Статистические методы планирования эксперимента

ВВЕДЕНИЕ

Статистические методы планирования активного эксперимента являются одним из эмпирических способов получения математического описания статики сложных объектов исследования, т. е. уравнения связи отклика  объекта у и независимых управляемых нормированных входных переменных (факторов)

Целью работы является изучение методов  планирования экспериментов для  получения неполных степенных математических моделей статики сложных объектов, а также процедуры применения метода случайного баланса, предназначенного для выделения наиболее существенных входных переменных среди большого числа линейных факторов и их парных взаимодействий в многофакторном объекте.

Задание на курсовую работу

1 Изучить методические указания к выполнению курсовой работы.

2  Используя МСБ, выделить наиболее существенные входные переменные (факторы) среди заданного числа линейных факторов в многофакторном объекте и провести их статистическое оценивание. В ходе выполнения работы необходимо выполнить следующее.

2.1  В соответствии с вариантом задания и исходными данными составить матрицу планирования для МСБ из 16 строк

2  Используя схему методики проведения эксперимента для МСБ, снять необходимую выборку с соответствующими значениями входных факторов при помощи программы "Моделирование объектов".

2.3  Проверить воспроизводимость результатов эксперимента.

2.4  С помощью диаграмм рассеяния выделить, используя процедуру стабилизации, четыре наиболее существенных фактора способом вкладов После каждой стабилизации производить проверку условия малости вкладов по t-критерию Стьюдента.

2.5  По правилу, учитывающему вид диаграмм рассеяния основных факторов, выбрать 3 наиболее существенных парных взаимодействия и построить для них диаграмму рассеяния.

2.6  Получить математическую модель, предполагаемого объекта исследования и проверить статистическую значимость всех полученных

оценок коэффициентов  уравнения регрессии (выявить факторы, оказывающие влияние на отклик).

 2.7  Проверить адекватность полученной неполной квадратичной  
модели.

3  Для выделенных при помощи МСБ наиболее существенных факторов идентифицировать в зависимости от варианта задания методом полного факторного эксперимента (количество факторов n = 3) неполную степенную  математическую модель предполагаемого объекта исследования.

В процессе идентификации необходимо выполнить следующее.

3.1  В соответствии с вариантом задания и исходными данными  
составить требуемую матрицу планирования.

3.2  Используя схему методики проведения эксперимента, снять необходимую выборку с соответствующими значениями входных факторов при помощи программы "Моделирование объектов"

3.2.1  Для ПФЭ провести по m = 5 серий параллельных измерений отклика y в соответствии с составленным планом ПФЭ типа 2³ с центром в точке

3.3  Проверить воспроизводимость результатов эксперимента.

3.4  Получить математическую модель, предполагаемого, объекта исследования и проверить статистическую значимость всех полученных оценок коэффициентов уравнения регрессии (выявить факторы, оказывающие влияние на отклик).

3.5  Проверить адекватность математического описания.

 Исходные данные для проектирования

2 Выделение  существенных входных переменных  сложного объекта при помощи  метода случайного баланса

Основная идея метода заключается  в том, что вместо дробных реплик, которые представляют собой систематические  ортогональные выборки из ПФЭ, берутся  случайные выборки. Тогда вектор-столбцы  матрицы планирования можно считать  не коррелированными или слабо коррелированными друг с другом. Совместные оценки оказываются  смешанными случайным образом. Появляется возможность с высокой надежностью  выделить и независимо оценить все  доминирующие переменные.

2.1 Составление  матрицы планирования

Построение матрицы планирования для проведения отсеивающих опытов выполняют на основе предпосылки, что  исследуемые факторы должны быть смешаны случайным образом. Все  линейные факторы z_i (i=l, 2, ..., n) разбивают на группы. Для этого предварительно составляют пронумерованный список факторов, а затем с помощью таблицы случайных чисел или компьютерной программы для реализации процесса рандомизации каждому фактору присваивают свой случайный порядковый номер, после чего, например, факторы под случайными номерами с 1 по 4 объединяют в первую группу, факторы под номерами с 5 по 8—во вторую и т. д. Затем для каждой группы составляют МП на основе ПФЭ. Все групповые МП должны иметь одинаковое количество строк, чтобы их можно было состыковать. Число N=2^p=16 строк каждой групповой матрицы. План отсеивающего эксперимента образуют путем стыковки групповых МП случайным смешиванием их строк.

 Имеем следующие матрицы  планирования:

2.2 Проведение эксперимента на  объекте исследования

Проведем  расчет целевой функции y=y1+y2 в соответствии с   составленным планом МСБ с центром в точке с координатами x_10....x₈₀ и интервалами варьирования Dx₁...Dx₈=10 при заданной случайной помехе и проведенных m=2 серий измерений откликов y1 и y2.

          Производим смешивание:

2.3 Проверка воспроизводимости эксперимента

Проводится аналогично ПФЭ.

Эмпирическое значение критерия Кохрэна . 

Табличное значение: G_табл=0,4546 при n₁=1 и n₂=16 и q =0,05.

G<G_кр, следовательно гипотеза об однородности дисперсий принимается.

Наилучшая оценка генеральной дисперсии  имеет вид: с числом степеней свободы n=N(m-1)=16*1=16.

2.4 Построение диаграммы рассеяния

Для уменьшения влияния помех и  получения оценки дисперсии воспроизводимости  выполняются параллельные опыты (m=2). Для каждого фактора проводится своя ордината. Слева от нее отмечаются точками те значения отклика у_g, которые соответствуют положению данного фактора на нижнем уровне варьирования z_ig=-1, а справа - для z_ig=+1 (i-номер фактора; g-номер строк МП).

2.5 Последовательное выделение наиболее существенных переменных

Находятся частные медианы - отдельно для случайного рассеяния точек слева от ординаты и отдельно для точек справа.

Выборочной оценкой медианы  для дискретных данных в математической статистике называется такое значение случайной величины у, по обе стороны которого лежат равные количества точек измерения у, независимо от их конкретных значений.

 Разность между медианой  справа  и медианой слева называется вкладом фактора z_i в целевую функцию у и обозначается (для взаимодействия ).

Визуальное и численное сравнение  вкладов дает возможность обнаружить наиболее существенные переменные: вклады для них являются наибольшими. Но в ряде случаев абсолютная величина вкладов не является достаточным  критерием наибольшей существенности переменных. Поэтому используют  коррелированность вектор - столбцов, наличие, число и характер выделяющихся точек n.

Чтобы исключить влияние наиболее существенных факторов с помощью  вкладов, их надо как бы «стабилизировать»  на одном из двух уровней варьирования. Визуальное оценивание и расчёт вкладов  с привлечением дополнительных критериев  показали, что самыми существенными  факторами являются  z₅ (B_z5 = 68,125) имеющий  наибольшую абсолютную величину вклада.

Выделение наиболее существенных переменных и их ранжирование производим с помощью  вкладов. Чтобы исключить влияние наиболее существенных факторов с помощью вкладов, эти факторы надо как бы "стабилизировать" на одном из двух уровней варьирования. Сначала выделяем z5 (Bz5 = 68,125 с 5 выделющимися точками). Стабилизация z₅ осуществляется вычитанием вклада со своим знаком из величины y_g в тех строках, где (при стабилизации z₄ на уровне ), т.е. с помощью формулы

,               

 где у_g – исходное (опытное) значение отклика в g-й строке исходной МП; – значение отклика в g-й строке после первой (индекс "I") корректировки (стабилизации); – вклад наиболее существенного нормированного фактора. Значение y_g на другом уровне варьирования ( ) остается при этом неизменным.        

      Результаты первой корректировки (стабилизации):

По  новым данным строим новую диаграмму рассеяния и уже по ней определяем следующую по рангу влияния переменную, имеющую наибольший вклад, после чего описанную процедуру повторяем.

Определяем  медианы, значения вкладов  и число  выделяющихся точек:

Выделяем  z3 (Bz3 =35,8). Проверяем значимость оценки с помощью критерия Стьюдента:

t>tтабл , следовательно оценка значима. Проводим стабилизацию по z3:

Строим  диаграмму рассеяния:

Определяем  медианы, значения вкладов  и число  выделяющихся точек:

Выделяем  z2 (Bz2 =44,5). Проверяем значимость оценки с помощью критерия Стьюдента:

T > tтабл, оценка значима. Проводим стабилизацию по z2:

Строим  диаграмму рассеяния по новым  данным:

Определяем  медианы, значения вкладов  и число  выделяющихся точек:

  Наиболее существенный фактор Bz1 (т.к. он обладает максимальным владом). Проверяем значимость оценки с помощью критерия Стьюдента:

t > tтабл, оценка значима.

2.6 Выделение наиболее существенных парных взаимодействий

По диаграмме рассеяния определяются три наиболее значимых парных взаимодействий. В связи с тем, что число  парных взаимодействий очень велико, пользуются следующим правилом отбора наиболее существенного парного  взаимодействия по виду диаграммы рассеяния  для основных факторов.

   Для нашего случая такими парными  взаимодействиями будут z₁z₇, z₂z₃, z₂z₇.

Матрица планирования для парного  взаимодействия z₁z₇: