию, характеризуется следующими данными (табл 2.1).

Таблица 2.1

Распределение рабочих по уровню сменной выработки

      Определим среднедневную выработку продукции  рабочими в каждом из цехов. введем условные обозначения, приняв за x₁ выработку продукции рабочими первого цеха; x₂ – выработку продукции рабочими второго цеха; f – число рабочих первого цеха; w – объем произведенной продукции рабочими второго цеха.

      В сведениях по первому цеху кроме  осредняемого признака x₁ имеются данные о числе рабочих с каждым уровнем выработки f₁, следовательно, для расчета средней применима форула средней арифметической взвешенной:

      Каждый  рабочий первого цеха за смену производит в среднем 30 единиц продукции.

      По  второму цеху известны значения осредняемого признака x₂ и объем произведенной продукции. последний определяется умножением выработки одного рабочего x₂ на число рабочих f₂ т.е.. количество произведенной продукции является объемом осредняемого признака: w₂=x₂f₂.

      Поскольку в исходных данных наряду со значениями x₂ присутствуют значения w₂, для расчета средней по второму цеху применима формула средней гармонической взвешенной:

     Каждый  рабочий второго цеха за смену  производит в среднем 33 единицы продукции.

      Средняя геометрическая.

     Средняя геометрическая применяется в тех  случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

     Средняя геометрическая исчисляется извлечением  корня степени  из произведений отдельных значений — вариантов признака х.

,

где n - число вариантов; - знак произведения.

      Если  минимальный размер выигрыша в лотерее 100 руб., а максимальный 1 млн руб., то средний размер выигрыша:

  Пусть цены в первом полугодии ежемесячно возрастали следующим образом: в январе в 1,02 раза; феврале – в 1,04; марте – в 1,03; апреле – в 1,04; мае – в 1,02; июне – в1,06 раза.

      Среднее изменение цен:

или 103,5%

     В пером полугодии цены ежемесячно возрастали в среднем в 10,35 раза, или 3,5%.

     Наиболее  широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних  темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

      Средняя квадратическая и средняя кубическая.

     В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны кубов).

     Формулы для расчета средней квадратической:

     Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного отделения суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

     Средняя квадратическая взвешенная:

,

 где  f - веса.

Например, имеются три участка земельной  площади со сторонами квадрата: х₁ = 100 м; х₂ = 200 м; х₃ =300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, нужно исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100+ 200 + 300) : 3 =200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3∙(200 м)2 = 120 000 м². В то же время площадь исходных трех участков равна: (100 м)2 + (200 м) + (300 м)2 = 140 000 м . Правильный ответ дает квадратическая средняя:

  м. 

     Формулы для расчета  средней  кубической:

     Средняя кубическая простая:

     Средняя кубическая взвешенная:

     Средние квадратическая и кубическая имеют  ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов х, и из их отклонений от средней  при расчете показателей вариации. Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).

2.2 Структурные средние.

     Особый  вид средних величин – структурные  средние – применяется для  изучения внутреннего строения рядов  распределения значений признака, а  также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся  статическим данным ее расчет не может  быть выполнен. К таким показателям относятся мода и медиана.

     Мода  — это наиболее часто встречающийся  вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

      , где

x₀ – нижняя граница модального интервала;

i – величина интервала;

f_m – частота модального интервала;

f_m-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_m+1 – частота интервала, следующего за модальным.

     Мода  широко используется в статистической практике при изучение покупательского  спроса, регистрации цен и т.п.

     Таблица 2.2

     Данные  выборочного обследования потребляемой женщинами обуви

     Как видно из приведенного вариационного  ряда, наиболее часто встречающейся величиной, т.е. модой этого ряда, является размер обуви 37, который носит 2696 женщин из опрошенных 9493 человек.

     Несколько сложнее определение моды в интервальном вариационном ряду (табл 2.3). в этих случаях необходимо моду находить расчетным путем по формуле:

     Таблица 2.3

     Группировочные  данные по торговой площади магазинов