Статистическая обработка результатов исследования

           Содержание

1. Проверка статистической гипотезы о виде неизвестного  распределения..3

2. Определение корреляционной зависимости между рядами наблюдений..13

 Заключение………………………………………………………………………19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Стати́стика — отрасль знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых статистических (количественных или качественных) данных.Слово «статистика» происходит от латинского status — состояние дел. В науку термин «статистика» ввел немецкий ученый Готфрид Ахенваль в 1746 году, предложив заменить название курса «Государствоведение», преподававшегося в университетах Германии, на «Статистику», положив тем самым начало развитию статистики как науки и учебной дисциплины. Несмотря на это, статистический учет вёлся намного раньше: проводились переписи населения в Древнем Китае, осуществлялось сравнение военного потенциала государств, велся учет имущества граждан в Древнем Риме .Статистика разрабатывает специальную методологию исследования и обработки материалов: массовые статистические наблюдения, метод группировок, средних величин, индексов, балансовый метод, метод графических изображений и другие методы анализа статистических данных.Статисти́ческие ме́тоды — методы анализа статистических данных. Выделяют методы прикладной статистики, которые могут применяться во всех областях научных исследований и любых отраслях народного хозяйства, и другие статистические методы, применимость которых ограничена той или иной сферой. Имеются в виду такие методы, как статистический приемочный контроль, статистическое регулирование технологических процессов, надежность и испытания, планирование экспериментов.Статистические методы анализа данных применяются практически во всех областях деятельности человека. Их используют всегда, когда необходимо получить и обосновать какие-либо суждения о группе (объектов или субъектов) с некоторой внутренней неоднородностью.

 

 

 

 

       

 

 1 Проверка статистической гипотезы о виде

                         неизвестного распределения

Таблица 1 – Исходные данные

 

1. Составляем не сгруппированный ряд. Элементы выборки записываем в порядке возрастания,

считаем частость =1/100=0,01

 

Таблица 2 – Не сгруппированный  статистический ряд

                         

N п/п

Значения

Частота

Частость

1

-2,42

1

0,01

2

-2,02

1

0,01

3

-1,9

1

0,01

4

-1,63

1

0,01

5

-1,62

1

0,01

6

-1,59

1

0,01

7

-1,54

1

0,01

8

-1,52

1

0,01

9

-1,46

1

0,01

Продолжение

Табл.2

    

10

-1,42

1

0,01

11

-1,36

1

0,01

12

-1,34

1

0,01

13

-1,33

2

0,02

14

-1,22

1

0,01

15

-1,14

1

0,01

16

-1

1

0,01

17

-0,76

1

0,01

18

-0,75

1

0,01

19

-0,7

1

0,01

20

-0,62

1

0,01

21

-0,54

1

0,01

22

-0,53

1

0,01

23

-0,51

1

0,01

24

-0,48

1

0,01

25

-0,44

1

0,01

26

-0,43

2

0,02

27

-0,4

1

0,01

28

-0,37

1

0,01

29

-0,32

1

0,01

30

-0,28

1

0,01

31

-0,18

1

0,01

32

-0,12

3

0,03

33

-0,11

1

0,01

34

-0,09

1

0,01

35

-0,08

1

0,01

36

-0,06

3

0,03

37

0

1

0,01

38

0,03

1

0,01

39

0,09

1

0,01

40

0,13

1

0,01

41

0,15

1

0,01

42

0,16

2

0,02

43

0,18

1

0,01

44

0,25

1

0,01

45

0,26

1

0,01

46

0,28

1

0,01

47

0,29

1

0,01

48

0,34

1

0,01

49

0,38

2

0,02

50

0,4

1

0,01

51

0,41

1

0,01

52

0,43

2

0,02

Продолжение

Табл.2

    

53

0,45

1

0,01

54

0,47

2

0,02

55

0,51

3

0,03

56

0,53

1

0,01

57

0,54

1

0,01

58

0,56

1

0,01

59

0,61

1

0,01

60

0,64

1

0,01

61

0,65

1

0,01

62

0,73

1

0,01

63

0,75

1

0,01

64

0,79

1

0,01

65

0,8

2

0,02

66

0,92

1

0,01

67

0,97

1

0,01

68

0,98

2

0,02

69

1,01

1

0,01

70

1,11

1

0,01

71

1,16

1

0,01

72

1,18

1

0,01

73

1,22

1

0,01

74

1,23

1

0,01

75

1,24

2

0,02

76

1,27

1

0,01

77

1,3

1

0,01

78

1,31

1

0,01

79

1,37

1

0,01

80

1,47

1

0,01

81

1,63

1

0,01

82

1,77

1

0,01

83

1,88

1

0,01

84

2,12

1

0,01

85

2,37

1

0,01

 

Всего

100

1


 

 

2.Составления сгруппированный статистический ряд:

 Находим число интервалов,c округлением до ближайшего целого

k=1+3,2*lgn=1+6,4=7,4

Находим границы интервалов

                                                  [Xmin , Xmax] = [-2,42 ; 2,37 ] 

Длина интервала 

                                                   d= 4,79

Длина интервала разбиения

                                                                  d/n = 0,684286

 

 

 

Находим середину каждого интервала

  • ;

Находим частость (относительную частоту)

=3/100=0.03

Находим плотность относительной частоты

=13/100*0,6843=0,04384

 

Таблица 3.1 – Сгруппированный статистический ряд

Интервал

Нач.Инт

Кон.инт

Середина Инт.

mi

p i

f i

1

-2,42

-1,7357

-2,07786

3

0,03

0,04384

2

-1,73571

-1,0514

-1,39357

13

0,13

0,18998

3

-1,05143

-0,3671

-0,70929

14

0,14

0,20459

4

-0,36714

0,31714

-0,025

24

0,24

0,35073

5

0,317143

1,00143

0,659286

28

0,28

0,40919

6

1,001429

1,68571

1,343571

14

0,14

0,20459

7

1,685714

2,37

2,027857

4

0,04

0,05846

     

∑

100

1

1,46138

             
             

 

 

                                                                                                                                                                    Таблица 3.2-Числовые характеристики.              

Середина Инт.

ni

niXi

niXi2

Xi-x

ni(Xi-x)3

ni(Xi-x)4

-2,07786

3

-6,2336

12,95247

-2,1829

-31,204

68,1136

-1,39357

13

-18,116

25,24654

-1,4986

-43,751

65,5646

-0,70929

14

-9,93

7,043207

-0,8143

-7,5593

6,15554

-0,025

24

-0,6

0,015

-0,13

-0,0528

0,00686

0,659286

28

18,46

12,17041

0,55427

4,76788

2,6427

1,343571

14

18,81

25,27258

1,23856

26,5997

32,9452

2,027857

4

8,11143

16,44882

1,92284

28,4375

54,6808




 

 

 

 

 

 

 

Находим оценку математического ожидания случайной величины   

                                         0,105014                      

Находим - выборочная исправленная дисперсия - статистическая оценка дисперсии случайной величины

0,980462

Находим  выборочное среднеквадратическое отклонение

Ϭ= =0,995171

Находим статистическую оценку 3-центрального момента

 - 0,22762

Находим оценку асимметрии кривой распределения

-0,22762/(0,9951713) = - 0,23095

Находим статистическую оценку 4-центрального момента

2,3011

Находим оценку эксцесса кривой распределения

2,3011/(0,9951714)-3= - 0,65392

    3. По данным таблицы 3 строим график эмпирических частот – гистограмму. По внешнему виду графика выдвигаем гипотезу Н0, что распределение нормальное с мат. ожиданием =0,105014 и СКО=0,995171. Строим график плотности нормального распределения НОРМРАСП(*;0,105014;0,995171;0) и совместим его с гистограммой:

Рисунок 1-Эмпирические и теоретические плотности вероятности.

Вывод: Нормальное распределение  показывает соответствие более точно.

 4. Если принять гипотезу из п.3, что распределение нормальное, коэффициент асимметрии анализируемого распределения должен быть равен 0. Также должен быть равен 0 коэффициент эксцесса. Гипотезы о коэффициентах асимметрии и эксцесса исходного распределения-эти коэффициенты равны 0, как и положено нормально распределенной случайной величине.

 5. Проверка выдвинутой гипотезы с помощью критерия Колмогорова.

Проверка гипотезы с использованием критерия Колмогорова проводится для не сгруппированного статистического ряда следующим образом:

  • для каждого значения сформированного статистического ряда рассчитывается значение эмпирической функции распределения вероятностей по формуле

,

где nx – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х.

- рассчитывается теоретическая  функция распределения вероятностей

Рисунок 2-Эмперическая функция  и функция нормального распределения.

 

Расчетное значение критерия определяется как максимальное расхождение  между эмпирической и теоретической  функциями распределения вероятностей

.

λ=Δ=0,80559

Критическое значение критерия λα находится из таблицы 4 при заданном уровне значимости α=0,05.

Таблица 4 – Уровни значимости для критерия согласия Колмогорова

 

α.

0,999

0,99

0,95

0,9

0,5

λα

0,374

0,440

0,520

0,571

0,828

α.

0,1

0,05

0,01

0,001

0,0001

λα

1,224

1,358

1,627

1,950

2,3


-Сравниваем с предельными  уровнями статистики Колмогорова:

Гипотеза Н0, что распределение нормально, не отвергается по критерию Колмогорова.

6. Проверка выдвинутой гипотезы с помощью критерия Пирсона.

Критерий Пирсона применяется  для сгруппированного статистического  ряда.

При использовании этого  критерия сравниваются статистические и теоретические pi вероятности попадания в интервал . В качестве меры расхождения используется характеристика χ2. Расчетное значение критерия

=5,150853 

Теоретические вероятности  попадания в интервалы для  нормального закона распределения  могут быть определены по формуле

Таблица 4-Вспомогательныя  таблица для расчета  хи-квадрат.

 

Интервал

Нач.инт

Кон.инт

Середина Инт.

ni

ni

F(начало инт)

F(конец инт)

Pi

(ni-nPi)2/(nPi)

1

-2,42

-1,73571

-2,07786

3

0,03

0

0,032181

0,032181

0,014784982

2

-1,73571

-1,05143

-1,39357

13

0,13

0,032181

0,122607

0,090425

1,73197163

3

-1,05143

-0,36714

-0,70929

14

0,14

0,122607

0,31759

0,194983

1,55047991

4

-0,36714

0,317143

-0,025

24

0,24

0,31759

0,584398

0,266808

0,26935577

5

0,317143

1,001429

0,659286

28

0,28

0,584398

0,816143

0,231745

1,004789249

6

1,001429

1,685714

1,343571

14

0,14

0,816143

0,94389

0,12775

0,117353579

7

1,685714

2,37

2,027857

4

0,04

0,943899

1

0,056101

0,462117572

     

∑

100

1

    

1

5,150852692


 

по заданному уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы 

r=k-s=7-3=4; s - число связей, накладываемых на расчет теоретического распределения. При проверке гипотезы о нормальном распределении s = 3.

Найдем хи-критическое по таблице:

                                                       =9,490

 

 

Критическое значение сравниваем с расчетным :

                                                            <

 Вывод: нулевая гипотеза принимается с уровнем значимости α=0,05.

7. Выдвинуть гипотезы  об асимметрии и эксцессе кривой  распределения.

Нулевая гипотеза Н0 об асимметрии:

H0={А=0}

Нулевая гипотеза Н0 об эксцессе:

H0={Е=0}

Оценка  асимметрии кривой распределения

                                           

=-0,22762/(0,9951713) = - 0,23095

-Среднеквадратическое отклонение оценки асимметии

0,24495.

На уровне α=2*НОРМСТРАСП(0,23095/0,24495)-1= 0,6542 ноль попадает в двусторонний доверительный интервал с центром в А .Это уровень, на котором гипотеза H0={А=0}не отвергается.

 

Оценка эксцесса кривой распределения

=2,3011/(0,9951714)-3= - 0,65392

Среднеквадратическое отклонение оценки эксцесса

 

0,4899

На уровне α=2*НОРМСТРАСП(0,65392/0,4899)-1= 0,818ноль попадает в двусторонний доверительный интервал с центром в Е .Это уровень, на котором гипотеза H0={А=0}не отвергается. Вывод по первой части курсовой работы: Гипотеза о том , что выборка сделана из нормально распределенной случайной величины:Не отвергается

Покритерию:Пирсона,Колмогорова.Следствия из этой гипотезы, что коэффициент: Асимметрии равен 0,  отвергается;Эксцесса равен 0. 

 

2 Определение корреляционной  зависимости между

рядами  наблюдений

Таблица 1 - Результаты измерений случайных величин Х и Y

i

хi

yi

1

7,7

5,5

2

9,9

6,5

3

9,2

7

4

8,1

4,5

5

6,3

2,5

6

3

3,5

7

3,5

2,5

8

8,1

6

9

7,2

7

10

5,7

5,5

11

6,2

5

12

8,5

5

13

6,5

6,5

14

2

2

15

5,3

5

16

9,2

5

17

5,2

2,5

18

7,4

4

19

5,4

3

20

8,2

5,5


 

1. График зависимости  переменных X и Y (поле корреляции) строится в прямоугольной системе координат. На оси абсцисс откладываются значения факторного признака Х, а по оси ординат – результативного признака - Y.

2. На основании поля  корреляции сделать предположение  о наличии между случайными  величинами X и Y корреляционной зависимости и о форме этой зависимости (линейная или нелинейная).

                            Рисунок 1- Поле корреляции.

3. Вычислить оценки математических  ожиданий случайных величин X и Y

Оценка математического  ожидания случайной величины X (среднее арифметическое).

=6.63

Оценка математического  ожидания случайной величины Y (среднее арифметическое).

=4.7

 

4. Вычислить оценки средних  квадратических отклонений и

Оценка среднего квадратического отклонения случайной величины X

=2.1418

Оценка среднего квадратического отклонения случайной величины Y

=1.5845

5. Вычислить оценку коэффициента  корреляции между X и Y и определить его значимость и надежность;

Оценка коэффициента корреляции (выборочный коэффициент корреляции).

=0.67523

Таблица 2 – Вспомогательная  таблица регрессионного анализа

i

xi

yi

(xi-x)2

(yi-y)2

(xi-x)(yi-y)

|(yi-Yi)/yi|


1

7,7

5,5

1,07

0,8

1,1449

0,64

0,856

5,2345

 

4,548272727


2

9,9

6,5

3,27

1,8

10,6929

3,24

5,886

6,3334

5,525630769

3

9,2

7

2,57

2,3

6,6049

5,29

5,911

5,9837

6,145185714

4

8,1

4,5

1,47

-0,2

2,1609

0,04

-0,294

5,4343

3,292377778

5

6,3

2,5

-0,33

-2,2

0,1089

4,84

0,726

4,5352

0,68592

6

3

3,5

-3,63

-1,2

13,1769

1,44

4,356

2,8868

2,6752

7

3,5

2,5

-3,13

-2,2

9,7969

4,84

6,886

3,1365

1,2454

                   
             

Продолжение табл.2

    

8

8,1

6

1,47

1,3

2,1609

1,69

1,911

5,4343

5,094283333

9

7,2

7

0,57

2,3

0,3249

5,29

1,311

4,9847

6,2879

10

5,7

5,5

-0,93

0,8

0,8649

0,64

-0,744

4,2355

4,729909091

11

6,2

5

-0,43

0,3

0,1849

0,09

-0,129

4,4852

4,10296

12

8,5

5

1,87

0,3

3,4969

0,09

0,561

5,6341

3,87318

13

6,5

6,5

-0,13

1,8

0,0169

3,24

-0,234

4,6351

5,786907692

14

2

2

-4,63

-2,7

21,4369

7,29

12,501

2,3873

0,80635

15

5,3

5

-1,33

0,3

1,7689

0,09

-0,399

4,0356

4,19288

16

9,2

5

2,57

0,3

6,6049

0,09

0,771

5,9837

3,80326

17

5,2

2,5

-1,43

-2,2

2,0449

4,84

3,146

3,9857

0,90572

18

7,4

4

0,77

-0,7

0,5929

0,49

-0,539

5,0846

2,72885

19

5,4

3

-1,23

-1,7

1,5129

2,89

2,091

4,0856

1,638133333

20

8,2

5,5

1,57

0,8

2,4649

0,64

1,256

5,4842

4,502872727


 

 

 

6. Определить параметры  уравнения прямой регрессии  по формулам

=0.49951

=1.3882

Нанести прямую регрессии на график поля корреляции.

7. Оценить качество уравнения  регрессии с помощью средней  ошибки аппроксимации, характеризующей  различие между фактическим значением  и расчетным по уравнению регрессии

=24,48%

Качество уравнения регрессии  нельзя считать хорошим, так как ошибка аппроксимации превышает 8-10 %.

8. Степень тесноты связи  между переменными можно оценить  по величине коэффициента корреляции (шкала Шедока): 0,5<r<0,75- связь средняя.

9. Так как исходные  данные являются выборочными,  необходимо оценить значимость  величины коэффициента корреляции. Для этого выдвинем нулевую  гипотезу о незначимости коэффициента  корреляции.

H0={r=0}

Для проверки нулевой гипотезы использовать t-критерий Стьюдента. Расчетное значение t-критерия

=3.8838

Критическое значение критерия tкр =2.1 из таблицы распределения Стьюдента при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы v = 18.

tрасч > tкр, нулевая гипотеза отклоняется и коэффициент корреляции значим.

Таблица 3-Дополненная корреляционная таблица.

i

xi

yi

Yi

(yi-Yi)2

1

7,9

5,5

5,28

0,046837

2

10,1

6,5

6,38

0,014182

3

9,4

7

6,03

0,937488

4

8,3

4,5

5,48

0,966476

5

6,5

2,5

4,59

4,348389

6

3

3,5

2,84

0,436226

7

3,5

2,5

3,09

0,346826

8

8,1

6

5,38

0,380272

9

7,2

7

4,93

4,266581

10

5,7

5,5

4,19

1,72594

11

6,2

5

4,44

0,318499

12

8,5

5

5,58

0,339717

13

6,5

6,5

4,59

3,666156

14

2

2

2,34

0,116103

15

5,3

5

3,99

1,026706

16

9,4

5

6,03

1,064529

17

5,4

2,5

4,04

2,361182

18

7,6

4

5,13

1,28583

19

5,6

3

4,14

1,291339

20

8,4

5,5

5,53

0,001087

 

134,6

94

94

24,94037

Средние

6,73

4,7

4,7

1,247018


 

Статистическая значимость коэффициента регрессии также проверяется  с использованием t-критерий Стьюдента, при этом расчетное значение критерия

=2.9392

где =0.1699

Сравнивая tрасч > tкр, нулевая гипотеза отклоняется и коэффициент корреляции значим.

 

10. Статистическая надежность  линейного уравнения регрессии  проверяется с использованием  критерия F-Фишера. Расчетное значение F-критерия находится по формуле

=15.0842

Критическое значение критерия Fкр =3,59153 из таблицы распределения Фишерадента при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы и   k= 2 и k2=17 , k – число параметров при переменных Х.

 Fрасч > Fкр, уравнение регрессии статистически значимое или надежное.

Вывод:

На уровне значимости α=0,05:Между переменными х и у существует статистически значимая связь линейного вида Yx= 1.3882+ 0.49951, теснота связи средняя, коэффициент корреляции положителен, коэффициент при х значим. Ее можно использовать для предсказания значений Y при иных значениях Х.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

1)С помощью этой  работы я научился группировать несгруппированный статистический ряд, вычислять оценки числовых характеристик(мат.ожидание,дисперсия,ско), выдвигать и проверять гипотезы об асимметрии и эксцессе с помощью критериев Колмогорова и Пирсона.

2)Построил график зависимости (точечную диаграмму) по которой подобрал модель уравнения регрессии.

3)Рассчитал параметры уравнения регрессии методом наименьших квадратов. 

4)Оценил качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

5) Оценил по величине коэффициента корреляции (шкала Шедока) степень тесноты связи .

6)Оценил качество коэффициента корреляции и регрессии с помощью критерия Стьюдента.

7) Проверил надежность линейного уравнения регрессии с использованием критерия F-Фишера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

1. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. 7-е. Год выпуска: 2001. Издательство: Высшая школа, Количество страниц: 400 .

2. Методические указания к выполнению курсового проекта по дисциплине

«Вероятность и статистика» .