Статистические методы. 2

Введение

Понятие «управление качеством» как наука возникло в конце 19-го сто-

летия, с переходом промышленного производства на принципы разделения труда. Принцип разделения труда потребовал решения проблемы взаимозаменяемости и точности производства. До этого при ремесленном способе производстве продукции обеспечение точности готового продукта производилось по образцам или методами подгонки сопрягаемых деталей и узлов. Учитывая значительные вариации параметров процесса, становилось ясно, что нужен критерий качества производства продукции, позволяющий ограничить отклонения размеров при массовом изготовлении деталей.

Следует отметить, что с  развитием научных систем управления качеством роль статистических методов  в управлении качеством непрерывно возрастает. Именно широкое применение в производстве продукции статистических методов на первых этапах борьбы за качество (50-е годы) позволило японским предприятиям очень быстро выйти  в лидеры мировой экономики.

Конкурентоспособность российских предприятий будет так же во многом зависеть от масштаба обучения персонала  методам статистического управления качеством и их систематического применения на практике.

С момента зарождения статистических методов контроля качества специалисты понимали, что качество продукции формируется в результате сложных процессов, на результативность которых оказывают влияние множество материальных факторов и ошибки работников. Поэтому для обеспечения требуемого уровня качества нужно уметь управлять всеми влияющими факторами, определять возможные варианты реализации качества, научиться его прогнозировать и оценивать потребность объектов того или иного качества.

Используемые в сегодняшней  практике предприятий статистические методы можно подразделить на следующие категории:

  - методы высокого  уровня сложности, которые используются  разработчиками систем управления  предприятием или процессами. К  ним относятся методы кластерного  анализа, адаптивные робастные  статистики и др.,

- методы специальные, которые используются при разработке операций технического контроля, планировании промышленных экспериментов, расчетах на точность и надежность и т.д.,

   - методы общего  назначения, в разработку которых  большой вклад внесли японские  специалисты. К ним относятся «Семь простых методов» (или «Семь инструментов качества.

Наибольшее распространение в управлении качеством  (под влиянием японских специалистов) получили семь простых методов, применение которых не требует высокой квалификации персонала и позволяет охватить анализ   причины большинства    возникающих на производстве дефектов. К ним относятся :

 

1. Гистограммы
2. Временные ряды
3. Диаграммы Парето
4. Причинно-следственные диаграммы
5. Контрольные листы
6. Контрольные карты
7. Диаграммы рассеяния

В настоящее время по статистическим методам имеется обширная литература и пакеты прикладных компьютерных программ, по разработке которых отечественные  научные школы по теории вероятностей занимают ведущее место в мире.

В этой курсовой работе применяется часть из семи простых методов, которая будет использоваться для решения практических задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 1 Построение причинно-следственной диаграммы  и диаграммы               Парето

1.1 Теоретическая  часть

Американское научное  влияние на совершенствование систем обеспечения качества привело к созданию японской научной школы в области качества,  среди представителей которых следует,  прежде всего,   отметить К.Исикаву и Г.  Тагути,  внесших большой вклад в развитие статистических методов в управлении качеством.  Так Каору Исикава впервые в мировой практике предложил оригинальный графический метод анализа причинно-следственных связей, получивший название  «диаграммы Исикава». Сегодня практически    невозможно найти такую область деятельности по решению проблем качества, где бы ни применялась диаграмма Исикавы [1] .

Диаграмма служит для графического изображения взаимосвязи показателя качества продукции со всеми возможными причинами.

Причинно-следственная диаграмма  или диаграмма Исикавы является графическим изображением, которое в сжатой форме и логической последовательности распределяет причины.

Основная цель диаграммы – выявление влияния причин на всех уровнях технологического процесса.

Главным достоинством является наглядное представление не  только о тех факторах, которые влияют на изучаемый объект, но и о причинно-следственных связях этих факторов [3].

При  построении диаграммы Исикавы следует выбрать один показатель качества или одно из следствий, которые необходимо проконтролировать, и поместить его справа в конце горизонтальной линии. Основные группы причин распределяются тогда как рыбий скелет, отдельные причины стрелками указывают на основную причину (подводят большие первичные стрелки, обозначающие главные факторы, влияющие на объект анализа).

Далее к каждой первичной  стрелке необходимо подвести стрелки  второго порядка, к которым, в  свою очередь подводят стрелки третьего порядка и т. д. до тех пор, пока на диаграмму не будут нанесены все  стрелки, обозначающие факторы, оказывающие  заметное влияние на объект анализа  в конкретной ситуации. Каждая из стрелок, нанесенная на схему, должна представлять собой  в зависимости от ее положения  либо причину, либо следствие: предыдущая стрелка по отношению к последующей всегда выступает как причина, а последующая как следствие. В каждую границу факторов включаются конкретные причины, которые можно проконтролировать и принять мероприятия по их устранению. Схема построения диаграммы показана на рисунке 1:

Рисунок 1.1 - Схема построения диаграммы Исикавы

Диаграмма Парето применяется практически в любых областях деятельности. Японский союз ученых и инженеров в 1979 г. включил диаграмму Парето в состав семи методов контроля качества. 
             Диаграмма Парето - инструмент, позволяющий выявить и отобразить проблемы, установить основные факторы, с которых нужно начинать действовать, и распределить усилия с целью эффективного разрешения этих проблем [2].

  Различают два вида диаграмм Парето:

 

1. по результатам деятельности - предназначена для выявления главной проблемы нежелательных результатов деятельности;

2.по причинам - используется для выявления главной причины                                      проблем, возникающих в ходе производства.

              

   Существуют некоторые правила построения диаграммы Парето:

 

1. Решить, какие проблемы (причины проблем) надлежит исследовать, какие данные собирать и как их классифицировать.
2. Разработать формы для регистрации исходных данных (например, контрольный листок).
3. Собрать данные, заполнив формы, и подсчитать итоги по каждому исследуемому фактору (показателю, признаку).
4. Для построения диаграммы Парето подготовить бланк таблицы, предусмотрев в нем графы для итогов по каждому проверяемому фактору в отдельности, накопленной суммы числа появлений соответствующего фактора, процентов к общему итогу и накопленных процентов.
5. Заполнить таблицу, расположив данные, полученные по проверяемому фактору, в порядке убывания значимости.
6. Подготовить оси (одну горизонтальную и две вертикальные линии) для построения диаграммы. Нанести на левую ось ординат шкалу с интервалами от 0 до общей суммы числа выявленных факторов, а на правую ось ординат - шкалу с интервалами от 0 до 100, отражающую процентную меру фактора. Разделить ось абсцисс на интервалы в соответствии с числом исследуемых факторов или относительной частотой.
7. Построить столбиковую диаграмму. Высота столбца (откладывается по левой шкале) равна числу появлений соответствующего фактора. Столбцы располагают в порядке убывания (уменьшения значимости фактора). Последний столбец характеризует "прочие", т. е. малозначимые факторы, и может быть выше соседних.
8. Начертить кумулятивную кривую (кривую Парето) - ломаную, соединяющую точки накопленных сумм (количественной меры факторов или процентов). Каждую точку ставят над соответствующим столбцом столбиковой диаграммы, ориентируясь на его правую сторону.
9. Нанести на диаграмму все обозначения и надписи.
10. Провести анализ диаграммы Парето.

 

1.2 Практическая часть 

Построить причинно-следственную диаграмму качества подготовки инженера в РГРТУ. Провести недельный (семестровый) хронометраж личного учебного времени  с учетом научной организации  труда студента. Выполнить анализ аудиторных занятий, физической нагрузки, самостоятельной работы, личного времени с использованием диаграммы Парето.

Пункт 1.

Построим причинно-следственную диаграмму качества подготовки инженера в РГРТУ. Для этого воспользуемся программой «STATISTICA».

Проанализировав данные и  подобрав первичные, вторичные и  третичные факторы, построим диаграмму  Исикавы. Она изображена на рисунке 1.2.1.

 

Рисунок 1.2.1 - Диаграмма Исикавы

Пункт 2.

Проведем анализ недельного хронометража  личного учебного времени с учетом научной организации труда студента.

Понимание важности хорошо организованного режима труда и  отдыха основано на закономерностях  протекания биологических процессов  в организме. 
            Человек, соблюдая устоявшийся и наиболее целесообразный режим жизнедеятельности, лучше приспосабливается к течению важнейших физиологических процессов. В том случае, если резервы нашей адаптации исчерпываются, мы начинаем испытывать дискомфорт, утомляемость, а то и заболеваем. Следовательно, необходимо вести четко организованный образ жизни, соблюдать постоянный режим в учебном труде, отдыхе, питании, сне и заниматься физическими упражнениями. При ежедневном повторении обычного уклада жизни, довольно быстро между этими процессами устанавливается взаимосвязь, закрепленная цепью условных рефлексов.            Благодаря этому физиологическому свойству предыдущая деятельность является как бы толчком к последующей, подготавливая организм к легкому и быстрому переключению на новый вид деятельности, что обеспечивает ее лучшее выполнение.

Режим дня — нормативная основа жизнедеятельности для всех студентов. В то же время он должен быть индивидуальным, т.е. соответствовать конкретным условиям, состоянию здоровья, уровню работоспособности, личным интересам и склонностям студента. Важно обеспечить постоянство того или иного вида деятельности в пределах суток, не допуская значительных отклонений от заданной нормы. Режим будет реальным и выполнимым, если он динамичен и строится с учетом непредвиденных обстоятельств.

Необходимо проанализировать затраты учебного, вне-учебного и свободного времени в соответствии с приведенными гигиенически допустимыми нормами. В соответствии с ними суточный бюджет времени студента состоит из двух половин: 12 ч учебных занятий (6 ч аудиторных и 4—6 ч самостоятельных) и 12 ч, отведенных на восстановление организма (сон, отдых, самообслуживание) и личностное развитие (занятия по интересам, общественная деятельность, бытовое и дружеское общение, физическая культура и спорт). Воскресные дни содержат 12 ч резервных (вместо времени, затрачиваемого на учебную деятельность). Затем следует распределить разные виды деятельности в пределах конкретного дня, установить постоянную последовательность и правильное чередование труда и отдыха, общий распорядок дня в зависимости от сменности и учебного расписания. 
             Составим недельный хронометраж личного учебного времени (таблица 1.2.1):

 

Таблица 1.2.1- Недельный хронометраж личного учебного времени

По таблице 1.2.1 просматривается, что я не достаточно уделяю времени на самоподготовку, так как уделяю ей только 16ч. Поэтому следует подкорректировать свой распорядок дня, чтобы как можно больше заниматься самообразованием. Поскольку я дополнительно обучаюсь на факультете переподготовки специалистов, следовательно, время, которое могло бы быть отведено на самостоятельную работу тратится на посещение дополнительных занятий. Количество часов самостоятельного обучения возможно увеличить за счет перераспределения времени, затрачиваемого на отдых, и более рационального его использования.

 

 

Пункт 3.

Построение диаграммы  Парето.

Для построения диаграммы воспользуемся таблицей 1.2.1 и выберем наиболее влияющие факторы.

Рисунок 1.2.2 - Диаграмма Парето

Из полученной диаграммы видно, что наиболее влияющим фактором является столбец «Основное образование». Он занимает основное количество времени.

 Фактор «Интернет» можно рассмотреть как и с отрицательной стороны, так и с положительной стороны. Это объясняется тем, что много времени можно проводить в социальных сетях, а можно проводить его с пользой ( например, посещать сайты электронных библиотек). Чтобы уменьшить влияние отрицательной стороны этого фактора на учебный процесс, нужно меньше времени уделять развлекательным сайтам.

 

1.3 Библиография

1. Учебное пособие./ В.В.Ефимов−Ульяновск: УлГТУ, 2003.

2. Федюкин, В. К. Управление качеством процессов / СПб.: Питер, 2005.

3. Исикава К. Японские методы управления качеством / Сокр.пер. с англ. / Под. Ред. А. В. Гличева. - М: Экономика, 1988

 

 

2 Анализ ряда данных с помощью гистограммы и расчет       числовых характеристик закона распределения.

 

2.1 Теоретическая  часть

 

Среди числовых характеристик  случайных величин нужно, прежде всего, отметить те, которые характеризуют  положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывают некоторое  среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все  возможные значения случайной величины.

 Мода - это наиболее часто повторяющееся значение величины X в статистической совокупности. Она показана на рисунке 2.1.1 .

Рисунок 2.1.1 - Мода

Если X задан дискретно, то мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой. В статистической совокупности бывает 2 и более моды, тогда она считается бимодальной (если моды две) или мультимодальной (если мод более двух), и это свидетельствует о неоднородности совокупности.

Медианой Me(x) случайной величины называется такое её значение, для которого

P(X < Me(X)) = P(X > Me(X)) = ½ [3].    (2.1.1)

т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше . Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам. Это показано на рисунке 2.1.2.

 

Рисунок 2.1.2 - Медиана

Дисперсией случайной  величины называется число   (другие распространенные обозначения:  , равное

                                                                      (2.1.2)

если   - дискретная случайная величина, и

                                                                       (2.1.3)

если   - непрерывная случайная величина.

Дисперсия характеризует  средний квадрат отклонения случайной  величины от своего математического ожидания [2].

Математическим  ожиданием (средним значением, первым моментом) случайной величины дискретным распределением, задаваемым таблицей , где называется число

(2.1.4)

 

 

если данный ряд абсолютно сходится, т.е. если  . В противном случае говорят, что математическое ожидание не существует[4].

 Средняя арифметическая: , (2.1.5)

                    

 где x_i – варианты дискретного ряда или середины интервалов.

Вариационный размах – разность между наибольшей и наименьшей вариантой:  

                                                                          (2.1.6)

                                       

Среднее квадратическое отклонение: .                      (2.1.7)                                        

Начальный момент k-го порядка: .                 (2.1.8)

.                                   

Центральный момент k-го порядка: .     (2.1.9)

                       

Асимметрия:   .                               (2.1.10)

                                                     

Эксцесс: .                            (2.1.11)

                                               

      2.2 Практическая часть

Проанализировать ряд  данных с помощью гистограммы  и рассчитать числовые характеристики закона распределения: начальные и  центральные моменты, мода, медиана, квартили, децили, перцентили, и др. Для нормального распределения  рассчитать вероятность выхода за пределы  с помощью таблиц и функции  Гаусса и Лапласа 2011г. ФАИТУ: РЯ.

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходные данные :

              Таблица 2.2.1 – Исходные данные

 

 

                                                

 

Проранжируем исходные данные:

             Таблица 2.2.2

 

 

Пункт 1.

Проанализировать ряд  данных с помощью гистограммы. Для этого воспользуемся программой «STATISTICA».

Рисунок 2.2.1 – Гистограмма

По гистограмме видно, что малая часть учащихся набрали  от 40-50, что означает среднюю подготовку к экзамену. Наибольшее количество абитуриентов набрали от 60-70 баллов.

Пункт 2

Вычислить числовые характеристики закона распределения. Для этого  воспользуемся формулами, данными  в теоретической части.

Таблица 2.2.3

 
Таблица 2.2.4

                                Таблица 2.2.5

                                          Таблица 2.2.6

квартель 1-й	квартель верхний 3-й
60,25	180,75
(63 балла)	(76 балла)

 

                                         Таблица 2.2.7

перцентиль(10)	перцентиль (90)
60	84

 

                                                       

Таблица 2.2.8

                            Таблица 2.2.9

 

Пункт 3. Функции Гаусса и  Лапласа.

 

 
Рисунок 2.2.2 – функция Гаусса

 
Рисунок 2.2.3 – функция Лапласа

Коэффициент вариации высок (<54%). Эксцесс положительный, т.е. полигон вариационного ряда имеет более крутую вершину по  сравнению с нормальной кривой. Значение коэффициента ассиметрии положительное, это говорит о правосторонней ассиметрии.

 

2.3 Библтография

 

3. Теория вероятностей и математическая статистика.  Кремер Н.Ш. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юнити-Дана, 2004.
4. Теория вероятностей. Математическая статистика.  Бочаров П.П., Печинкин А.В. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2005.

 

 

3 Корреляционный  анализ

1. Теоретическая часть

 

Корреляционный анализ есть метод установления связи и измерения  ее тесноты между наблюдениями, которые  можно считать случайными и выбранными из совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.

Корреляционной связью называется такая статистическая связь, при  которой различным значениям  одной переменной соответствуют  разные средние значения другой. Возникать  корреляционная связь может несколькими  путями. Важнейший из них - причинная  зависимость вариации результативного  признака от изменения факторного. Кроме того, такой вид связи  может наблюдаться между двумя  следствиями одной причины. Основной особенностью корреляционного анализа  следует признать то, что он устанавливает  лишь факт наличия связи и степень  ее тесноты, не вскрывая ее причин.

В статистике теснота связи  может определяться с помощью  различных коэффициентов (Фехнера, Пирсона, коэффициента ассоциации и т.д.), а в анализе хозяйственной деятельности чаще используется линейный коэффициент корреляции [7].

Коэффициент корреляции между  факторами x и у определяется следующим образом:

Таким же образом вычисляется  коэффициент корреляции между факторами  в двухфакторной регрессионной  модели вида у = ах + b, a также при любой другой форме связи между двумя показателями.

Значения коэффициента корреляции изменяются в интервале [-1; + 1]. Значение r = -1 свидетельствует о наличии  жестко детерминированной обратно  пропорциональной связи между факторами, r = +1 соответствует жестко детерминированной  связи с прямо пропорциональной зависимостью факторов. Если линейной связи между факторами не наблюдается, r 0. Другие значения коэффициента корреляции свидетельствуют о наличии стохастической связи, причем, чем ближе |r| к единице, тем связь теснее[5]. 
           Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными. В первом случае предполагается, что мы можем определить только наличие или отсутствие связи, а во втором — также и ее направление. Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. При этом коэффициент корреляции будет отрицательным. Положительная корреляция в таких условиях — это такая связь, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной. Возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для независимых случайных величин.

Метод вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы, к  которой относятся переменные: 

• Переменные с интервальной и с номинальной шкалой: коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). 
• По меньшей мере, одна из двух переменных имеет порядковую шкалу либо не является нормально распределённой: ранговая корреляция по Спирмену или т (тау) Кендала. 
• Одна из двух переменных является дихотомической: точечная двухрядная корреляция. Эта возможность в SPSS отсутствует. Вместо этого может быть применён расчёт ранговой корреляции. 
• Обе переменные являются дихотомическими: четырёхполевая корреляция. Данный вид корреляции рассчитываются в SPSS на основании определения мер расстояния и мер сходства.

Линейный коэффициент  корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона) [7]:

  (3.1.1)

 

3.2 Практическая часть

Провести корреляционный анализ данных по варианту Русский язык и математика №№101-300 (ФАИТУ).

 Исходные данные:

                  Таблица 3.2.1 – Исходные данные

 
            

 

Первый способ

Медиана для данных Х (№  101-300, русский язык): М_Е=79;

Медиана для данных У (№ 101-300, математика): М_Е=68.

 

 

Рисунок 3.2.1 -  Диаграмма рассеивания

n(+)=4;

n(-)=15;

K=n(+) + n(-)=-9;

α=0,05;

4 < 15, следовательно, присутствует обратная корреляция.

 

 

 

Вычислим коэффициент  корреляции:

r = S(xy)/ ;

S(xx) = ;

S(yy) = ;

S(xy) = ;

= 77,9;

= 69,3;

S(xx) = 2072,7

S(yy) = 678,3

S(xy) = -283,1

r = -283,1/  = - 0,24

Так как r = -0,24, то существует некоторая обратная корреляция.

 

 

 

Второй способ

Средняя линия русский язык - 78

Средняя линия математика -69

Рисунок 3.2.2 -  График значений по математике

Рисунок 3.2.3 -  График значений по русскому языку

 

n₍₊₎=13 + 3/2=14.5      n_(-)=17+3/2=18.5

 

k=7.5+9.5=33   

Коэффициент корреляции  мал. Следовательно, выборочные случайные величины слабо зависят друг от друга, значит исход величины X практически не влияет на исход величины Y.

 

 

3.  Библиография
5. В.В. Ковалев, О.Н. Волкова. Анализ хозяйственной деятельности предприятия «Корреляционный анализ» 1999г.
6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. — 10-е издание, стереотипное. — Москва: Высшая школа, 2004.
7. Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. Эконометрия. — Новосибирск: СО РАН, 2005.

 

 

4 Оперативные характеристики

4.1 Теоретическая  часть

 Оперативная характеристика  показывает вероятность принятия  партии в зависимости от действительной  доли дефектных единиц продукции  этой партии.

Оперативную характеристику следует учитывать при выборе плана контроля, особенно в случае, когда важным является риск потребителя  и поставщика во время отдельных  приемок[8].

Под планом статистического  контроля будем понимать   систему правил, указывающих методы отбора изделий для проверки, и условия, при которых партию следует  принять, забраковать или продолжить контроль. Различают следующие  виды планов статистического контроля партии продукции по альтернативному признаку: одноступенчатые, двухступенчатые, многоступенчатые и последовательный контроль.

Одноступенчатые планы,  согласно которым если  среди n случайно отобранных изделий число дефектных m окажется не  больше приемочного числа с (m ≤ c), то партия принимается; в противном случае партия бракуется.

Двухступенчатые планы,  согласно которым, если среди  n1  случайно отобранных  изделий  число дефектных m1 окажется не больше приемочного  числа с1 (m ≤ c1), то партия принимается; если m1 ≥ d1, где d1 -  браковочное число, то партия бракуется. Если  же с1 < m1 < d1, то принимается решение о взятии второй выборки объемом n2. Тогда если суммарное число дефектных изделий в двух выборках (m1 + m2) ≤ c2, то партия принимается, в противном случае партия бракуется по данным двух выборок.

Многоступенчатые планы  являются логическим продолжением двухступенчатых планов. Первоначально  берется выборка объемом n1 и определяется число    дефектных изделий m1.  Если m1  ≤  c1,  то  партия принимается. Если m1 ≥ d1 (d1 > c1 + 1), то партия бракуется. Если  же с1 < m1 < d1, то принимается решение о взятии второй выборки  объемом n2.  Пусть среди n1 + n2   изделий имеется m2 дефектных. Тогда  если m2 ≤ c2, где с2 – второе приемочное число, то партия принимается; если m2 ≥ d2 (d2 > c2 + 1), то партия бракуется. При с2 < m2 < d2  принимается решение   о взятии третьей выборки. В дальнейшем контроль проводится по аналогичной схеме, за исключением последнего k – го шага, при котором если mk ≤ ck, то партия принимается, если же mk > ck, то партия бракуется. При этом обычно принимается, что объем выборок одинаков.