Статистическая обработка результатов испытаний одномерных и двумерных случайных величин

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Московской области

«Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

 

Факультет Естественных и Инженерных наук

Кафедра прикладной математики и информатики

 

 

 

 

 

Курсовая работа по «Теории вероятности и математической статистики»

 

 

Статистическая обработка результатов испытаний одномерных и двумерных случайных величин

 

 

Студентки II курса группы 2241

Селиверстовой Дарьи Валерьевны

 

 

 

 

Руководитель:

 Доц. к. т.н.: Богомолова Е. В.

_____________________

 

 

 

 

Дубна, 2012 г. 

Оглавление

 

 

Введение

В данной курсовой работе проводим статистическую обработку результатов испытаний для двух разных задач. В первой задаче представлены контрольные обмеры 100 валиков. Для статистической обработки строим полигон и гистограмму частот, это позволяет нам определить вид распределения. Проверяем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона. Вычисляем числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, моду, медиану, выборочную дисперсию, коэффициент вариации, коэффициенты асимметрии и эксцесса. Оцениваем математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительных интервалов с заданной надежностью.

Во второй задаче представлена корреляционная таблица распределения 100 предприятий по капиталовложениям Х (млн. руб.) и выписка продукции Y (млн. руб.). По данным этой таблицы находим выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y, строим их графики. Вычисляем коэффициент корреляции, который позволяет нам судить о прямой или обратной зависимости прямых линий регрессии и их силе. Также находим выборочное корреляционное отношение, которое оценивает тесноту связи между Y и X, X и Y. Вычисляем интервальные оценки для генеральных коэффициентов регрессии.

Для статистической обработки результатов используем различные методы: метод моментов, наибольшего правдоподобия, метод произведений вычисления выборочных средней дисперсии, метод сумм вычисления выборочных средней дисперсии, используем разделы теории корреляции и статистической проверки статистических гипотез.

 

Статистическая обработка

Одномерные случайные величины

Задача №1. Контрольные обмеры 100 валиков дали следующие результаты:

Табл.№1

7,39

7,43

7,54

7,64

7,4

7,55

7,4

7,26

7,42

7,5

7,32

7,31

7,28

7,52

7,46

7,63

7,38

7,44

7,52

7,53

7,37

7,33

7,24

7,13

7,53

7,53

7,39

7,57

7,51

7,34

7,39

7,47

7,51

7,48

7,62

7,58

7,57

7,33

7,51

7,4

7,3

7,48

7,4

7,57

7,51

7,4

7,52

7,56

7,4

7,34

7,23

7,37

7,48

7,48

7,62

7,35

7,36

7,4

7,45

7,29

7,48

7,58

7,44

7,56

7,28

7,59

7,47

7,62

7,54

7,2

7,38

7,43

7,35

7,56

7,51

7,47

7,4

7,29

7,2

7,46

7,42

7,44

7,41

7,29

7,48

7,39

7,5

7,38

7,45

7,5

7,45

7,42

7,29

7,53

7,34

7,55

7,33

7,32

7,69

7,46


 

 

Составим интервальный ряд для контрольных обмеров 100 валиков. Для этого находим максимальные и минимальные варианты и, используя заданный шаг h=0,07 – расстояние между двумя соседними вариантами, прибавляем h к х=7,13 до тех пор пока не перекроем максимальное значение х=7,69; От интервального вариационного ряда переходим к дискретному вариационному ряду, приняв за новые варианты у – середины интервалов; Перейдем к условным вариантам: u=(y-C)/h, где u – условная варианта середины интервала, С – ложный нуль (С=7,38)

Табл.№2

интервалы:

У

n

  

U

n*u

  

n*(

n*

n*

n*

7,13-7,20

7,17

1

0,01

-3

-3

-3,95

15,6025

9

-27

81

7,20-7,27

7,24

5

0,05

-2

-10

-2,95

43,5125

20

-40

80

7,27-7,34

7,31

13

0,13

-1

-13

-1,95

49,4325

13

-13

13

7,34-7,41

7,38

23

0,23

0

0

-0,95

20,7575

0

0

0

7,41-7,48

7,45

18

0,18

1

18

0,05

0,045

18

18

18

7,48-7,55

7,52

23

0,23

2

46

1,05

25,3575

92

184

368

7,55-7,62

7,59

11

0,11

3

33

2,05

46,2275

99

297

891

7,62-7,69

7,66

6

0,06

4

24

3,05

55,815

96

384

1536

сумма

-

100

-

-

95

-3,6

256,75

347

803

2987


 

 

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х1; n1), (х2; n2), … (xk;nk).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (xi;ni). Соединяют отрезками прямых и получают полигоны частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1;W1) … (xk;Wk).Для построения полигона относительных частот  на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты Wi. Точки …(xi;Wi).соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Для построения полигона используем частоты и варианты у – середины интервалов дискретного вариационного ряда.

 

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni/h.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна hni/h=ni – сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению Wi/h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительны частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии Wi/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hWi/h=Wi – относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Для построения гистограммы используем частоты и интервалы интервального ряда

 

Выборочная средняя:

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Выборочной средней хв называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения х1, x2,…,xn признака выборки объема n различны , то

=(х1, x2,…,xn)/h.

Если значения признака х1, x2,…,xk имеют соответственно частоты n1,n2…,nk, причем n1+n2+…+nk=n, то

=(n1х1+n2х2+…+nkхk)/n, или =,                                                      [1]

т.е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равным соответствующим частотам.

По данным интервального ряда  7,4465

Выборочная дисперсия:

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят свободную характеристику – выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией Dв называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения х1, x2,…,xn признака выборки объема n различны, то

Dв=(⅀(хi–)2)/n.

Если же значения признака х1, x2,…,xk имеют соответственно частоты n1,n2,…,nk, причем n1+n2+…+nk=n, то

Dв=(,                                                                                                [2]

т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратический корень из выборочной дисперсии:

*в =                                                                                                                          [3]

Вычисление дисперсии можно упростить, используя теорему:

Теорема: Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней:

D=                                                                                                                  [4]

Доказательство: Справедливость теоремы вытекает из преобразований:

Dв=(=

Выборочная дисперсия является смешенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно М(Dв)= Dг.                                                                                            [5]

Чтобы найти исправленную дисперсию, которую обозначают S2 нужно умножить Dв на дробь .

Для контрольных обмеров валика:

Выборочная дисперсия – Dв=0,012581,

Выборочное среднее квадратическое отклонение – *в =0,11216394,

Исправленная дисперсия – S=0,113297.

 

Модой М0 называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой me называют варианту, которая делит вариационный ряд на 2 части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, т.е. n=2k+1, то me=xk+1; при четном n=2k медиана me=(xk+ xk+1)/2.

Коэффициентом вариации V называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней:

V=                                                                                                 [6]

Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов. Тот из рядов имеет большее рассеяние по отношению к выборочной средней, у которого коэффициент вариации больше. Коэффициент вариации – безразмерная величина, поэтому он пригоден для сравнения рассеяний вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.

По результатам контрольного обмера валиков:

Медиана – me=7,44

Мода – Мо=7,44

Коэффициент вариации – V=21,51806%

 

Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют различные характеристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс.

Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством

Аs=m3/σв3, где m3 – центральный эмпирический момент третьего порядка            [7]

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством

Ек=m4/σ4в – 3, где m4 – центральный эмпирический момент четвертого порядка   [8]

m3=[M3–3M2M1+2(M1)3]*h3                                                                                      [9]

m4=[M4 – 4M3M1+6M2(M1)2 – 3(M1)4]*h4                                                                 [10]

m2=[M2 – (M1)2]*h2                                                                                                       [11]

Mk=(∑nixik)/n                                                                                                               [12]

Для данного интервального ряда условные и эмпирические моменты:

M1

0,95

M2

3,47

M3

8,03

M4

29,87

m3

-5E-05

m4

0,000377


 

Тогда можно вычислить: As= 0,03518 и = 0,61796

 

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

  1. Перейти к дискретному вариационному ряду, взяв середины интервалов за новые варианты.
  2. Вычислить непосредственно выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение *.
  3. Вычислить теоретические частоты

,                                                                                                                      [13]

где n – объем выборки, вероятность попадания нормированной случайной величины в интервал                                                                           [14]

, где Ф=.                        [15]

  1. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

А) составляют расчетную таблицу, по которой находят наблюдаемое значение критерия

.                                                                                      [16]

Б) по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=s–3 (s – число групп выборки) находят критическую точку =(α; k) правосторонней критической области.

Если < – нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются не значимо. Если > – гипотезу отвергают, т.е. эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Составим расчетную таблицу, где и концы интервалов контрольных обмеров валиков, их частота, выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение * мы уже вычислили ранее, находим значение случайной величины Z, значение Ф(Z) нашли по таблице приложения №2, разность значений Ф() и Ф(). Уровень значимости α=0,05 и число групп выборки s=7, тогда число степеней свободы k=4. Критическая точка =(α; k)=(0,05; 4)=9,5.

Табл.№3

i

          

Ф()

Ф()

  

n'=n

(-n')2/n'

1

7,13

7,2

1

-∞

-2,1977

-0,5

-0,4861

0,0139

1,39

  

2

7,2

7,27

5

-2,1977

-1,5736

-0,4861

-0,4418

0,0443

4,43

0,0056

3

7,27

7,34

13

-1,5736

-0,9495

-0,4418

-0,3289

0,1129

11,29

0,259

4

7,34

7,41

23

-0,9495

-0,3254

-0,3289

-0,1274

0,2015

20,15

0,4031

5

7,41

7,48

18

-0,3254

0,29867

-0,1274

0,1179

0,2453

24,53

1,7383

6

7,48

7,55

23

0,2987

0,92276

0,1179

0,3212

0,2033

20,33

0,3507

7

7,55

7,62

11

0,9228

1,54684

0,3212

0,4394

0,1182

11,82

0,0569

8

7,62

7,69

6

1,5468

∞

0,4394

0,5

0,0606

6,06

0,0006

     

100

        

1

  

2,8141


 

Из таблицы №3 находим 2,8141.

Так как =9,5, то следует, что (2,8141<9,5). Критерий Пирсона выполняется, значит, результаты контрольного обмера валиков имеют нормальное распределение.

Кривая Гаусса

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а и *2, где а – выборочное среднее значение и *2 – среднее квадратическое отклонение, если плотность распределения вероятностей имеет вид f(x)= График плотности f(x) нормального распределения называется кривой Гаусса. Для построения графика используем 5 точек:

  1. точка максимума (а; )=(7,4465; 2,4904)
  2. точка перегиба (а+*; )=(7,6067; 1,5105)
  3. точка перегиба (а-*; )=(7,2863; 1,5105)
  4. вспомогательная точка (а-2*; )=(7,1260; 0,9162)
  5. вспомогательная точка (а+2*; )=( 7,7670; 0,9162)

 

Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика **служит оценкой неизвестного параметра *. Будем считать * постоянным числом (* может быть и случайной величиной). ** тем точнее определяет параметр *, чем меньше абсолютная величина разности | * – **|.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка ** удовлетворяет неравенству | * – **|<*; можно лишь говорить о вероятности *, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки * по ** называют вероятность *, с которой осуществляется неравенство | * – **|<*. Обычно надежность оценки задается наперед , причем в качестве * берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99; 0,999.

Пусть вероятность того, что | * – **|<*, равна *:

Р[| * – **|<*]=*.

Заменив   неравенство | * – ** |  < *   равносильным  ему  двойным   неравенством –*<* – **<*, или **–*< * < **+*, имеем

Р[**–*< * < **+*]=*.

Это соотношение следует понимать так: вероятность того что интервал (**–*,**+*) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр *, равна *.

Доверительным называют интервал (**–*; **+*) который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью *.

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности имеет нормальное распределение с неизвестным средним квадратическим отклонением *. По выборке х1, x2,…,xn требуется оценить математическое ожидание а.

Рассмотрим случайную величину Т=, где Z имеет нормальное распределение N(0,1); V имеет распределение *2 с «к» степенями свободы; Т имеет распределение Стьюдента «к» степенями свободы.

В качестве Z=, V=(k-1)(S2/*2), где S – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение

Возьмем Т== имеет распределение Стьюдента с (к-1) степенями свободы.

Пусть S(t,n) плотность распределения Стьюдента.

Р(||<t*)=2(t,n) dt=*

Заменив неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим:

P( – t*S/<a< + t*S/)=*

Пользуясь распределением Стьюдента, нашли доверительный интервал покрывающий неизвестный параметр а с надежностью *: ( – t*S/ + t*S/          [17]

 и S находятся по выборке. По таблице приложения 3 по заданным n и * можно найти t*.

В первой задаче надежность * =0,95; n=100, по таблице приложения №3 – t*=1,984, тогда находим доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном *: 7,4240<a<7,4690. Вывод: в генеральной совокупности средние размеры валиков заключены в пределах от 7,4240 до 7,4690.

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения *.

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение * по х1, x2,…,xn и «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению S. Нужно найти доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр * с заданной надежностью *=Р(|σ-S|<δ)

-δ<σ-S<δ

S-δ<σ<δ+S

S(1-δ/S)<σ<(1+δ/S)S

Обозначим q=δ/S => S(1-q)<σ<S(1+q)                                                                        [18]

 < ;  χ=

< <

< <

Обозначим χ= имеющее распределение χ2 с (n-1) степенями свободы

Пусть ее плотность R(t,n) распределения χ2,то Р(χ1 <χ< χ2)= =>

P( < χ < )=γ=. Из этого выражения находим q.

На практике q находят из таблицы приложения №4 по заданным n и γ.

По данным таблицы интервального ряда:

По заданным надежности * =0,95 и объема n=100, по таблице приложения №4 q=0,143. Тогда доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения * контрольного обмера валиков имеет вид 0,0971<*<0,1295. Вывод: в генеральной совокупности средние квадратические отклонения размеров валиков заключены в пределах (0,0971; 0,1295).

Примечание: все таблицы приложения находятся в книге «В.Е. Гмурман “Теория вероятностей и математическая статистика”» 1998 г.»

 

Двумерные случайные величины

Задача №2: Распределение 100 предприятий по капиталовложениям Х (млн. руб.) и выпуску продукции Y (млн. руб.) приведено в таблице:

Табл.№4

У

Х

  

12

17

22

27

32

37

25

2

4

-

-

-

-

6

35

-

6

3

-

-

-

9

45

-

-

6

45

4

-

55

55

-

-

2

8

6

-

16

65

-

-

-

4

7

3

14

 

2

10

11

57

17

3

100


 

Перейдем к условным вариантам:

 где =22, =5;

 =45, =10;

Табл. №5

 

U

  

V

-2

-1

0

1

2

3

-2

2

4

-

-

-

-

6

-1

-

6

3

-

-

-

9

0

-

-

6

45

4

-

55

1

-

-

2

8

6

-

16

2

-

-

-

4

7

3

14

 

2

10

11

57

17

3

100


 

 

Корреляционная зависимость:

Одному значению случайной величины Х отвечает условное математическое ожидание другой случайной величины У.

В качестве оценок условных математических ожиданий применяют условные средние, которые находят по выборке.

Условным средним называют среднее арифметическое значений Y, соответствующих при Х=х.

Условным средним называют среднее арифметическое значений Х, соответствующее при Y=y.

Условное математическое ожидание М(Y|x) является функцией от х, его оценка, т.е. условное среднее , также функция от х; обозначив эту функцию через f*(x), получим уравнение  = f*(x).Это уравнение называют выборочным уравнением регрессии Y на Х; функцию f*(x) называют выборочной регрессией Y на Х, а ее график – выборочной линией регрессии Y на Х.

Аналогичное уравнение =**(у) называют выборочным уравнением регрессии Х на Y; функцию **(у) называют выборочной регрессией Х на Y, ее график – выборочной линией регрессии Х на Y.

Пусть известны результаты n независимых опытов известны пары чисел (х1, у1), (х2, у2), …, (хn, уn).

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии. Для определенности будем искать в виде

=kх+b  регрессии Y на Х. Угловой коэффициент прямой линии регрессии У на Х называют выборочным коэффициентом регрессии Y на Х и обозначают *ух.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х  вида Y= *ух х+b.

Подберем параметры *ух и b так, чтобы точки (х1, у1), (х2, у2), …, (хn, уn), построенные по данным наблюдений, на плоскости хОу лежали как можно ближе к прямой линии регрессии.

Воспользуемся методом наименьших квадратов. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих параметров.

F(*, b)=⅀(Yi-yi)2, или F(*, b)=⅀(*xi+b–yi)2

Для отыскания минимума приравниваем к нулю соответствующие частные производные:

dF/d*=2;

dF/db=2.

Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно * и b:

(⅀х2)*+(⅀x)b=⅀xy;   (⅀х)*+nb=⅀y.

Решив эту систему, найдем искомые параметры:

*ху=(n⅀xy–⅀x⅀y)/(n⅀x2–(⅀x)2);

b=(⅀x2⅀y–⅀x⅀xy)/(n⅀x2–(⅀x)2).

Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Х ни Y:

=х+С, где – выборочный коэффициент регрессии Х на У.

Допустим, что получено большое число данных, среди них есть повторяющиеся, и они сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Воспользуемся тождествами:

⅀x=n;  ⅀y=n;  ⅀x2=n;  ⅀xy=⅀xy, пара чисел (x, y)встретилась раз.

Подставив в систему

   и сократив обе части второго уравнения на n, получим

 

Решив эту систему, найдем параметры и b и искомое уравнение

=х+b.

Однако более целесообразно, введя новую величину – выборочный коэффициент корреляции, написать уравнение регрессии в ином виде. Найдем b из второго уравнения второй системы: b=.

Подставив правую часть этого равенства в уравнение =х+b, получим

=(х – ).

Найдем из первой системы коэффициент регрессии, учитывая, что 2– ()2=*2х:

*ху==.                                                                                 [19]

Умножив обе части равенства на дробь *х/*у

*ух=.                                                                                                  [20]

Обозначив правую часть через rв – выборочный коэффициент корреляции

rв=.                                                                                                     [21]