Министерство  образования и  науки Российской Федерации

     НИ  ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

     Кафедра начертательной геометрии и технического черчения

     Реферат:

     «Стереографические  проекции»

Выполнил  студент группы РТФ-10-2:

     Ильгамов  В. Г

                                                     Проверил: доцент Горбань А.В.

Иркутск 2010 г.

Оглавление

     сущность метода стереографических проекций 2

     прямая линия и плоскость в стереографических проекциях 3

     Прямая линия 3

     Плоскость 7

     РЕШЕНИЕ  ПОЗИЦИОННЫХ  И  МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ  В СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ 18

     Построение проекций прямой по заданному условию 18

     Построение стереографической проекции плоскости по заданному условию 19

     Взаимное расположение прямой и плоскости 20

     Взаимное расположение двух плоскостей 21

     Список использованной литературы 22

Сущность метода стереографических проекций

Стереографические проекции нашли  широкое применение в геометрической кристаллографии при составлении проекции кристаллов, а также рои решении горно-геологических задач, связанных с определением  угловых величин, составленных двумя прямыми, двумя плоскостями, прямой и плоскостью и т.д.

    Сущность этого метода заключается в следующем. Заданные в пространстве прямые и плоскости переносят параллельно самим себе и одну точку, около которой описывают сферу. Точки и линии пересечения прямых и плоскостей со сферой проецируют из точки S на горизонтальную плоскость проекций П´ (рис.8.1), проходящую через центр сферы. Точку зрения располагают в нижней точке сферы (точке надира). Плоскость проекции П´ пересекает сферу по окружности (экватору), которая носит название основного круга проекций. Диаметр основного круга равен диаметру сферы и при решении практических задач его берут обычно равным 20 см.

В решении  задач геометрической кристаллографии на плоскости П´ проецируют из двух центров, которые располагаются в нижней и верхней точках сферы.

                                                                                                        Стереографическая проекция обладает следующими свойствами:

1)проекции  всех точек верхней полусферы  располагаются внутри основного  круга;

2)стереографическая  проекция плоскости в общем случае является окружностью. В частном случае её проекция  вырождается в прямую линию (когда изображается вертикальная плоскость);

3)углы, составленные  проекциями плоскостей, равны углам между этими плоскостями  в пространстве, т.е. эти проекции конформны. Указанное свойство и позволяет использовать стереографические проекции при определении угловых величин для решения задач. 
 
 
 
 
 

Прямая линия и плоскость в стереографических проекциях

Прямая  линия

Стереографическая проекция прямой определяется стереографическими проекциями точек пересечения её с поверхностью сферы, через центр которой эта прямая проходит, (рис.8.2,а). Так как прямая  т в пространстве проходит через центр сферы, то её стереографическая проекция т´ будет проходить через центр основного круга - точку О´ (рис.8.2б).Точки пересечения прямой с поверхностью сферы, а также их стереографические проекции могут быть определены по профилю разреза, выполненного плоскостью Λ по направлению прямой т (рис.8.2.в).

    Плоскость разреза Λ пересекает сферу по окружности t₀, а плоскость П´ - по прямой h_0.Пересечение окружности t₀ с профилем т₀ определяет точки М₀ и В₀ пересечения прямой т с поверхностью сферы.Проецирующие лучи, проведённые из точки S к точкам  М₀ и В₀в пересечении с прямой h₀ определяют стереографические проекции этих точек – точки М´₀ и В´₀. Расстояние этих точек от точки О₀ можно на разрезе равно расстоянию

от их стереографических до центра основного круга: О₀В´₀= О´В´ и О´₀М´_0.

Заметим ,что угол В´₀S₀М₀, составленный проецирующими лучами, проведёнными к точкам М₀ и В₀ пересечения прямой со сферой, равен 90⁰ как угол, опирающийся на диаметр В₀М₀ окружности t₀.

    Для построения стереографической проекции прямой достаточно построить проекцию точки М, пересечения прямой с верхней полусферой, так как проекция такой точки всегда располагается в пределах основного круга. Проекция точки М и центр основного круга точка О однозначно определяет на чертеже пространственное расположение прямой т и стереографическая проекция прямой т определяется только одной точкой-проекцией точки пересечения с верхней полусферой. Условимся определитель прямой записывать в следующей форме: т(М´).   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Стереографическую проекцию точки М можно построить совмещением плоскостиразреза Λ с плоскостью основного круга (рис.8.3,а). Вращение производит вокруг линии ОМ´ пересечения плоскости разреза с плоскости П´. При совмещение окружность  t разреза совпадает с основным кругом, главный луч SO займет положение, перпендикулярное  к проекции прямой, центр проекции   S расположится на основном круге в точки О, профиль прямой m пройдет через точку О и составить с направлением восстания угол а.

    Пересечение профиля т₀ с основным кругом определяет точку М₀ пересечения прямой с поверхностью сферы. Точка М´ пересечения проецирующего луча S₀M₀ с направлением восстания прямой является стереографической проекцией прямой т(рис 8.3,б). Стереографическую проекцию точки М можно построить и без разреза сферы по направлению прямой (рис.8.3,в), если учесть, что угол β прямоугольного треугольника S₀O´M´, гипотенуза S₀М´ которого в пересечении со стереографической проекцией прямой т определяет точку М´, равен (90⁰ –а)/2, где угол а - угол падения прямой т. Это равенство вытекает из равнобедренного треугольника S₀O´M´, в котором ÐО´S₀M₀=ÐO´М₀S₀=β, а ÐS₀O´М₀=90⁰+а. Тогда 90⁰+а+2β=180⁰, откуда β= (90⁰-а)/2.

Падение прямой направлено от точки М´ к центру основного круга. Расстояние от стереографической проекции прямой до центра основного круга зависит от угла падения прямой.

    Как видно из рис.8.4, при горизонтальном расположением прямой её стереографическая проекция М´ приближается к центру основного круга. При вертикальном расположении стереографическая проекция прямой совпадает с центром основного круга: Т´≡О´. Если из центра основного круга провести окружность радиусом

О´М´, то каждая точка N´,D´,L´,…этой окружности может быть стереографической проекцией прямых n,d,l,…, углы падения которых равны углу падения прямой т. Эти прямые будут отличаться друг от друга только направлением падения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Плоскость

  Как отмечалось выше, стереографическая проекция плоскости является окружность ∑, которая пересекает сферу по окружности d. При проецировании этой окружности на плоскость проекций  П´ проецирующие лучи, проведённые через её точки, образуют в пространстве коническую поверхность, которую относят к группе эллиптических с круговой направляющей d. Плоскость П´ пересекает эту поверхность по кривой d´, которая и будет стереографической проекцией  плоскости ∑. Кривая d´является окружностью.

    Для доказательства этого обратимся к рис. 8.6, а, на котором изображена коническая поверхность с круговой направляющей d, расположенной в горизонтальной плоскости Г.  Диаметр АВ направляющей при своём продолжении пересекает в точке К перпендикуляр, опущенный из точки S на плоскость Г. Перпендикуляр SK и диаметр АВ как две пересекающиеся прямые определяют в пространстве плоскость симметрии этой поверхности – Ω, которая пересекает коническую поверхность по образующим t и t¹.

Коническая  поверхность с круговой направляющей обладает двумя семействами круговых сечений. Первое семейство круговых сечений образует плоскости, проведённые  параллельно плоскости Г. Направление  второго семейства может быть получено пересечением конической поверхности плоскостью Λ, проведённой перпендикулярно к плоскости симметрии Ω так, чтобы линия n пересечения этих плоскостей с образующими t и t¹ составляла углы, равные соответствующим углам, составленным этими образующими и диаметром АВ направляющей d: ÐSCD=ÐSBA;  ÐSDC=ÐSAB.

    Прямая n, пересекаясь с образующими t и t¹ и диаметром АВ, отсекает на плоскости треугольники АСЕ и DBE, в которых по построению<САЕ=<BDE, ÐACE=ÐDBE, а ÐСЕА=ÐBED-углы вертикальные. Из сказанного следует, что треугольники АСЕ и DBE подобны. Плоскость Λ пересекает коническую поверхность по кривой т, точки С и D которой принадлежат образующим t и t´. Полученная кривая является окружностью, а отрезок CD –её диаметром. Доказательством тому служит известное положение: если из произвольной точки R  окружности опустить перпендикуляр RP на её диаметр MN, то МP·PN=PR²и обратно: если для произвольной точки R кривой и некоторой прямой MN имеет место приведённое равенство, то эта кривая является окружностью (рис.8.6,б). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Отпустим из точки F кривой d перпендикуляр FE на диаметр АВ. Так как кривая d является окружностью, то на основании изложенного: АЕ·ЕВ=FE². Но точка F принадлежит кривой т, а отрезок FE перпендикулярен отрезку CD прямой n. В подобных треугольниках АСЕ и DBE имеет место пропорция СЕ/AE=BE/DE, откуда CE·DE=AE·BE. Но АЕ·ВЕ=FE², тогда СЕ·DE=FE². Из последнего равенства следует, что кривая т является окружностью. Таким образом, второе семейство круговых сечений рассматриваемой конической поверхностью образует плоскости, проведённые параллельно плоскости Λ.

    Изложенное положение относится и к расположению плоскостей ∑ и П´ относительно образующих SB´ и SU проецирующей конической поверхности(см. рис. 8.5). Как видно из рис. 8.7,а, на котором изображён профиль разреза сферы по направлению линии падения плоскости ∑, в прямоугольных треугольниках U₀S₀B₀ и B´₀O₀S₀  угол ÐU₀B₀S₀=ÐB₀S₀O₀(равные углы равнобедренного треугольника O₀S₀B₀), тогда и ÐS₀U₀B₀=ÐS₀B´₀О_0. Из последнего равенства вытекает равенство углов в прямоугольных треугольниках U₀B₀S₀ и В´₀S₀U´₀ :<S₀U₀B₀=<S₀B´U´₀, следовательно, и ÐS₀U₀B₀=ÐS₀U´₀B₀. Итак, образующие SB´ и SU конической поверхности (см. рис.8.5) составляет с плоскостями ∑ и П´ углы, попарно равные друг другу (рис. 8.7,а):

ÐS₀B´₀U´₀=ÐS₀U₀B₀;

ÐS₀U´₀B´₀=ÐS₀U₀B_0.

Из равенства  улов следует, что плоскость проекций П´ пересекает проецирующую коническую поверхность по окружности d´, которая и является стереографической проекцией плоскости ∑. На разрезе она изобразилась отрезком B´₀U´₀, длина которого соответствует диаметру окружности.

   Построение стереографической проекции плоскости показано на рис.1.7,б. Положение центра F окружности определяют по профилю разреза: O´F=О₀F₀.

Отрезок ED, являющийся линией пересечения плоскости ∑ с плоскостью проекций П´, будет линией простирания (горизонталью) плоскости, а точка U´ - стереографической проекцией её линии падения. Истинное падение плоскости направленно от точки U´ к точке O´.

    Центр стереографической проекции плоскости можно определить и совмещением плоскости разреза, проходящей через линию падения плоскости, с плоскостью основного круга (рис.1.8). При совмещении центр проекций S₀ совпадает с точкой D, а профиль линии падения U₀B₀ составит с её проекцией угол а^∑. Проецирующие лучи S₀U₀B и S₀B₀, проведённые к точкам U₀ и B₀ пересечения линии падения плоскости с поверхностью сферы, определят на чертеже точки U´ и B´ ,принадлежащие искомой окружности d´.Отрезок B´U´ является её диаметром. Разделив его пополам, определяет центр стереографической проекции плоскости – точку F.

   Точку F можно найти, не прибегая к построению точки B´. Так как построенные точки E,U´ и D принадлежит окружности d´, являющейся стереографической проекцией плоскости ∑, то перпендикуляр, проведённый через середину хорды DU´ (или EU´) в пересечении с направлением падения плоскости определит точку F- её центр.

    В решении практических задач  стереографическую проекцию плоскости изображают дугой окружности в пределах основного круга (рис.8.9). Дуга ED является проекцией верхней полудуги окружности d – линией пересечения плоскости ∑ с верхней полусферой . Проекцию нижней полудуги, которая выходит за пределы основного круга, на чертеже не показывают. Стереографическую проекцию плоскости можно построить и без выполнения разреза по линиям падения плоскости. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Вернёмся к рис. 8.7, а, на котором изображён профиль такого разреза. Точка F₀ делит гипотенузу прямоугольного треугольника B´₀S₀U´₀ пополам, следовательно, она является центром описанной около этоготреугольника окружности. Треугольник B´₀F₀S₀, стороны F₀B´₀ и F₀S₀ которого равны как радиусы этой окружности, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы равны: ÐF₀B´₀S₀=ÐF₀S₀B₀. Но выше было доказано, что ÐF₀B´₀S₀=ÐB₀U₀S₀=β. Тогда ÐF₀B´₀S₀=ÐF₀S₀B´₀=β. Проецирующий луч SF, проведённый из точки S к центру окружности - точке F, составляет с главным лучом угол φ, величину которого можно определить из прямоугольного треугольника B´₀O₀S₀, в котором ÐO₀B´₀S₀ +ÐO₀S₀B₀=90⁰или 2β+φ=90⁰. Ноβ=(90⁰-а^∑)/2, где а^∑ - угол падения плоскости ∑. Подставив значение угла β, получим: 2(90⁰-а)/2+φ=90⁰, откуда  φ=а.

   Из рис. 8.9 видно, что прямоугольный треугольник SOF равен прямоугольному треугольнику DOF, расположенному в плоскости основного круга (они имеют общий катет OF, а катеты OS и OD равны как радиусы сферы).Следовательно, ÐFSO=ÐFDO=а^∑. Доказанное равенство углов позволяет значительно проще определить центр стереографической проекции   плоскости. Построения при этом проводят в следующем порядке. (рис. 1.10);

   стрелкой отмечают направления падения плоскости и проводят линию простирания плоскости, которая пересекает основной круг в точках Е и D;

   определяют центр стереографической проекции плоскости, для чего в точке D (или E) строят угол а^∑, равный углу падения плоскости. Пересечение его стороны с направлением падения плоскости и определяют искомую точку F. Следует заметить, что точка F всегда расположена от точки О в сторону падения плоскости;

  стереографическую проекцию плоскости записывать в следующей форме : ∑(˘ED).

   Нормаль n к плоскости ∑, проведённая в точке О, пересекает сферу в точке N, которая носит название полюса плоскости(см. рис. 8.9 и 8.11). Угол падения нормали дополняет угол падения плоскости до 90⁰:

                                            аⁿ+а^∑=90⁰.

Стереографическую проекцию нормали можно построить  вышеизложенным способом как проекцию прямой, заданной направлением и углом падения:

βⁿ=(90⁰-аⁿ)/2. Но аⁿ=90⁰-а^∑, тогда βⁿ=а^∑/2. Стереографическую проекцию полюса – точку N´называют гномостреографической проекцией

плоскости ∑ (рис. 8.12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

В геометрической кристаллографии проводят нормали к каждой грани кристалла и получают пучок прямых, сходящихся в центре сферы. Этот пучок точно и однозначно передаёт угловые соотношения  положения граней кристаллов. Совокупность проекций полюсов называют стереографической проекцией кристалла.

    При изменении пространственного расположения плоскости изменяется и её стереографическая проекция, а следовательно, и проекция полюса (рис. 8.13).При горизонтальном расположении плоскости Г её стереографическая проекция совпадает с основным кругом проекции: Г≡h. Проекция полюса этой плоскости совпадает с центром основного круга: О´≡N¹_Г. При увеличенииугла падения плоскости кривизна дуги её стереографической проекции уменьшается, а проекция полюса приближается к основному кругу. При вертикальном расположении плоскости её  стереографическая проекция вырождается в прямую линию, проекция полюса расположится на основном круге.

   Если из центра основного круга провести окружность радиусом  ОU´^∑  (точкаU´^∑ является стереографической проекцией линии падения плоскости ∑(˘АВ)), то любая точка U´^∑ этой окружности может быть стереографической проекцией линии падения другой плоскости Λ(ED) пространства, имеющей  такой же угол падения (рис.8.14). Плоскости ∑ и Λбудут отличаться друг от друга только направлением падения (азимутов падения ).

   Прямая, принадлежащая плоскости, должна иметь две общие точки с этой плоскостью. Точкой, общей для прямой и плоскости, является прежде всего центр сферы, через который проходят и прямая и плоскость. Второй общей для них точкой будет точка пересечения прямой с дугой окружности, по которой плоскость пересекает верхнюю полусферу (рис. 8.15). Из сказанного следует, что стереографические проекции прямых а и т, принадлежащих наклонной плоскости ∑(´ЕD), расположатся на дуге ED – стереографической проекции этой плоскости. Проекции прямых b и h, принадлежащих горизонтальной плоскости , расположатся на основном круге. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Углы между кривыми, принадлежащими поверхности сферы, проецируются на плоскость проекций равными им углам, составленными стереографическими проекциями этих кривых. Под углом между кривыми понимают линейный угол, составленный касательными к этим кривым, проведённым в точке их пересечения. На рис.1.17 через точку А сферы проведены кривые lи tи касательные к ним прямые т и n. Докажем, что стереографическая проекция угла равна величине самого угла: ÐСА´В=ÐСАВ. Для этого продолжим максимальные касательные т и n до пересечения их в точках Е и D, c плоскостью Г, проведённой через точку S параллельно плоскости проекции П´. Точки Е и D соединим прямыми линиями с точкой S. Треугольники EAD и ESD равны, так как имеют общую сторону ED, а стороны ЕА=ES и DA=DS как отрезки касательных к сфере, проведённых попарно из точек E и D. Из равенства треугольников вытекает равенство углов <ESD=<EAD. Стороны углов ESD и CA´B являются линиями пересечения граней EAS и DAS трёхгранного угла параллельным плоскостям П´ и Г. Тогда ÐESD=ÐCA´B как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонам. Из последнегоравенства следует, что угол , составленный касательными к двум кривым на сфере, проецируется в стереографической проекции без искажения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     РЕШЕНИЕ ПОЗЦИОННЫХ И МЕТРИЧЕСКИХ  ЗАДАЧ В СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИХ  ПРОЕКЦИЯХ

  Как  отмечалось выше , стереографические проекции применяют в основном для решения метрических задач, связанных с определением углов , составленных двумя направлениями, двумя плоскостями, и т.д. Однако методом стереографических проекций возможно решение и некоторых позиционных задач , связанных с расположением двух геометрических элементов относительно друг друга: построение проекции прямой или плоскости по заданному условию, проведение через прямую плоскости, построение линии пересечения двух плоскостей  и т.п. Ниже приведены примеры решения некоторых позиционных и метрических задач, служащих графической основой решения целого ряда практических задач горного и геологоразведочного производства. 

Построение  проекции прямой по заданному условию

Построить стереографическую проекцию наклонной прямой т (аз. пад. ЮВ 117° Ð 28⁰) и горизонтальной прямой h (аз. пр. СВ 63°) (рис.1.18).

Решение

1. Из центра основного круга — точка О'  проводят прямую, 
составляющую  угол   117°  с  северным  направлением  меридиана.

2. Исходя из величины угла падения прямой, определяют угол β:

Β= 90-α=90-28=31

3.      Через точку О' перпендикулярно к направлению падения проводят прямую до пересечения ее в точке S₀ с основным кругом стереографической проекции. Построив в точке 5 угол β= 31°, продолжают его сторону до пересечения в точке М' с направлением восстания прямой. Точка М' и будет стереографической проекцией наклонной прямой т.

          Прямая h горизонтальна, поэтому ее стереографическая проекция будет располагаться на основном круге. Для построения этой проекции через точку О' проводят прямую, которая с северным направлением меридиана составляет угол 63°. Точка Н’ пересечения этой прямой с основным кругом и является стереографической проекцией горизонтальной прямой h. 
 
 
 
 
 
 
 

     Построение  стереографической  проекции плоскости  по заданному условию

Построить стереографические проекции наклонной  плоскости Σ (аз. пад. ЮЗ 118° Ð35°) и вертикальной плоскости Л (аз. пр. СВ 63°)

Решение

1. Из  точки О' проводят прямую, составляющую угол 118° с северным направлением меридиана. Стрелкой отмечают направление падения плоскости.

2. Через точку О' перпендикулярно к направлению падения про 
водят линию простирания плоскости, которая пересекает основной 
круг в точках Е и D.

3. В точке Е (или D) строят угол, равный углу падения плоскости. 
Пересечение его стороны с направлением падения определяет 
центр FΣ" стереографической проекции плоскости. Из точки FΣ  радиусом 
FΣE проводят дугу ED, которая и является стереографической 
проекцией плоскости Σ. Стереографической проекцией линии 
падения этой плоскости будет точка U' пересечения направления 
восстания с дугой ED — стереографической проекцией плоскости.

Для построения проекции плоскости Λ через точку  О' проводят прямую, которая составляет с северным направлением меридиана угол, равный 63°. Отрезок  АВ и будет стереографической проекцией вертикальной плоскости Λ. 
 
 
 
 
 
 
 

     Взаимное  расположение прямой и плоскости

Через прямую т (М') провести плоскость Σ, азимут простирания которой был бы равен ЮВ 127° Определить угол падения плоскости (рис. 8.22).

Решение

1)Через  точку О´ проводят линию простирания плоскости. С северным направлением меридиана её проекция составляет угол 127⁰. Отмечают точки Е и В пересечения линии простирания с основным кругом проекции.

2)Определяют направление падения плоскости, учитывая при этом, что с направлением простирания оно составляет угол 90⁰ и стереографическая проекция прямой т (М ´) должна располагаться от точки О ´ в направлении восстания плоскости ∑.

 3)Определяет центр стереографической проекции плоскости – точку F. Точки Е, М´ и D принадлежат дуге, являющейся стереографической проекцией плоскости ∑.

 Перпендикуляр  к хорде М´ D, проведённый через её середину, в пересечении с направлением падения плоскости определит искомую точку F. Дуга окружности, проведения из точки F радиусом F´M´ до  пересечения её в точках Е и D с основным кругом, является стереографической проекции плоскости ∑. Для определения угла падения плоскости точку соединяют с точкой Е (или D). Построенный угол FEO равен углу падения плоскости: а=27⁰.