Становление и развитие математического моделирования

                                                                                                                      Выполнила: Кудрявцева Мария                                  студентка  26 группы

Проверила:

Ванеева А.Г. руководитель

Оглавление

Введение: 3

Глава 1:  Основные характерные  черты моделирования. 5

1.1. Эволюционный процесс в моделировании. 8

1.2. История применения математических методов в экономике. 11

1.3. История развития экономико-математического моделирования в США 12

1.4. История развития экономико-математического моделирования в СССР. 15

Глава 2: Пример решения задачи методом Гомори. 17

Заключение: 26

Список литературы: 27

6

Введение:

Моделирование, как метод  научного познания, стало применяться  еще в глубокой древности и  постепенно захватило все новые  области научных познаний: техническое  конструирование, строительство и  архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX век. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться важная роль моделирования как универсального метода научного познания. В век интернета и космических технологий трудно представить инженера-разработчика без компьютера. Современные исследования настолько наукоёмки, что просто физически невозможно обойтись без помощи вычислительной машины. Колоссальные объёмы информации требуется анализировать в процессе исследования процессов в различных областях науки и техники. Вообще математическое моделирование возникло с возникновением вычислительной техники. Это обусловлено потребностью человека в различных областях. Человечество требует комфорта. Именно для нужд растущего населения Земли необходимо развитие науки и техники (исследования космоса, исследование протекающих в земной коре процессов, прогнозирование землетрясений, прогнозирование погоды, исследования глобальных изменений климата, электроника, наземный, водный, подводный экологически чистый транспорт, аэродинамика, внедрения новых экозащитных технологий, разработка новых материалов и т.д.). Становление математического моделирования проходило с развитием промышленности, научного знания и что греха таить является детищем гонки вооружений между странами. Именно военные изобрели интернет и именно они широко используют моделирование (начиная от бактериологического оружия и заканчивая моделированием ядерных, атомных, термоядерных взрывов на суперкомпьютерах). Благодаря достигнутому в работе высокому уровню открываются перспективы широкого применения методологии и конкретных физических результатов в рассматриваемых направлениях, а также пути более эффективного применения методов математического моделирования с использованием современной вычислительной техники в различных предметных областях.

Цель моей работы заключается  в том, чтобы изучить историю  математического моделирования, ведь исторические упоминания встречаются  крайне редко. При выполнении курсовой работы я ставила перед собой  некоторые задачи: анализ научных  работ по математическому моделированию,  изучение и понимание истории  развития и становления математического  моделирования и решение задачи линейного программирования более современным способом – методом Гомори. Я выбрала метод Гомори, потому что он показался мне наиболее интересным и еще ранее не изученным в стенах аудиторий.

Глава 1:  Основные характерные черты моделирования.

Проникновение математических методов в самые разнообразные, подчас неожиданные сферы человеческой деятельности означает возможность  пользоваться новыми, как правило, весьма плодотворными средствами исследования. Рост математической культуры специалистов в соответствующих областях приводит к тому, что изучение общих теоретических  положений и методов вычислений уже не встречает серьёзных трудностей. Вместе с тем на практике оказывается, что одних лишь математических познаний далеко не достаточно для решения  той или иной прикладной задачи –  необходимо ещё получить навыки в  переводе исходной формулировки задачи на математический язык. В этом и  состоит проблема овладения искусством математического моделирования.

Холл (1963) сказал, что целью  прикладной математики является математическое осмысление действительности. С другой стороны, инжинеру-практику, пожалуй, более  важно знать, выдержит ли его мост предполагаемую нагрузку, хватит ли закупленного угля до конца отопительного сезона и не лопнет ли лопатка в турбине, - иными словами, получить конкретные ответы на конкретные вопросы. В практике математического моделирования  исходным пунктом часто является некоторая эмпирическая ситуация, выдвигающая  перед исследователем задачу, на которую  требуется найти ответ. Прежде всего, необходимо установить, в чём именно заключается задача. Часто (но не всегда) параллельно с этой стадией постановки задачи идёт процесс выявления основных или существенных особенностей явления (рис. 1). В частности для физических явлений этот процесс схематизации или идеализации играет решающую роль поскольку в реальном явлении  участвует множество процессов  и оно чрезвычайно сложно. Некоторые  черты явления представляются важными  многие другие – несущественными. Возьмём  к примеру движение маятника, образованного  тяжёлым грузом, подмешанным на конце  нити. В этом случае существенным является регулярный характер колебаний маятника, а несущественным – то, что нить белая, а груз чёрный. После того как существенные факторы выявлены, следующий шаг состоит в переводе этих факторов на язык математических понятий и величин и постулировании соотношений между этими величинами. После построения модели её следует подвергнуть проверке. Адекватность модели до некоторой степени проверяется обычно в ходе постановки задачи. Уравнения или другие математические соотношения, сформулированные в модели, постоянно сопоставляются с исходной ситуацией. Существует несколько аспектов проверки адекватности. Во-первых, сама математическая основа модели (которая и составляет её существо) должна быть непротиворечивой и подчиняться всем обычным законам математической логики. Во-вторых, справедливость модели зависит от её способности адекватно описывать исходную ситуацию. Модель можно заставить отражать действительность, однако она не есть сама действительность.

Ситуации моделируют для разных целей. Главная из них – необходимость предсказывать новые результаты или новые свойства явления. Эти предсказания могут быть связаны с распространением существующих результатов или иметь более принципиальный характер. Часто они относятся к условиям, которые, по всей вероятности, будут иметь место в некоторый момент в будущем. С другой стороны, предсказания могут относится к событиям, непосредственное экспериментальное исследование которых неосуществимо. Наиболее важный пример такого рода дают многочисленные прогнозы, которые делались на основе математических моделей в программе космических исследований. Однако для этой цели моделируются не все ситуации: в некоторых случаях достаточно уметь описывать математическими средствами работу системы для того, чтобы добиться более глубокого понимания явления (именно эту роль и играют многие выдающиеся физические теории, хотя на их основе делаются также и прогнозы). Обычно при таком математическом описании не учитывается элемент контроля, однако в моделях, построенных, например, для исследования работы сетей, таких как схемы движения поездов или самолётов, контроль часто является важным фактором.

Математическая модель представляет собой упрощение реальной ситуации. Ощутимое упрощение наступает тогда, когда несущественные особенности  ситуации отбрасываются и сложная  исходная задача сводится к идеализированной задаче, поддающейся математическому  анализу. Именно при таком подходе  в классической прикладной механике возникли блоки без трения, невесомые  нерастяжимые нити, невязкие жидкости, абсолютно твёрдые или чёрные тела и прочие подобные идеализированные модели. Эти понятия не существуют в реальной действительности, они  являются абстракциями, составной частью идеализации, предпринятой автором  модели. И тем не менее их часто  можно с успехом считать хорошим  приближением к реальным ситуациям. Описанный образ действий при  построении математических моделей  не является единственным, и этому  совсем не стоит удивляться.

В другом возможном подходе  первым шагом является построение простой  модели нескольких наиболее характерных  особенностей явления. Это часто  делается для того, чтобы почувствовать  данную задачу, причём делается это  ещё до того, как сама задача окончательно сформулирована. Затем эта модель обобщается, чтобы охватить другие факты, пока не будет найдено приемлемое или адекватное решение. Есть ещё  подход, когда с самого начала вводится в рассмотрение одновременно большое  число факторов. Он часто применяется  в исследовании операций, и такие модели обычно изучают имитационными методами с использованием ЭВМ.

Важнейшее решение, которое  часто принимается в самом  начале процесса моделирования, касается природы рассматриваемых математических переменных. По существу они делятся  на два класса. В один из них входят известные характеристики, т.е. величины, поддающиеся (по крайней мере теоретически) точному измерению и управлению. Такие переменные называются детерминированными переменными. В другой класс входят неизвестные характеристики, т.е. величины, которые никогда не могут быть точно измерены и имеют случайный  характер – они называются стохастическими  переменными. Модель, содержащая стохастические переменные, должна по определению  описываться математическим аппаратом  теории вероятностей и статистики. Детерминированные переменные часто, но не всегда требуют привлечения  обычного математического анализа. Природа некоторых ситуаций бывает ясна не сразу, другие ситуации характеризуются  переменными обоих типов. Для  построения модели чрезвычайно важно, чтобы природа переменных была правильно  представлена.

1. Эволюционный процесс в моделировании.

Говоря о математическом моделировании, нельзя не обратить внимания на эволюционный процесс "смены" парадигм моделирования, который, как  кажется, характерен для многих дисциплинарных областей, где применяются методы теории управления. До сих пор ни в одной из работ по теории моделирования  этот процесс не рассматривался как "смена поколений" математических моделей. Тем не менее, сейчас можно  было бы говорить уже о трех таких  поколениях. На первых этапах речь чаще всего идет о математической записи отдельных феноменологических наблюдений над реальными объектами. Для  них характерна простота описаний, типична линейность уравнений и  малая размерность (часто воспроизводится  всего одна или две переменных). Методы анализа связаны в основном с получением аналитических решений  и графическим рассмотрением  на фазовой плоскости. Затем появляются модели, описывающие объект "во всей его полноте" - в них объект представлен в виде "системы" - модель отражает его структуру и законы, по которым он функционирует. Модели становятся существенно нелинейными, чисто математический аппарат дополняется логико-семантическим. Возрастает размерность, достигая нескольких десятков. Такие модели называются "сложными", "большими", а рабочим инструментом на этом этапе становится вычислительный эксперимент. Трудно не заметить, что в настоящее время начинается переход к третьему поколению математических моделей - моделям виртуального мира. Виртуальное моделирование можно определить как воспроизведение трехмерного мира компьютерными средствами. Резко возрастает объем обрабатываемой и воспроизводимой информации (например, количество визуализируемых "деталей" достигает нескольких тысяч). Любопытно, что модели третьего поколения по своей математической сущности могут быть как "феноменологическими", так и "системными" - на содержании этих понятий мы остановимся чуть ниже. 

Процесс смены поколений  моделей можно проиллюстрировать  на многих дисциплинарных примерах - в  небесной механике это переход от феноменологической модели Птолемея к  системной модели Коперника-Кеплера  и затем к современным моделям (таким, как совокупные модели движения объектов в космическом пространстве в системах слежения, используемых в космонавтике и в военном  деле, или как виртуальные модели небесных явлений в мультимедийных системах Redshift). 

В биомедицине первое поколение  моделей появилось в самом  конце 

XIX в. - модель сердца как  "эластичного резервуара" О.Франка  представляла собой типичную  феноменологическую модель (модель  данных). Многочисленные модели физиологических  процессов охарактеризовали приход  второго поколения моделей - системных  моделей процессов жизнедеятельности,  использовавшихся для исследования  процессов управления искусственными  органами. Развитие тренажерных  моделей (в том числе мультимедийных) характеризует начало третьего  этапа. 

Наконец, такая же картина  наблюдается в управлении технологическими процессами. Феноменологические модели передаточных функций, восстановленные  по входо-выходным характеристикам  объектов, сменились системными методами пространства состояний. Третий этап математического моделирования также связан здесь с виртуальным моделированием - динамическим моделированием в реальном масштабе времени. 

Говоря о России, можно  вспомнить, что наука математического  моделирования развивается с 1960-х  гг. и имеет большие традиции. Но для нас сейчас важно другое - часть накопленного тогда потенциала, получившая развитие в теории управления и ее применениях, до сих пор остается "невостребованной" современной  наукой о моделировании в ее "чистом" виде, оставшись и за рамками книги. 

Отметим, что многие фундаментальные  проблемы прикладного моделирования  впервые были выявлены И.А.Полетаевым. Он первым обратил внимание на утилитарность  математических моделей, дав оригинальную классификацию моделей по целям  их использования: "поисковая" модель - для проверки гипотез, "портретная", она же - демонстрационная, - для замены объекта в эксперименте (например, для тренажеров - что в то время  рассматривалось едва ли не как научная  фантастика) и, наконец, "исследовательская  модель", что в современном  понимании означает ориентацию на сложный  вычислительный эксперимент. 

В другой работе И.А.Полетаев поднял еще один столь же важный круг вопросов - о принципиальной "субъективности" математического моделирования. По меньшей мере, два его высказывания и сегодня заслуживают внимания: 

В задаче математического  моделирования «кроме объекта моделирования и модели, обязательно присутствует субъект моделирования, лицо, усилиями и в интересах которого осуществляется модель». Роль субъекта моделирования оказывается решающей, ибо именно его цели, интересы и предпочтения формируют модель. 

Создание модели нужно  не само по себе, а для решения  практических задач, что только и  может оправдать затрату сил  на создание модели. Модель создается для того, чтобы работать: «Только полная реализация модели с ее "прогоном" через расчеты полностью окупает затраты на моделирование».

Например, проведение экспериментальных  исследований на крупных высокотемпературных  агрегатах связано с большими организационными и техническими трудностями. Поэтому возникает необходимость  в разработке математических моделей, значительно сокращающих объём  трудоёмких и дорогостоящих промышленных экспериментов, на долю которых остаётся лишь сбор исходной информации для  расчёта, проверка адекватности математических моделей и внедрение результатов  моделирования. Для формулировки граничных  условий необходим детальный  расчёт внешнего теплообмена. Одним  из наиболее распространённых методов  расчёта внешнего теплообмена является зональный метод, рассматривающий  перенос тепла излучением, конвекцией и турбулентной теплопроводностью, т.е. учитывающий неравномерность  распределения температур, скоростей  и концентраций в рабочем пространстве топки.

2. История применения математических методов в экономике.

Применение математических методов, в том числе и методов  математического моделирования, в  экономике в целом имеет длительную историю. В качестве примера приведем характеристику математического метода исследования основателем классической школы буржуазной политической экономии В. Петти (1623 – 1687). В предисловии  к «Политической арифметике»  В. Петти указывал, что его способ исследования «не обычный, ибо вместо того, чтобы употреблять слова  только в сравнительной и превосходной степени и прибегать к умозрительным  аргументам, я вступил на путь выражения  своих мнений на языке чисел, весов  и мер, что я уже давно стремился  пойти по этому пути, чтобы показать пример политической арифметики».

Революционный демократ, крупнейший экономист домарксовского периода  Н. Г. Чернышевский (1828 – 1889) в замечаниях на трактат Д, С. Миля «Основания политической экономии» писал: «Мы видели уже  много примеров тому, какими приемами пользуется политическая экономия для  решения своих задач. Эти приемы математические. Иначе и быть не может, потому что предмет науки  – количества, подлежащие счету  и мере, понимаемые только через  вычисление и измерение».

3. История развития экономико-математического моделирования в США

Для характеристики математического  направления в экономике за последние 80 – 90 лет приведу лишь некоторые  результаты, сыгравшие заметную роль в его развитии.

Как в теоретическом, так  и в прикладном отношении представляют интерес работы по построению и использованию  производственных функций для анализа  сельскохозяйственного производства в США. В 1909 году Митчерлих предложил  нелинейную производственную функцию ( ПФ ): удобрения – урожайность. Независимо от него, Спиллман предложил показательное  уравнение урожайности. На их основе был построен ряд других агротехнических ПФ.

Опыт использования ПФ в сельском хозяйстве показал, что  максимизация натуральных показателей  продуктивности не совпадает, как правило, с максимизацией и минимизацией экономических показателей (прибыли, себестоимости), т. е. натурально-вещественный оптимум и экономический по своему существу разные понятия.

В 1928 г. Ч. Кобб и П. Дуглас на основе данных по обрабатывающей промышленности США за период 1899 – 1922 гг. представили  функцию P = bL^a K^1-a. Это была первая эмпирическая ПФ, построенная по данным временных рядов. Ее конкретный вид: P = 1.01L^0.75K^0.25, где Р – расчетный индекс производства,

К – индекс основного капитала,

L – индекс занятости.

В настоящее время формула  Кобба – Дугласа широко используется в учебной и научной литературе.

В 1928 г. В. Рамсей предложил  упрощенную модель, в которой дается не только описание долгосрочного роста, но и ставится проблема определения  его оптимального варианта. Модель интересна тем, что по существу она  явилась предвестницей современного подхода к проблемам оптимального роста.

В 1932 г. Джон фон Нейман изложил  основы многосекторной модели расширяющейся  экономики, в которой ввел понятие  динамического равновесия. С моделью Неймана связаны знаменитые теоремы о магистрали. Модель построена в предположении совершенной конкуренции, в рамках основных положений неоклассического направления.

В 30-х же годах значительное внимание экономистами – математиками было уделено проблеме существования  решения системы уравнений общего равновесия. Для доказательства существования  экономически содержательного решения  использовался упрощенный вариант  модели Вальраса. Исходными предпосылками  такой модели были следующие: ресурсы  заданы и используются при постоянных технологических коэффициентах, но когда ресурсы заданы в фиксированных  количествах, естественно, что они, как правило, не будут соответствовать  структуре производства необходимой  продукции, и, следовательно, не будут  использоваться полностью. Венгерский математик А. Вальд в 1935 - 1937 гг. выяснил  ограничивающие условия, при которых  модель дает экономически содержательное решение без отрицательных значений искомых переменных (выпуск продукции, цены, в том числе заработная плата), и показал, какие блага являются «редкими», какие «избыточными», «общедоступными». Такими условиями являются преобразования некоторых уравнений в неравенстве  и предположение, что некоторые (избыточные) факторы производства будут недоиспользованы и должны получить нулевую оценку, некоторые способы производства не используются, так как издержки производства превышают цену производимого  продукта. Нетрудно видеть, что уже  здесь присутствуют предпосылки  линейного программирования.

В 1931 г. было создано международное  эконометрическое общество, видным представителем и активным деятелем которого был  норвежский ученый Р. Фриш (1895 – 1973). Термин «эконометрика» Фриш ввел для обозначения  направления, которое должно было представлять синтез экономической теории, математики и статистики. В дальнейшем круг проблем, разрабатываемых в рамках данного направления, сузился, и  сегодня в понятие «эконометрика» включается главным образом построение математико-статистических моделей  экономических процессов (так называемых эконометрических моделей), использование  методов математической статистики для определения параметров этих моделей.

В 1936 г. опубликована работа Д. М. Кейнса «Общая теория занятости, процента и денег», которая явилась реакцией на кризис 1929 – 1933 гг. Острие своей критики  Кейнс направил против основ классической и неоклассической теорий равновесия, на первое место он поставил проблему рынка и реализации общественного  продукта. В модельном отношении  важное значение имеет мультипликатор, введенный Кейнсом, который послужил основой ряда макроэкономических моделей.

В качестве кейнсианских (или  неокейнсианских) моделей можно  назвать модели экономического роста  Е. Домара и Р. Харрода.

Стремление примирить  теорию Кейнса с неоклассической  теорией породило так называемый неоклассический синтез, сущность которого сводится к утверждению, что в  зависимости от состояния экономики  можно применять либо кейнсианскую теорию равновесия, либо неоклассическую. Теория Кейнса действует в условиях неполной занятости, по достижении полной занятости возобновляется действие неоклассической теории.

Значительную роль в разработке моделей роста сыграл Р. Солоу. В  статье, опубликованной в 1956 году, он предложил  простую модель, которая привела  к появлению многочисленных исследований в области неоклассических моделей  роста. В качестве основного аналитического инструмента в них используется аппарат производственной функции, и детальная разработка макроэкономических производственных функций неразрывно связана с развитием неоклассических  моделей.

Большое значение в истории  развития экономико-математического  моделирования имеет метод, получивший название «Метод Гомори». Основная идея метода отсекающих плоскостей состоит в том, что на каждом шаге рассматривается задача с ослабленными ограничениями без требования целочисленности,  для которой по специальному алгоритму строится некоторое дополнительное ограничение, отсекающее только некоторые нецелочисленные точки. Если полученный в результате оптимальный план содержит только целые компоненты, то автоматически получается соответствие  решению ЗЦЛП.

4. История развития экономико-математического моделирования в СССР.

Важное место в развитии математического направления в  экономике занимают работы советских  ученых: Л. В. Канторовича, В. В. Новожилова, В. С. Немчинова, В. Леонтьева.

В 1936 г. В. Леонтьев опубликовал  основы метода (модели) «затраты – выпуск». В. Леонтьеву хорошо были известны работы советских экономистов по балансу  народного хозяйства за 1923-1924 гг., в основу которого были положены идеи схем воспроизводства К. Маркса. В  качестве исходного момента В. Леонтьев использовал модель общего экономического равновесия Л. Вальраса, прежде всего  идею технических коэффициентов. Формирование цен в рамках модели трактуется с  позиций неоклассической теории стоимости. Система цен в модели при ограничении только на один первичный фактор – труд – обеспечивает нулевую прибыль, прибавочная стоимость отсутствует, весь национальный доход реализуется только на заработную плату. При наличии ограничений и на основной капитал в структуре цены появляется норма процента. Трактовка модели и ее категорий ведется с позиции неоклассической теории производительности факторов производства при отсутствии взаимозаменяемости между ними.

Работа Л. В. Канторовича  «Математические методы организации  и планирования производства» (Ленинград, 1939г.) положила начало новому направлению  в математической экономии – методам  линейного программирования, метода математического программирования. Канторович в результате анализа  некоторых задач планирования производства сформулировал новый важный для  экономики класс математических задач, получивших название задач линейного  программирования. В линейном программировании рассматривается вопрос о поиске среди всех допустимых решений, удовлетворяющих  системе линейных равенств или неравенств, наилучшего (оптимального) решения, доставляющего  максимум (минимум) некоторому линейному  критерию. Его работа «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» вышла двумя изданиями в 1959 г. и 1960 г. и была переведена на французский, английский, испанский и другие языки.

Работы В. В. Новожилова, в  частности «Проблемы измерения  затрат и результатов при оптимальном  планировании», обосновали решающую роль ценообразования, механизма распределения  капиталовложений, согласования народнохозяйственных и хозрасчетных интересов для  оптимизации всего общественного  производства.

Работа В. С. Немчинова  «Экономико-математический методы и  модели» (1962) имела важное научное, учебное  и методологическое значение для  развития экономико-математических исследований в нашей стране.

Глава 2: Пример решения задачи методом Гомори.

Для решения ЦЛП  может  быть применён метод Гомори. Метод  Гомори содержит 2 этапа:

Этап 1. Решение исходной задачи обычным симплех-методом  и проверка решений на целочисленность. Если решение содержит хотя бы одно дробное значение, то переходят к этапу 2, в противном случае расчёт заканчивается.

Этап 2. Составление дополнительного  ограничения (сечения) и решение  расширенной задачи обычным симплех-методом. Дополнительное ограничение (сечение) отсекается нецелочисленные решения.

Сечение обладает следующими двумя свойствами:

1. Любое целочисленное решение ему удовлетворяет;
2. Любое нецелочисленное решение задачи ему не удовлетворяет;

Объясним, как составляется сечение:

Пусть выполнен этап 1;

X={x₁ = b₁, x ₂= b₂,…,x_i = b_i,…,x_m = b_m, x_m+1 = 0,…,x_n = 0}

b_i – дробное число.

Рассмотрим i-е ограничение:

                     b_i = x_i + a_mi+1x_m+1 + a_mi+2x_m+2+…+a_inx_n.

Так как b_i    - дробное число,  а в дробной части все переменные целые, то хотя бы одно значение a_ij, j = m+1, n должно быть дробным.

Возьмём дробную часть  о левой и правой частей огрничения.

Обозначим через {r} дробную часть числа r.

Дробная часть суммы не превосходит суммы дробных частей слагаемых, поэтому

             {x_i + a_mi+1x_m+1 + a_mi+2x_m+2+…+a_inx_n}<= {x_i}+{a_mi+1x_m+1} + {a_mi+2x_m+2}+…+{a_inx_n}.

Дробная часть произведения не превосходит произведения целого на дробную часть, следовательно:

 {x}_i +{ a_mi+1x_m+1} + {a_mi+2x_m+2}+…+{a_inx_n} <= x_m+1 { a_mi+1 }+ x_m+2{ a_mi+2 }+…+ x_n{a_in}

В результате имеем:

{b_i} <= x_m+1{a_im+1}+ x_m+2{a_im+2}+…+x_n{a_in}.

Обозначим:       {a_ij} = q_ij,

                           {b_i} = q_i,

Тогда из последнего неравенства  получаем

                 q_mi+1x_m+1 + q_mi+2x_m+2+…+q_inx_n >=q_i

Отняв от левой части неравенства  дополнительную неотрицательную переменную, переходим к уравнению: