Статистические методы управления качеством. 4

Содержание

   Введение…………………………………………………………………..…………..4

1. Теоретическая часть
1. Нормальный закон распределения…………………………………….....……..5
2. Гистограмма……………………………………………………………….……..7
3. Функция Лапласа и контрольные карты………………………………….…….8
2. Практическая часть

2.1 Проведение предварительного исследования состояния процесса и определение вероятной  доли дефектной продукции, индекса воспроизводимости…………………………………………………………………..9

   2.2 Вероятностная проверка на вид закона распределения………………………12

   2.3 Построение контрольных карт среднего значения и дисперсий……….……16

   Заключение……………………………………………………………………….…20

   Приложение №1………………………………………………………………..……21

   Приложение №2………………………………………………………………….….22

   Список  литературы…………………………………………………………………23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Методы  статистического контроля качества продукции давно используются в различных отраслях промышленности.

     Технологический процесс изготовления изделий содержит более или менее значительные ошибки случайного характера, то есть возникающие в результате влияния  непостоянно действующих факторов.  К ним  можно отнести, например, отклонения размеров деталей одного типового размера в границах допусков на параметры. При последующей сборке таких деталей в результате случайного неблагоприятного сочетания отклонений параметров, лежащих в границах своих допусков, может произойти существенное ухудшение качества изготавливаемого изделия. Такие ошибки следует отличать от систематических, которые возникают в результате неправильного выбора материалов, конструкции, неверных технологических предписаний.

     Процесс контроля изделий также содержит ошибки случайного характера. Например, при ручном контроле уставший контролер может не заметить дефект и отнести брак к годным изделиям.

     Для изучения случайных процессов привлекают методы статистики. Статистический контроль базируется на теории вероятностей.

1. Теоретическая часть

1.1 Нормальный закон распределения

     Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

     Нормальный  закон распределения также называется законом Гаусса.

     Нормальный  закон распределения занимает центральное  место в теории вероятностей. Это  обусловлено тем, что этот закон  проявляется во всех случаях, когда  случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры   и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

     Математическое  ожидание – это среднее значение, понятие теории вероятностей, важнейшая характеристика распределения значений случайной величины Х. В простейшем случае, когда Х может принимать лишь конечное число значений x1, x2, ..., xn с вероятностями p1, p2, ..., pn, мат ожиданием величины Х называется выражение: ЕХ = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn. 

     Дисперсия случайной величины характеризует  меру разброса случайной величины около  ее мат. ожидания. Если случайная величина x имеет мат ожидание Mx, то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )2.

     Функцию распределения F(x).

     График  плотности нормального распределения  называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

     График функции плотности распределения.

Рисунок №1

2.   Гистограмма

     Гистограмма – это инструмент, позволяющий зрительно определить закон распределения величин разброса данных и принять решение, на чем следует сфокусировать дальнейшее внимание с целью улучшения процесса.

     Рисунок№2

Определение гистограммы.

Пусть - выборка из некоторого распределения. Определим разбиение числовой прямой . Пусть

- число  элементов выборки, попавших в  i-й интервал. Тогда кусочно-постоянная функция , имеющая вид:

,

называется  гистограммой выборки  . Функция , задаваемая равенством

,

где , - называется нормализованной гистограммой. 
 
 
 

3. Функция Лапласа и контрольные карты

     Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x. Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

                         (3)

     Ниже  показан график нормированной функции Лапласа.

     Рисунок №3

     Контрольные карты — график изменения параметров выборки, обычно средних и среднеквадратичного отклонения.

     Контрольные карты впервые введены в 1924 году У. Шухартом с целью исключения отклонений, вызванных не случайными причинами, а при нарушении процесса обработки деталей (технологии обработки).

     Цель  построения контрольной карты  — выявление точек выхода процесса из устойчивого состояния для последующего установления причин отклонения и его устранения. Различают контрольные карты для количественно и качественного признаков. Для контроля по качественному признаку используют: -карты для подсчета числа дефектов на единицу товарной продукции;  -карты для подсчета числа дефектов на условную единицу. В обоих случаях исходным распределением является распределение Пуассона, если допустить, что последовательность дефектов имеет пуассоновский процесс.

2. Практическая часть

1. Проведение  предварительного исследования состояния процесса и определение вероятной  доли дефектной продукции, индекса воспроизводимости.

     К размеру скобы (25,980 мм) прибавляем отклонения, представленные в исходных данных, полученные результаты заносим в таблицу.

25,980 + 19,40/1000 = 25,9994

Таблица№1

     Находим  математическое ожидание:

                                                        (4)

р = 0,01

µ= 2599,523*0,01 = 25,99523

     Находим среднеквадратическое отклонение по следующей формуле:

                                                      (5)

S=

     Значения  μ и σ(S) позволяют определить долю дефектной продукции Р_деф на данной операции c применением функции Лапласа Ф(x): 

Р_деф =1-                                                            (6)

где D_верх= 26 – 0,005 = 25,995 мм,

      D_нижн = 26 – 0,019 = 25,981 мм. 

С учетом ранее принятой настройки измерительной  скобы на размер

равный 25,980 мм, добавляем к параметру μ в функции Лапласа это значение и определим по формуле№6 долю дефектной продукции. Значение функции Лапласа определяем в Приложении 1

Рдеф =1 -

1 – (-0,0120) + (-0,4881) = 1 + 0,0120 - 0,4881 = 0,524 

Тогда Р_деф =0,5239 или 52,4%

     Определим индекс воспроизводимости процесса Ср:

С_р =                                                           (7)

С_р =

     Поскольку С_р < 1, то данный техпроцесс по точности можно признать

неудовлетворительным. Это означает, что вариабельность данной технологической системы  не позволяет изготавливать болты  без брака. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.   Вероятностная проверка на вид закона распределения

     Проводим  упорядочение данных в совокупности, т.е. располагаем данные в порядке возрастания случайной величины.

 Таблица№2

Размах:

R = X_max – X_min                                                     (8)

26,00604 – 25,98245= 0,02359

• Число интервалов (n) равно 8
• Находим ширину столбца:

h=R/n,                                                            (9)

h=0,02359/8 = 0,002949

• Определяем границы каждого интервала:

   Xmin+ h=к к+ h=m ……………..c+ h= Xmax

1 граница  равна Xmin=25,98245

25,98245 + 0,002949 = 25,9854

25,9854+ 0,002949 = 25,98835

25,98835+ 0,002949 = 25,9913

25,9913+ 0,002949 = 25,99425

25,99425+ 0,002949 = 25,99719

25,99719+ 0,002949 = 26,00014

26,00014+ 0,002949 = 26,00309

26,00309+ 0,00353875= 26,00604 

В интервал 25,98245- 25,9854 попадает 8 значений

25,9854- 25,98835 попадает 13 значений

25,98835- 25,9913 попадает 6 значений

25,9913- 25,99425 попадает 14 значений

25,99425- 25,99719 попадает 20  значений

25,99719- 26,00014 попадает 21 значений

26,00014- 26,00309 попадает 8 значений

26,00309- 26,00604 попадает 10 значений  

     По  полученным данным строим гистограмму:

График №1

     Гистограмма имеет вид гистограммы “гребенки”. Из гистограммы видно, что большая часть продукции отклоняется от нормы на 17,19-20,14 мкм, частота отклонения составляет 0,21.

Выдвигаем 2 гипотезы:

H₀ – случайная величина распределена по нормальному закону

H₁ – случайная величина распределена не по нормальному закону

Математическое  ожидание:

µ= 2599,523*0,01 = 25,99523

                                                           (10)

σ=0,006295676

p_i=Ф[(β-μ)/σ] – Ф[(α-μ)/σ]                                          (11)

     Расчет попадания случайной величины в разряд.

Табица №3

∑p=0,9366

                                                             (12)

Таблица №4

 
       Вероятность, с  которой гипотезу Н₀ следует считать правдоподобной  при вычисленном значении критерия Пирсона Х² и при числе степеней свободы k, в программе MatLab, с помощью команды:

Р= 1 – chi2cdf(X²,k)                                               (13)

     K= 8-3=5

     P= 1 – chi2cdf(0.164289,5)

     P= 0,9995  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Построение  контрольных карт среднего значения и  дисперсий

     100 значений разбиваем на 10 групп  по 10 значений в каждой.

Таблица №5

Построение  карты  среднего значения (Х  – карты)

1. Находим среднее значение для каждой группы по формуле:

,     где                                                   (14)

- среднее значение,

n- количество  значений.

Таблица№6

2. Находим по формуле:

                                                            (15)

= 259,9523\10 =25,99523

25,99523– центральная граница

3. Находим верхнюю и нижнюю границы.

UCL = + A₂*                                                 (16)

LCL = + A₂* ,                                             (17)

где А₂ – коэффициент для вычисления линии контрольных карт

Коэффициенты  для вычисления линий контрольных карт берем в  Приложении 2.

Находим , по формуле №8

Таблица №7