Статистичне вивчення ринкового попиту. 2

45

Тема 1. СТАТИСТИЧНЕ ВИВЧЕННЯ РИНКОВОГО ПОПИТУ

Завдання 1

На ярмарку відвідувачі – представники фірм-покупців цікавляться виставленим товаром. Вірогідність того, що здійснена операція на покупку товару одним відвідувачем складає   Р=0,30. Визначити мінімальну кількість відвідувачів, з числа яких з вірогідністю Р(А)µ0,95 хоч би один укладе операцію на покупку товару.

Скільки представників фірм-покупців необхідно ознайомити з даним товаром, щоб отримати повну гарантію з вірогідністю Р(А)= 0,99 укладень однієї оборудки на продаж товару. Проаналізувати ситуацію, при якій в результаті покращуваної реклами товару вірогідність покупки одним відвідувачем подвоюється.

Вірогідність появи хоч би однієї події в n незалежних випробуваннях визначається по формулі

                            P(A)= 1- gn = 1 – (1 – p)n

де      p – вірогідність зробити покупку, р = 0,30;

           g – протилежна вірогідність, g = 1 – p = 1 – 0,30 = 0,7;

           n – кількість незалежних випробувань.

Необхідно визначити величину  n  з виразу

                        1 – (1 – p)n µ Р(А) 

перетворюваний (1 – p)n  µ 1 – Р(А) 

прологарифмуємо    n·ln(1 – p) µ ln(1 – P(A)),   звідки

Виконаємо рішення  

тобто, n = 8 чіл.

У разі повної вірогідності  Р(А) µ 0,99 маємо:

тобто, n = 13 чіл.

У разі подвоєної вірогідності покупки одним відвідувачем Р=(0,30)*2  і  Р(А)= 0,95 маємо     

тобто, n = 3 чіл.

У разі подвоєної вірогідності Р=(0,30)*2 і повній вірогідності  Р(А)= 0,99 маємо

тобто, n = 5 чіл.

Таким чином, у разі поліпшення реклами товару число відвідувачів, що не укладають угоду, зменшиться: з вірогідністю Р(А)= 0,95 на    

Дm = (n0 – 1) – (n1 – 1) = (8 – 1) – (3 – 1) = 5 чіл., з вірогідністю Р(А)= 0,99 на Дm =  (13 – 1) – (5 – 1) = 8 чіл.

Завдання 2

Дані про об'єми продажів однотипній продукції машинобудівного заводу на двох незалежних товарних ринках по вільних цінах приведені в табл.

Необхідно зробити висновок про рівність або відмінність умов продажів машинобудівній продукції на двох товарних ринках, а також про рівень відмінності цін на продану продукцію.

Оскільки дисперсії відрізняються, то заздалегідь перевіряємо нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій

                            H0: D(1)= D(2)

При конкуруючій гіпотезі

                            H1: D(1)= D(2).

Використовуємо критерій Фішера-снедекора, як відношення більшої дисперсії до меншої

По таблиці предельніх значень F – критерію Фішера-снедекора (додат.1), при числі мір свободи k1=n1 – 1=18 – 1 =17, k2 = n2 – 1 = 14 –1 =13 і прийнятому рівні значущості б=0,05 знаходимо межі двосторонньої критичної області критерію

                             Fкр(0,05; 17; 13)= 2,38.

Оскільки Fнабл< Fкр  (2,04<2,38), то немає підстави відкинути нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій. Отже, умови продажу продукції на двох товарних ринках рівні.

Перевіряємо нульову гіпотезу про рівність два середніх для нормальних генеральних совокупностей, дисперсії яких рівні:

                            H0 : M(1)= M(2)

при конкуруючій гіпотезі

                            H1 : M(1)= M(2).

Для цього обчислюємо спостережуване значення критерію Стьюдента

  По таблиці бокових значень двостороннього t-распределения Стьюдента (прил. 2) знаходимо при числі мір свободи до = n1 + n2 – 2 = 18 + 14 –2 = 30 і прийнятому рівні значущості б = 0,05

                      tкр(0,05; 30)=  ±2,04.

Оскільки Tнабл < tкр (-1,42 < +2,04), то нульову гіпотезу про рівність середніх генеральних совокупностей відкидаємо, тобто, середні ціни  продажів  на двох товарних ринках розрізняються значно.

Завдання 3

Передбачається підвищити ціни на автомобільний бензин. На ряду бензозаправних станцій був проведений експеримент, в результаті якого отримані дані, що характеризують еластичність об'ємів продажів автомобільного бензину (у, тис. ед.) щодо темпів підвищення цін (x %). Дані спостережень приведені в таблиці

Необхідно побудувати графік залежності об'ємів продажів автомобільного бензину від темпів підвищення цін, виділити на графіці зони стійких і нестійких об'ємів продажів, обчислити коефіцієнти еластичності для зон, зробити висновок про допустиму межу підвищення ціни, що не робить істотного впливу на зміну об'ємів продажів автомобільного бензину.

Графік залежності об'ємів продажів автомобільного бензину від темпів підвищення ціни приведений на малюнку 1.

Ріс.1. Залежність об'ємів продажів автомобільного бензину

від темпів підвищення ціни

Відносно стійкі об'єми продажів автомобільного бензину спостерігаються в зоні підвищення ціни від 101,5% до 103,4 %.

При підвищенні ціни понад 100,3 % спостерігається істотне скорочення об'ємів продажів. Обчислимо коефіцієнти еластичності об'ємів продажів щодо темпів підвищення ціни для зон стійких і нестійких об'ємів продажів. Коефіцієнт еластичності

де       a1 – коефіцієнт регресії кореляційного рівняння зв'язку

  x – середнє значення змінної  x;

  у – середнє значення змінної  у.

Складемо розрахункову таблицю.

Обчислимо показники для зони стійких об'ємів продажів. Коефіцієнт регресії

Середній коефіцієнт еластичності для цієї зони

Набутого значення середнього коефіцієнта еластичності показує, що в даній зоні при підвищенні ціни на автомобільний бензин на 1% об'єм продажів скорочується в середньому на 10,07 од, тобто на 3 од.

Поточні значення коефіцієнтів еластичності для спостережуваних величин x і у обчислюються в наступному порядку. Для першої пари спостережень

Для подальших пар спостережень обчислення проводяться аналогічно. Результати обчислень приведені в розрахунковій таблиці.

Обчислимо показники для зони нестійких об'ємів продажів. Коефіцієнт регресії

Середній коефіцієнт еластичності для цієї зони

Набутого значення середнього коефіцієнта еластичності показує, що в даній зоні при підвищенні ціни на автомобільний бензин на 1% об'єм продажів скорочується в середньому на 3,78 од, тобто скорочення об'єму продажів є істотним.

Поточне значення коефіцієнтів еластичності для даної зони обчислюються в тому ж порядку, що і у попередньому випадку. Результати обчислень приведені в розрахунковій таблиці.

Економічно обгрунтований висновок за даними проведеного статистичного аналізу полягає в тому, що ціна на автомобільний бензин може бути підвищена на 3% без істотного скорочення об'ємів продажів. При вищому підвищенні цін об'єми продажів можуть різко скоротитися.

Тема 2. СТАТИСТИКА ПРОДАЖІВ

Завдання 4

Вірогідність продати товар випадковому покупцеві рівна P=0,2. Скільки необхідно зробити пропозицій, щоб продати задану кількість К0 = 20 одиниць товару?

Вірогідне число появ події в незалежних випробуваннях визначається по формулі

де:  K0=20;  p=0,2;   q=1-p=1-0,2=0,8; 

n=?

Складаємо систему рівнянь

        яку вирішуємо відносно n

пропозиції

пропозиції

тобто, шукана величина поміщена в межах

Завдання 5

Три незалежні продавці продають на одному ринку однаковий недефіцитний товар. Вірогідність успішного продажу денної норми товару 250 од. складає:

у першого продавця 0,8;

у другого продавця 0,8;

у третього продавця 0,8.

Знайти вірогідність того, що протягом дня три продавці продадуть денну норму товару. Оцінити дану комерційну ситуацію в порівнянні з випадком, коли даний товар продає тільки один npодавец.

   Використовуємо метод функції, що проводить, для трьох об'єктів

де р1, р2, р3 - вірогідність успішного продажу товару у кожного з 3 продавців

  q1, q2, q3 - протилежна вірогідність;

  z - параметр функції, що проводить, чисельно не визначається.

Оскільки   p1=0,8;   p2=0,8;   p3 = 0,8; q1 = 0,2; q2 = 0,2;  q3 = 0,2, складемо функцію, що проводить

Вірогідність того, що протягом дня три продавці продадуть денну норму товару, рівна коефіцієнту при  z3

тобто, сумарна денна норма продажів товару виконуватиметься в середньому на 128 %.

Можлива кількість проданого товару трьома продавцями складе

                      од.

У разі, коли товар продає тільки один продавець, кількість проданого товару складе

                         од.

тобто, при збільшенні числа продавців до 3 додатковий об'єм проданого товару

                     DM = M3 – M1 = 384 – 200 = +184 од.

Завдання 6

Продавець пропонує товар відвідувачам до тих пір, поки товар буде куплений. Для продажу 1-ої одиниці товару його потрібно запропонувати X1 клієнтам, для продажу 2-ої одиниці товару – Х2 клієнтам і так далі

Результати спостережень за ходом продажу товару приведені в таблиці

Визначити межі можливого числа клієнтів, яким необхідно запропонувати товар, для забезпечення продажу однієї одиниці товару з гарантованою вірогідністю Р(х)= 0,733.

Обчислюємо математичне очікування і дисперсію дискретної величини числа випробувань, які необхідно провести до появи події

де   - середня вірогідність настання події

Рn. - вірогідність настання n-го події в кожному випробуванні

                                            ;

Хn - кількість випробувань, які необхідно провести до появи n-го події;

nmax - найбільший порядковий номер події, що наступила

                       nmax= 7.

По умові прикладу вірогідності настання події в кожному випробуванні будуть рівні:

при продажі 1-го виробу Р1 = 1/6 = 0,166;

при продажі 2-го виробу Р2 = 1/3= 0,333;

при продажі 3-го виробу Р3 = 1/5 = 0,2;

при продажі 4-го виробу Р4 = 1/4 = 0,25;

при продажі 5-го виробу P5 = 1/7 = 0,1428;

при продажі 6-го виробу P6 = 1/4 = 0,25;

при продажі 7-го виробу Р7 = 1/3 = 0,333.

                           Середня вірогідність настання події

Математичне очікування (середня величина) числа випробувань, які необхідно провести до появи події

Дисперсія даної дискретної величини

Для визначення меж можливого числа клієнтів, яким необхідно запропонувати товар для забезпечення продажу однієї одиниці товару, потрібно обчислити граничну помилку середньої величини

де t - нормоване відхилення, визначуване по таблицях його табульованих значень при заданій гарантованій вірогідності обгрунтування генеральної середньої.

При гарантованій вірогідності за умовами прикладу Р(х)= 0,733 по таблиці додат. 3 визначуваний  для  2Ф(Х)= 0,733

t = х = 1,00.

Тоді                                     

Шукані межі числа клієнтів, яким необхідно запропонувати товар, для забезпечення продажу однієї одиниці товару з вірогідністю Р(х)-= 0,6826 складатимуть:

                             4,118 – 1,509 < < 4,118 + 1,509

або               2,609< < 5,627, після округлення маємо  3< <7

тобто, в даній ситуації для гарантованого продажу однієї одиниці товару його необхідно запропонувати від 3 до 7 клієнтам, що не противоречит  спостережуваним даним.

Завдання 7

Вірогідність покупки пропонованого товару клієнтом   р1, що увійшов до магазина = 0,5. За наявності реклами товару з боку продавця і ввічливого обслуговування вірогідність покупки товару підвищується до р2 = 0,85. Скільки клієнтів необхідно обслужити, щоб з вірогідністю   рn =0,95 можна було чекати, що буде здійснене не менше 60 покупок? На скільки може скоротитися кількість обслуговуваних клієнтів за наявності реклам товару з боку продавця і ввічливого обслуговування?

Згідно інтегральної теореми Лапласа

де Рn(k1;n) - вірогідність появи очікуваного результату

Рn(k1;n)=0,95;

k1 - необхідна кількість покупок

k1 = 60;

k2 = n, кількість обслуговуваних клієнтів ;

р - вірогідність покупки товару ;

q = 1 - р, протилежна вірогідність, коли клієнт не купує товар.

Тоді маємо   р1 = 0,5;    р2 = 0,85;

q1 = 0,5;    q2 = 0,15.

1) Визначимо необхідну кількість клієнтів магазина для забезпечення 75 покупок за відсутності реклами

Оскільки n 60 або  > 7,75, тоді

Звідки

По таблиці значень інтегральної функції Лапласа (додат. 3) знаходимо

тоді

                                            -1,634= 120 -

                                             n – 1,634* - 120 = 0.

Вирішення квадратного рівняння відносне дає наступний результат:

                                                    = x1,2

                            x1,2 = +

                          x1,2 = 0,81710,985, оскільки  x > 0,  то

                                         x = 0,817 +10,985= 11,802

                               = 11,802, n=139,287 відвідувач.

2) Визначимо необхідну кількість клієнтів магазина для забезпечення 60 покупок за наявності реклами і ввічливого обслуговування

Оскільки n 60 або  7,75, тоді 

Звідки

                     і  

По таблиці значень інтегральної функції Лапласа (додат. 3) знаходимо

                             тоді  

                                          168 – 2,38 * n = - 1,641

                                     -2,38 * n + 1,641* + 168 = 0

                                            n – 0,69 * - 70,59 = 0.

Вирішення квадратного рівняння відносне дає наступний рочультат:

                                                = x1,2

                                   x1,2 = +

                            x1,2 = 0,3458,409, оскільки  x > 0, то

                                       x = 0,345 + 8,409 = 8,754

                                n=76,6377 відвідувачі.

Скорочення кількості клієнтів при проведенні реклами товару з боку продавця і ввічливого обслуговування для забезпечення 75 покупок складе

                                         Dn = 77 - 139 = - 62 чіл.

Тема 3. СТАТИСТИЧНА ОЦІНКА КОНКУРСУ ТОВАРІВ

Завдання 8

Два незалежні експерти провели оцінку товару, представленого фірмами на конкурс і розташували їх по наступних місцях

Фірми:         А         Б        В        Г           Д          Е        Ж       3       

Експерт 1    1-2      1-2       3     4-5-6     4-5-6    4-5-6     7        8    

Експерт 2     I          2         3        4             5          6       7-8     7-8     

Необхідно встановити міру тісноти зв'язку між оцінками експертів, оцінити узгодженість дій експертів і зробити висновок за наслідками експертизи.

У даному случяе має місце рангова кореляція. Оскільки кількість рівнів оцінки  m=2 і мають місце зв'язані пари оцінок, то можна застосувати коефіцієнт кореляції рангів для зв'язаних пар оцінок в послідовностях

                     ,

де   d - величина різниці між рангами

d = x – у;

n - кількість рангів (об'єктів) в досліджуваній сукупності;

Т і U - сумарні параметри зв'язаних пар в послідовностях

t, U - число зв'язаних пар в послідовностях.

Аналіз таблиці початкових даних показує, що експерт 1 поділив перше і друге місця між фірмами А і Б, їх об'єднаний ранг

Фірми Г,Д, Е поділили 4,5, 6 місць, їх об'єднаний ранг

Експерт 2 поділив 7, 8 місць між фірмами Ж, З, їх об'єднаний ранг

Для даного прикладу

Для обчислення складемо відхилення між об'єднаними рангами:

Фірми:                А      Б      В       Г       Д        Е       Ж        3       

Експерт 1 (x)     1,5    1,5     3      5        5         5        7         8      

Експерт 2 (y)     1       2        3      4        5         6       7,5      7,5        

d                         0,5   -0,5     0      1        0        -1      -0,5      0,5      

d2                       0,25  0,25   0      1        0          1      0,25     0,25     

Для даного ряду = 3.

Для оцінки тісноти зв'язку обчислимо коефіцієнт рангової кореляції

Спостережувана величина коефіцієнта кореляції рангів  r = 0,9642 > 0,9, отже, тіснота зв'язку між оцінками експертів вельми висока, дії експертів надзвичайно узгоджуються між собою, результати експертизи можуть бути прийняті.

Завдання 9

На конкурс представлено шість моделей одяг, який оцінюється трьома незалежними експертами. Моделі за оцінкою отримали наступні місця

Модель:                          А        Б       В       Г       Д       Е     Ж

Експерт I                        2        4        1       3       7        5   6

Експерт 2                        1        2        5        5       3        6      7

Експерт 3                        3        1        2        4       6        7      5

Експерт 4                        2        3        4        1       6        5      7