Статистический анализ издержек на изготовление единицы продукции

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

  ГОСУДАРСТВЕННОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ  

Воронежский государственный  технический университет 

Кафедра автоматизированных и вычислительных систем 
 
 
 

Тема 

Статистический  анализ издержек на изготовление единицы продукции  
 

Пояснительная записка 

к  курсовой работе 

по  дисциплине 

Теория  вероятностей и математическая статистика  
 
 

                                   Выполнил:

                                   студент 2 курса ФВЗО гр.ВМ-101 

                                   Гулевский А.В. 
 

                                   Руководитель: Олейникова С.А. 
 
 
 
 
 
 

Воронеж 2011

СОДЕРЖАНИЕ 

ВЕДЕНИЕ………………………………………………………………….3 

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ…………………………………… ………...4 

2 АНАЛИЗ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ……………………… ………5 

3 МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК  
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЛЕЯ………………………………………… .….10 

4 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ  О РАСПРЕДЕЛЕНИИ РЕЛЕЯ……………12 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………...14 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

    В современной обстановке на предприятии необходимо постоянно проводить анализ деятельности фирмы для принятия управленческих решений. Для анализа и принятия решений необходима исходная информация, такую информацию получают из ряда технико-экономических показателей, одним из которых являются издержки производства.

    Уровень издержек связан с объемом и качеством продукции, использованием рабочего времени, сырья, материалов, оборудования, расходованием фонда оплаты труда и т. д. Издержки на единицу продукции являются основой определения цен на продукцию, систематическое снижение издержек - одно из основных условий повышения эффективности производства. Издержки на производство оказывают непосредственное влияние на величину прибыли, уровень рентабельности, а также на общегосударственный денежный фонд - бюджет.

    Исходя  из вышеперечисленного, можно с уверенностью утверждать, что тема данного курсового проекта является актуальной для предприятия, так как прежде чем искать пути снижения издержек и повышения эффективности производства необходимо всесторонне проанализировать деятельность предприятия и результаты его деятельности, а затем принимать соответствующие меры.  
 
 
 
 
 
 
 
 

      1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

       Отдел производит продукцию, характеризующуюся  некоторой величиной издержек. Для  анализа издержек на изготовление единицы  продукции были получены результаты издержек для 50 случайно отобранных экземпляров данной продукции.

       Необходимо  на основании данной выборки сделать  вывод законе распределения издержек и основных его характеристиках. Найти среднее значение величины издержек.

      Найти параметры предполагаемого закона распределения и исследовать  их на несмещённость, эффективность и состоятельность. Сравнить график эмпирической функции с графиком предполагаемого распределения с полученными параметрами. Провести проверку выдвинутой гипотезы и сделать выводы. В качестве уровня значимости взять значение 0.05.

      Результаты 50 измерений представлены в следующей  таблице

       Таблица 1.1 Исходные данные

№ Значение № Значение № Значение № Значение № Значение
1 -1,06904 11 5,185835 21 14,82279 31 5,092541 41 11,46526
2 8,480196 12 11,22675 22 7,590345 32 9,262367 42 9,808371
3 5,402647 13 9,664553 23 4,461252 33 7,628994 43 13,11493
4 10,61979 14 8,1018 24 0,201774 34 6,861213 44 12,33387
5 8,644175 15 6,461166 25 0,89219 35 3,259627 45 8,296416
6 7,848583 16 1,488527 26 7,066841 36 8,819869 46 4,790382
7 6,846397 17 4,003507 27 8,238354 37 10,35035 47 7,714423
8 11,77663 18 6,96025 28 8,538173 38 10,5529 48 5,835766
9 10,77873 19 4,855913 29 8,773747 39 8,149579 49 11,27131
10 9,991531 20 5,088503 30 8,815817 40 6,443601 50 5,576581
 
 
 
 
 

    2 АНАЛИЗ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

    2.1 Построение эмпирической функции  распределения и гистограммы

    Очевидно, что в таблице 1.1 представлены значения непрерывно распределённой случайной  величины.

    Для построения эмпирической функции распределения  необходимо предварительно отсортировать данные значения по возрастанию. Результат представлен в таблице 2.1.

    Таблица 2.1

№ Значение № Значение № Значение № Значение № Значение
1 -1,06904 11 5,092541 21 7,066841 31 8,538173 41 10,5529
2 0,201774 12 5,185835 22 7,590345 32 8,644175 42 10,61979
3 0,89219 13 5,402647 23 7,628994 33 8,773747 43 10,77873
4 1,488527 14 5,576581 24 7,714423 34 8,815817 44 11,22675
5 3,259627 15 5,835766 25 7,848583 35 8,819869 45 11,27131
6 4,003507 16 6,443601 26 8,1018 36 9,262367 46 11,46526
7 4,461252 17 6,461166 27 8,149579 37 9,664553 47 11,77663
8 4,790382 18 6,846397 28 8,238354 38 9,808371 48 12,33387
9 4,855913 19 6,861213 29 8,296416 39 9,991531 49 13,11493
10 5,088503 20 6,96025 30 8,480196 40 10,35035 50 14,82279
 

       Эмпирическая  функция распределения определяется формулой (2.1.)

          (2.1)  
 

       Воспользовавшись  формулой (2.1), получим следующий  график 
 

 

     Рис. 2.3. График эмпирической функции распределения. 

      Для построения гистограммы необходимо представить выборочные значения в виде вариационного ряда. Вариационный ряд – это упорядоченная по величине последовательность выборочных значений наблюдаемой случайной величины.

      Разобьём  всё множество значений на 10 интервалов. Тогда ширина частотных интервалов будет определяться формулой

                                                       (2.2)

      Границы интервалов будут определяться по следующему правилу: Граница следующего интервала получается прибавлением ширины интервала к границе предыдущего интервала.

      Таким образом, вариационный ряд имеет  следующий вид 
 
 
 

        Верхняя граница Нижняя граница Количество  выборочных значений
        -1,06904 0,520143 2
        0,520143 2,109326 2
        2,109326 3,698509 1
        3,698509 5,287692 7
        5,287692 6,876875 7
        6,876875 8,466058 10
        8,466058 10,05524 11
        10,05524 11,64442 6
        11,64442 13,23361 3
        13,23361 14,82279 1

      Таблица 2.2 Вариационный ряд

      На  основе полученного вариационного  ряда построим гистограмму. Гистограмма  – это фигура, составленная из прямоугольников с высотой (3.2) и основанием .

      

  (2.3)

      Для данных из таблицы 2.2. гистограмма будет  иметь следующий вид

         

      2.2 Нахождение основных числовых  характеристик 

      Основными числовыми характеристиками являются:

       - характеристики положения значений (выборочное среднее, мода, медиана);

       - характеристики рассеяния (выборочная  дисперсия, среднее квадратическое  отклонение);

       - характеристика меры скошенности  (коэффициент ассиметрии);

       - характеристика островершинности  распределения (коэффициент эксцесса).

      Результаты  вычислений приведены в следующей  таблице.

      Таблица 2.3. Основные числовые характеристики

    Характеристика Значение
    Выборочное  среднее 7,567722
    Медиана 7,975192
    Стандартное отклонение 3,288439
    Дисперсия выборки 10,81383
    Эксцесс 0,418284
    Асимметричность -0,46649
 

    2.3 Обоснование гипотезы о предполагаемом  законе распределения

    В качестве начальных предположений  о возможных законах распределения  можно рассмотреть гипотезы о  нормальном, равномерном законе и законе Релея.

    Нормальный  закон определяется следующей формулой (2.4)

    

        (2.4)

    График  функции нормального закона распределения  имеет следующий вид

    

    Рисунок 2.3. График нормального закона распределения

    Равномерный закон определяется следующей формулой (2.5)

                (2.5)

       

    Рисунок 2.4. График функции равномерного закона распределения

      Случайная величина распределена по закону Релея, если её функция распределения имеет  вид

       

.                                          (2.6)

      График  функции распределения имеет  следующий вид

       

      Рисунок 2.5 График функции распределения 

      Плотность распределения вероятностей для  закона Релея определяется формулой

       

.                                  (2.7) 

      График  плотности распределения имеет  следующий вид

       

      Рисунок 2.6 График плотности распределения  вероятностей 

      Исходя  из сравнения графиков эмпирической функции распределения и гистограммы  с графиками предполагаемых законов  распределения, а также на основании рассчитанных числовых характеристик выдвигаем гипотезу о распределении Релея. 

      3 МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЛЕЯ

      Метод моментов

      Исходя  из вышесказанного принимаем распределение нормальным. Согласно методу моментов математическое ожидание (параметр а нормального распределения) равно выборочной средней, а дисперсия нормального распределения (квадрат второго параметра) равна выборочной дисперсии. По данным таблицы 2.2 рассчитываем выборочные характеристики: 

Параметры предполагаемого нормального распределения:

         

       Оценка  параметра а является несмещенной, так как несмещенной оценкой  математического ожидания служит выборочная средняя.

       Оценка  параметра  является смещенной, так как выборочная дисперсия служит смещенной оценкой генеральной дисперсии. Для нахождения несмещенной оценки служит исправленная выборочная дисперсия: 

         

       Доказано, что  и s2 являются эффективными и состоятельными оценками нормального распределения. 

      4 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ РЕЛЕЯ 

      Отталкиваясь  от таблицы 2.2 и соответствующей  ей гистограммы, делаем предположение  о нормальном распределении.

      Проверяем гипотезу по критерию Пирсона. Для этого  укрупняем интервалы так, чтоб в  каждом было не менее 5 значений

Верхняя граница Нижняя граница n
-1,06904 3,69851 5
3,69851 5,28769 7
5,28769 6,87688 7
6,87688 8,46606 10
8,46606 10,0552 11
10,0552 14,8228 10

      Таблица 4.1 Вариационный ряд (укрупненные интервалы)

      Находим параметры нормального распределения:

      

      Крайние интервалы делаем бесконечными и вычисляем соответствующие вероятности попадания в интервалы:

   

       Полученное  значение x2 критерия сравниваем с табличным значением для уровня значимости 0,05 и трех степеней свободы (количество интервалов (6) - количество параметров нормального распределения (2) - 1): 

         

       Нет оснований отвергать гипотезу о  нормальном распределении. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

Важнейшей задачей статистики является систематический  контроль за выполнением плана снижения издержек. Для этого статистика должна изучать как общий фактический абсолютный уровень издержек, так и уровень составляющих элементов, иначе говоря, изучать их структуру. Эти данные позволяют определять относительный уровень издержек в сравнении с тем или иным базисным уровнем. Статистика в вопросе об издержках, как и во всех других  вопросах,  должна  вскрывать   внутренние  ресурсы   и неиспользуемые резервы. Другими словами, статистика должна вскрывать причины,  анализировать факты, обусловившие данный уровень, издержек.

 С помощью методов нахождения точечных оценок распределения были найдены оценки неизвестных параметров предполагаемого распределения. Они были исследованы на несмещенность, эффективность и состоятельность.  После чего была выдвинута и проверена гипотеза о нормальном распределении. В ходе работы было доказано, что оснований опровергать гипотезу о нормальном распределении нет. 
 
 
 
 
 
 
 
 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 

  1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 2001.
  2. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:ИНФРА-М, 1999.
  3. Закс Л. Статистическое оценивание. М.:Ститистика, 1976.
  4. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с приминением Excel. Ростов н/Д.: Феникс, 2006.
  5. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 2001.
  6. Минько А.А. Статистический анализ в Microsoft Excel. – М.: Диалектика, 2004.