Статистические ряды распределения. 4

Введение

     Актуальность  исследования обусловлена тем, что  актуальность работы состоит в том, что именно с помощью статистических рядов в статистике характеризуют изменения изучаемых экономических явлений.

     Статистика  необходима для изучения количественных явлений посредством цифр. Она предоставляет необходимый цифровой банк данных. Статистика должна давать не произвольный материал, а те данные, которые ясно и понятно характеризуют различные явления. Определяющее значение статистики вытекает из того, что вся информация, имеющая значимость как для государства, так и для физических и юридических лиц и собираемая путем бухгалтерского или оперативного учета, в конечном счете обрабатывается и анализируется с помощью статистики. Исходные методологические принципы для построения основных показателей во всех видах учета являются едиными. Статистические ряды распределения являются одним из наиболее важных элементов статистики. Они представляют собой составную часть метода статистических сводок и группировок, но по сути ни одно из статистических исследований невозможно произвести, не представив первоначально полученную в результате статистического наблюдения информацию в виде статистических рядов распределения. Первичные данные обрабатываются в целях получения обобщенных характеристик изучаемого явления по роду существенных признаков для дальнейшего осуществления анализа и прогнозирования; производится сводка и группировка; статистические данные оформляются с помощью рядов распределения в таблицы, в результате чего информация представляется в наглядном рационально изложенном виде, удобном для использования и дальнейшего исследования; строятся различного рода графики для наиболее наглядного восприятия и анализ информации. На основе статистических рядов распределения вычисляются основные величины статистических исследований: индексы, коэффициенты; абсолютные, относительные, средние величины и т.д., с помощью которых можно проводить прогнозирование, как конечный итог статистических исследований. Таким образом статистические ряды распределения являются базисным методом для любого статистического анализа. Понимание данного метода и навыки его использования необходимы для проведения статистических исследований.

     Цель  работы – статистическое исследование рядов распределения.

     Для реализации этой цели поставлены следующие задачи: дать понятие и классификацию рядов распределения, изучить сопоставимость уровней ряда распределения - основные предпосылки его анализа, аналитические и средние показатели ряда распределения, статистические подходы к изучению рядов распределения.

     Предмет исследования – ряды распределения. Работа выполнена на основе нормативно-правовых актов РФ и трудов отечественных авторов в области рядов распределения. Методологической основой исследования явились основные положения материалистической диалектики и логики в их единстве.

     Объект  исследования – различные предприятия РФ. 
 

      1. Статистические ряды распределения и их виды

     В результате обработки и систематизации первичных данных статистического наблюдения получают группировки, называемые рядами распределения. Статистические ряды распределения представляют собой упорядоченное расположение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному признаку. Различают атрибутивные и вариационные ряды распределения. Атрибутивный – это ряд распределения, построенный по качественным признакам. Он характеризует состав совокупности по различным существенным признакам [5, с.89].

          Атрибутивные ряды   образуются   по  качественным  признакам, которыми могут выступать занимаемая должность работников торговли, профессия,  пол,  образование  и т.д. 

                                                                                         Таблица 1

     Распределение работников предприятия по образованию.

     В данном    примере   группировочным   признаком   выступает образование работников  предприятия  (высшее,  среднее). Данные ряды  распределения   являются   атрибутивными,   поскольку варьирующий признак     представлен    не    количественными,    а качественными показателями.   Наибольшее  число составляют  работники со средним    образованием   (порядка   40%);   остальные   работники распределяются на группы по  данному  качественному  признаку:  со  средним специальным образованием - 25%; с неполным высшим - 20%; с высшим - 15%.

          Вариационные ряды   строятся   на   основе    количественного  группировочного  признака.  Вариационные ряды состоят из двух элементов: вариант и частот.

          Варианта -  это  отдельное   значение  варьируемого  признака, которое он принимает в ряду распределения.   Они могут быть положительными и отрицательными, абсолютными и относительными.   Частота - это численность отдельных вариант или каждой группы вариационного ряда.  Частоты,  выраженные в долях  единицы  или  в процентах к итогу,  называются частостями. Сумма частот называется объемом совокупности и определяет число элементов всей совокупности.

     Частости  – это частоты, выраженные в виде относительных величин (долях единиц или процентах). Сумма частостей равна единице или 100 %. Замена частот частостями позволяет сопоставлять вариационные ряды с разным числом наблюдений.

     Вариационные  ряды в зависимости от характера  вариации подразделяются на дискретные   (прерывные)   и   интервальные (непрерывные). Дискретные ряды  распределения  основаны   на дискретных (прерывных) признаках, имеющих только целые значения (например, тарифный разряд рабочих, число детей в семье).

          Интервальные ряды  распределения   базируются   на непрерывно  изменяющемся  значении признака,  принимающем любые (в том числе и дробные) количественные выражения,  т.е. значение признаков таких рядах задается в виде интервала.

     При наличии достаточно большого количества вариантов значений признака первичный ряд является труднообозримым, и непосредственное рассмотрение его не дает представления о распределении единиц по значению признака в совокупности. Поэтому первым шагом в упорядочении первичного ряда является его ранжирование – расположение всех вариантов в возрастающем (убывающем) порядке.

Для построения дискретного ряда с небольшим  числом вариантов выписываются все встречающиеся варианты значений признака , а затем подсчитывается частота повторения варианта . Ряд распределения принято оформлять в виде таблицы, состоящей из двух колонок (или строк), в одной из которых представлены варианты, а в другой - частоты.

Для построения ряда распределения непрерывно изменяющихся признаков, либо дискретных, представленных в виде интервалов, необходимо установить оптимальное число групп (интервалов), на которые следует разбить все единицы изучаемой совокупности.

      2. Показатели ряда  распределения

     Одной из важных задач анализа рядов  распределения является выявление  закономерности распределения, определения  ее характера и количественного выражения. Эта задача решается при помощи показателей, характеризующих форму, тип распределения.

     Кроме рассмотренных выше важной характеристикой  рядов распределения являются также моменты распределений [3, с.140].

     Моментом  распределения (Мк) называется средняя арифметическая из отклонений значений признака х от некоторой постоянной величины а в степени к. Порядок момента определяется величиной к. Эмпирический момент к-го порядка определяется по формуле (1)

       В зависимости от постоянной  величины а различают начальные,  центральные и условные моменты. Если а=0, то моменты называются начальными и определяются по формуле (2)

     В этом случае при к=0 получим начальный  момент нулевого порядка, который равен: (3) . При к=1 получим начальный момент первого порядка, который равен: (4) , при к=2 – начальный момент второго порядка, равный (5) , и т.д. Начальные моменты используются, в частности, при расчете дисперсии: 2=v2 – v12, откуда 2 =

     Условные  моменты используются для определения  дисперсий высоких степеней 2, 3, 4. Практически используются моменты первых четырех порядков. Если в качестве весов взять не частоты, а вероятности, то получим теоретические моменты распределения.

     Пример. Для установления процента естественной убыли товара произведено наблюдение за 100 равными по всему партиями товара; при этом наименьший процент естественной убыли оказался 3%, а наибольший — 13%. Определить интервальные группы.

     Если  имеется в виду выделить пять групп, то величина интервала составит:

     В результате этого образуются следующие интервальные группы по проценту естественной убыли товара и соответственно (в результате подсчетов данных наблюдения) в каждой группе окажется следующее количество партий товара (см. табл. 3):

Таблица 3

Группировка партий товаров по размерам естественной убыли

     Составными  элементами каждого вариационного  ряда являются два ряда чисел: 1) ряд вариантов и 2) ряд частот или частостей.

     Варианты  — отдельные числовые значения варьирующего признака.

     Частоты — это абсолютные числа, показывающие, сколько раз встречается та или иная варианта в данной совокупности или, иначе говоря, это абсолютное число единиц в каждой группе. Частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу, называются частостями.

     Так, в приведенном выше примере распределения  магазина ОАО «Перспектива» по числу рабочих мест в первой колонке показано число рабочих мест (1, 2, 3, 4, 5) — это расположены варианты, во второй колонке соответственно этим вариантам помещены частоты, а в третьей — частости.

     Вариационные  ряды широко используются в различного рода исследованиях, например при определении стандартов по качеству (или сортности) товаров. В испытаниях различных свойств товаров изучается, например, вариация количественных признаков (при проведении физико-механи-ческих испытаний на качество товаров, при определении допусков в стандартах и для установления границ при определении технических условий). Аттестация качества товаров указывается в его товарном ярлыке или паспорте.

     Кроме того, многие товары имеют сертификаты, удостоверяющие их качество. Нормы показателей качества товаров определяются в виде средней величины и часто приводятся с допускаемыми отклонениями. Иногда отклонения от нормы приводятся в виде указаний «не более» или «не менее». Отклонения количественных показателей товара от этих границ свидетельствует о недопустимом снижении качества. Наряду с отклонениями и средним значением количественного признака указываются способы испытаний товара. Товары более высокого качества меньше отклоняются от установленной нормы показателей качества товаров, и, наоборот, товары низкого качества больше отклоняются от своих стандартов. Для того чтобы сопоставить данные испытаний по качеству с установленными стандартами, необходимо результаты физико-механических испытаний на качество товара представить в виде вариационного ряда[6, с.140].

       В табл. 4 представлены результаты двухсот испытаний показателя прочности швейных ниток. Требуется проанализировать колебание прочности швейных ниток. Из этого вариационного ряда видно, в каких пределах колеблется прочность швейных ниток и как с нарастанием прочности при растяжении до 825 г постепенно увеличивается число испытаний, а затем постепенно уменьшается. Наиболее распространенная прочность швейных ниток при растяжении оказалась в интервале 775 - 825 (группа 5) со средним значением 800 г  
 

Таблица 4

Данные  испытания прочности швейных ниток

     На  основе такого вариационного ряд могут быть исчислены и показатели вариации: средняя, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации, мода, медиана и др. Для оценки близости эмпирического отношения к теоретическому нормальному пользуются специальными показателями, которые называются согласия. Они разработаны Пирсоном, Колмогоровым, Романовским и Ястремским. Наиболее простым и доступным 
является критерий Пирсона:

     Чем меньше отклонение между эмпирическими  и теоретическими частотами, тем меньше значение х2, а значит, теоретическое распределение лучше воспроизводит эмпирическое, и наоборот. Если эмпирические частоты совпадают с теоретическими, х2 = 0.

     Вычисление  х2 Пирсона связано с показателем, который называется числом степеней свободы. Под числом степеней свободы К понимают количество независимых величин, которые могут принимать независимые значения, не изменяющие заданные характеристики. Так, если средняя выработка рабочих участка равна

      деталей, то пять значений из шести могут быть произвольными, а шестое должно быть единственно возможным, при котором средняя выработка 300 деталей останется без изменений. В данном случае задан один параметр (х), поэтому число степеней свободы будет равно: 6-1 = 5.

     В нашем примере распределения  ткачих по степени выполнения норм выделено семь групп, функция нормального распределения имеет два параметра: и . Кроме того, исчисление критерия х2 связано с ограничительным условием: [2, с.140]

     Следовательно, число степеней свободы будет  равно: К =7-2-1=4. обозначим число групп m, число параметров r и получим К = т-r-1. По специальной таблице находим значение х2, соответствующее данному числу степеней свободы и заданной вероятности. По этой же таблице для заданного критерия х2 при разных значениях степеней свободы можно определить вероятность того, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами изучаемого ряда является случайным. Если фактическое значение критерия х2 меньше табличного, то отклонение между эмпирическими и теоретическими частотами являются случайными, несущественными, и можно сделать вывод о том, что теоретическое распределение хорошо воспроизводит эмпирическое, и, наоборот, если фактическое значение больше табличного, то отклонения являются существенными и эмпирический ряд распределения не подчиняется закону нормального распределения.

     Пример. Рассчитаем критерий х2 по данным табл. 5. Следовательно, х2 = 8,18. Теперь по таблице находим критическое значение х2 для заданной вероятности и числа степеней свободы. При К=4 и Р = 0,95 получим х2 = 9,49. В нашем примере фактическое значение х2 = 8,18, а табличное х2 = 9,49 т.е. фактическое значение меньше табличного. Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что распределение ткачих по степени выполнения норм подчиняется закону нормального распределения.

Таблица 5

Распределение ткачих по степени выполнения норм

     Критерий  согласия Колмогорова ( ) рассматривает близость эмпирического и теоретического распределения путем сравнения их накопленных частот. Критерий лямбда равен максимальной разности накопленных эмпирических и теоретических частот (без учета знаков), поделенный на корень квадратный из числа наблюдений.

     где D — максимальная разность накопленных эмпирических и теоретических частот, а n — объем совокупности. По сравнительной таблице находим вероятность, с которой можно утверждать, что отклонение эмпирических частот от теоретических является несущественным, случайным, т.е. фактическое распределение подчиняется закону нормального распределения.

     Пример. Рассчитаем критерий по данным, приведенным в табл. 6 В нашем примере D = 5, п = 100, откуда = 5/10= 0,5. По таблице определяем, что значению X = 0,5 соответствует вероятность 0,963. Следовательно, с вероятностью 0,963 можно утверждать, что отклонение эмпирических частот от теоретических является случайным, т.е: распределение ткачих по степени выполнения норм выработки подчиняется закону нормального распределения.

Таблица 6

Распределение ткачих по степени выполнения норм

     В явлениях различных аспектов рыночного  хозяйства асимметричные распределения встречаются значительно чаще, чем симметричные. Имеется много функций, характеризующих закономерности эмпирических асимметричных распределений. Распределение, которое с помощью логарифмирования переменной х может быть приведено к нормальному, называется логарифмически нормальным распределением. Частоты такого распределения определяются на основе интегральной функции нормального распределения

     Вывод: для объективной оценки близости эмпирических и теоретических частот также пользуются критериями согласия. Некоторые асимметричные распределения могут быть приведены к фермер приближающейся к нормальной, путем преобразования значений признака х. Например, путем логарифмирования переменной асимметричное распределение может быть приведено к нормальному[11, с.140].

      3. Графическое изображение  рядов распределения

     Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения ( ) и характера рассеивания (S2 и S) вариационные ряды изображаются графически. Для изображения как дискретных, так и интервальных рядов применяются полигоны и кумулята, для изображения только интервальных рядов – гистограмма. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей) Wi = ni / n, накопленных относительных частот WHi и найдем отношение Wi / h, заполнив табл. 7.

Таблица 7

Статистический  ряд распределения выручки магазина

       Применяются вместе с диаграммами и такие линии, как полигон, кумулята, огива, гистограмма. При изображении дискретных вариационных рядов используется полигон.

     Полигон – ломаная кривая, строится на основе прямоугольной системы координат, когда по оси Х откладываются значения признака, а по оси У – частоты. Гладкая кривая, соединяющая точки – это эмпирическая плотность распределения[5, с.96].

     Кумулята  – ломаная кривая, строящаяся на основе прямоугольной системы координат, когда по оси Х откладываются значения признака, а по оси У – накопленные частоты. Для дискретных рядов на оси откладываются сами значения признака, а для интервальных – середины интервалов.

     На  основе гистограмм можно строить диаграммы накопленных частот с последующим построением интегральной эмпирической функции распределения. Для построения гистограммы относительных частот (частостей) по оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного i–го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi / h; в нашем примере h=4,5 (рис. 1). Следовательно, площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице. Из гистограммы можно получить полигон того же распределения, если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой (рис. 2). Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривой плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральной совокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотетическом законе распределения.

            Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака, а по оси ординат – относительные накопленные частоты WHi . Полученные точки соединяют отрезками прямых. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают верхние границы группировки (рис. 3). С кумулятой сопоставляется график интегральной функции распределения F(x). В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался положительным ( A˜s = 0,6), что свидетельствует о правосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс также оказался положительным ( -E˜k= 0,82). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной имеет более крутую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения (рис. 3.2 и рис. 3.3). Все это дает возможность выдвинуть гипотезу о том, что распределение выручки магазина является нормальным [5, с.98].