Старинные математические задачи
Содержание:
1.Введение. 2
2. Часть первая. 6
2.1Житейские истории 6
2.2Любопытные свойства чисел 7
2.3 Старинный способ решения задач. 12
2.4 О
правилах «фальшивых» или «
3.Часть вторая. 17
3.1 Обход мостов. 17
3.2 Шахматы. 21
3.3 Геометрическая задача Эйлера. 23
4. Часть третья. 27
4.1 Задачи – шутки задачи – загадки. 27
5. Приложение. 28
6.Список
основной использованной
1.Введение.
Из первых известных письменных источников узнаем мы о том, что математические знания на Руси были распространены уже в X – XI веках.
Они были связаны, естественно, с практическими нуждами людей летоисчислением, вычислением поголовья и стоимости стада, определением прибыли от сбора урожая и т.д.
«А полбы немолоченые 15 копен
а на то прибытка на одно лето 7 копен,
а на всю 12 лет в той полбе прибытка
1000, 700 и 50 копен».
Эти строки взяты из статьи «О полбе немолоченой» одного из ранних рукописных исторических документов – «Русской Правды» первого из дошедших до нашего времени сборника русских законов.
Судя по всему, подсчет «прибытка» в этой статье основан на предположении что каждый год в течение 12 лет вся собранная в предыдущий год полба высевается, что каждый раз полученный урожай составляет несколько меньше, чем 3/2 посеянной полбы, и что все вычисления ведутся в целых числах.
Другое дошедшее до нас наиболее древнее русское математическое произведение «Учение им же ведати человеку числа всех лет» принадлежит новгородскому монаху Кирику и посвящено календарным расчетам. Как известно, даты ряда церковных праздников не постоянны. От года к году они определяются по довольно сложным правилам, связанным с движениями солнца и луны. Вычисление дня пасхи (с этим церковным праздником жестоко связаны даты других праздников церковного календаря) представляет поэтому непростую математическую задачу. В начале «учения» указывается, что написано оно в 6644 г. от «сотворения мира» (в 1136 г. по принятому сейчас уже летоисчислению) и что от «сотворения мира» прошло 79 728 месяцев или 346 673 недели или 2 426 721 день или 29 120 652 дневных часа и столько же ночных. После этого сообщается, как вычислить так называемые «солнечный», «лунный» и «великий» круги и, наконец, указывается, на какой из дней приходится праздник пасхи в текущем году.
В XVI – XVII веках в России начинает проявляться и распространяться рукописная математическая литература (этого требуют межевание и измерение земель, система податного обложения, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами). В настоящее время известно значительное количество математических рукописей XVII века. В основном они предназначались для купцов, торговцев, чиновников, ремесленников, землемеров и носили сугубо практический характер. Материал их распространялся по «статьям», содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Правила пояснялись разнообразными примерами и задачами. Некоторые из этих задач интересны либо своей формулировкой, либо способом решения. Многие из них перешли в учебники по арифметике и алгебре XVIII века, некоторые сохранились и до нашего времени.
Рукописи XVI – XVII веков сыграли большую роль в распространении математических и практических знаний. Они явились той основой, на которой создавалась учебная литература XVIII века.
Перестройка государственной, общественной и культурной жизни страны, начиная Петром I, подняла и вопросы образования. Требовались специалисты для создания новой регулярной армии, для постройки торгового и военного флота, для развития промышленности и т.д. Для подготовки таких кадров, для распространения в стране математических знаний нужны были учебники. В 1703 году такой учебник был издан типографическим способом необычайно большим по тем временам тиражом – в количестве 2400 экземпляров. Назывался он «Арифметика, сиречь наука числительная…». Автором его был выдающийся педагог – математик – Леонтий Филиппович Магницкий. Взяв за основу, имевшуюся рукописную математическую литературу, Магницкий создал книгу, которая на протяжении 50 лет была основным учебником по математике для почти всех учебных заведений России. Она сыграла большую роль в распространении математических знаний, в подготовке кадров для государственных учреждений страны.
«Арифметика» - одна из самых замечательных русских книг – являлась энциклопедией математических знаний того времени. Понимая роль заинтересованности в обучении, Магницкий приводит много задач с острым содержанием, занятными формулировками, интересными способами решения. К некоторым задачам приводятся рисунки. Занимательным задачам он посвящает целый раздел «О утешных неких действах чрез арифметику употребляемых».
Первая часть настоящей книги посвящена занимательным задачам из рукописной литературы и «Арифметики» Магницкого. Рукописи и «Арифметика» написаны на старославянском языке, поэтому в первой части в основном приводятся тексты задач, подвергшиеся стилистической обработке; для любознательных читателей в ряде случаев приведены и их подлинные формулировки на старославянском языке. Сделано это также и для некоторых решений задач.
В основном мы сохранили в задачах и старые меры (веса, длины и денег).
В 1725 году в Петербурге открылась Академия наук с университетом и гимназией. Вначале для работы в Академии были приглашены ученые из – за границы. Среди них приехал в Россию двадцатилетний швейцарец Леонард Эйлер, будущий великий математик. Его неустанная педагогическая деятельность во многом способствовала формированию русских национальных научных кадров. Отметим здесь только учебники Эйлера по элементарной математике: «Руководство к арифметике, для употребления в гимназии при Императорской Академии наук» (1738 – 1740 г.г.) и «Универсальная арифметика» (1768 – 1769 гг.). Материал в этих книгах изложен очень ясно, доходчиво, сопровождается большим количеством различных увлекательных задач и примеров.
Книги Магницкого и Эйлера послужили основой для многих учебников других авторов: Н.Г. Курганова, Д.С. Аничкова, С.К. Котельникова, С.Я. Румского и др. Многие из этих руководств были написаны для тех или иных учебных заведений, отличавшихся спецификой подготовки своих учеников. Кроме отдельных учебников, появляются и целые курсы математики. Так, например, в 1787 – 1790 гг. вышел «Курс чистой математики» Е.Д. Войтяховского, состоящий из пяти книг (Арифметика, Алгебра, Геометрия, Тригонометрия и Фортификация), предназначенный для учеников основанной им в Москве Математической школы. Книги эти пользовались большой популярностью и неоднократно переиздавались.
В учебниках того времени
можно найти множество
Если в русской рукописной литературе XVII века и в книгах начала и середины XVIII века занимательные задачи были рассеяны среди учебных задач, то уже в конце XVIII века этим задачам посвящаются отдельные издания. Такой, например, является книга «Детский гостинец, или четыреста девяносто девять загадок с ответами в стихах и прозе, взятых как из древней, так и новейшей истории и из всех царств природы и собранных одним другом детей для их употребления и приятного препровождения времени». Эта небольшая книжка вышла в Москве в 1794 году и содержала различные занимательные вопросы, загадки, пословицы и небольшие истории. В предисловии к ней сказано, что «книга, сей источник просвещения и истинного удовольствия, не должна быть для детей источником скуки и горести». Надо, чтобы учение было привлекательным, и обучение малолетних детей необходимо представлять как «забаву, а не как скучную должность». При обучении детей «надо знать их склонности и способности и надобно уметь делать в упражнениях радость, которая для них весьма приятна». В книге говорится далее, что написана она для того, чтобы давать её читать детям «вместо награды за успехи в учении».
Аналогичным вопросам посвящена
и « Библиотека учения, экономическая,
нравоучительная, историческая и увеселительная
в пользу и удовольствие сякого звания
читателей», изданная в 12 томах в 1793
– 1794 гг. в Тобольске. В каждом томе
этой «Библиотеки» несколько страничек
посвящено занимательным
Особо среди книг, изданных в это время, следует отметить книгу «Гадательная математика для забавы и удовольствий». В этой книге собрано более 40 занимательных задач: на отгадывание задуманных чисел, на переправы, переливания жидкостей, угадывание числа лет и т.п.
2. Часть первая.
2.1Житейские истории
Задача 8. Двенадцать человек.
Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хлеба женщина – по половине хлеба, а ребенок по четверти хлеба.
Сколько было мужчин, женщин и детей?
Решение:
Давайте подумаем, как могут распределиться 12 хлебов между мужчинами, женщинами и детьми. Попробуем мысленно распределить хлеба между ними. Сначала дадим всем по половине хлеба. При этом будет роздано 6 хлебов. Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно раздать оставшиеся 6 хлебов мужчинам, а затем взять у каждого из детей по четверти хлеба и также распределить этот хлеб среди мужчин. Каждому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба. Шесть хлебов по полтора хлеба можно распределить между четырьмя мужчинами, после чего каждый из них будет нести по 2 хлеба. Отсюда следует, что мужчин не менее пяти. Иначе излишки хлеба, имеющиеся у детей, некому не было бы нести. Но если бы мужчин было шесть, то они сами несли бы весь хлеб, а женщинам и детям ничего бы не осталось. Итак, имеется всего пять мужчин. Поэтому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба, и именно эти полтора хлеба нужно собрать по четверти у каждого из детей. Так как полтора хлеба состоят из шести четвертей, то детей имеется всего шестеро и, значит, количество женщин равно 12 – 5 – 6 = 1. Следовательно, хлеба несли 5 мужчин, одна женщина и 6 детей.
2.2Любопытные свойства чисел
Задача 39. Движение пальца.
А вот один из способов помочь памяти с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом:
Первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим 2, затем 3, 4, … до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.
Пример. Пусть надо найти произведение
4*9
Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца, а после поднятого – 6 пальцев. Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.
Найдите объяснение этого способа умножения чисел.
Решение:
Проще всего убедиться в справедливости этого правила, поднимая по очереди пальцы от первого до десятого и сравнивая результат «ручного умножения» с таблицей умножения. А вот доказательство. Если поднимаемый палец имеет номер n, то слева от него лежит (n – 1) палец, а справа (10 – n). Тождество
10 (n – 1) + (10 – n) = 9n
Подтверждает правило умножения на пальцах.
Задача 40. Одинаковые цифры.
Если умножить число 777 на число 143, то получится шестизначное число, записываемое одними единицами:
777*143 = 111 111
Если же число 777 умножить на 429, то получится число 333 333, записываемое шестью тройками.
Найдите, на какие числа надо умножить число 777, чтобы получить шестизначные числа, записываемые одними двойками, одними четверками, одними пятерками и т.д.
Решение:
Для того, чтобы получить шестизначное число, записываемое двойками, надо 777 умножить на 286. Если же мы число 777 умножим соответственно на числа 572, 715, 858, 1001, 1144, 1287, то получим числа, записываемые одними четверками, пятерками, шестерками, семерками, восьмерками и девятками. Это видно из следующего. Поскольку
777*143 = 111 111
и 143 *2 = 286, 143*3 = 429, …..143*9 = 1287, то например,
777*858 = 777*143*6 = 111 111*6 = 666 666,
777*1001 = 777*143*7 = 111 111*7 = 777 777.
Можно найти и два четырехзначных числа, произведение которых записывается восемью единицами.
Требуемое свойство имеют числа 7373 и 1507. Для того чтобы найти их, надо разложить на множители число 11 111 111. Легко видеть, что
11 111 111 = 1111*10 001 = 11*101*10 001,
Числа 11 и 101 далее на множители не раскладываются. Это так называемые простые числа. Последний множитель 10 001 простым не является, но найти его разложение на простые множители нелегко. Путем деления этого числа на 3, 5, 7, 11, 13, 17 и другие простые числа можно, в конце концов, найти делители числа 10 001 и разложить его. Можно значительно сократить число проб, если заметить, что каждый простой делитель обязательно должен иметь вид 8k + 1. Это связано с тем, что 10 001 = 104 + 1. Остается проверить только делимость на 17, 41, 73, 89, 97. Оказывается, что 10 001 не делится на 17, 41 и делится на 73. Так получается разложение 10 001 = 73*137 и
11 111 111 = 11*101*73*137 = (101*73)*(11*137) = 7373*1507.
Задача 41.Свойство числа 481.
Возьмем какое-нибудь двузначное число, например, 12. Удвоим его и припишем справа 0. К результату (240) прибавим исходное число. Получится 252. Умножим это число на 481.
В записи произведения трижды повторяется число 12:
252*481* = 121 212
Возьмем другое двузначное число, например, 23. Проделаем с ним те же операции:
23*2 = 46; 460 + 23 = 483; 483*481 = 232 323.
Опять результат есть шестизначное число, в записи которого трижды повторяется исходное двузначное число 23.
Можете проделать ещё несколько экспериментов, взяв, например, числа 34, 19, 70 и т.д. Опять в записи результата будет трижды повторено исходное двузначное число.
Попытайтесь объяснить этот удивительный факт.
Объяснение: Если взять двузначное число a,удвоить его и приписать справа нуль, то получится число 20 a. Добавив к нему исходное число a, получим число 21 a. Секрет загадочного умножения скрыт в равенстве
21*481 = 10 101.
Имеем 21 a*481 = a*10 101. Это, как легко видеть, есть число, в записи которого участвует три раза повторенное двузначное число a.
Задача 42.»Проверка» сложения.
Торговая практика требовала умения правильно выполнять вычисления с большими числами. Для уверенности в надежности вычислений в старину употреблялись некоторые методы «проверения» (проверки). Один из методов проверки правильности сложения был таков. Допустим, что, найдя сумму нескольких чисел, мы хотим убедиться в правильности сделанных вычислений. Прибавим друг к другу все цифры слагаемых и получившееся число разделим с остатком на 9. Остаток запомним. После этого разделим на 9 вычисленную сумму. Если получившийся при этом остаток отличен от остатка, найденного ранее, то вычисления выполнены неверно, в них вкралась ошибка.
Пример. Предположим, что в результате сложения чисел 9873, 9837, 17 976 была получена сумма 38 686. Нет ли ошибки в вычислении? Сумма цифр слагаемых равна, как легко видеть, 27 + 27 + 30 = 84. Остаток от деления этого числа на 9 равен 3. Складывая цифры вычисленной суммы, найдем 31. Это число при делении на 9 дает в остатке 4. Так как 3 ≠ 4, то сумма найдена с ошибкой. И действительно, правильная сумма равна 37 686.
На каком свойстве чисел основан такой способ проверки сложения?
Указанное правило проверки объясняется довольно просто. Заметим, что разность между числом и суммой его цифр всегда делится на 9. Это легко понять хотя бы на примере трехзначных чисел. Если abc = a*100 + b*10 + с – трехзначное число, то сумма его цифр равна a + b + c и разность abc – (a + b + c) = 99a + 9b делится на 9.
Пусть A, B, CC,… - целые числа, которые нам необходимо сложить, и A1, B1, C1,… - суммы их цифр. Обозначим буквой p остаток от деления на 9 суммы цифр числа (A + B + C + …). Из сказанного выше следует, что разность (A + B + C + …) – p делится на 9. Но эту же разность можно представить в виде (A – A1) + (B – B1) + (C – C1) + …(A1 + B1 + C1 + … - p). Все числа A – A1, B – B1, C – C1, ...делятся на 9, а потому на 9 будет делиться и число A1 + B1 + C1 + … - p. Это означает, что остаток от деления на 9 числа A1 + B1 + C1 + … так же равен p. Итак, если сложение выполнено правильно, то остатки должны совпадать.
Этот способ проверки в случае совпадения остатков, конечно, не дает полной уверенности в том, что сумма найдена правильно. Если, например, ошибка состояла в том, что мы случайно поменяли местами в сумме цифры десятков и единиц, то остатки совпадут, а результат будет ошибочным. Вместе с тем указанный способ проверки иногда довольно быстро позволяет установить наличие ошибки.
Задача 43. «Проверка» умножения.
Так же, как в предыдущей задаче проверялось сложение, можно проверять и умножение. Допустим, что, перемножив два числа, мы хотим проверить правильность вычислений. Для этого найдем суммы цифр сомножителей, затем разделим полученные суммы на 9 с остатком. Найденные остатки перемножим, и получившееся число опять разделим на 9. Остаток после этого деления запомним. Затем найдем сумму цифр вычисленного произведения и разделим ее с остатком на 9. Если получившийся при этом остаток не равен остатку, запомненному ранее, то произведение вычислено неверно.
Пример. Допустим, после умножения числа 7373 на 4521 получилось произведение 33 334 333. Сумма цифр первого сомножителя равна 20, а второго – 12. Эти числа при делении на 9 имеют остатки 2 и 3. Произведение остатков равно 6, остаток от деления 6 на 9 также равен 6. Вычислим теперь сумму цифр найденного произведения. Она равна 25. Разделив это число на 9, получим в остатке 7. Так как 6 ≠ 7, то произведение вычислено с ошибкой.
Авторы старинных рукописей предлагают для удобства располагать результаты вычислений в вершинах креста (рис. 1).
У концов вертикальной черты
ставятся остатки от деления на 9
сумм цифр сомножителей. У левого конца
горизонтальной черты ставится остаток
от деления на 9 произведения чисел,
стоящих у концов вертикальной черты,
а у правого конца
Как обосновать этот способ проверки умножения?
Пусть P и Q – перемножаемые числа, p и q – остатки от их деления на 9. Разность между числом и суммой его цифр делится на 9, поэтому, если разделить на 9 суммы цифр чисел P и Q, в остатках получатся числа p и q. Эти числа должны быть записаны у концов вертикальной черты (рис. 2).
Так как разности P – p и Q – q делятся на 9, то их равенства
PQ – pq = (P – p) Q + p (Q – q)
следует, что числа PQ и pq имеют одинаковые остатки при делении на 9. Значит, у концов горизонтальной черты должны стоять одинаковые числа. Если же это условие не выполнено, то произведение PQ вычислено неправильно.
Конечно, совпадение чисел у концов горизонтальной черты не означает, что результат найден верно.
2.3 Старинный способ решения задач.
Задача 44. Как смешать масла.
У некоторого человека были продажные масла: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?
Приводим старинный способ решения этой задачи.
Друг под другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них и примерно посередине – стоимость масла, которое должно получиться после смешения. Соединив написанные числа черточками, получим такую картинку:
Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла, и результат поставим справа от большей цены. Затем из большей цены смешанного масла, а то, что останется, напишем справа от меньшей цены. Получится такая картинка:
Из неё делается заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения 1 ведра масла ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла ¼ ведра, а дешевого ¾ ведра.
Верно, ли найден ответ задачи?
Ответ задачи найден, верно. В самом деле, если взять ¼ часть ведра масла стоимостью 10 гривен и ¾ части ведра масла стоимостью 6 гривен за ведро, то получим одно ведро масла стоимостью 10* ¼ + 6* ¾ = 28/4 = 7 гривен, что и требовалось в задаче.
Задача 45. О сплаве серебра.
Имеется серебро: одно одиннадцатой пробы, а другое четырнадцатой пробы. Сколько какого серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра двенадцатой пробы?
(В России существовала
золотниковая система
Решение:
Следуя способу, изложенному при решении задачи 44, имеем
Значит, для получения серебра 12-й пробы надо брать 2 части серебра 11-й пробы и 1 часть серебра 14-й пробы. Поэтому для получения одного фунта серебра 12-й пробы надо взять 2/3 фунта серебра 11-й пробы и 1/3 фунта серебра 14-й пробы.
Задача 47. Как смешать чай?
Имеет некто чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти три сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?
Приведем решение из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого:
«А когда случится мешати три товара из них же сделати четвертый по желаемой цене и тогда един перечень малейший дважды в правиле полагается. Яко же зде видимо есть:
Здесь предлагается взять 6 + 2 = 8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части чая ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Указанный Л.Ф. Магницким способ состоит в следующем. Надо метод, изложенный при решении задачи 44, применить два раза: первый раз, взяв вещества с наименьшей и наибольшей стоимостью, а во второй раз с наименьшей и средней стоимостью. При этом будут найдены доли, в которых нужно будет смешивать вещества наибольшей и средней стоимости (в приведенном примере 1 и 1). Сложив затем доли дешевого вещества, найденные в первый и во второй раз (6 + 2 = 8), получим долю дешевого вещества в общей смеси.
Верно, ли найден ответ задачи?
Полученные числа являются одним из ответов к задаче: в самом деле, если возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой
8/10*5 + 1/10*8 + 1/16*12 = 6 гривен.
2.4 О правилах «фальшивых» или «гадательных».
Задача 50. Найти число.
Найти число такое, что если к нему добавить его третью часть и от полученной суммы отнять её шестую часть, то будет 100.
По правилу, которое носило название «фальшивое», или «гадательное», эту задачу следует решать так:
1.Предположим, что неизвестное число есть 144. Проделав с ним описанные в задаче операции, получим:
1/3*144 = 48, 144 + 48 = 192,
1/6*192 = 32, 192 – 32 = 160.
Так как получилось не 100, то не угадали.
2.Предположим теперь, что неизвестное число есть 108. Имеем последовательно:
1/3*108 = 36, 108 + 36 = 144,
1/6*144 = 24, 144 – 24 = 120.
Опять не угадали.
3.Оказывается, что по результатам двух неверных попыток можно найти искомое число. Это делается следующим образом. Вычисляем, насколько мы ошиблись:
в первом случае: 160 – 100 = 60
во втором случае: 120 – 100 = 20
Затем рисуем таблицу:
Перемножим числа, стоящие накрест:
108*60 = 6480, 144*20 = 2880.
Разность произведений (6480 – 2880 = 3600) разделим на разность ошибок (60 – 20 = 40):
3600:40 = 90.
Полученное число и дает ответ к задаче, т.е. искомое число равно 90.
Правилен ли ответ?
Числа 144 и 108 мы взяли наугад, но оба раза результат вычислений оказался больше, чем 100.
Правило гласит, что так же нужно поступать и в случае, если оба результата окажется меньше данного числа, а другой больше, то искомое число можно найти, разделив сумму произведений на сумму разностей.
Ответ найден, верно. В самом деле,
1/3*90 = 30, 90 + 30 = 120, 120*1/6 = 20, 120 – 20 = 100.
Задача 52.Сколько куплено сукна?
Купил некто сукно трех сортов, а всего 106 аршин. Первого купил на 12 аршин больше, чем второго, а второго на 9 аршин больше, чем третьего.
Сколько же сукна каждого сорта было куплено?
Решение с помощью «фальшивого» правила. Предположим, что сукна первого сорта куплено 32 аршина, тогда второго сорта куплено 20 аршин, а третьего сорта куплено 11 аршин. Всего, следовательно, куплено 32 + 20 + 11 = 63 аршина, что на 43 аршина меньше, чем дано в условии задачи. Если сукна первого сорта куплено 50 аршин, то второго – 38 аршин и третьего – 29 аршин. Всего же в этом случае куплено 50 + 38 + 29 = 117 аршин, что на 11 аршин больше, чем куплено в действительности. Применяя «фальшивое» правило, имеем
Значит, сукна первого сорта было куплено 2502:54 = 46*1/3 аршина, сукна второго сорта 46*1/3 – 12 = 34*1/3 аршина, сукна третьего сорта 34*1/3 – 9 = 25*1/3 аршина.
Отметим, что полученные в результате предположений числа (63 и 117) одно меньше, чем 106, а другое больше, чем 106. Поэтому для нахождения ответа задачи по «фальшивому» правилу следует сумму произведений разделить на сумму разностей.
Верен ли ответ задачи?
Так как 46*1/3 - 34*1/3 = 12, 34*1/3 - 25*1/3 = 9,
46*1/3 + 34*1/3 + 25*1/3 = 106, то ответ найден, верно.
53. Покупка коровы.
Два человека хотят купить корову. Говорит первый второму: «Если ты дашь мне 2/3 твоих денег, то я один смогу заплатить её цену». А второй отвечает первому: «Дай мне ¾ твоих денег. Тогда я заплачу её цену».
Сколько у каждого из них денег, если корова стоит 24 рубля?
Предположим, что у первого человека 12 рублей. Тогда второй должен дать ему 24 – 12 = 12 рублей, что составляет по условию 2/3 от денег второго человека. Значит, второй имеет 12*3/2 = 18 рублей. После того как первый даст второму ¾ своих денег у второго станет 18 + ¾*12 = 27 рублей, что на 3 рубля больше стоимости коровы.
Предположим, что у первого человека 20 рублей. Тогда у второго 3/2(24 – 20) = 6 рублей. После того как первый даст ему ¾ своих денег, у второго человека станет 6 + 3/4 *20 = 21 рубль, что на 3 рубля меньше стоимости коровы. Применяя «фальшивое» правило, имеем