Стохастические модели в экономике

      СОДЕРЖАНИЕ 

      ВВЕДЕНИЕ 

      Математические модели и методы моделирования экономических объектов являются необходимыми для управления экономическими объектами. Моделирование экономических систем актуально для специалистов по управлению экономическими объектами, особенно для тех, кто связан с созданием автоматизированных систем управления экономическими объектами.

      Объектами исследования моделирования экономических  систем являются любые экономические объекты. Математические модели экономических систем должны удовлетворять требованиям: адекватности, универсальности, полноты и простоты, должны соответствовать расчетным практическим формулам. Требованиям, предъявляемым к математическим моделям, наиболее соответствуют детерминированные, динамические, полные, теоретические непрерывные и дискретные модели.

      История моделирования экономических систем – это история имитационных математических моделей, которые лишь частично удовлетворяют предъявляемым требованиям и не обладают познавательными функциями. Неудовлетворенность степенью выполнения предъявляемых требований составляет основную проблему моделирования экономики. Решение этой проблемы моделирования экономики связано с развитием и использованием функциональных математических моделей и методов моделирования экономических объектов. Особенностью функционального моделирования является то, что оно основано на фундаментальных законах функционирования экономики, а преимуществом – то, что функциональные модели в полной степени удовлетворяют предъявляемым требованиям и обладают высокими познавательными функциями. Поэтому в истории моделирования экономики можно выделить следующие этапы:

      - этап формирования и применения  имитационных математических моделей  экономических объектов на основе  отдельных закономерностей экономики;

      - этап формирования и применения  функциональных математических моделей экономических объектов на основе законов экономических систем.

      Современные представления функционального  моделирования экономических объектов выражены в законах функционирования, функциональных моделях и методами моделирования экономических систем. Овладение функциональным моделированием обеспечивает формирование у специалистов теоретических основ моделирования экономических систем, которые способствуют повышению качества моделирования поведения экономических объектов, создания автоматизированных систем управления экономическими объектами и повышению эффективности управления экономическими объектами.

      Цель работы - ознакомление с математическими моделями и методами моделирования экономических систем, развитие умений применять эти знания на практике.

      Задачи работы:

      - рассмотреть стохастические модели в экономике;

      - рассмотреть практическое применение стохастических моделей в экономике;

      - развитие умений применять модели и методы моделирования экономических систем на практике.

      1 СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ  В ЭКОНОМИКЕ

      В процессе исследования объекта часто  бывает нецелесообразно или даже невозможно иметь дело непосредственно  с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании. В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Например, модель самолета продувают в аэродинамической трубе, вместо того, чтобы испытывать настоящий самолет – это дешевле. При теоретическом исследовании атомного ядра физики представляют его в виде капли жидкости, имеющей поверхностное натяжение, вязкость и т.п. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.

      Модель – это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

      Познавательные  возможности модели обуславливаются  тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной  мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

      Таким образом, изучение одних сторон моделируемого  объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

      Подобие между моделируемым объектом и моделью  может быть физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное и геометрическое. При физическом подобии объект и модель имеет одинаковую или сходную физическую природу. Структурное подобие предполагает наличие сходства между структурой объекта и структурой модели. При выполнении объектом и моделью под определенным воздействием сходных функций наблюдается функциональное подобие. При наблюдении за последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели отмечается динамическое подобие. Вероятностное подобие отмечается при наличии сходства между процессами вероятностного характера в объекте и модели. Геометрическое подобие имеет место при сходстве пространственных характеристик объекта и модели.

      На  сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы моделей.

      Словесная или монографическая модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности.

      Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа. Например, зависимость между ценой и спросом может быть выражена  в виде графика, на оси ординат, которого отложен спрос (D), а на оси абсцисс – цена (Р). Кривая нам наглядно иллюстрирует, что с ростом цены спрос падает, и наоборот.

      Физические  или вещественные модели создаются  для конструирования пока еще несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах.

      При моделировании используется аналогия между объектом –оригиналом и его моделью. Аналогии бывают следующими:

1. внешняя аналогия (модель самолета, корабля, микрорайона, выкройка);
2. структурная аналогия (водопроводная сеть и электросеть моделируются с помощью графов, отражающих все связи и пересечения, но не длины отдельных трубопроводов);
3. динамическая аналогия (по поведению системы) - маятник моделирует электрический колебательный контур.

      Математические  модели относятся ко второму и третьему типу. Смысл математического моделирования заключается в том, что эксперименты проводятся не с реальной физической моделью объекта, а с его описанием. Для них свойственно то, что они реализуются с использованием информационных технологий. Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. "Экономико-математическая модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме" (академик В.С. Немчинов).

      Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей также не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

      По  степени агрегирования  объектов моделирования различают модели:

• микроэкономические;
• одно-, двухсекторные (одно-, двухпродуктовые);
• многосекторные (многопродуктовые);
• макроэкономические;
• глобальные.

По  учету фактора времени модели подразделяются на:

• статические;
• динамические.

     В статических моделях экономическая  система описана в статике, применительно к одному определенному моменту времени. Это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени. Динамические модели описывают экономическую систему в развитии.

     По  цели создания и применения  различают модели:

• балансовые;
• эконометрические;
• оптимизационные;
• сетевые;
• систем массового обслуживания;
• имитационные (экспертные).

     По  учету фактора неопределенности модели подразделяются на:

• детерминированные (с однозначно определенными результатами);
• стохастические (с различными, вероятностными результатами).

     По  типу математического  аппарата различают модели:

• линейного и нелинейного программирования;
• корреляционно-регрессионные;
• матричные;
• сетевые;
• теории игр;
• теории массового обслуживания и т.д.

     Стохастическая  модель [stochastic model] – такая экономико-математическая модель, в которой параметры, условия функционирования и характеристики состояния моделируемого объекта представлены случайными величинами и связаны стохастическими (т. е. случайными, нерегулярными) зависимостями, либо исходная информация также представлена случайными величинами. Следовательно, характеристики состояния в модели определяются не однозначно, а через законы распределения их вероятностей. Моделируются, например, стохастические процессы в теории массового обслуживания, в сетевом планировании и управлении и в других областях. При построении стохастической модели применяются методы корреляционного и регрессионного анализов, другие статистические методы. Другие названия стохастической модели – недетерминированная, вероятностная модель.

      Первая принципиальная идея, с которой встречается каждый изучающий экономист – идея о взаимосвязи между экономическими переменными. Формирующийся на рынке спрос на некоторый товар рассматривается как функция его цены; затраты, связанные с изготовлением какого-либо продукта, предполагаются зависящими от объема производства; потребительские расходы могут быть функцией дохода и т.д. Все это примеры связей между двумя переменными, одна из которых (спрос на товар, производственные затраты, потребительские расходы) играет роль объясняемой переменной (или результирующего показателя), а другие интерпретируются как объясняющие переменные (или факторы-аргументы). Однако для большей реалистичности в каждое такое соотношение приходится вводить несколько объясняющих переменных и остаточную случайную составляющую, отражающую влияние на результирующий показатель всех неучтенных факторов. Спрос на товар можно рассматривать как функцию его цены, потребительского дохода и цен на конкурирующие и дополняющие товары; производственные затраты будут зависеть от объема производства, от его динамики и от цен на основные производственные ресурсы; потребительские расходы можно определить как функцию дохода, ликвидных активов и предыдущего уровня потребления. При этом участвующая в каждом из этих соотношений случайная составляющая, отражающая влияние на анализируемый результирующий показатель всех неучтенных факторов, обусловливает стохастический характер зависимости, а именно: даже зафиксировав на определенных уровнях значения объясняющих переменных, скажем, цены на сам товар и на конкурирующие с ним или дополняющие товары, а также потребительский доход, мы не можем ожидать, что тем самым однозначно определяете спрос на этот товар. Другими словами, переходя в своих наблюдениях спроса от одного временного или пространственного такта к другому, мы обнаружим случайное варьирование величины спроса около некоторого уровня даже при сохранении значений всех объясняющих переменных неизменными.

      Стохастическое  моделирование является в определенной степени дополнением и углублением детерминированного факторного анализа. Эти модели используются по трем основным причинам:

• необходимо изучить влияние факторов, по которым нельзя построить жестко детерминированную факторную модель (например, уровень финансового левериджа);
• необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не поддаются объединению в одной и той же жестко детерминированной модели;
• необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не могут быть выражены одним количественным показателем (например, уровень научно-технического прогресса).

      В отличие от жестко детерминированного стохастический подход для реализации требует ряда предпосылок:

      а) наличие совокупности;

      б) достаточный объем наблюдений;

      в) случайность и независимость  наблюдений;

      г) однородность;

      д) наличие распределения признаков, близкого к нормальному;

      е) наличие специального математического аппарата.

      Построение  стохастической модели проводится в  несколько этапов:

• качественный анализ (постановка цели анализа, определение совокупности, определение результативных и факторных признаков, выбор периода, за который проводится анализ, выбор метода анализа);
• предварительный анализ моделируемой совокупности (проверка однородности совокупности, исключение аномальных наблюдений, уточнение необходимого объема выборки, установление законов распределения изучаемых показателей);
• построение стохастической (регрессионной) модели (уточнение перечня факторов, расчет оценок параметров уравнения регрессии, перебор конкурирующих вариантов моделей);
• оценка адекватности модели (проверка статистической существенности уравнения в целом и его отдельных параметров, проверка соответствия формальных свойств оценок задачам исследования);
• экономическая интерпретация и практическое использование модели (определение пространственно-временной устойчивости построенной зависимости, оценка практических свойств модели).

      Стохастический  анализ направлен на изучение косвенных  связей, т. е. опосредованных факторов (в случае невозможности определения  непрерывной цепи прямой связи). Из этого вытекает важный вывод о соотношении детерминированного и стохастического анализа: так как прямые связи необходимо изучать в первую очередь, то стохастический анализ носит вспомогательный характер. Стохастический анализ выступает в качестве инструмента углубления детерминированного анализа факторов, по которым нельзя построить детерминированную модель.

      Стохастическое  моделирование факторных систем взаимосвязей отдельных сторон хозяйственной деятельности опирается на обобщение закономерностей варьирования значений экономических показателей – количественных характеристик факторов и результатов хозяйственной деятельности. Количественные параметры связи выявляются на основе сопоставления значений изучаемых показателей в совокупности хозяйственных объектов или периодов. Таким образом, первой предпосылкой стохастического моделирования является возможность составить совокупность наблюдений, т. е. возможность повторно измерить параметры одного и того же явления в различных условиях.

      В стохастическом анализе, где сама модель составляется на основе совокупности эмпирических данных, предпосылкой получения реальной модели является совпадение количественных характеристик связей в разрезе всех исходных наблюдений. Это означает, что варьирование значений показателей должно происходить в пределах однозначной определенности качественной стороны явлений, характеристиками которых являются моделируемые экономические показатели (в пределах варьирования не должно происходить качественного скачка в характере отражаемого явления). Значит, второй предпосылкой применяемости стохастического подхода моделирования связей является качественная однородность совокупности (относительно изучаемых связей).

      Изучаемая закономерность изменения экономических  показателей (моделируемая связь) выступает в скрытом виде. Она переплетается со случайными с точки зрения исследования (неизучаемыми) компонентами вариации и ковариации показателей. Закон больших чисел гласит, что только в большой совокупности закономерная связь выступает устойчивее случайного совпадения направления варьирования (случайной к- 
вариации). Из этого вытекает третья предпосылка стохастического анализа –достаточная размерность (численность) совокупности наблюдений, позволяющая с достаточной надежностью и точностью выявить изучаемые закономерности (моделируемые связи). Уровень надежности и точности модели определяется практическими целями использования модели в управлении производственно-хозяйственной деятельностью.

      Четвертая предпосылка стохастического подхода  – наличие методов, позволяющих выявить количественные параметры экономических показателей из массовых данных варьирования уровня показателей. Математический аппарат применяемых методов иногда предъявляет специфические требования к моделируемому эмпирическому материалу. Выполнение данных требований является важной предпосылкой применяемости методов и достоверности полученных результатов.

      Основная  особенность стохастического факторного анализа заключается в том, что при стохастическом анализе нельзя составлять модель путем качественного (теоретического) анализа, необходим количественный анализ эмпирических данных.

      Методы  стохастического факторного анализа.

      1) Способ парной корреляции.

      Метод корреляционного и регрессионного (стохастического) анализа широко используется для определения тесноты связи между показателями, не находящимися в функциональной зависимости, т.е. связь проявляется не в каждом отдельном случае, а в определенной зависимости.

      С помощью корреляции решаются две  главные задачи:

      - составляется модель действующих факторов (уравнение регрессии);

      - дается количественная оценка тесноты связей (коэффициент 
корреляции).

      2) Матричные модели.

      Матричные модели представляют собой схематическое  отражение экономического явления или процесса с помощью научной абстракции. Наибольшее распространение здесь получил метод анализа «затраты-выпуск», строящийся по шахматной схеме и позволяющий в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства.

      3) Математическое программирование.

      Математическое  программирование – это основное средство решения задач по оптимизации производственно-хозяйственной деятельности.

      4) Метод исследования операций.

      Метод исследования операций направлен на изучение экономических систем, в  том числе производственно-хозяйственной  деятельности предприятий, с целью определения такого сочетания структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени позволит определить наилучший экономический показатель из ряда возможных.

      5) Теория игр.

      Теория  игр как раздел исследования операций – это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ  СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ  В ЭКОНОМИКЕ 

     Методы  линейного  программирования применяются для решения многих экстремальных задач, с которыми довольно часто приходится иметь дело в экономике. Решение таких задач сводится к нахождению крайних значений (максимума и минимума) некоторых функций переменных величин.

    Линейное  программирование основано на решении  системы линейных уравнений (с преобразованием в уравнения и неравенства), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.

    С помощью этого метода в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточных линий (при заданном ассортименте продукции и иных заданных величинах), решается задача рационального раскроя материалов (с оптимальным выходом заготовок). В сельском хозяйстве он используется для определения минимальной стоимости кормовых рационов при заданном количестве кормов (по видам и содержащимся в них питательным веществам). Задача о смесях может найти применение и в литейном производстве (состав металлургической шихты). Этим же методом решаются транспортная задача, задача рационального прикрепления предприятий-потребителей к предприятиям-производителям.

    Все экономические задачи, решаемые с  применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу – значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, оптимальный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из весьма значительного количества альтернативных вариантов. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно

    Задачи  с помощью линейного программирования решаются двумя способами: симплекс-методом и распределительном методом.

    Весьма  типичной задачей, решаемой с помощью  линейного программирования, является транспортная задача. Ее смысл заключается в минимизации грузооборота при доставке товаров широкого потребления от производителя к потребителю, с оптовых складов и баз в розничные торговые предприятия. Она решается симплекс-методом или распределительным методом. Наиболее наглядным из них является последний.

     Рассмотрим  пример постановки и решения транспортной задачи.

     Задача. На строительство четырех объектов кирпич поступает с трех заводов. Требуется найти оптимальный план перевозок. Требуемые количества в тыс.штук и тарифы в тыс. руб. представлены в таблице 1. 

Таблица 1.